北京市人大附中2020年初三数学3月月考试题及答案(图片版)
北京市2020〖人教版〗九年级数学下册综合试卷第一学期第二次月考
北京市2020年〖人教版〗九年级数学下册综合试卷第一学期第二次月考创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列函数是二次函数的是（）A．y=2x+1 B．y=﹣2x+1 C．y=x2+2 D．y=x﹣22．若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（）A．B．C．D．3．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3则当x=1时，y的值为（）A．5B．﹣3 C．﹣13 D．﹣274．如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是（）A．B．C．D．5．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条6．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（）A．10米B．12米C．15米D．22.5米7．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：168．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（）A．B．C．D．9．计算6tan45°﹣2cos60°的结果是（）A．4B．4C．5D．510．如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．其中正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是_________ （填一个即可）12．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，∠BOA=45°，则过A点的双曲线解析式是_________ ．13．如图，在距离树底部10米的A处，用仪器测得大树顶端C的仰角∠BAC=50°，则这棵树的高度BC 是_________ 米（结果精确到0.1米）．14．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有_________ 条．三．（本大题共2小题，每小题8分，共16分）15．计算：﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣16．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．四．（本大题共2小题，每小题8分，共16分）17．已知：如图，反比例函数的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，3），点B的纵坐标为1，点C的坐标为（2，0）．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线BC的解析式．18．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．五．（本大题共2小题，每小题10分，共20分）19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点E．若AE=4，CE=8，DE=3，梯形ABCD的高是，面积是54．求证：AC⊥BD．20．在关于x，y 的二元一次方程组中．（1）若a=3．求方程组的解；（2）若S=a（3x+y），当a为何值时，S有最值．六．（本大题满分12分）21．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O；（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．七．（本大题满分12分）22．已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．八．（本大题满分14分）23．如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过原点O和点A（2，0）．（1）写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；（2）点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2＜1，比较y1，y2的大小；（3）点B（﹣1，2）在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数关系式．详细解析+考点分析+名师点评一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．下列函数是二次函数的是（）A．y=2x+1 B．y=﹣2x+1 C．y=x2+2 D．y=x﹣2考二次函数的定义．点：分析：直接根据二次函数的定义判定即可．解答：解：A、y=2x+1，是一次函数，故此选项错误；B、y=﹣2x+1，是一次函数，故此选项错误；C、y=x2+2是二次函数，故此选项正确；D、y=x﹣2，是一次函数，故此选项错误．故选：C．点评：此题主要考查了二次函数的定义，根据定义直接判断是解题关键．2．若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．专题：压轴题．分析：根据正比例函数图象的性质确定m＜0，则二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．解答：解：∵正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，∴该正比例函数图象经过第二、四象限，且m＜0．∴二次函数y=mx2+m的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴．综上所述，符合题意的只有A选项．故选A．点评：本题考查了二次函数图象、正比例函数图象．利用正比例函数的性质，推知m＜0是解题的突破口．3．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3则当x=1时，y的值为（）A．5B．﹣3 C．﹣13 D．﹣27考点：待定系数法求二次函数解析式．专计算题；压轴题．题：分析：由表可知，抛物线的对称轴为x=﹣3，顶点为（﹣3，5），再用待定系数法求得二次函数的解析式，再把x=1代入即可求得y的值．解答：解：法一：设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k，∵当x=﹣4或﹣2时，y=3，由抛物线的对称性可知h=﹣3，k=5，∴y=a（x+3）2+5，把（﹣2，3）代入得，a=﹣2，∴二次函数的解析式为y=﹣2（x+3）2+5，当x=1时，y=﹣27．法二：根据图表可得：对称轴x=﹣3，∴横坐标为1的对称点与横坐标为为﹣7的点对称，∴当x=1时，y=﹣27．故选D．点评：本题看出来用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线是轴对称图形，对称轴为x=﹣．4．如图，矩形AOBC的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是（）A．B．C．D．考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：计算题．分析：作PE⊥x轴，PF⊥y轴，根据矩形的性质得矩形OEPF的面积=矩形AOBC的面积=×4=1，然后根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义即可得到k=1．解答：解：作PE⊥x轴，PF⊥y轴，如图，∵点P为矩形AOBC对角线的交点，∴矩形OEPF的面积=矩形AOBC的面积=×4=1，∴|k|=1，而k＞0，∴k=1，∴过P点的反比例函数的解析式为y=．故选C．点评：本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．5．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条考点：相似三角形的判定．分析：过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．解答：解：∵截得的三角形与△ABC相似，∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意∴过点M作直线l共有三条，故选C．点评：本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时，运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．6．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（）A．10米B．12米C．15米D．22.5米考点：相似三角形的应用．专题：应用题．分在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构析：成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．解答：解：∵=即=，∴楼高=10米．故选A．点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．7．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16考点：相似三角形的性质．分析：已知相似三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出答案．解答：解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，∴△DEF与△ABC的面积比为32：42，即△ABC与△DEF的面积比为9：16．故选D．点评：此题考查了相似三角形的性质，掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解答本题的关键．8．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．专题：网格型．分析：认真读图，在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值．解答：解：由图可得tan∠AOB=．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正切等于对边比邻边．9．计算6tan45°﹣2cos60°的结果是（）A．4B．4C．5D．5考点：特殊角的三角函数值．分析：将特殊角的三角函数值代入计算即可．解答：解：原式=6×1﹣2×=5．故选D．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，要求同学们熟练掌握特殊角的三角函数值．10．如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x 值是或．其中正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：利用图象与坐标轴交点以及M值的取法，分别利用图象进行分析即可得出答案．解答：解：∵当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；∴①错误；∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；∴②错误；∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y1=﹣2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；∴使得M大于2的x值不存在，∴③正确；∵当﹣1＜x＜0时，使得M=1时，可能是y1=﹣2x2+2=1，解得：x1=，x2=﹣，当y2=2x+2=1，解得：x=﹣，由图象可得出：当x=＞0，此时对应y1=M，∵抛物线y1=﹣2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（﹣1，0），∴当﹣1＜x＜0，此时对应y2=M，故M=1时，x1=，x2=﹣，使得M=1的x 值是或．∴④正确；故正确的有：③④．故选：D．此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，利用数形结合得出函数增减性是解题关键．点评：二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．如图，要使△ABC与△DBA 相似，则只需添加一个适当的条件是∠C=∠BAD （填一个即可）考点：相似三角形的判定．专题：开放型．分析：根据相似三角形的判定：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似，进行添加即可．解答：解：∵∠B=∠B（公共角），∴可添加：∠C=∠BAD．此时可利用两角法证明△ABC与△DBA相似．故答案可为：∠C=∠BAD．点评：本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形判定的三种方法，本题答案不唯一．12．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，∠BOA=45°，则过A点的双曲线解析式是y=．考点：待定系数法求反比例函数解析式．分析：根据题意可设A（m，m），再根据⊙O的半径为1利用勾股定理可得m2+m2=12，解出m的值，再设出反比例函数解析式为y=（k≠0），再代入A点坐标可得k的值，进而得到解析式．解答：解：∵∠BOA=45°，∴设A（m，m），∵⊙O的半径为1，∴AO=1，∴m2+m2=12，解得：m=，∴A（，），设反比例函数解析式为y=（k≠0），∵图象经过A点，∴k=×=，∴反比例函数解析式为y=．故答案为：y=．点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及勾股定理，求出A点坐标是解决此题的关键．13．如图，在距离树底部10米的A处，用仪器测得大树顶端C的仰角∠BAC=50°，则这棵树的高度BC 是11.9 米（结果精确到0.1米）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：根据已知得出tan50°=，进而求出大树的高BC即可．解答：解：∵由A点测得大树BC的顶端C的仰角为60°，A点到大树的距离AB=10m，∴∠BAC=50°，∴tan50°=，∴BC=10tan50°≈10×1.192=11.92≈11.9米．故答案为：11.9．点评：此题考查了解直角三角形的应用，利用仰角的定义，利用直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题关键．14．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有 3 条．考点：相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质．专题：新定义．分析：根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出．解答：解：当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连接PC，∵∠A=36°，AB=AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP=PC，∠ABC=∠ACB=72°，∴∠ACP=∠PAC=36°，∴∠PCB=36°，∴∠B=∠B，∠PCB=∠A，∴△CPB∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3．点评：此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法作出辅助线是解题关键．三．（本大题共2小题，每小题8分，共16分）15．计算：﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值．专题：计算题；压轴题．分析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式==．点评：本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．16．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．考点：相似三角形的判定；平行线的性质．专题：证明题．分析：根据平行线的性质可知∠AED=∠C，∠A=∠FEC，根据相似三角形的判定定理可知△ADE∽△EFC．解答：证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．四．（本大题共2小题，每小题8分，共16分）17．已知：如图，反比例函数的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，3），点B的纵坐标为1，点C的坐标为（2，0）．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线BC的解析式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）把点A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求解；（2）根据（1）中的解析式求得点B的坐标，再进一步运用待定系数法求得一次函数的解析式．解答：解：（1）设所求反比例函数的解析式为y=（k≠0）．∵点A（1，3）在此反比例函数的图象上，∴，∴k=3．故所求反比例函数的解析式为．（2）设直线BC的解析式为y=k1x+b（k1≠0）．∵点B的反比例函数的图象上，点B的纵坐标为1，设B（m，1），∴，m=3．∴点B的坐标为（3，1）．由题意，得，解得：．∴直线BC的解析式为y=x﹣2．点评：用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式．18．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：计算题；压轴题．分析：在图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．解答：解：由已知，得∠ECA=30°，∠FCB=60°，CD=90，EF∥AB，CD⊥AB于点D．∴∠A=∠ECA=30°，∠B=∠FCB=60°．在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD==90×=90．在Rt△BCD中，∠CDB=90°，tanB=，∴DB==30．∴AB=AD+BD=90+30=120．答：建筑物A、B间的距离为120米．点评：解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．五．（本大题共2小题，每小题10分，共20分）19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点E．若AE=4，CE=8，DE=3，梯形ABCD的高是，面积是54．求证：AC⊥BD．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；梯形．专题：证明题．分析：由AD∥BC，可证明△EAD∽△ECB，利用相似三角形的性质即可求出BE的长，过D作DF∥AC交BC 延长线于F，则四边形ACFD是平行四边形，所以CF=AD，再根据勾股定理的逆定理证明BD⊥DF即可证明AC⊥BD．解答：证明：∵AD∥BC，∴△EAD∽△ECB，∴AE：CE=DE：BE，∵AE=4，CE=8，DE=3，∴BE=6，S梯形=（AD+BC）×=54，∴AD+BC=15，过D作DF∥AC交BC延长线于F，则四边形ACFD是平行四边形，∴CF=AD，∴BF=AD+BC=15，在△BDF中，BD2+DF2=92+122=225，BF2=225，∴BD2+DF2=BF2，∴BD⊥DF，∵AC∥DF，∴AC⊥BD．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、梯形的面积公式以及勾股定理的逆定理的运用，题目的综合性很强，难度中等．20．在关于x，y的二元一次方程组中．（1）若a=3．求方程组的解；（2）若S=a（3x+y），当a为何值时，S有最值．考点：二次函数的最值；解二元一次方程组．分析：（1）用加减消元法求解即可；（2）把方程组的两个方程相加得到3x+y，然后代入整理，再利用二次函数的最值问题解答．解答：解：（1）a=3时，方程组为，②×2得，4x﹣2y=2③，①+③得，5x=5，解得x=1，把x=1代入①得，1+2y=3，解得y=1，所以，方程组的解是；（2）方程组的两个方程相加得，3x+y=a+1，所以，S=a（3x+y）=a（a+1）=a2+a，所以，当a=﹣=﹣时，S有最小值．点评：本题考查了二次函数的最值问题，解二元一次方程组，（2）根据方程组的系数的特点，把两个方程相加得到3x+y的表达式是解题的关键．六．（本大题满分12分）21．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O；（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．