圆内接四边形习题

圆内接四边形一 、引入新课1. 如图(1)，△ABC 叫⊙O 的____________三角形，⊙O 叫△ABC 的_ ____ _圆。

2. 如上图(1),若的度数为1000,则∠BOC=_______,∠A=__________.3. 如图(2)四边形ABCD 中, 若∠B 与∠1互补,AD 的延长线与DC 所夹∠2=600,则∠1=___,∠B=___.二、探索交流如图(3),四边形ABCD 的各顶点都在⊙O 上,所以四边形ABCD 是⊙O 的_____________四边形,⊙O 叫四边形ABCD 的________________圆.(1)如图3，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A 与∠C,∠B 与∠D 分别是它的两组对角，∠A 所对的弧是_______________, ∠C 所对的弧是________________.（2）∠A 与∠C 所对的两条弧的度数之和是________________度，由此你发现∠A 与∠C 有怎样的数量关系_______________，∠B 与∠D 呢_______________。

得到定理： ________________________ ___________________. （3）如右图，延长BC 到点E ，得到∠DCE, ∠DCE 是四边形ABCD 的一个 外角，∠A 称∠DCE 的内对角，它两个的大小有什么关系___________. 得到推论： __________________三、练一练（一）1、四边形ABCD 内接于⊙O ，则∠A+∠C=___________，∠B+∠ADC=____________;若∠B=800， 则∠ADC=___________ ∠CDE=___________(图1)、四边形AB CD 内接于⊙O ，∠BOD=1000，则∠BAD=___________，∠BCD=___________(图2)3、梯形ABC D 内接于⊙O,AD ∥BC, ∠B=750,则∠C=______________(图3)21ED CBAOC B AODABC图3图2图1OEDCB A1题图3题图2题图4、四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A:∠C=1: 3，则∠A=_______________,5、圆内接平行四边形必为( )A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形 6、、在⊙O 中，∠CBD=30°, ∠BDC=20°,求∠A四 、 练习1、已知如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠B=30°，则∠D= _____ ． 2、已知四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠A ：∠C=1：2，则∠BOD= 度．3、如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是AB 上两点，∠ADC=120°，则∠BAC 的度数是 度．4、如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠BCD=110°，则∠BOD= 度．5、如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A 、点B ，点A 的坐标为（0，3），M 是第三象限内OB 上一点，∠BMO=120°，则⊙C 的半径长为6、如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE 的大小是7、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠C=36°，则∠A 的度数为8、圆内接四边形ABCD 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：2：5，则∠D 等于 9、如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别 在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB 的度数为1题图3题图4题图5题图6题图7题图10、如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为23．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长．11、已知：如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，点D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，点F．若CD∥EF，求证：（1）四边形EFDC是平行四边形；（2）弧CE = 弧DF巩固加深一、 选择题1. 下列关于圆内接四边形叙述正确的有①圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角；②圆内接四边形对角相等；③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；④在圆内部的四边形叫圆内接四边形. 个 个 个 个2.圆内接四边形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 交于点E ，在下图中全等三角形的对数为 对 对 对 对3.圆内接四边形ABCD 中，39,25,60,52AB BC CD DA ====,则圆的直径为PT2 T4 T54.如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 为BD 的垂直平分线，60,ACB ABa ∠==o，则CD =A.3a B.2a C.12a D.13a 5.圆内接四边形ABCD 中，BA 与CD 的延长线交于点P,AC 与BD 交于点E,则图中相似三角形有 对 对 对 对6.如图，已知圆内接四边形ABCD 的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 面积为A.163 C.323D.DT6 T7 T127.如图，在以BC 为直径的半圆上任取一点P,过弧BP 的中点A 作AD BC ⊥于D.连接BP 交AD 于点E,交AC 于点F,则:BE EF =:1 :2 :1 D.以上结论都不对8.直线370x y +-=与20kx y --=与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k = 二、填空题9.圆内接四边形ABCD 中，cos cos cos cos A B C D +++= . 10.三角形三边长为5,12,13,则它的外接圆圆心到顶点的距离为 . 11.圆内接四边形ABCD 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则D ∠= .12.如图，AB 为半圆O 的直径，C 、D 为半圆上的两点，20BAC ∠=o，则ADC ∠= . 三、解答题13.如图，锐角三角形ABC 中，60A ∠=o，BC 为圆O 的直径，⊙O 交AB 、AC 于D 、E ，求证：2BC DE =.14.求证：在圆内接四边形ABCD 中，AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅.15.在等边三角形ABC 外取一点P,若PA PB PC =+，求证：P 、A 、B 、C 四点共圆.16.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，M 为CD 中点，N 为AB 中点，AC BD ⊥于点E ，连接ON 、ME ，并延长ME 交AB 于点F.求证：MF AB ⊥.BABC17.已知：如图所示，10,8,AB cm BC cm ==CD 平分ACB ∠. (1)求AC 和DB 的长； (2)求四边形ACBD 的面积.18.在锐角三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，,,,DE AB DF AC E F ⊥⊥为垂足. 求证：E 、B 、C 、F 四点共圆.BC19.如图，矩形ABCD 中，AD=8,DC=6,在对角线AC 上取一点O,以OC 为半径的圆切AD 于点E,交BC 于点F,交CD 于点G.(1)求⊙O 的半径R ；(2)设,BFE GED αβ∠=∠=，请写出,,90αβo之间关系式，并证明.(参考答案)一、 选择题1-5 BBCAB 6-8 DAB 二、填空题9. 0 10.13211.90o 12.110o三、解答题13.法一：302ABE ABE AB AE ∠=⇒∆=o在Rt 中， 12AD AE DE ADE ACB AC AB BC ∆∆⇒===∽ 法二：连接BE,»30ABE DE∠=⇒o 的度数为60o 60DOE ⇒∠=o 即ODE ∆为正∆ OD DE ⇒=14.在AC 上取点E,使1,23ADE ∠=∠∠=∠又AE BCADE BDC AE BD AD BC AD BD⇒∆∆⇒=⇒⋅=⋅∽ ①1ADE ADB CDE ABD ACD ABD ECD∠=∠⇒∠=∠∠=∠∆∆又得∽AB BDBD EC AB CD EC CD⇒=⋅=⋅即 ② ①+②即可15.延长PC 至D,作CAD BAP ∠=∠，并取AD=AP ，则ADP ABP ABP ACD ∆≅∆⇒∠=∠⇒P 、A 、B 、C 四点共圆16.,DE EC DM MC EM DM ⊥=⇒= MDE DEM ⇒∠=∠90EAF AEF MDE AEF DEM MEC ⇒∠+∠=∠+∠∠=∠+∠=o17.(1)6,AC BD ==AC(2)49ACB ADB ABCD S S S ∆∆=+=四边形18.法一：连结EF,,9090180DE AB DF AC AED AFD ⊥⊥⇒∠+∠=+=ooo⇒A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF BEF C ⇒∠=∠⇒∠+∠90180BED DEF C DAF C =∠+∠+∠=+∠+∠=oo法二： A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF ⇒∠=∠ 9090AEF DEF DAF C ⇒∠=-∠=-∠=∠oo19.(1)10156104OE AO R R AEO ADC R CD AC -∆∆⇒=⇒=⇒=∽ (2)90EFB EGC βα∠=∠⇒+=o。