高等数学不定积分习题

第四章 不 定 积 分

§ 4 – 1 不定积分的概念与性质

一.填空题

1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。

2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为ƒ(x)的一条_________. 3．因为

dx

x

x d 2

11)(arcsin -=

,所以arcsinx 是______的一个原函数。

4．若曲线y=ƒ(x)上点(x,y)的切线斜率与3x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________ 。 二．是非判断题

1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()()

()⎰⎰'='

dx x f dx x f . [ ] 4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5.=y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ]

三．单项选择题

1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。 （A ）⎰=dx x F )('f(x)+c; （B ）⎰dx x f )(=F(x)+c; （C ）⎰=dx x F )()('x F +c; (D) ⎰dx x f )('=F(x)+c.

2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。 （A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ⋅=c. 3．下列各式中 是||sin )(x x f =的原函数。

(A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|;

(c)y={;

0,2cos ,0,cos <-≥-x x x x (D) y={

.

0,cos ,

0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数，且f(0)=1,又2)()(x x xf x F +=，则f(x)=______. (A) 12--x (B)12+-x (C)12+-x (D)12--x 5.设x x f 22cos )(sin ='，则f(x)=________.

(A);sin 2

1sin 2c x x +- (B);2

12c x x +- (C);sin 21sin 42c x x +- (D);2

142c x x +-

6.设a 是正数，函数则,log )(,)(e a x a x f a x x ==ϕ______. (A)的导数；是)()(x x f ϕ (B)的导数；是)()(x f x ϕ (C)的原函数；是)()(x x f ϕ (D)的不定积分。是)()(x f x ϕ 四．计算题

3．⎰-+dx x x )1)(13

（ 4.dx x

x ⎰-3

2

)1(

5.⎰--dx x

e e x x

)1( 6.⎰dx e x x 323

7.dx x x x ⎰

-+-2

2222 8.⎰

-dx x

x 23sin 1

sin 4 9.dx x x 2

)2sin 2(cos -⎰ 10.⎰

++dx x x 2cos 1cos 12 11.⎰dx x

x x

2

2cos sin 2cos 12.⎰++-dx x x x 3322332 13.dx x

x )12

13(

22⎰--+ 14.⎰-dx x x x )tan (sec sec 15.⎰-

dx x x x

)1

1(2 16.dx x

x

⎰

-+11 五．应用题

1．一曲线通过点(2e ,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该 曲线的方程.

2．一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是32t (米/秒),问: (1) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少? (2)

物体走完360米需要多少时间 §4-2 换元积分法

一、填空题

1.)(______ax d dx = ()0(≠a )

2.)37(______-=x d dx

3.)(_______2x d xdx =

4.)5(______2x d xdx =

5.)1(______2x d xdx -=

6.)32(_______32x d dx x -=

7.)(______22x

x e d dx e = 8.)1(______2

2

x x

e d dx e -

-

+= 9.(_______)2

2d dx xe x =- 10.(______))13

cos(d dx x =- 11.

)ln 5(______x d x dx = 12.)ln 53(______x d x

dx -= 13.(______))sin(d dt t =+ϕω 14.

)arcsin 1(______12

x d x

dx -=-

15．=

-⎰

dx x x 1

12

=

-⎰

dx x

x 2

2)1

(11=-⎰

2

)1(11x x d

_________ 16.若⎰⎰≠=++=)0________()(,)()(a dx b ax f c x F dx x f 则 二．是非判断题

1． ⎰⎰+⋅=⎪⎭

⎫ ⎝⎛=c x

x d x dx x

x 21

2111ln . [ ]

2．()

⎰

+=+c x arctg dx x

x 211

. [ ]

3．设()⎰+=c x dx x f sin ，则()⎰+=-c x dx x x f 2

1arcsin . [ ] 4．已知()=

'x f ln {

,

10,1,1,≤<+∞<

=≤<-∞+∞<<-,

0,0,1x x x e

x f x . [ ] 5．⎰+=c x xdx 32sin 3

1sin . [ ]

6．若()()c x F dx x f +=⎰，则()[]()[]c x g F dx x g f +=⎰. [ ] 三．单项选择题