考点：作图-位似变换．专题：作图题；压轴题．分析：（1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O；（2）由OB=2OB′，即可得出△ABC与△A′B′C′的位似比为2：1；（3），连接B′O并延长，使OB″=OB′，延长A′O并延长，使OA″=OA′，C′O并延长，使OC″=OC′，连接A″B″，A″C″，B″C″，则△A″B″C″为所求，从网格中即可得出△A″B″C″各顶点的坐标．解答：解：（1）图中点O为所求；（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；（3）△A″B″C″为所求；A″（6，0）；B″（3，﹣2）； C″（4，﹣4）．点评：此题考查了作图﹣位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．七．（本大题满分12分）22．已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．专题：压轴题．分析：（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△AQP∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP的长；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP 的中点，从而可以求出AP．解答：（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠APQ=∠C．在△APQ与△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，∴△AQP∽△ABC．（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．∵∠BPQ为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．∵∠QBP为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQ，由（1）可知，△AQP∽△ABC，∴，即，解得：PB=，∴AP=AB﹣PB=3﹣=；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．∵∠QBP为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQ．∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A，∴BQ=AB，∴AB=BP，点B为线段AP中点，∴AP=2AB=2×3=6．综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6．点评：本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大．第（2）问中，当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．八．（本大题满分14分）23．如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过原点O和点A（2，0）．（1）写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；（2）点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2＜1，比较y1，y2的大小；（3）点B（﹣1，2）在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数关系式．考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．分析：（1）根据图示可以直接写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；（2）根据抛物线的对称轴与x轴的交点坐标可以求得该抛物线的对称轴是x=1，然后根据函数图象的增减性进行解题；（3）根据已知条件可以求得点C的坐标是（3，2），所以根据点A、C的坐标来求直线AC的函数关系式．解答：解：（1）根据图示，由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴与x轴的交点坐标（1，0）；（2）抛物线的对称轴是直线x=1．根据图示知，当x＜1时，y随x的增大而减小，所以，当x1＜x2＜1时，y1＞y2；（3）∵对称轴是x=1，点B（﹣1，2）在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，∴点C的坐标是（3，2）．设直线AC的关系式为y=kx+b（k≠0）．则，解得．∴直线AC的函数关系式是：y=2x﹣4．点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征．解答该题时，需要熟悉二次函数图象的对称性．。
北京市2020〖人教版〗九年级数学下册复习试卷第二学期3月信息反馈
C B AD (第6题)北京市2020年〖人教版〗九年级数学下册复习试卷第二学期3月信息反馈创作人：百里严守创作日期：202B.03.31 审核人： 北堂本一 创作单位： 雅礼明智德学校一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、﹣3的倒数是（ ）A ．3B ．3-C ．31 D ．31- 2、计算2a a ⨯的结果是（ ）A.aB.2aC.22aD.3a 3、小明、小华分别统计了自己近5次数学测试成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是（ ）A.方差B.平均数C.众数D.中位数4、近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学计数法表示为（ ）A ．5108.1⨯B ．4108.1⨯C ．61018.0⨯D ．41018⨯5、某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ）A ．20%B ．25%C ．50%D ．62.5%6.把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB ＝60°，若量出AD ＝6cm ，则圆形螺母的外直径是（ ）A ．12cmB ．24cmC ．63cmD ．123cm7、将抛物线2y x =向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（ ）（第17题）（第12题） （第16题） A ．1)2(2++=x y B ．1)2(2-+=x y C. 1)2(2+-=x y D ．1)2(2--=x y8、如图，在正五边形ABCDE 中，连接BE ，则∠ABE 的度数为（ ）A ．o 30B ．o 36 C.o 54 D ．o 729、过三点A （2，2），B （6，2），C （4，5）的圆的圆心坐标为（ ） A ．（4，617） B ．（4，3） C.（5，617） D ．（5，3） 10、如图，已知凸五边形ABCDE 的边长均相等，且∠DBE ＝∠ABE +∠CBD ，AC ＝1，则BD 必定满足（ ）A ．BD ＜2B ．BD ＝2C ．BD ＞2 D ．BD ≤2二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．11、若二次根式2-x 有意义，则实数x 的取值范围是．12、一把直尺和一块三角板ABC （含30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D 、点E ，另一边与三角板的两直角边分别交于点F 、点A ，且∠CDE ＝40°，那么∠BAF 的大小为．13、为了了解某班数学成绩情况，抽样调查了13份试卷成绩，结果如下：3个123分，4个118分，1个112分，4个101分，1个70分．则这组数据的中位数为分．14、因式分解：1a 44a 2+-＝．15、若关于x 的方程0c x 6x 2=+-有两个相等的实数根，则c 的值为．16、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为弧BD 的中点．若∠DAB ＝40°，则∠ABC ＝° ．17、已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm （结果保留π）．18、如图，在平面直角坐标系中，经过点A 的双曲线 x k =y （x ＞0）同时经过点B ，且点A 在点B 的左侧， 点A 的横坐标为1，∠AOB ＝∠OBA ＝45°，则k 的值为．三、解答题：本大题共10小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（本题满分5分）计算：3)21(1720+----）（tan30°；20、（本题满分5分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->+x x x x 237121)1(315． 21、（本题满分6分）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛-+111x ÷112-x －()2-x ，其中2=x ．22、（本题满分6分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y （千克），增种．．果树x （棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？ 23、（本题满分8分）．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，PQ 垂直平分BE ，分别交AD 、BE 、BC 于点P 、O 、Q ，连接BP 、EQ ．（1）求证：四边形BPEQ 是菱形；（2）若AB ＝6，F 为AB 的中点，OF +OB ＝9，求菱形BPEQ 周长．24、（本题满分8分）本校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比第18题赛．预赛分别为A 、B 、C 三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？25、（本题满分8分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A 处测得塔杆顶端C 的仰角是55°，沿HA 方向水平前进43米到达山底G 处，在山顶B 处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D （D 、C 、H 在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG 为10米，BG ⊥HG ，CH ⊥AH ，求塔杆CH 的高．（参考数据：tan 55°≈1.4，sin 55°≈0.8） 26、（本题满分10分）如图1，平行四边形OABC 的边OC 在y 轴的正半轴上，OC ＝3，）（1,2A ，反比例函数)0x (xk y >=的图象经过点B ． （ ）1求点B 的坐标和反比例函数的关系式． （ ）2如图2，将线段OA 延长交)0x (x k y >=于点D ，过B ，D 的直线分别交x 轴，y 轴于E ，F 两点，请探究线段ED 与BF 的数量关系，并说明理由．27.（本题满分10分）如图，点D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA ＝∠CB D ．（1）判断直线CD 和⊙O 的位置关系，并说明理由．（2）过点B 作⊙O 的切线BE 交直线CD 于点E ，若AC ＝2，⊙O 的半径是3，求∠BEC 的正切值．28.（本题满分10分）如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线4bx ax y 2++=过点B ，C 两点，且与x 轴的一个交点为D （﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP ＝t （0＜t ＜10）．（1）请直接写出B 、C 两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P 作PE ⊥BC ，交抛物线于点E ，连接BE ，当t 为何值时，∠PBE ＝∠OCD ？（3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM ∥BQ ，交CQ 于点M ，作PN ∥CQ ，交BQ 于点N ，当四边形PMQN 为正方形时，请求出OQ 的长，并直接写出t 的值． ∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．……6分23.解：（1）证明：∵PQ 垂直平分BE ，∴QB ＝QE ，OB ＝OE ，……1分 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠PEO ＝∠QBO ，……2分在△BOQ 与△EOP 中，，∴△BOQ≌△EOP（ASA），∴PE＝QB，……3分又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形，又∵QB＝QE，∴四边形BPEQ是菱形；……4分（2）∵O，F分别为PQ，AB的中点，∴AE＋BE＝2OF＋2OB＝18，……5分设AE＝x，则BE＝18﹣x，在Rt△ABE中，62＋x2＝（18﹣x）2，解得x＝8，BE＝18﹣x＝10，……6分设PE＝y，则AP＝8﹣y，BP＝PE＝y，在Rt△ABP中，62＋（8﹣y）2＝y2，解得y＝，……7分菱形BPEQ周长25……8分24. 解：（1）抽取的学生数：16÷40%＝40（人）；抽取的学生中合格的人数：40﹣12﹣16﹣2＝10，合格所占百分比：10÷40＝25%，优秀人数：12÷40＝30%，如图所示：……3分（2）成绩未达到良好的男生所占比例为：25%＋5%＝30%，∴直线BD的关系式为6F．…7分E，(0,6)y x=-+，易知(6,0)∵22ED=-+=，……9分(64)2222(64)22BF=+-=，22=．……10分∴ED BF27.解：（1）直线CD与⊙O的位置关系是相切．……1分连接OD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠DBA＝90°，……2分∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB＋∠CDA＝90°，……3分∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA＋∠ADO＝90°，即：OD⊥CE，……4分∴直线CD 是⊙O的切线．即：直线CD 与⊙O的位置关系是相切．……5分（2）∵AC＝2，⊙O的半径是3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3，在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD＝4．……6分∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE＝EB，∠CBE＝90°，……7分设DE＝EB＝x，在Rt△CBE中，有勾股定理得：CE2＝BE2＋BC2，则（a＋x）2＝x2＋（5＋3）2，……8分解得：x＝6，即 BE＝6，……9分∴tan∠BEC＝，即：tan∠BEC＝．……10分28.解：（1）在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0可得y＝4，∴C（0，4），……1分∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），∴B（10，4），……2分把B、D坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋x＋4；……3分（2）由题意可设P（t，4），则E（t，﹣ t2＋t＋4），∴PB＝10﹣t，PE＝﹣t2＋t＋4﹣4＝﹣t2＋t，∵∠BPE＝∠COD＝90°，∠PBE＝∠OCD，∴△PBE∽△OCD，……4分∴＝，即BP•OD＝CO•PE，∴2（10﹣t）＝4（﹣t2＋t），……5分解得t＝3或t＝10（不合题意，舍去），∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；……6分（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90°，PM＝PN，∴∠CQO＋∠AQB＝90°，∵∠CQO＋∠OCQ＝90°，∴∠OCQ＝∠AQB，∴Rt△COQ∽Rt△QAB，……7分∴＝，即OQ•AQ＝CO•AB，设OQ＝m，则AQ＝10﹣m，∴m（10﹣m）＝4×4，解得m＝2或m＝8，……8分①当m＝2时， t＝，……9分②当m＝8时， t＝，……10分创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校。
人大附中2020年初三数学3月月考试题
2019-2020学年度第二学期初三年级数学练习22020.3命题人一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个.1．截止到3月26日0时，全球感染新型冠状病毒肺炎的人数已经突破380 000人，“山川异域，风月同天”，携手抗“疫”，刻不容缓. 将380 000用科学记数法表示为A ．60.3810⨯B ．53.810⨯C ．43810⨯D ．63.810⨯2．在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A B C D3．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，如果ab = c 那么实数c 在数轴上的对应点的位置可能是A B C D4．若一个正多边形的每一个外角都是︒40，则这个多边形的边数为A ．6B ．7C ．8D ．9 5．右图是某几何体的三视图，则这个几何体是A ．球B ．圆柱C ．圆锥D ．三棱柱6．如果1a b −=，那么代数式2222(1)b a a a b−⋅+的值是A ．2B ．2−C ．1D ．1−1c 0211c 0211c 0211c 02117．某校交响乐团有90名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表：对于不同的x ，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是 A ．平均数、中位数 B ．平均数、方差 C ．众数、中位数 D ．众数、方差8．小宇设计了一个随机碰撞模拟器：在模拟器中有A ，B ，C 三种型号的小球，它们随机运动，当两个小球相遇时会发生碰撞（不考虑多个小球相撞的情况）. 若相同型号的两个小球发生碰撞，会变成一个C 型小球；若不同型号的两个小球发生碰撞，则会变成另外一种型号的小球，例如，一个A 型小球和一个C 型小球发生碰撞，会变成一个B 型小球. 现在模拟器中有A 型小球12个，B 型小球9个，C 型小球10个，如果经过各种两两碰撞后，最后只剩一个小球. 以下说法： ①最后剩下的小球可能是A 型小球；②最后剩下的小球一定是B 型小球；③最后剩下的小球一定不是C 型小球.其中正确的说法是： A ．①B ．②③C ．③D ．①③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果代数式12x x−的值为0，则x 的值为_____________.10．如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB _____∠COD .11．分解因式：x x 93−=_______________．12．如图，四边形ABCD 是平行四边形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 交于点E ，连接AE ，若∠D = 70°，则∠BAE = °.Dx13．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最有可能是（填写一个你认为正确的序号）．①掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2；②掷一枚硬币，正面朝上；③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球．14．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为 .15．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将矩形ABCD沿AE 所在直线折叠，点D 恰好落在边BC 上的点F 处． 若AB =8，DE =5，则折痕AE 的长为________．16．在□ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是边AD 上的一个动点（与点A ，D不重合），连接EO 并延长，交BC 于点F ，连接BE ，DF . 下列说法： ①对于任意的点E ，四边形BEDF 都是平行四边形；②当90ABC ∠>︒时，至少存在一个点E ，使得四边形BEDF 是矩形；③当AB AD <时，至少存在一个点E ，使得四边形BEDF 是菱形；④当45ADB ∠=︒时，至少存在一个点E ，使得四边形BEDF 是正方形.