二重积分的计算8052332页PPT

2.先对 x,后对 的y二次积分
若积分区域 D可以表示为
D: 1(yc) xy d2(y)
则称 D 为 Y – 型区域. 则其体积可按如下两次积分计算
y x2(y) d
x1(y) c
o
x
f(x,y)d
D
©
cd 12 ((yy ))f(x,y)d y dxcd
dy2(y) f(x,y)dx
已知的立体体积”的分析过程: y2(x)
z
任取
平面
截柱体的 y
截面积为 故曲顶柱体体积为
D
o a x 0 bx
y1(x)
b
VDf(x,y)d a A(x)d x
b
[
2(x) f(x,y)dy]dx
a 1(x)
©
我们常将上式写成
f(x,y)d b dx2(x) f(x,y)dy
D
a
1(x)
例 交换积分次序：2adx 2ax f(x,y)dy(a0)
0
2a xx2
解y
2a
y 2ax x y2
2a
a y 2axx2 xaa2y2
O
a 2a x
原式=
a
dy
0
a a2y2
y2
f(x,y)dx
2a
a
d
y
0
2a
f(x,y)dx2ad y
a a2y2
a
2a y2
f
(x,
y)dx
1(y)
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有
Df(x,y)dxdy
b
dx
a
2(x) f(x,y)dy
1(x)
d
dy
2(y) f(x,y)dx
c
1(y)
y d
y2(x)
x1(y)
y c
x2(y)
D
y1(x)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
00
2
0
解：如图, 积分域由两部分组成:
x2 y2 8
2
D1
0x2
:
0
y
1 2
x2,
D2
2x2 2
: 0 y
8x2
y
1 2
x2
D1
D2
22 2
将 DD1视D 为2 Y–型区域,则 D : 0y2, 2yx 8y2
2
8y2
If(x,y)dxdy 0 d y 2y f (x, y)dx
D
©
二重积分的计算法
0
x
2
dy
yey2dx
00
y
2
2 0
e y2
×x
y 0
dy
yx
2 yey2dy 0
o
1 2ey2d(y2) 1(e4 1)
20
2
2x
©
例5.求两底半径为R的直交圆柱所围成的立体体积．
解：设两柱面方程分别为
x2y2R 2 ， x2z2R 2
由对称性, 所求立体体积为其在第 一卦限部分体积的8倍．第一卦限部 分(如图)的底面区域为：
20
2 3 4 0 24
©
二重积分的计算法
例
计算二次积分
1
dx
1siny2dy
0x
分析 siny2 对y的积分不能用基本积分法算出,
而它对x的积分可用基本积分法算出. 所以将二次积分先 交换积分次序.
交换积分次序的方法是:
(1) 将所给的积分域 用联立不等式表示 D:
0x1, xy1
y
(2) 画出积分域的草图
0
sixnxdx
x
d
0
y
0 sinxdx
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
©
例2. 计算 xy其d中, (如图D)是抛物线 及直y 线x2
D
y所x 围成的闭区域．
y
解法1：若将D看成是 X型区域,
1 yx
D可表示为 0x1,x.2则yx
1
x
xyd
dx
0
x2
x ydy
D
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
X-型域或Y-型域 ,则
D1
D D 1D 2D 3
o
©
D2 D3
x
例1. 计算
sinxdxdy, 其中D 是直线 Dx
所围成的闭区域.
y
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, 因此取D 为X – 型域 :
yx
D x
D:
0 0
yx
x
o x
Dsixnxdxdy
(1,1)
(3) 改写D为: 0y1,0xy o
yx
x
©
二重积分的计算法
y
1 dx
1siny2dy
0x
1
d y
ysiny2dx
0
0
1(siyn2)xydy
0
0
(1,1)
yx
o
x
D :0y1,0xy
1ysiny2dy 0
1
1siny2dy2
1 (1cos1)
20
2
©
例3.化 f (x,为y)d二 次积分,其中 为 D、y 轴 x和32 x
D :0xR ,0yR2x2
曲顶为：z R2x2
az
oபைடு நூலகம்
a
x
a
y
所以 V8
R2
x2d
xd
R
y8 d
R2x2
x
R2x2dy
00
D
8R(R 2x2)2dx 8(R 31R 3)1R 6 3
0
33
©
二重积分的计算法
2019 年研究生考题, 7分
计算二重积分 emax2{,y2}dxdy,其中
D
y
D
(x2)2＋ (y1)21x2 所围图形． y
解：所围区域 D为 型Y 区域,
3
2
y x3
x2
D(x2)2＋ (y1)21
o
x
D : 0y1, y2x2 2yy2
所以
1
2 2yy2
f (x, y)d
D
0
dy
3
y2
f (x, y)dx
©
例4 交换下列积分顺序
2 x2
22 8x2
Idx2f(x,y)dy dx f(x,y)dy
1
x 0
12y2
x x2
dx
1 1(x3x5)dx
20
1 x4 x6
24 6
1
0
1 24
©
D
y
x2
o
1x
解法2:若将 D 看成是 Y型区域 D ,可表示为得 0y1,yx y
D
xyd
1
dy
0
y
y
xydx
1
y 0
12x2
yydy
1 1y(yy2)dy 1 y3 y4 1 1
D { ( x ,y ) 0 x 1 ,0 y 1 }.
1
解 设D 1 { ( x ,y ) 0 x 1 , 0yx},D2
D 2 { ( x ,y ) 0 x 1 ,xy1}O,
D1
1
x
emax2{,y2}dxdy emaxx{2,y2}dxdy emaxx2{,y2}dxdy
一、在直角坐标系下计算二重积分
1．先对 y,后对 的x二次积分
若积分区域 D可以表示为
D:1(xa)yx b2(x)
则称D为 X – 型区域.
y y2(x)
D x oay1(x)b x
当 f(x,y)时0,则 的f (x值, y是)d以 为底, D
D
以 zf(为x,y曲) 顶的曲顶柱体体积．
©
由第五章中“平行截面面积为
2a
©
二重积分的计算法
交换积分次序的步骤
(1) 将已给的二次积分的积分限得出相 应的二重积分的积分区域, 并画出草图;
(2) 按相反顺序写出相应的二次积分.
©
二重积分的计算法
1990 年研究生考题, 填空, 3分
2dx2ey2dy( ) 0x
1 (e4 1) 2
解
2
dx
2ey2dy
交换积分次序