所有正确说法的序号是_________________.三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）17．计算：012cos302020︒；18．解不等式组：()21,5 1.3x x x x −<⎧⎪⎨−<+⎪⎩19．如图，△ABC 中，AB =BC ，D 在BC 的延长线上，连接AD ，E 为AD 中点.（1）尺规作图：作∠ABC 的平分线，与线段AC 交于点F ，连接EF ； （2）根据（1）中所作的图形，证明：EF ∥BC .20．已知关于x 的方程2420x x m −++=有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）若m 为满足条件的最大整数，求方程的根.21．如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，AB 上的点，且AF AE =，连接并延长EF ，与CB 的延长线交于点G ，连接BD ．（1）求证：四边形EGBD 是平行四边形；（2）连接AG ，若︒=∠30FGB ，2GB AE ==，求AG 的长．BC DG22．某学校初二和初三两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从初二、初三两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a ．初二、初三年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：60x <，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤<）：初二、初三年级学生知识竞赛成绩频数分布直方图b ．初二年级学生知识竞赛成绩在8090x ≤<这一组的数据如下： 80 80 81 83 83 84 84 85 86 87 88 89 89c ．初二、初三学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、方差如下：平均数 中位数 方差 初二年级 80.8 m 96.9 初三年级80.686153.3根据以上信息，回答下列问题：（1）补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图； （2）写出表中m 的值；（3）A 同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前40%，B 同学看到A 同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前50%”. 请判断A 同学是________（填“初二”或“初三”）年级的学生，你判断的理由是________.（4）若成绩在85分及以上为优秀，请估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为____.B A 2520151050频数（学生人数）成绩/分8922133275170≤x<8090≤x≤10080≤x<9060≤x<70x<60初二年级 初三年级23．在平面直角坐标系xOy 中，函数2y x =（0x >）的图象与直线1l ：13y x k =+（0k >）交于点A ，与直线2l ：x k =交于点B ，直线1l 与2l 交于点C . （1）当点A 的横坐标为1时，求此时k 的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数2y x=（0x >）的图象在点A 、B 之间的部分与线段AC ，线段BC① 当3k =② 若区域W 内只有124．某种型号的电热水器工作过程如下：在接通电源以后，从初始温度20℃下加热水箱中的水，当水温达到设定温度60℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到保温温度30℃时，再次自动加热水箱中的水至60℃，加热停止；当水箱中的水温下降到30℃时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循环.小宇根据学习函数的经验，对该型号电热水器水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温y 是时间x 的函数，其中y （单位：℃）表示水箱中水的温度，x （单位：min ）表示接通电源后的时间. 下面是小宇的探究过程，请补充完整：（1）小宇记录了从初始温度20℃第一次加热至设定温度60℃，之后水温冷却至保温温度30℃的过程中，y 随x 的变化情况，如下表所示：① 请写出一个符合加热阶段y 与x 关系的函数解析式______________； ②根据该电热水器的工作特点，当第二次加热至设定温度60℃时，距离接通电源的时间x 为________min.（2）根据上述的表格，小宇画出了当020x ≤≤时的函数图象，请根据该电热水器的工作特点，帮他画出当2040x ≤≤时的函数图象.（3）已知适宜人体沐浴的水温约为35℃-50℃，小宇在上午8点整接通电源，水箱中水温为20℃，热水器开始按上述模式工作，若不考虑其他因素的影响，请问在上午9点30分时，热水器的水温______（填“是”或“否”）适合他沐浴，理由是_________________.25．如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，点C 为BM 上一点，连接AC与⊙O 交于点D ，E 为⊙O 上一点，且满足∠EAC =∠ACB ，连接BD ，BE . （1）求证：2ABE CBD ∠=∠；（2）过点D 作AB 的垂线，垂足为F ，若AE =6，3BF =，求⊙O 的半径长.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：22y x bx c =−++与直线l ：914y x =+交于点A ，且点A 的横坐标为2−． （1）请用b 的代数式表示c .（2）点B 在直线l 上，点B 的横坐标为1−，点C 的坐标为（b ，5）.① 若抛物线M 还过点B ，求该抛物线的解析式.② 若抛物线M 与线段BC 恰有一个交点，直接写出b 的取值范围.MABC27．在矩形ABCD 中，AD AB >，连接AC ，线段AC 绕点A 逆时针90 °旋转得到线段AE ，平移线段AE 得到线段DF （点A 与点D 对应，点E 与点F 对应），连接BF ，分别交AD ，AC 于点G ，M ，连接EF . （1）依题意补全图形.（2）求证：EG ⊥AD .（3）连接EC ，交BF 于点N ，若AB =2，BC =4，设BM =a ，NF =b ，试比较(1)(1)a b ++与9+.备用图D28．对于平面内的点M 和点N ，给出如下定义：点P 为平面内的一点，若点P 使得△PMN 是以∠M 为顶角且∠M 小于90°的等腰三角形，则称点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点.如图，点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点.在平面直角坐标系xOy 中，点O 是坐标原点.（1）已知点A （2，0），在点P 1（0，2），P 2（1，P 3（−1），P 4）中，是点O 关于点A 的锐角等腰点的是___________. （2）已知点B （3，0），点C 在直线2y x b =+上，若点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点，求实数b 的取值范围.（3）点D 是x 轴上的动点，D （,0t ），E （2,0t −），点F （m ，n ）是以D 为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足0n ≥. 直线24y x =−+与x 轴和y 轴分别交于点H ，K ，若线段HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点，请直接写出t 的取值范围.N。
2024北京人大附中初三3月月考数学试卷和答案
2024北京人大附中初三3月月考数 学（时间：120分钟 满分：100分）一、选择题（共16分，每小题2分）1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 长方体B. 三棱柱C. 圆锥D. 圆柱2. 2023年我国规模以上内容创作生产营业收人累计值前三个季度分别约为6500亿元13000亿元，20000亿元，合计约39500亿元．将39500用科学记数法表示应为（ ）A. 239510⨯ B. 43.9510⨯ C. 33.9510⨯ D. 50.39510⨯3. 不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ）A. 23B.34C.25D.354. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若60AOC ∠=︒，40BOE ∠=︒，则DOE ∠的度数为（ ）A.60︒B. 40︒C. 20︒D. 10︒5. 正六边形的外角和是（ ）A. 180︒B. 360︒C. 540︒D. 720︒6. 已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（ ）A. 1- B. 1C. 2D. 37. 如图1是变量y 与变量x 的函数关系的图象，图2是变量z 与变量y 的函数关系的图象，则z 与x 的函数关系的图象可能是（ ）A. B.C. D.8. 如图，正方形边长为a ，点E 是正方形ABCD 内一点，满足90AEB ∠=︒，连接CE ．给出下面四个结论：①AE CE +；②CE ；③BCE ∠的度数最大值为60︒；④当CE a =时，1tan 2ABE ∠=．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）A. ①②B. ①③C. ①④D. ①③④二、填空题（共16分，每小题2分）9. 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是___________．10.分解因式：3a 2﹣12=___．11. 方程322x x=+的解为_______．12. 在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数6y x=的图象经过点(2,)A m 和点(2,)B n -，则m n +=______．13. 如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知路灯高5m PO =，树影3m AC =，树AB 与路灯O 的水平距离 4.5m AP =，则树的高度AB 长是______米．14. 如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，40BAC ∠︒=，则ADC ∠=________°．15. 用一组a ，b ，m 的值说明“若a b <，则ma mb >”是错误的，这组数可以是=a ___________，b =___________，m =___________．16. 从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路3035t ≤≤3540t <≤4045t <≤4550t <≤合计A59151166124500B 5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．三、解答题（共52分）17. 计算：06cos 455(2)+--π-°．18. 解不等式组：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩．19. 已知230x x --=，求代数式(2)(2)(2)x x x x +---的值．20. 如图，在ABC 中， AB AC =．（1）使用直尺和圆规，作AD BC ⊥交BC 于点D （保留作图痕迹）；（2）以D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交AC 于点E ，连接BE ，DE ．①BEC ∠= °；②写出图中一个与CBE ∠相等的角 ．21. 如图，在四边形ABCD 中，90ACB CAD ∠=∠=︒，点E 在BC 上，//,AE DC EF AB ⊥，垂足为F ．（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；（2）若AE 平分4,5,cos 5BAC BE B ∠==，求BF 和AD 的长．22. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2-，与x 轴交于点A ．（1）求该一次函数的表达式及点A 的坐标；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．23. 列方程解应用题无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？24. 如图，AB 是O 的直径，点E 是OB 的中点，过点E 作弦CD AB ⊥，连接AC ，AD ．（1）求证：ACD 是等边三角形；（2）若点F 是AC的中点，过点C 作CG AF ⊥，垂足为点G ．若O 的半径为2，求CG 的长．25. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A 和场景B 下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x 分钟时，在场景A ，B 中的剩余质量分别为1y ，2y （单位：克）．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录1y ，2y 与x 的几组对应值如下：x （分钟）05101520…1y （克）2523.52014.57…2y （克）252015105…（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各组数值所对应的点()1,x y ，()2,x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（2）进一步探究发现，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足二次函数：210.04y x bx c =-++．场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足一次函数2y kx c=+（0k ≠）．则b = ，c = ，k = ；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A ，B 中发挥作用的时间分别为A x ，B x ，则A x B x （填“>”，“=”或“<”）．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线22y ax ax c =-+（0a >）上任意两点．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若11x a =+，22x a =+，比较1y 与2y 的大小，并说明理由；（3）若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，总有12y y <，求m 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．（1）①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；（2）连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，P 是O 外一点，给出如下的定义：若在O 上存在一点T ，使得点P 关于某条过点T 的直线对称后的点Q 在O 上，则称Q 为点P 关于O 的关联点．（1）当点P 在直线2y x =上时，①若点()1,2P ，在点1Q ⎛ ⎝⎭，()20,1Q ，()31,0Q 中，点P 关于O 的关联点是______；②若P 关于O 的关联点Q 存在，求点P 的横坐标p 的取值范围；（2）已知点32,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，动点M 满足1AM ≤，若M 关于O 的关联点N 存在，直接写出MN 的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每小题2分）1. 【答案】A【分析】结合长方体的三视图特征判断即可．【详解】解：∵长方体的三视图都是长方形，三棱柱的三视图中有三角形，圆锥和圆柱的三视图中有圆，∴该几何体符合长方体的三视图特征，故选A ．【点睛】本题考查了三视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图；掌握常见几何体的三视图特征是解题的关键．2. 【答案】B【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：将39500用科学记数法表示应为43.9510⨯．故选：B ．3. 【答案】D【分析】根据概率计算公式进行求解即可．【详解】解：∵不透明的袋子里装有2个红球，3个黄球，∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为33235=+ ；故选：D ．【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．4. 【答案】C【分析】根据对顶角相等可得60BOD ∠=︒，再根据角的和差关系可得答案．【详解】解：60AOC ∠=︒ ，60BOD ∴∠=︒，40BOE ∠=︒ ，∴604020DOE BOD BOE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．5. 【答案】B【分析】根据任何多边形的外角和是360︒即可求出答案．【详解】解：正六边形的外角和是360︒．故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，关键是掌握任何多边形的外角和是360︒，外角和与多边形的边数无关．6. 【答案】B【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据方程有两个相等的实数根，判别式等于0列式求解即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，∴2(2)410a --⨯⨯=，解得：1a =，故选：B ．7. 【答案】D【分析】本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键．由图1可设y kx b =+（k ，b 为常数，且0,0k b <>，由图2可设z my =（m 为常数，0m >），将y kx b =+代入z my =得z mkx mb =+，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断．【详解】解：由图1可设y kx b =+（k ，b 为常数，且0,0k b <>，由图2可设z my =（m 为常数，0m >），将y kx b =+代入z my =得：()z m kx b mkx mb =+=+，z ∴与x 的函数关系为一次函数关系，0k < ，0b >，0m >，0mk ∴<，0mb >，z ∴与x 的函数图象过一、二、四象限．故选：D ．8. 【答案】C【分析】如图所示，连接AC 交BD 于H ，取AB 中点O ，连接OC ，先证明点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动，当A E C 、、三点共线，即点E 运动到点H 时AE CE AC +=， 当C O E 、、三点共线时，CE 有最小值，据此可判断①②；如下图所示，当CE 与O 相切时BCE ∠有最大值，证明Rt Rt OBC OEC △≌△，得到CE BC a ==，OCE OCB ∠=∠，则1tan 2OE OCE CE ==∠，再证明ABE BCO OCE ==∠∠∠，得到1tan tan 2ABE OCE ==∠∠，即可判断③④．【详解】解：如图所示，连接AC 交BD 于H ，取AB 中点O ，连接OC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90AHB ∠=︒；∵90AEB ∠=︒，∴点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动， ∵90AHB ∠=︒，∴点H 在圆O 上，∵AE CE AC +≥==，∴当A E C 、、三点共线，即点E 运动到点H 时，AE CE AC +=，故①正确；∵点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动， ∴当C O E 、、三点共线时，CE 有最小值，在Rt OBC △中，由勾股定理得OC ==，∴CE 12a -=，故②错误；如下图所示，当CE 与O 相切时BCE ∠有最大值，∵OB OE OC OC ==，，∴()Rt Rt HL OBC OEC ≌，∴CE BC a ==，OCE OCB ∠=∠，∴1tan 2OE OCE CE ==∠，∴30OCE ≠︒∠，∴60BCE ≠︒∠，∴BCE ∠的度数最大值不是60︒，故③错误；∵BC EC OB OE ==，，∴OC 垂直平分BE ，∴ABE BOC BOC BCO +=+∠∠∠∠，∴ABE BCO OCE ==∠∠∠，∴1tan tan 2ABE OCE ==∠∠，故④正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查了圆与正方形综合，解直角三角形，勾股定理等等，根据题意得到点E 的运动轨迹是解题的关键．二、填空题（共16分，每小题2分）9. 【答案】1x ≥【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数非负是解决本题的关键．根据二次根式被开方数非负可得10x -≥，解不等式即可．【详解】由题意得：10x -≥，解得：1x ≥，故答案为：1x ≥．10. 【答案】3（a +2）（a ﹣2）【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】3a 2﹣12=3（a 2﹣4）=3（a +2）（a ﹣2）．11. 【答案】4x =【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：()322x x =+，解得：4x =，检验：当4x =时，()20x x +≠，所以4x =是分式方程的解，故答案为：4x =．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12. 【答案】0【分析】将(2,)A m ，(2,)B n -两点代入反比例函数求得m 和n 的值，再计算求值即可；【详解】解：∵点A 和B 在反比例函数图象上，∴632m ==，632n ==--，∴330m n +=-=，故答案为：0；【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的性质，掌握函数图象上的点满足函数关系式是解题关键．13. 【答案】2【分析】由题意知AB PO ∥，得出Rt ABC Rt POC ∽，根据AB AC PO PC=求出AB 的值．【详解】解：由题意知AB PO∥在Rt ABC 和Rt POC △中 C C CAB CPOABC POC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴ Rt ABC Rt POC∽∴AB AC PO PC =∴353 4.5AB =+解得2AB =故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形相似．解题的关键与重点是找出判定三角形相似的条件以及计算三角形的相似比．14. 【答案】50【分析】连接BC ，则由圆周角定理可以得到∠ADC =∠ABC ，再根据直径所对的圆周角是90度，得到∠ACB =90°，再根据∠BAC =40°即可求解.【详解】解：如图所示，连接BC∴∠ADC =∠ABC∵AB 是直径∴∠ACB =90°∵∠BAC =40°∴∠ABC =180°-90°-40°=50°∴∠ADC =∠ABC =50°故答案为：50.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.15. 【答案】 ①. 1 ②. 2 ③. 0【分析】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理证明，而判断一个命题是假命题，只需举反例即可．本题中依据题意选出适当的a 、b 、c 即可，答案不唯一．【详解】解：当1,2,0a b m ===时，满足a b <，而0,0ma mb ==，不满足ma mb >，∴1,2,0a b m ===符合题意．故答案为：1,2,0.16. 【答案】C【分析】样本容量相同，观察统计表，可以看出C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，即可得出结论.【详解】解：样本容量相同，C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，所以其频率也最小，∴乘坐C 线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．故答案为：C.【点睛】考查用频率估计概率，读懂统计表是解题的关键.三、解答题（共52分）17. 【答案】4【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，然后根据实数的计算法则求解即可．【详解】解：06cos 455(2)-+--π-°651=-+-4=．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．18. 【答案】35x <<【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．【详解】解：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩①②，解不等式①得：3x >，解不等式②得：5x <，∴不等式组的解集为35x <<．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．19. 【答案】2【分析】先利用平方差公式，及单项式乘以多项式法则计算得到最简结果，再把已知等式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：(2)(2)(2)x x x x +---，2242x x x =--+，2224x x =--，∵230x x --=，∴23-=x x ． 0∴原式22()42x x =--=．【点睛】此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20. 【答案】（1）见详解 （2）①90；②CAD∠【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理．（1）利用基本作图，作BC 的垂直平分线得到AD ；（2）①根据等腰三角形的性质得到DB DC =，则BC 为D 的直径，然后根据圆周角定理得到90BEC ∠=︒；②先利用AB AC =得到A ABC CB =∠∠，再根据圆周角定理得到90BEC ∠=︒，根据等角的余角相等得到CBE CAD ∠=∠．【小问1详解】如图，AD 即为所作．【小问2详解】①AB AC = ，AD BC ⊥，DB DC ∴=，AD 平分BAC ∠，BC ∴为D 的直径，90BEC ∴∠=︒；②AB AC = ，ABC ACB ∴∠=∠，BC ∴为D 的直径，90BEC ∴∠=︒，AD BC ⊥ ，90CBE BCE ∠+∠=︒ ，90CAD ACD ∠+∠=︒，CBE CAD ∴∠=∠．21. 【答案】（1）见详解；（2）4BF =，3AD =【分析】（1）由题意易得AD ∥CE ，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得EF =CE =AD ，然后由45,cos 5BE B ==可进行求解问题．【详解】（1）证明：∵90ACB CAD ∠=∠=︒，∴AD ∥CE ，∵//AE DC ，∴四边形AECD 是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形AECD 是平行四边形，∴CE AD =，∵EF AB ⊥，AE 平分BAC ∠，90ACB ∠=︒，∴EF CE =，∴EF =CE =AD ，∵45,cos 5BE B ==，∴4cos 545BF BE B =⋅=⨯=，∴3EF ==，∴3AD EF ==．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键．22. 【答案】（1）112y x =-+，(2,0)A （2）4m >-【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．（1）先利用待定系数法求出函数解析式为112y x =-+，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A 点坐标；（2）当函数y x n =+与y 轴的交点在点A （含A 点）上方时，当0x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值．【小问1详解】解： 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(0,1)，(2,2)-，∴122b k b =⎧⎨-+=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，该一次函数的表达式为112y x =-+，令0y =，得1012x =-+，2x ∴=，(2,0)A ∴；【小问2详解】解：当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数(0)y kx b k =+≠的值，1212x m x ∴+>-+，4m ∴>-．23. 【答案】150件【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键．设1名快递员平均每天配送包裹x 件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹5x，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可．【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹x 件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹5x ，依题意可得：60006000254x x+=，解得：150x =．经检验，150x =是原分式方程的解且符合题意．答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．24. 【答案】（1）证明见解析；（2）CG =．【分析】（1）连接OC ，先证明AB 是CD 的垂直平分线，从而求得AC AD =，利用特殊三角函数值判断60COE ∠=︒，则可推得60CAD ∠=︒，利用“有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形”即可得证；（2）先根据()1中的结论及圆周角定理得到30GAC ∠=︒，证明AEC AGC ≌即可得CG CE =，根据勾股定理即可求出直角COE 中CE 的长，即CG 的长．【小问1详解】证：如图，连接OC ，AB 是O 的直径，且CD AB ⊥，CE DE ∴=，BC BD =，BAC BAD ∴∠=∠，AB ∴是CD 的垂直平分线，AC AD ∴=，OC OB = ，点E 是OB 的中点，∴点C 在线段OB 的垂直平分线上，1122OE BE OB OC ===，Rt COE ∴ 中,1cos 2OE COE OC ∠==，即60COE ∠=︒，BC BC =，1302BAD BAC COE ∴∠=∠=∠=︒，即60CAD BAC BAD ∠=∠+∠=︒ACD ∴是等边三角形．【小问2详解】解：由()1得，ACD 是等边三角形，60ADC ∴∠=︒，F 是AC 的中点，12CF AC ∴=，1302GAC ADC BAC ∴∠=∠=︒=∠，CD AB ⊥ ，CG AF ⊥，90AEC AGC ∴∠=∠=︒，在AEC 和AGC 中，AEC AGC GAC EAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEC AGC AAS ∴ ≌，CG CE ∴=，O 半径为2，且点E 是OB 中点，2OC OB ∴==，1OE =，Rt COE ∴中，CE ===，CG CE ∴==【点睛】本题考查的知识点是垂径定理、圆周角定理、垂直平分线的性质、锐角三角函数、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理并能灵活运用特殊三角函数值．25. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A 和场景B 下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x 分钟时，在场景A ，B 中的剩余质量分别为1y ，2y （单位：克）．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录1y ，2y 与x 的几组对应值如下：x （分钟）05101520…1y （克）2523.52014.57…2y （克）252015105…（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各组数值所对应的点()1,x y ，()2,x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（2）进一步探究发现，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足二次函数：210.04y x bx c =-++．场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足一次函数2y kx c =+（0k ≠）．则b = ，c = ，k = ；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A ，B 中发挥作用的时间分别为A x ，B x ，则A x B x （填“>”，“=”或“<”）．【答案】（1）见详解 （2）0.1b =-，25c =，1k =-（3）>【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；（3）依据题意，分别求出当4y =时x 的值，即可得出答案．【小问1详解】解：（1）由题意，作图如下．【小问2详解】解：由题意，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足函数关系210.04y x bx c =-++．又点(0,25)，(10,20)在函数图象上，∴2250.04101020c b c =⎧⎨-⨯++=⎩．解得：0.125b c =-⎧⎨=⎩．∴场景B 函数关系式为210.040.125y x x =--+．对于场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足函数关系2y kx c =+．又(0,25)，(10,15)在函数图象上，∴251015c k c =⎧⎨+=⎩．解得：251c k =⎧⎨=-⎩．∴场景B 函数关系式为225y x =-+．∴0.1b =-，25c =，1k =-．【小问3详解】解：由题意，当4y =时，场景A 中，20.040.1254x x --+=，解得：1221.7x x =≈=，（舍），即：21.7A x ≈，场景B 中，425B x =-+，解得：21B x =，A B x x ∴>．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线22y ax ax c =-+（0a >）上任意两点．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若11x a =+，22x a =+，比较1y 与2y 的大小，并说明理由；（3）若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，总有12y y <，求m 的取值范围．【答案】（1）抛物线的对称轴为直线1x =（2）12y y <（3）1122m -<<【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．（1）利用抛物线对称轴公式求出即可；（2）根据条件点M 、N 都在对称轴右侧，根据函数增减性进行解答即可；（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，分析MN 中点坐标与对称轴的关系得到不等式，解不等式即可得到m 的取值范围．【小问1详解】解：抛物线22y ax ax c =-+（0a >）的对称轴为：212a x a -=-=，∴抛物线的对称轴为直线1x =；【小问2详解】∵0a >，抛物线开口向上，对称轴为直线1x =，121,2x a x a =+=+，∴()11,M x y ，()22,N x y 都在对称轴右侧，∵当1x >时，y 随x 的增大而增大，且12x x <，∴12y y <；【小问3详解】∵11m x m <<+，212m x m +<<+，∴122123222x x m m +++<< ，∵12,0y y a <>，∴()11,M x y 距离对称轴更近，12x x <，则MN 的中点在对称轴的右侧，∴2112m +<，2312m +>，解得：1122m -<<．27. 如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．（1）①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；（2）连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）①见解析；②见解析（2）CF DF=【分析】（1）①根据题意画出图形即可求解；②连接AD ，则AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出BAD ∠=α，90B α∠=︒-，根据90AEF ∠=︒，得出90AFE α∠=︒-，则B AFE ∠=∠；（2）延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，倍长中线法证明HBE FDE ≌，进而证明AHB AFC ≌，即可得证．【小问1详解】解：①如图所示，②连接AD ，∵AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，∵()24590BAC αα∠=︒<<︒∴BAD ∠=α，90B α∠=︒-，∵EF AE ⊥，∴90AEF ∠=︒，90AFE α∠=︒-，∴B AFE ∠=∠；【小问2详解】CF DF =；证明如下，延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，∵E 为BD 的中点，E 为HF 的中点∴,EH EF EB ED ==，又HEB FED ∠=∠，∴HBE FDE≌()SAS ，∴BH FD =，∵AE HF ⊥，EH EF =，∴AHF △是等腰三角形，则AH AF =，HAE FAE α∠=∠=，，∵2BAC HAF α∠=∠=，∴HAF BAF BAC BAF ∠-∠=∠-∠，即BAH CAF ∠=∠，∴AHB AFC≌()SAS ，∴CF BH =，∴CF FD =．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，P 是O 外一点，给出如下的定义：若在O 上存在一点T ，使得点P 关于某条过点T 的直线对称后的点Q 在O 上，则称Q 为点P 关于O 的关联点．（1）当点P 在直线2y x =上时，①若点()1,2P ，在点1Q ⎛⎝⎭，()20,1Q ，()31,0Q 中，点P 关于O 的关联点是______；②若P 关于O 的关联点Q 存在，求点P 的横坐标p 的取值范围；（2）已知点32,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，动点M 满足1AM ≤，若M 关于O 的关联点N 存在，直接写出MN 的取值范围．【答案】（1）①1Q ，2Q ；②p ≤≤（2）存在，14MN ≤≤【分析】（1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解；②设2y x =与O 交于点M N ，，过点,N P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,A B ，根据勾股定理得出221x y +=，联立直线解析式，得出交点坐标，进而根据平行线分线段成比例得出p =同理可得p 的最小值为，即可求解；（2）依题意，关于O 的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得MN 的最值，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，1PQ 连线的中点在O 的内部， 2PQ 的中点的纵坐标为1，则点2,P Q 关于1y =对称点P 关于O 的关联点是1Q ，2Q ，故答案为：1Q ，2Q ．②如图所示，设2y x =与O 交于点M N ，，过点,N P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,A B ，∵设O 上的点的坐标为(),x y ，则221x y +=，联立2212x y y x⎧+=⎨=⎩解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当P 点的对称点为M 时，点P 的横坐标最大，∵1,123ON OP ==+=,NA PB ∥，∴NPx ON OP x =,∴p =同理可得p的最小值为∴p ≤≤【小问2详解】解：依题意，关于O 的关联点在半径为3的圆内，如图所示，∵1AM ≤，则M 在半径为1的A 上以及圆内，M 关于O 的关联点N∴MN 的最大值为314OM ON +=+=，如图所示，当M 在线段OA 上时，MN 取最小值，∵52OA ==∴511122MT OM OT OA AM OT =-=--=--=∴21MN MT ==∴14MN ≤≤【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系求最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
精品解析：北京市海淀区中国人民大学附属中学2019-2020学年九年级月考数学试题(解析版)
北京市海淀区中国人民大学附属中学2019-2020学年九年级月考数学试题一.选择题1.我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．故选B ．点睛：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.二次函数2y x =的图象向左平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（）A.22y x =+ B.22y x =-C.2(2)y x =+ D.2(2)y x =-【答案】C【解析】【分析】根据向左平移横坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵二次函数2y x =的图象向左平移2个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，0），∴新的图象的二次函数表达式是：2(2)y x =+；故选择：C.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．3.在△ABC 中，∠C＝90°，以点B 为圆心，以BC 长为半径作圆，点A 与该圆的位置关系为（）A.点A 在圆外B.点A 在圆内C.点A 在圆上D.无法确定【答案】A【解析】∵△ABC 中，∠C＝90°，∴BC<AB ，∵⊙B 的半径为BC，∴点A 在⊙B 外，故选A.4.抛物线y ＝2x 2+4x ﹣4的对称轴是()A.直线x ＝﹣1B.直线x ＝1C.直线x ＝2D.直线x ＝﹣2【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的对称轴公式直接解答即可.【详解】解：y ＝2x 2+4x ﹣4中，∵a ＝2，b ＝4，c ＝﹣4，∴对称轴为：x ＝﹣2b a ＝﹣422⨯＝﹣1.故选：A.【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，熟练掌握对称轴的公式x ＝﹣2b a 是解题的关键.5.如图，在⊙O 中，点C 是»AB 上一点，若∠AOB ＝126°，则∠C 的度数为()A.127°B.117°C.63°D.54°【答案】B【解析】【分析】作圆周角∠ADB，使D在优弧上，根据圆周角定理求出∠D的度数，再根据圆内接四边形性质求出∠C即可.【详解】解：如图：作圆周角∠ADB，使D在优弧上，∵∠AOB＝126°，∴∠D＝12∠AOB＝63°，∵∠ACB+∠D＝180°，∴∠ACB＝180°﹣63°＝117°，故选：B.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，灵活的将数形结合是解题的关键.6.二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是（）A.﹣3＜x ＜0B.x ＜﹣3或x ＞0C.x ＜﹣3D.0＜x ＜3【答案】A【解析】【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x 的取值范围即可．【详解】由图可知，﹣3＜x＜0时二次函数图象在一次函数图象上方，所以，满足ax 2+bx+c＞mx+n 的x 的取值范围是﹣3＜x＜0．故选A．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，数形结合准确识图是解题的关键．7.如图，以AB 为直径的⊙O 与弦CD 相交于点E ，且AC ＝2，AE CE ＝1，则弧BD 的长是()A.39B.239C.33D.233π【答案】B【解析】【分析】连接OC ，先根据勾股定理逆定理判断出△ACE 的形状，再由垂径定理得出CE ＝DE ，故 BCBD =，由锐角三角函数的定义求出∠A 的度数，故可得出∠BOC 的度数，求出OC 的长，再根据弧长公式即可得出结论．【详解】连接OC ．∵△ACE 中，AC ＝2，AE =CE ＝1，∴AE 2+CE 2＝AC 2，∴△ACE 是直角三角形，即AE ⊥CD ．∵sin A 12CE AC ==，∴∠A ＝30°，∴∠COE ＝60°，∴CE OC =sin ∠COE ，即12OC =，解得：OC 3=．∵AE ⊥CD ，∴ BC BD =，∴ 2360π31809BD BC ⨯===．故选B ．【点睛】本题考查了垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．8.已知一个二次函数图象经过P 1（﹣3，y 1），P 2（﹣1，y 2），P 3（1，y 3），P 4（3，y 4）四点，若y 3＜y 2＜y 4，则y 1，y 2，y 3，y 4的最值情况是（）A.y 3最小，y 1最大B.y 3最小，y 4最大C.y 1最小，y 4最大D.无法确定【答案】A【解析】【分析】根据题意判定抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．【详解】∵二次函数图象经过P 1（-3，y 1），P 2（-1，y 2），P 3（1，y 3），P 4（3，y 4）四点，且y 3＜y 2＜y 4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，∴P 1（-3，y 1）离对称轴的距离最大，P 3（1，y 3）离对称轴距离最小，∴y 3最小，y 1最大，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判定对称轴的位置是解题的关键．二.填空题9.点（2，－3）关于原点对称点P′的坐标为.【答案】（－2,3）【解析】试题分析：两点关于原点对称，则两点的横纵坐标分别互为相反数.考点：点关于原点对称.10.请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为(0,2)的抛物线的表达式：_____________．【答案】22y x =-+(答案不唯一)【解析】【分析】把（0,2）作为抛物线的顶点，令a=-1，然后利用顶点式写出满足条件的抛物线解析式．【详解】解：因为抛物线的开口向下，则可设a=-1，又因为抛物线与y 轴的交点坐标为（0,2），则可设顶点为（0,2），所以此时抛物线的解析式为y=-x 2+2．故答案为y=-x 2+2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式.11.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点．若∠B ＝110°，则∠ADE 的度数为_____．【答案】110°．【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质即可求解.【详解】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，且∠B ＝110°∴∠ADE=∠B ＝110°故填：110°.【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.12.在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2的图象经过点M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，若﹣2＜x1＜0，2＜x2＜4，则y1_____y2.(用“＜”、“＝”或“＞”号连接)【答案】＜【解析】【分析】根据二次函数的性质即可求解.【详解】解：由y＝x2可知，∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵﹣2＜x1＜0，2＜x2＜4，∴0＜﹣x1＜2＜x2，∴y1＜y2.故答案为＜.【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练利用二次函数的增减性比较函数值的大小是解题的关键.13.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP=8，则△PDE的周长为__________．【答案】16【解析】解：∵DA、DC、EB、EC分别是⊙O的切线，∴DA=DC，EB=EC，∴DE=DA+EB，∴PD+PE+DE=PD+DA+PE+BE=PA+PB．∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴PA=PB=8，∴△PDE的周长=16．故答案为16．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：______．【答案】△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB（答案不唯一）．【解析】【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．【详解】解：△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB（答案不唯一）．故答案为△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB．【点睛】考查了坐标与图形变化-旋转，平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y＜0的x的值_____．【答案】2（答案不唯一）【解析】【分析】写出函数图象x轴下方部分的x的取值范围即可．【详解】解：由图可知，1＜x＜3时，y＜0．故答案为2．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．16.如图，⊙O 的动弦AB ，CD 相交于点E ，且AB CD =，BED α∠=(090)α︒<<︒．在①BOD α∠=，②90OAB α∠=︒-，③12ABC α∠=中，一定成立的是____________（填序号）．【答案】①③【解析】【分析】根据AB=CD 证明 AC BD =,得∠ABC=∠BCD,再根据圆周角定理及推论即可得出结论.【详解】解:∵AB=CD,∴ AB CD =,∴ AB BC CD BC -=-,即 AC BD =,∴∠ABC=∠BCD=12∠BOD,∴∠BED=∠ABC+∠BCD=2×12∠BOD=∠BOD,∵BED α∠=,∴BOD α∠=,故①正确;②无法证明;∵∠ABC=12∠BOD,∴∠ABC=12 α,故③成立,综上,答案为①③.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．三.解答题17.如图，∠DAB ＝∠EAC ，AB ＝AD ，AC ＝AE.求证：BC ＝DE.【答案】证明见解析.【解析】【分析】求出∠DAE ＝∠BAC ，根据SAS 推出△BAC ≌△DAE ，根据全等三角形的性质得出即可.【详解】证明：∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAB+∠BAE ＝∠EAC+∠BAE ，∴∠DAE ＝∠BAC ，在△BAC 和△DAE 中，AB ADBAC DAE AC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAC ≌△DAE ，∴BC ＝DE.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活利用题中条件证全等是解题的关键.18.已知一抛物线过点(﹣3，0)、(﹣2，﹣6)，且对称轴是x ＝﹣1.求该抛物线的解析式.【答案】y ＝2x 2+4x ﹣6【解析】【分析】先利用对称性得到抛物线与x轴另一交点是(1，0)，则可设交点式y＝a(x+3)(x﹣1)，然后把(﹣2，﹣6)代入求出a的值即可.【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，抛物线过点(﹣3，0)∴抛物线与x轴另一交点是(1，0)，设抛物线的解析式为y＝a(x+3)(x﹣1)，把(﹣2，﹣6)代入得﹣6＝a•(﹣2+3)•(﹣2﹣1)，解得a＝2，∴抛物线解析式为y＝2(x+3)(x﹣1)，即y＝2x2+4x﹣6.【点睛】本题考查了抛物线的解析式，利用题中所给的点坐标选择合适的解析式的设法是解题的关键，表达形式有一般式、交点式、顶点式.19.已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣2﹣102…y…﹣3﹣4﹣35…(1)求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标；(2)求出该函数图象与x轴的交点坐标.【答案】(1)y＝x2+2x﹣3，顶点坐标为(﹣1，﹣4)；(2)与x轴的交点坐标为(﹣3，0)，(1，0).【解析】【分析】(1)由待定系数法即可得出答案；(2)求出y＝0时x的值，即可得出答案.【详解】解：(1)由题意，得c＝﹣3.将点(2，5)，(﹣1，﹣4)代入，得423534 a ba b+-=⎧⎨--=-⎩解得12 ab=⎧⎨=⎩∴y＝x2+2x﹣3.顶点坐标为(﹣1，﹣4).(2)当y＝0时，x2+2x﹣3=0，解得：x＝﹣3或x＝1，∴函数图象与x轴的交点坐标为(﹣3，0)，(1，0).【点睛】本题考查了二次函数的解析式及与x轴的交点，熟练掌握待定系数法求二次函数表达式是解题的关键.20.下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程已知：⊙O求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD的夹角为60°．作法：如图①作⊙O的直径AC；②以点A为圆心，AO长为半径画弧，交直线AC上方的圆弧于点B；③连接BO并延长交⊙O于点D；所以四边形ABCD就是所求作的矩形.根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：∵点A，C都在⊙O上，∴OA=OC同理OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°（）（填推理的依据）∴四边形ABCD是矩形∵AB==BO，∴四边形ABCD四所求作的矩形【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据要求作图即可得；（2）根据圆周角定理推论及圆的性质求解可得．【详解】（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；（2）证明：∵点A，C都在⊙O上，∴OA=OC同理OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°（直径所对圆周角是直角）∴四边形ABCD是矩形∵AB=AO=BO，∴四边形ABCD即为所求作的矩形，故答案为直径所对圆周角是直角，AO．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆周角定理和圆的性质．21.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD外角∠DAF的平分线.(1)求证：AM是⊙O的切线.(2)若C是优弧ABD的中点，AD＝4，射线CO与AM交于N点，求ON的长.【答案】(1)证明见解析；(2)ON＝3.【解析】【分析】(1)根据垂径定理得到AB垂直平分CD，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，得到∠BAD＝12∠CAD，由AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，得到∠DAM＝12∠FAD，于是得到结论；(2)证明△ACD是等边三角形，得到CD＝AD＝4，根据直角三角形的性质即可得到结论.【详解】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠BAD＝12∠CAD，∵AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，∴∠DAM＝12∠FAD，∴∠BAM＝12(∠CAD+∠FAD)＝90°，∴AB⊥AM，∴AM是⊙O的切线；(2)解：∵AC＝AD，C是优弧ABD的中点，∴AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴CD ＝AD ＝4，60CAD ACD ︒∠=∠=由（1）知AB 垂直平分CD ，则AB 平分CAD ∠∴CE ＝DE ＝2，1302CAE CAD ︒∠=∠=OC OA= 30ACO CAE ︒∴∠=∠=30OCE ACD ACO ︒∴∠=∠-∠=在Rt OCE 中，设OC x =，则12OE x =根据勾股定理得222OE CE OC +=，即2221()22x x+=解得3x =∴OC ＝OA ＝3，∵∠ANO ＝∠OCE ＝30°，∴ON ＝2OA ＝3.【点睛】本题是圆与三角形的综合题，涉及的知识点主要有切线的判定、垂径定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形30度角的性质，灵活利用圆与三角形的相关性质是解题的关键.22.生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O 为圆心AB 为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A 到顶棚的距离为0.8a ，顶棚到路面的距离是3.2a ，点B 到路面的距离为2a ．请你求出路面的宽度l ．（用含a 的式子表示）【答案】42a 【解析】【分析】连接OC,由题意知AB 6a =,OC OB 3a,OE a ===,AB CD ⊥于E ，根据勾股定理可求出CE 的值,即可求出CD 的值.【详解】解：如图，连接OC ．由题意知0.8 3.226AB a a a a =++=．3OC OB a ∴==．OE OB BE a ∴=-=．由题意可知AB CD ⊥于E ，∴2CD CE=.在Rt OCE中，CE===．CD∴=．【点睛】本题考查通过建模把实际问题转化为数学模型，这充分体现了数学的实用性．23.有这样一个问题：探究函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的图象与性质.小东对函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完成：(1)函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的自变量x的取值范围是_______；(2)下表是y与x的几组对应值.x…﹣2﹣10123456…y…m﹣24﹣600062460…①m＝_____；②若M(﹣7，﹣720)，N(n，720)为该函数图象上的两点，则n＝_____；(3)在平面直角坐标系xOy中，A(x A，y A)，B(x B，﹣y A)为该函数图象上的两点，且A为2≤x≤3范围内的最低点，A点的位置如图所示.①标出点B的位置；②画出函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)(0≤x≤4)的图象.③写出直线y＝12x﹣1与②中你画出图象的交点的横坐标之和为______.【答案】(1)全体实数；(2)①-60；②11；(3)①见解析；②见解析；③0.【解析】【分析】(1)函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的自变量x的取值范围是全体实数；(2)①把x＝﹣2代入函数解析式可求得m的值；②观察给定表格中的数据可发现函数图象上的点关于点(2，0)对称，再根据点M、N的坐标即可求出n值；(3)①找出点A关于点(2，0)对称的点B1，再找出与点B1纵坐标相等的B2点；②根据表格描点、连线即可得出函数图象；③根据图象的性质以及直线的性质即可求得.【详解】解：（1）x取任何数都可以，因此函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)的自变量x的取值范围是全体实数（2）①当x＝﹣2时，y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)＝﹣60.故答案为：﹣60.②观察表格中的数据可得出函数图象关于点(2，0)中心对称，∴﹣7+n＝2×2，解得：n＝11.故答案为：11.(3)①作点A关于点(2，0)的对称点B1，再在函数图象上找与点B1纵坐标相等的B2点.②根据表格描点、连线，画出图形如图所示.③函数图象关于点(2，0)中心对称，且直线y＝12x﹣1经过此点，∴直线y＝12x﹣1与图象的交点的纵坐标化为相反数，∴交点的纵坐标之和为0，故答案为0.【点睛】本题考查了函数的三种表示，列表法、图像法、解析式，熟练掌握这三者间的联系是解题的关键.24.已知直线l：y=12x+1与抛物线y＝ax2﹣2x+c(a＞0)的一个公共点A恰好在x轴上，点B(4，m)在抛物线上.(Ⅰ)用含a的代数式表示c.(Ⅱ)抛物线在A，B之间的部分(不包含点A，B)记为图形G，请结合函数图象解答：若图形G在直线l下方，求a的取值范围.【答案】(Ⅰ)c＝﹣4a﹣4；(Ⅱ)0＜a≤5 4.【解析】【分析】(1)先利用一次函数解析式求出A点坐标为(﹣2，0)，然后把A点坐标代入抛物线解析式即可得到a与c的关系式；(2)先分别计算出x＝4时所对应的一次函数值和二次函数值，然后利用图形G在直线l下方得到12﹣12a≤3，然后解不等式即可.【详解】解：(Ⅰ)当y＝0时，12x+1＝0，解得x＝﹣2，则A点坐标为(﹣2，0)，把A(﹣2，0)代入y＝ax2﹣2x+c得4a+4+c＝0，所以c＝﹣4a﹣4；(Ⅱ)当x＝4时，y＝ax2﹣2x+c＝16a﹣8﹣4a﹣4＝12a﹣12，则B(4，12a﹣12)，当x＝4时，y＝12x+1＝3，因为图形G在直线l下方，所以12﹣12a≤3，解得a≤5 4，所以a的取值范围为0＜a≤5 4.【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合，灵活的将函数图像与其解析式相结合是解题的关键. 25.如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α（0°＜α＜60°且α≠30°）.（1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系.【答案】（1）①602α︒+；，理由见解析【解析】【分析】（1）当0°＜α＜30°时，由∠BQE=60°+2α可得∠QEC=120°+α，再利用△QAF≌△QEC可得QF=QC，由等腰三角形三线合一的性质可得∠ACQ=30°，得到△QCF为等腰三角形，再利用解直角三角形即可得出结果;(2)由旋转的性质可得线段CE，AC，CQ 之间的数量关系.【详解】①画出的图形如图9所示．∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC=60°．∵CD 为等边三角形的中线，Q 为线段CD 上的点，由等边三角形的对称性得QA=QB．∵∠DAQ=α，∴∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．∵线段QE 为线段QA 绕点Q 顺时针旋转所得，∴QE =QA．∴QB=QE．可得1802BQE QBE ∠=︒-∠()180260602αα=︒-︒-=︒+．②CE AC +=．证法一：如图10，延长CA 到点F，使得AF=CE，连接QF，作QH⊥AC 于点H．∵∠BQE=60°+2α，点E 在BC 上，∴∠QEC=∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+(60°-α)=120°+α．∵点F 在CA 的延长线上，∠DAQ=α，∴∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α．∴∠QAF=∠QEC．又∵AF =CE，QA=QE，∴△QAF≌△QEC．∴QF=QC．∵QH⊥AC 于点H，∴FH=CH，CF=2CH．∵在等边三角形ABC 中，CD 为中线，点Q 在CD 上，∴∠ACQ=12ACB ∠=30°，即△QCF 为底角为30°的等腰三角形．∴3cos cos302CH CQ HCQ CQ CQ =⋅∠=⋅︒=．∴CE AC AF AC CF +=+=23CH CQ ==．即3CE AC CQ +=．思路二：如图11，延长CB 到点G，使得BG=CE，连接QG，可得△QBG≌△QEC，△QCG 为底角为30°的等腰三角形，与证法一同理可得CE AC BG BC CG +=+=3CQ =．（2）如图12，当30°＜α＜60°时，3AC CE CQ -=．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质及特殊的三角函数值等知识点，本题综合性较强，有一定的难度.26.在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若P′为直线PC 与⊙C 的一个交点，满足r≤PP′≤2r ，则称P′为点P 关于⊙C 的限距点，如图为点P 及其关于⊙C 的限距点P′的示意图.(1)当⊙O 的半径为1时.①分别判断点M(3，4)，N(52，0)，T(12)关于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；②点D 的坐标为(2，0)，DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△DEF 的边上.若点P 关于⊙O 的限距点P′存在，求点P′的横坐标的取值范围；(2)保持(1)中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E→F→D→E 的方向运动，⊙C 的圆心C 的坐标为(1，0)，半径为r ，请从下面两个问题中任选一个作答.问题1：若点P 关于⊙C 的限距点P′存在，且P′随点P 的运动所形成的路径长为πr ，则r 的最小值为__________.问题2：若点P 关于⊙C 的限距点P′不存在，则r 的取值范围为_________.【答案】(1)①点M 、点T 关于⊙O 的限距点不存在，点N 关于⊙0的限距点存在，坐标为(1，0)；②﹣1≤x≤﹣12或x ＝1；(2)问题1：9；问题2：0＜r ＜16.【解析】【分析】(1)①根据限距点的定义即可判断.②分三种情形：①当点P 在线段EF 上时，②当点P 在线段DE 、DF(不包括端点)上时，③当点P 与点D 重合时，分别说明即可解决问题.(2)问题1：如图2中，△PP′C 是等边三角形，点P 在PP′上运动时，有限距点，列出不等式即可解决.问题2：如图2中，当点H 不存在限距点时，点P 就不存在限距点，列出不等式即可解决.【详解】解：(1)①如图M(3，4)，N(52，0)，T(1，)55,,2MO NO TO ∴=====当⊙O 的半径为1时即1,22r r =='15142MM MO =-=-=>，点M 的限距点不存在；'111TT TO =-=<，点T 的限距点不存在；'511 1.52NN NO =-=-=，1 1.52<<，点N 的限距点存在即为'(1,0)N 所以点M 、点T 关于⊙O 的限距点不存在，点N 关于⊙O 的限距点存在，坐标为(1，0).②∵点D 坐标为(2，0)，⊙O 半径为1，DE 、DF 分别切⊙O 于E 、F ，2,1,90OD OE OED ︒∴==∠=1cos 2OEEOD OD ∴∠==60EOD ︒∴∠=13cos 60,sin 6022OG OE EG OE ︒︒∴==== 1(,22E ∴由对称可得F(12，﹣2)∴切点坐标为(12，2)，(12，﹣2)，如图所示，不妨设点E(12，2)，点F(12，﹣2)，EO 、FO 的延长线分别交⊙O 于点E′、F′，则E′(﹣12，﹣32)，F′(﹣12，32).设点P 关于⊙O 的限距点的横坐标为x ，①当点P 在线段EF 上时，直线PO 与⊙O 的交点P′满足1≤PP′≤2，故点P 关于⊙O 的限距点存在，其横坐标x 满足﹣1≤x≤﹣12.②当点P 在线段DE 、DF(不包括端点)上时，直线PO 与⊙O 的交点P′满足0＜PP′＜1或2＜PP′＜3，故点P 关于⊙O 的限距点不存在.③当点P 与点D 重合时，直线PO 与⊙O 的交点P′(1，0)，满足PP′＝1，故点P 关于⊙O 的限距点存在，其横坐标x ＝1.综上所述点P 关于⊙O 的限距点的横坐标x 的范围为﹣1≤x≤﹣12或x ＝1.(2)问题1：如图中，∵△DEF是等边三角形，点C是△DEF的外接圆的圆心，∵若点P关于⊙C的限距点P′存在，且P′随点P的运动所形成的路径长为πr，∴图中△PP′C是等边三角形，点P在PP′上运动时，有限距点，∵PC∥ED，∴PCED＝CHHD＝13，∴PC＝3 3，由题意：r≤33﹣r≤2r，∴33 96r ，∴r的最小值为3 9 .问题2：如图中，当点H不存在限距点时，点P就不存在限距点，∵HC＝1 2，∴12﹣r＞2r，∴r＜1 6，∴0＜r＜16时点P的限距点不存在.故答案分别为39，0＜r＜16.【点睛】本题考查了圆与三角形的综合，且是知识迁移创新题，正确理解限距点的定义是解题的关键.。
北京市2020〖人教版〗九年级数学下册期末试卷第一次月考数学试卷
北京市2020年〖人教版〗九年级数学下册期末试卷第一次月考数学试卷创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，每小题只有一个选项符合题意）1．﹣的相反数是（）A．5 B．C．﹣D．﹣52．如图，立体图形的左视图是（）A．B．C．D．3．地球绕太阳每小时转动经过的路程约为110000米，将110000用科学记数法表示为（）A．11×104B．0.11×107C．1.1×106D．1.1×1054．今年4月，全国山地越野车大赛在我市某区举行，其中8名选手某项得分如表：得分 80 85 87 90人数 1 3 2 2则这8名选手得分的众数、中位数分别是（）A．85、85 B．87、85 C．85、86 D．85、875．把代数式3x3﹣12x2+12x分解因式，结果正确的是（）A．3x（x2﹣4x+4）B．3x（x﹣4）2C．3x（x+2）（x﹣2）D．3x（x﹣2）2 6．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，2）B．（1，1）C．（，）D．（2，1）7．如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（）A．231πB．210πC．190πD．171π8．在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），规定运算：①A⊕B=（x1+x2，y1+y2）；②A⊗B=x1x2+y1y2；③当x1=x2且y1=y2时，A=B，有下列四个命题：（1）若A（1，2），B（2，﹣1），则A⊕B=（3，1），A⊗B=0；（2）若A⊕B=B⊕C，则A=C；（3）若A⊗B=B⊗C，则A=C；（4）对任意点A、B、C，均有（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）成立，其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．一元一次不等式组的解集是．10．如图，AB∥CD，AD与BC交于点E．若∠B=35°，∠D=45°，则∠AEC=．11．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是．12．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若PE=3，则点P到AD的距离为．13．某楼盘房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为．14．如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E．若⊙O的半径为2，则CF=．15．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB．若C（，），则该一次函数的解析式为．16．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；② =；③DP2=PH•PB；④ =．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题（共8小题，满分72分）17．（1）计算：（﹣）0﹣|﹣3|+（﹣1）+（）﹣1（2）化简：（﹣）÷．18．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．19．为进一步增强学生体质，据悉，我市从起，中考体育测试将进行改革，实行必测项目和选测项目相结合的方式．必测项目有三项：立定跳远、坐位体前屈、跑步；选测项目：在篮球（记为X1）、排球（记为X2）、足球（记为X3）中任选一项．（1）每位考生将有种选择方案；（2）用画树状图或列表的方法求小颖和小华将选择同种方案的概率．20．列方程或方程组解应用题：近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元．求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元？21．如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（+l）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号）22．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A（﹣3，），AB=1，AD=2．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；（2）将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A、C恰好同时落在反比例函数y=（x＞0）的图象上，得矩形A′B′C′D′．求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式．23．如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的长．24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别相交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P．（1）求抛物线的解析式；（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，每小题只有一个选项符合题意）1．﹣的相反数是（）A．5 B．C．﹣D．﹣5【考点】相反数．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：﹣的相反数是，故选B．2．如图，立体图形的左视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【解答】解：从左面看易得图形呈：“日“字形．故选A．3．地球绕太阳每小时转动经过的路程约为110000米，将110000用科学记数法表示为（）A．11×104B．0.11×107C．1.1×106D．1.1×105【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：110000=1.1×105，故选：D．4．今年4月，全国山地越野车大赛在我市某区举行，其中8名选手某项得分如表：得分 80 85 87 90人数 1 3 2 2则这8名选手得分的众数、中位数分别是（）A．85、85 B．87、85 C．85、86 D．85、87【考点】众数；中位数．【分析】由表可知，得分80的有1人，得分85的有3人，得分87的有2人，得分90的有2人．再根据众数和平均数概念求解；【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，∴众数是85；把数据按从小到大顺序排列，可得中位数=（85+87）÷2=86；故选C．5．把代数式3x3﹣12x2+12x分解因式，结果正确的是（）A．3x（x2﹣4x+4）B．3x（x﹣4）2C．3x（x+2）（x﹣2）D．3x（x﹣2）2【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=3x（x2﹣4x+4）=3x（x﹣2）2，故选D．6．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，2）B．（1，1）C．（，）D．（2，1）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可．【解答】解：∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD 是位似图形，点B的坐标为（1，0），∴BO=1，则AO=AB=，∴A（，），∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，∴点C的坐标为：（1，1）．故选：B．7．如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（）A．231πB．210πC．190πD．171π【考点】规律型：图形的变化类．【分析】根据题意分别表示出各圆环的面积，进而求出它们的和即可．【解答】解：由题意可得：阴影部分的面积和为：π（22﹣12）+π（42﹣32）+π（62﹣52）+…+π=3π+7π+11π+15π+ (39)=5（3π+39π）=210π．故选：B．8．在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），规定运算：①A⊕B=（x1+x2，y1+y2）；②A⊗B=x1x2+y1y2；③当x1=x2且y1=y2时，A=B，有下列四个命题：（1）若A（1，2），B（2，﹣1），则A⊕B=（3，1），A⊗B=0；（2）若A⊕B=B⊕C，则A=C；（3）若A⊗B=B⊗C，则A=C；（4）对任意点A、B、C，均有（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）成立，其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题与定理；点的坐标．【分析】（1）根据新定义可计算出A⊕B=（3，1），A⊗B=0；（2）设C（x3，y3），根据新定义得A⊕B=（x1+x2，y1+y2），B⊕C=（x2+x3，y2+y3），则x1+x2=x2+x3，y1+y2=y2+y3，于是得到x1=x3，y1=y3，然后根据新定义即可得到A=C；（3）由于A⊗B=x1x2+y1y2，B⊗C=x2x3+y2y3，则x1x2+y1y2=x2x3+y2y3，不能得到x1=x3，y1=y3，所以A≠C；（4）根据新定义可得（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）=（x1+x2+x3，y1+y2+y3）．【解答】解：（1）A⊕B=（1+2，2﹣1）=（3，1），A⊗B=1×2+2×（﹣1）=0，所以（1）正确；（2）设C（x3，y3），A⊕B=（x1+x2，y1+y2），B⊕C=（x2+x3，y2+y3），而A⊕B=B⊕C，所以x1+x2=x2+x3，y1+y2=y2+y3，则x1=x3，y1=y3，所以A=C，所以（2）正确；（3）A⊗B=x1x2+y1y2，B⊗C=x2x3+y2y3，而A⊗B=B⊗C，则x1x2+y1y2=x2x3+y2y3，不能得到x1=x3，y1=y3，所以A≠C，所以（3）不正确；（4）因为（A⊕B）⊕C=（x1+x2+x3，y1+y2+y3），A⊕（B⊕C）=（x1+x2+x3，y1+y2+y3），所以（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C），所以（4）正确．故选C．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．一元一次不等式组的解集是x＞．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x≥﹣2；由②得：x＞，则不等式组的解集为x＞，故答案为：x＞．10．如图，AB∥CD，AD与BC交于点E．若∠B=35°，∠D=45°，则∠AEC=80°．【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．【分析】先利用平行线的性质易得∠D=45°，再利用三角形外角的性质得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，∠B=35°，∴∠C=35°，∵∠D=45°，∴∠AEC=∠C+∠D=35°+45°=80°，故答案为：80°．11．关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是m＞．【考点】根的判别式．【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．【解答】解：根据方程没有实数根，得到△=b2﹣4ac=1﹣4m＜0，解得：m＞．故答案为：m＞．12．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若PE=3，则点P到AD的距离为3．【考点】角平分线的性质；菱形的性质．【分析】作PF⊥AD于D，如图，根据菱形的性质得AC平分∠BAD，然后根据角平分线的性质得PF=PE=3．【解答】解：作PF⊥AD于D，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AC平分∠BAD，∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴PF=PE=3，即点P到AD的距离为3．故答案为：3．13．某楼盘房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为8100×（1﹣x）2=7600．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】该楼盘这两年房价平均降低率为x，则第一次降价后的单价是原价的1﹣x，第二次降价后的单价是原价的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．【解答】解：设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意列方程得：8100×（1﹣x）2=7600，故答案为：8100×（1﹣x）2=7600．14．如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E．若⊙O的半径为2，则CF=2．【考点】切线的性质；含30度角的直角三角形；垂径定理．【分析】连接OC，由DC切⊙O于点C，得到∠OCD=90°，由于BD=OB，得到OB=OD，根据直角三角形的性质得出∠D=30°，∠COD=60°，根据垂径定理即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵DC切⊙O于点C，∴∠OCD=90°，∵BD=OB，∴OB=OD，∵OC=OB，∴OC=OD，∴∠D=30°，∴∠COD=60°，∵AB为⊙O的直径，点B是的中点，∴CF⊥OB，CE=EF，∴CE=OC•sin60°=2×=，∴CF=2．故答案为：215．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB．若C（，），则该一次函数的解析式为y=﹣x+．【考点】翻折变换（折叠问题）；待定系数法求一次函数解析式．【分析】利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO，AO的长，进而得出A，B 点坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式．【解答】解：连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D，∵将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB，C（，），∴AO=AC，OD=，DC=，BO=BC，则tan∠COD==，故∠COD=30°，∠BOC=60°，∴△BOC是等边三角形，且∠CAD=60°，则sin60°=，即AC==1，故A（1，0），sin30°===，则CO=，故BO=，B点坐标为：（0，），设直线AB的解析式为：y=kx+b，则，解得：，即直线AB的解析式为：y=﹣x+．故答案为：y=﹣x+．16．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；② =；③DP2=PH•PB；④ =．其中正确的是①③④．（写出所有正确结论的序号）【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=∠DCF，∠A=∠ADC，AB=CD，证得△ABE≌△DCF，故①正确；由于∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，推出△DFP∽△BPH，得到===故②错误；由于∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到=，PB=CD，等量代换得到PD2=PH•PB，故③正确；根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积=△BCP 的面积+△CDP面积﹣△BCD的面积，得到=故④正确．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△DCF，故①正确；∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH，∴===，故②错误；∵∠PDH=∠PCD=30°，∵∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CDP，∴=，∴PD2=PH•CD，∵PB=CD，∴PD2=PH•PB，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30°∴PN=PB•sin60°=4×=2，PM=PC•sin30°=2，S△BPD=S﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD=×4×2+×2×4﹣×4×4=4+4﹣四边形PBCD8=4﹣4，∴=．故答案为：①③④．三、解答题（共8小题，满分72分）17．（1）计算：（﹣）0﹣|﹣3|+（﹣1）+（）﹣1（2）化简：（﹣）÷．【考点】分式的混合运算；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】（1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用乘方的意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：（1）原式=1﹣3﹣1+2=﹣1；（2）原式=•=•=．18．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】先证出∠ACB=∠DCE，再由SAS证明△ABC≌△DEC，得出对应角相等即可．【解答】证明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴∠A=∠D．19．为进一步增强学生体质，据悉，我市从起，中考体育测试将进行改革，实行必测项目和选测项目相结合的方式．必测项目有三项：立定跳远、坐位体前屈、跑步；选测项目：在篮球（记为X1）、排球（记为X2）、足球（记为X3）中任选一项．（1）每位考生将有3种选择方案；（2）用画树状图或列表的方法求小颖和小华将选择同种方案的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）根据题意得出每位考生的选择方案种类即可；（2）根据列表法求出所有可能，进而得出概率即可．【解答】解：（1）根据题意得出：每位考生有3种选择方案；故答案为：3；（2）列表法是：X1X2X3X1（X1，X1）（X1，X2）（X1，X3）X2（X2，X1）（X2，X2）（X2，X3）X3（X3，X1）（X3，X2）（X3，X3）由表中得知：共有9种不同的结果，而小颖和小华将选择同种方案的结果有3种，则：小颖与小华选择同种方案的概率为P==．20．列方程或方程组解应用题：近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元．求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元？【考点】分式方程的应用．【分析】设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x+0.2）万元，根据甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x+0.2）万元，根据题意得： =，去分母得：15x=10x+2，解得：x=0.4，经检验x=0.4是分式方程的解，且符合题意，∴x+0.2=0.4+0.2=0.6（万元），答：甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金0.6万元、0.4万元．21．如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（+l）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】根据题意，在△ABM中，∠BAM=30°，∠ABM=45°，AB=300（+l）米．过点M作MN⊥AB于N，设MN=x米，用含x的代数式分别表示AN，BN，根据AN+BN=AB 建立方程，解方程求出x的值，进而求出MA与MB的长．【解答】解：过点M作MN⊥AB于N，设MN=x米．在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，∴MA=2MN=2x ，AN=MN=x．在Rt△BMN中，∵∠BNM=90°，∠MBN=45°，∴BN=MN=x，MB=MN=x．∵AN+BN=AB，∴x+x=300（+l），∴x=300，∴MA=2x=600，MB=x=300．故供水站M到小区A的距离是600米，到小区B的距离是300米．22．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A（﹣3，），AB=1，AD=2．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；（2）将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A、C恰好同时落在反比例函数y=（x＞0）的图象上，得矩形A′B′C′D′．求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式．【考点】反比例函数综合题；坐标与图形变化-平移．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，得到AB=CD=1，BC=AD=2，根据A（﹣3，），AD∥x轴，即可得到B（﹣3，），C（﹣1，），D（﹣1，）；（2）根据平移的性质将矩形ABCD向右平移m个单位，得到A′（﹣3+m，），C（﹣1+m，），由点A′，C′在反比例函数y=（x＞0）的图象上，得到方程（﹣3+m）=（﹣1+m），即可求得结果．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=1，BC=AD=2，∵A（﹣3，），AD∥x轴，∴B（﹣3，），C（﹣1，），D（﹣1，）；（2）∵将矩形ABCD向右平移m个单位，∴A′（﹣3+m，），C（﹣1+m，），∵点A′，C′在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴（﹣3+m）=（﹣1+m），解得：m=4，∴A′（1，），∴k=，∴矩形ABCD的平移距离m=4，反比例函数的解析式为：y=．23．如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的长．【考点】切线的判定与性质．【分析】（1）连接OD，由DE∥BO，得到∠1=∠4，∠2=∠3，通过△DOB≌△COB，得到∠OCB=∠ODB，问题得证；（2）根据三角函数tan∠DEO=tan∠2=，设；OC=r，BC=r，得到BD=BC=r，由切割线定理得到AD=2，再根据平行线分线段成比例得到比例式即可求得结果．【解答】解：（1）连接OD，∵DE∥BO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OE，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，在△DOB与△COB中，，∴△DOB≌△COB，∴∠OCB=∠ODB，∵BD切⊙O于点D，∴∠ODB=90°，∴∠OCB=90°，∴AC⊥BC，∴直线BC是⊙O的切线；（2）∵∠DEO=∠2，∴tan∠DEO=tan∠2=，设；OC=r，BC=r，由（1）证得△DOB≌△COB，∴BD=BC=r ，由切割线定理得：AD2=AE•AC=2（2+2r），∴AD=2，∵DE∥BO，∴，∴，∴r=1，∴AO=3．24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别相交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P．（1）求抛物线的解析式；（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H．①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把A（﹣2，0），B（4，0），代入抛物线y=﹣x2+bx+c，求出b、c即可；（2）①表示出ON、MH，运用ON=MH，列方程求解即可；②存在，先求出BC的解析式，根据互相垂直的直线一次项系数积等于﹣1，直线经过点P，待定系数法求出直线PF的解析式，求直线BC与直线PF的交点坐标即可．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），代入抛物线y=﹣x2+bx+c得：解得：b=1，c=4，∴y=﹣x2+x+4；（2）点C的坐标为（0，4），B（4，0）∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，①根据题意，ON=OM=t，MH=﹣t2+t+4∵ON∥MH∴当ON=MH时，四边形OMHN为矩形，即t=﹣t2+t+4解得：t=2或t=﹣2（不合题意舍去）把t=2代入y=﹣t2+t+4得：y=2∴H（2，2）；②存在，当PF⊥BC时，∵直线BC的解析式为y=﹣x+4，∴设PF的解析式为y=x+b，又点P（1，）代入求得b=，∴根据题意列方程组：解得：∴F（，）当PF⊥BP时，∵点P（1，），B（4，0），∴直线BP的解析式为：y=﹣x+6，∴设PF的解析式为y=x+b，又点P（1，）代入求得b=，∴根据题意列方程组：解得：∴F（，），综上所述：△PFB为直角三角形时，点F的坐标为（，）或（，）．创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校。
北京市2020〖人教版〗九年级数学下册复习试卷第三次半月考数学试卷
北京市2020年〖人教版〗九年级数学下册复习试卷第三次半月考数学试卷创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校一、填空题（每小题3分，共36分）1．根据图示填空：（1）sinB==（2）cos∠ACD=．2．若α是锐角且sinα=，则α的度数是．3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是．4．在△ABC中，∠C=90°，cosB=，则a﹕b﹕c为．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则cosA=．6．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cotA=，则BC的长是．7．已知a为锐角，tan（90°﹣a）=，则a的度数为．8．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度比为．9．直角三角形中，若sin35°=cosα，则α=．10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为米（用含α的代数式表示）．11．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，则∠C=度．12．如图所示，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，CD=8，AC⊥CD，若sin∠ACB=，则cos∠ADC=．二、选择题（每小题3分，共24分）13．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（）A．也扩大3倍 B．缩小为原来的C．都不变D．有的扩大，有的缩小14．在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，cosC的值是（）A．B． C． D．15．如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（）A．1 B．1.5 C．2 D．316．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（）A．B．C．D．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，则tanA•tanB的值一定（）A．小于1 B．不小于1 C．大于1 D．等于118．已知A为锐角，且cosA≤，那么（）A．0°≤A≤60° B．60°≤A＜90°C．0°＜A≤30° D．30°≤A＜90°19．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB 的长为（）A．4米B．6米C．12米D．24米20．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（）A．1 B． C．3 D．三、计算下列各题（本题14分）21．计算：﹣（﹣2cos30°）2+（tan45°）﹣1．22．计算： +sin45°．四、(本题9分)23．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=8，∠B=60°，解这个直角三角形．五、（本题9分）24．如图，已知一个等腰三角形ABC的底边长为10，面积为25，求：（1）△ABC的三个内角；（2）△ABC的周长．六、（本题12分）25．某市为了改善市区交通状况，计划修建一座新大桥，如图，新大桥的两端位于A、B 两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直与新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米，sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．）七、（本题16分）26．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=．（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共36分）1．根据图示填空：（1）sinB==（2）cos∠ACD=．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】（1）、（2）直接根据锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：（1）sinB==．故答案为：BC，AC；（2）cos∠ACD=．故答案为：AC．2．若α是锐角且sinα=，则α的度数是60°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】结合各特殊角的三角函数值，进行求解即可．【解答】解：∵α是锐角且sinα=，∴∠α=60°．故答案为：60°．3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据锐角三角函数的定义（tanA=）求出即可．【解答】解：tanA==，故答案为：．4．在△ABC中，∠C=90°，cosB=，则a﹕b﹕c为2：：3．【考点】解直角三角形．【分析】先利用余弦的定义得到cosB==，则可设BC=2k，AB=3k，再利用勾股定理计算出AC，然后计算三角形三边的比．【解答】解：如图，∵cosB==，∴可设BC=2k，AB=3k，∴AC==k，∴a：b：c=2k： k：3k=2：：3．故答案为2：：3．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则cosA=．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系，根据余弦函数的定义，可得答案．【解答】解：由勾股定理，得AB=BC．由余弦函数的定义，得cosA===．故答案是：．6．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cotA=，则BC的长是8．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系求出即可．【解答】解：如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cotA=，∴cotA==，∴BC=8．故答案为：8．7．已知a为锐角，tan（90°﹣a）=，则a的度数为30°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】先根据α为锐角及tan60°=解答即可．【解答】解：∵α为锐角，tan（90°﹣α）=，∴90°﹣α=60°，∴α=30°．故答案为：30°．8．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度比为1：2．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】利用勾股定理求得水平距离．根据坡度定义求解．【解答】解：∵某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米．此时他与水平地面的垂直距离为2米，根据勾股定理可以求出他前进的水平距离为4米．所以这个坡面的坡度比为2：4=1：2．9．直角三角形中，若sin35°=cosα，则α=55°．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°﹣∠A），求解即可．【解答】解：根据直角三角形中正余弦之间的关系，可得：sin35°=cos（90°﹣35°）=cos55°，∴α=55°．故答案为：55°．10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为7tanα米（用含α的代数式表示）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度．【解答】解：∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α，∴=tanα，∴BC=AC•tanα=7tanα（米）．故答案为：7tanα．11．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，则∠C=120度．【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【分析】先根据非负数的性质求出sinA与cosB的值，再根据特殊角三角函数值求出∠A 与∠B的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵在△ABC中，|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，∴sinA=，cosB=，∴∠A=30°，∠B=30°，∴∠C=180°﹣30°﹣30°=120°．故答案为：120．12．如图所示，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，CD=8，AC⊥CD，若sin∠ACB=，则cos∠ADC=．【考点】解直角三角形；勾股定理．【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD 的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC．【解答】解：∵∠B=90°，sin∠ACB=，∴=，∵AB=2，∴AC=6，∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∴AD===10，∴cos∠ADC==．故答案为：．二、选择题（每小题3分，共24分）13．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（）A．也扩大3倍 B．缩小为原来的C．都不变D．有的扩大，有的缩小【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值．【解答】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函数值不变．故选C．14．在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，cosC的值是（）A．B． C． D．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据三角形的内角和，可得∠C，根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由三角形的内角和，得∠C=180°﹣∠A﹣∠B=30°，cosC=cos30°=，故选：C．15．如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．【分析】根据正切的定义即可求解．【解答】解：∵点A（t，3）在第一象限，∴AB=3，OB=t，又∵tanα==，∴t=2．故选：C．16．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系．【分析】根据互余两角的三角函数关系进行解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA，∵sinA=，∴cosB=．故选：B．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，则tanA•tanB的值一定（）A．小于1 B．不小于1 C．大于1 D．等于1【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据正切函数的定义，利用△ABC的边表示出两个三角函数，即可求解．【解答】解：tanA•tanB=•=1，故选D．18．已知A为锐角，且cosA≤，那么（）A．0°≤A≤60° B．60°≤A＜90°C．0°＜A≤30° D．30°≤A＜90°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】首先明确cos60°=，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析．【解答】解：∵cos60°=，余弦函数值随角增大而减小，∴当cosA≤时，∠A≥60°．又∠A是锐角，∴60°≤A＜90°．故选B．19．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB 的长为（）A．4米B．6米C．12米D．24米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∵i==，AC=12米，∴BC=6米，根据勾股定理得：AB==6米，故选：B．20．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（）A．1 B． C．3 D．【考点】圆周角定理；解直角三角形．【分析】由以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．易得∠ACD=∠B，又由cos∠ACD=，BC=4，即可求得答案．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵cos∠ACD=，∴cos∠B=，∴tan∠B=，∵BC=4，∴tan∠B=，∴=，∴AC=．故选：D．三、计算下列各题（本题14分）21．计算：﹣（﹣2cos30°）2+（tan45°）﹣1．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣（﹣2×）2+1﹣1=4﹣3+1=2．22．计算： +sin45°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=+=2+=四、(本题9分)23．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=8，∠B=60°，解这个直角三角形．【考点】解直角三角形．【分析】根据三角形内角和定理求出∠A，根据含30度角直角三角形求出AB，根据勾股定理求出AC即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=180°﹣∠C﹣∠B=30°，∵BC=a=8，∴AB=2a=16，由勾股定理得：AC===8．五、（本题9分）24．如图，已知一个等腰三角形ABC的底边长为10，面积为25，求：（1）△ABC的三个内角；（2）△ABC的周长．【考点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形．【分析】（1）过A点作AD⊥BC于D，根据三角形面积公式可求AD的长，再根据等腰三角形的性质可得BD得到长，再根据等腰直角三角形的判定和性质即可求解；（2）根据等腰直角三角形的性质可得AB，AC的长，再根据三角形周长的定义列式计算即可求解．【解答】解：（1）过A点作AD⊥BC于D，AD=25×2÷10=5，∵三角形ABC是等腰三角形，∴BD=CD=5，∴△ABD，△ACD是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∠C=45°，∴∠BAC=90°；（2）∵∠B=45°，∠C=45°，∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=10×=5，∴△ABC的周长=10+5+5=10+10．六、（本题12分）25．某市为了改善市区交通状况，计划修建一座新大桥，如图，新大桥的两端位于A、B 两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直与新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米，sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．）【考点】解直角三角形的应用．【分析】设AD=x米，则AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB=2.5（x+82），在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB=4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．【解答】解：设AD=x米，则AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，tan∠BCA=，∴AB=AC•tan∠BCA=2.5（x+82）．在Rt△ABD中，tan∠BDA=，∴AB=AD•tan∠BDA=4x．∴2.5（x+82）=4x，解得：x=，∴AB=4x=4×≈546.7，答：AB的长约为546.7米．七、（本题16分）26．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=．（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】根据三角函数可得到OD的值；再根据勾股定理求得OE的值，此时再求所需的时间就变得容易了．【解答】解：（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24，∴ED=CD=12，在Rt△DOE中，∵sin∠DOE==，∴OD=13（m）；（2）OE===5，∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）．创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校。
北京市2020〖人教版〗九年级数学下册期末复习试卷三月月考数学试题
北京市2020年〖人教版〗九年级数学下册期末复习试卷三月月考数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 给出四个数，，，，其中最小的是( )A. B. C. D.2. 下列运算正确的是( )A. B. C. D.3. 如图，直线，点在直线上，．若，则的度数为( )A. B. C. D.4. 为了解某小区家庭垃圾袋的使用情况，小亮随机调查了该小区户家庭一周的使用数量，结果如下（单位：个）：，，，，，，，，，．关于这组数据，下列结论错误的是( )A. 极差是B. 众数是C. 中位数是D. 平均数是5. 甲安装队为 A小区安装台空调，乙安装队为 B小区安装台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装台，设乙队每天安装台，根据题意，下面所列方程中正确的是A. B. C. D.6. 如图，将沿直线折叠，使得点与点重合．已知，的周长为，则的长为( )A. B. C. D.7. 在如图所示的方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是( )A. ①B. ②C. ③D. ④第3题图第6题图第7题图8. 如图，是的弦，是的切线，为切点，经过圆心，若，则的大小等于( )A. B. C. D.9. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于( )A. B. C. D.10. 如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接．若，，则的值是A. B. C. D.第8题图第9题图第10题图二、填空题（每小题3分，共24分）11. 若点在一次函数的图象上，它关于轴的对称点在反比例函数的图象上，则反比例函数的提示式为．12. 函数中，已知时，，则的范围是．13. 如图，为了测量电线杆的高度，小明将测角仪放在与电线杆的水平距离为的处．若测角仪的高度为，在处测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为（精确到）．（参考数据：，，）14. 由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是个．第13题图第14题图15. 如图，平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点．若，，则的长为．16. 分解因式：．17. 已知，，则代数式的值为．18. 已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（填序号）．第15题图第18题图三、解答题（共7小题；共66分）19. （本题8分）计算：．20. （本题8分）甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为和，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别为和，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别为，，．从这个口袋中各随机取出一个小球．（1）用树形图表示所有可能出现的结果；（2）若用取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长，求这些线段能构成三角形的概率．21. （本题8分）如图，菱形的对角线，相交于点，且，，求证：四边形是矩形．22. （本题10分）已知，A，B 两市相距千米，甲车从 A 市前往 B 市运送物资，行驶小时在 M 地汽车出现故障，立即通知技术人员乘乙车从 A 市赶来维修（通知时间忽略不计），乙车到达 M 地后又经过分钟修好甲车后以原速原路返回，同时甲车以原速倍的速度前往 B 市，如图是两车距 A 市的路程（千米）与甲车行驶时间（小时）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）直接写出甲车提速后的速度、乙车的速度、点的坐标；（2）求乙车返回时与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；（3）求甲车到达 B 市时乙车已返回 A 市多长时间?23. （本题10分）如图所示，四边形是平行四边形．以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点，连接，．若是的切线，解答下列问题：（1）求证：是的切线；（2）若，，求平行四边形的面积．24. （本题10分）关于的一元二次方程有两个不等实根，．（1）求实数的取值范围；（2）若方程两实根，满足，求的值．25. （本题12分）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点在抛物线上，且，求点的坐标；（3）如图 b，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值．第22题图第23题图第25题图答案一、选择题1. D2. B3. B【提示】因为，所以．所以．因为，所以．4. B【提示】A、，结论正确，故本选项错误；B、众数为，结论错误，故本选项正确；C、中位数为，结论正确，故本选项错误；D、平均数是，结论正确，故本选项错误．5. D【提示】同时开工同时完成即时间相等，由此可建立方程．6. C【提示】根据折叠性质可得：是的垂直平分线，．的周长为，，．，．7. B8. D【提示】连接，则．，，．9. B【提示】．10. D【提示】直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，，，，，，，点的坐标为，反比例函数在第一象限内的图象交于点，．二、填空题11.12.13.【提示】．14.【提示】结合主视图和俯视图可知，左边上层最多有个，左边下层最多有个，右边只有一层，且只有个．所以图中的小正方体最多块．15.16.17.【提示】．18.【提示】①由图象可知，当时，；②因为图象与轴交于点，，且，所以对称轴．因为，，，故；③因为，所以，又因为当时，，④因为抛物线与轴正半轴的交点在的下方，可得，所以，故．三、解答题19.20. （1）如图所示：所以共有种可能出现的结果；（2）这些线段能够成三角形（记为事件）的结果有种：；；；，所以．21. 四边形为菱形，，，，，四边形为平行四边形，四边形是矩形．22. （1）；；【提示】甲车提速后的速度：千米/时，乙车的速度：千米/时；点的横坐标为，纵坐标为，坐标为；（2）设乙车返回时与的函数关系式，代入和得所以与的函数关系式；（3）答：甲车到达 B 市时乙车已返回 A 市小时．23. （1）如图所示，连接，则．．，，，．，（）．是的切线，，为的切线．（2）在平行四边形中，．，，．24. （1）原方程有两个不相等的实数根，，解得：．（2）由根与系数的关系，得，．，，解得：或，又，．25. （1）把，代入，得解得故该抛物线的提示式为：．（2）由（1）知，该抛物线的提示式为，则易得．，．．整理，得或，解得或．则符合条件的点的坐标为：或或．（3）设直线的提示式为，将，代入，得解得即直线的提示式为．创作人：百里严守创作日期：202B.03.31 设点坐标为，则点坐标为，，当时，有最大值．创作人：百里严守创作日期：202B.03.31。
北京市2020〖人教版〗九年级数学下册复习试卷第二学期月度检测
创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31 第6题图 1 O -1 x y 13x =-北京市2020年〖人教版〗九年级数学下册复习试卷第二学期月度检测创作人：百里严守创作日期：202B.03.31 审核人： 北堂本一 创作单位： 雅礼明智德学校一、选择题（每小题3分，共18分）1．3的相反数是 ( )A ．3-B ．3C ．±3D ．92．下列计算中，正确的是 ( )A ．632a a a =•B ．632a a a ÷=C ．236()a a -=-D ． 3232a a a +=3．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（ ）A ．0B ．－1C ．－3D ． 24.如果单项式﹣x a+1y 3与是同类项，那么a 、b 的值分别为（ ） A ．a=2，b=3B ．a=1，b=2C ．a=1，b=3D ．a=2，b=25. 若反比例函数y=的图象过点（﹣2，1），则一次函数y=kx ﹣k 的图象过（ ） A ． 第一、二、四象限 B ． 第一、三、四象限 C ． 第二、三、四象限 D ． 第一、二、三象限6.已知二次函数2y ax bx c =++（ ）0a ≠的图象如图所示，对称轴是直线13x =-，有下列结论：①0ab >；②0a b c ++<；③20b c +<；其中正确结论的个数是（ ）.A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题（每小题3分，共30分）7.四个数5-，0.1-，12，3中为无理数的是。
8. 使函数3-=x y 有意义的x 的取值范围是____________。
9. 因式分解：a ax 92-=。
10.，参加中考的考生有35.4万人，则35.4万人用科学计数法表示为____人。
11. 为了中考“跳绳”项目能得到满分，小明练习了6次跳绳，每次跳绳的个数如下（单位：个）：176， 183， 187，179，187，188．这6次数据的中位数是。
北京2020年初三第二学期数学3月月考试题
年第二学期初三年级数学练习一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．太阳的半径约为696000千米，用科学记数法可表示为（ ） A ．6.96×103千米B ．6.96×104千米C ．6.96×105千米D ．6.96×106千米2．327-的绝对值是（ ） A ．3B ．3-C ．13D ．13-3．在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、等腰梯形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中一次性随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为（ ） A ．14B ．12C ．13D ．344．如图，几何体上半部分为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD =1，BC =3，则AOCO 的值为（ ） 6．A ．12B ．13C ．14D ．197．方程2460x kx -+=的一个根是2，那么k 的值和方程的另一个根分别是（ ） A ．5，34B ．11，34C ．11，34-D ．5，34-8．根据表中二次函数()20y ax bx c a =++≠的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴的交点情况是（ ）x … 1-0 1 2 … y… 1-74- 2-74- …A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧C ．无交点D ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧9．如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 的长是（ ） A ．65B ．95 C ．125 D ．16510．如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（ ） A ．邻边不等的矩形 B ．等腰梯形C ．有一角是锐角的菱形D ．正方形11．如图，在平面直角坐标系xoy 中，P 是反比例函数1y x=（x ＞0）图象上的一个动点，点A 在x 轴上，且PO =P A ，AB 是△P AO 中OP 边上的高．设OA =m ，AB =n ，则下列图象中，能表示n 与m 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共18分，每小题3分） 12．分解因式：2327x -=_______________13．如图，圆O 的半径为5，AB 为圆O 的弦，OC ⊥AB 于点C ，若OC =3，则弦AB 的长为__________ 14．函数2xy -=中，自变量x 的取值范围是_________ 15．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于______16．已知关于x 的不等式组020x a x ->⎧⎨->⎩的整数解共有4个，则a 的取值范围是____________17．如图，已知正方形ABCD ，顶点A （1，3）、B （1，1）、C （3，1）．规定“把正方形ABCD 先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2015次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M 的坐标变为___________18．计算：()201183220153π-⎛⎫---+- ⎪⎝⎭19．解不等式组()2452213x x x x+≤+⎧⎪⎨-<⎪⎩并求它的整数解。