二次函数与平行四边形的综合1

二次函数与平行四边形的综合

方法类

前言：纵观历年中考题我们发现二次函数与平行四边形的综合是一个重点，但是考生们往往不知道如何下手去做这部分题。世上无难事，只怕有心人。学生的成绩出现偏差的原因无外乎三种：第一是学生本身，第二是老师的指导，第三是家长。学生是根本，老师是纽带和桥梁，家长是支持者和减压者。作为家长希望自己的孩子有更好的成绩，那家长第一时间就要给孩子正确的引导和好的指导。在学习这方面孩子应该学会总结，真正会总结的孩子肯定会有理想的收获。家长，老师，孩子要做到坚持，坚持，坚持。有的孩子成绩上来了家长就停了孩子的课让孩子自学，这样就导致孩子的学习脱轨，最终影响的是孩子。希望家长能够为孩子的以后铺好正确的路。

1、重点：中考压轴题的重点在于分析问题，解决问题的思路和方法。能应对这部分题的关

键需要熟练几部分知识点：（1）二次函数与一次函数，反比例函数（2）勾股定理（3）四边形（4）相似三角形和三角形全等（5）锐角三角函数（6）轴对称和中心对称

2、难点：知识点同学们一般都能掌握，可是拿到具体题中去运用就是一个难点了。尤其是

遇到求坐标应该用什么方法，遇到求线段长度用什么方法等等。这些都是令学生苦恼的问题，所以说善于归类总结至关重要。

3、易错点：线段长度和坐标混淆导致错误答案，坐标漏找或错找，坐标在不在二次函数的

图像上。这些都是在考试中容易失分的地方。；

4、切入点：例如：根据已有条件求坐标，首先要想到平面直角坐标系与锐角三角函数的联

系，尤其是正切的运用。这样直观的可以求出坐标（前提必须建立直角三角形），如果不是直角三角形可以想法构建直角三角形，这是求坐标的最好方法，此方法不通的情况下可以运用勾股定理进行求解，很少运用相似求。掌握了求解方法再做题的时候就知道如何下手了。

（例题分析）

（08崇文）25．已知：在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2

y x bx c =-++的图象与x

轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左侧，直线3y kx =+与该二次函数的图象交于D 、B 两点，其中点D 在y 轴上，点B 的坐标为（3，0）. （1）求k 的值和这个二次函数的解析式；

（2）设抛物线的顶点为C ，点F 为线段DB 上的一点，且使得∠DCF =∠ODB ，求出此

时点F 的坐标；

（3）在（2）的条件下，若点P 为直线DB 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E .问：是否存在这样的点P ，使得以点P 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由.

（1） 综合了二次函数、一次函数的知识，巧妙利用了二次函数求坐标的方法，难度不是

很大，但技巧性特别强。涉及到函数的综合首先要先明确目的性，根据求二次函数解析式的方法。先观察再求解。此题恰恰利用观察法看交点的位置在哪，利用求系数的方法只要找到两个点的坐标即可。已知一点坐标先求一次函数解析式是必走路线（将点B 坐标代入），利用一次函数的解析式求出另一点D 的坐标，进而利用B ，D 两点的坐标求二次函数解析式。

（2） 巧妙地结合了二次函数与坐标轴的交点进行分析，首先由第一问可得交点坐标，然

后观察由坐标得到的线段长度具有什么特点，能否得到进一步的信息（学生必须第一时间考虑的问题）。三角形BOD 是等腰直角三角形，故∠ODB=45°，∠DCF 的度数必须和∠ODB 的度数相等，因此要先确定点F 的位置。此部分是难点，但是对于此类题必然有特殊之处，所以说认真分析调整好心态是关键。由对称性可知线段CD 与对称轴的夹角恰好是45°，因此已知中得到的45°就是一个很好的突破口。点F 在直线DB 上又在对称轴上故点F 是两直线的交点。问题很巧妙的就解决了。

（3） 第三问往往会分析不全面，找不好点的坐标位置。可能同学们会四处找点画图，这

样就会让思路更加乱，因此找方法是做题的关键。遇到这类题有一个很简便的方法

就是同学们自己去演练的。已知的三个点构成一个三角形，以其中的一点做对边的平行线，依次做出三条线。然后再找到什么就是同学们自己要去寻找的答案了。

点评：★★★★

适合层次：此题的第一问和第二问对于中等及中等偏上的学生较适用，基础相对比较好的学生第三问需要去做。

归纳总结：每一种题的方法都是可以总结的，因此同学们在做此类型题时要学会总结，把方法运用到实际中。以后再遇到此种类型题自然就能找到方法，这样既节省了时间又能很好的将题掌握牢固。 （08崇文）

25．解：（1）∵ 直线3y kx =+经过点B （3，0），

∴ 可求出1k =-. ………………1分

由题意可知， 点D 的坐标为（0，3）. ∵ 抛物线2

y x bx c =-++经过点B 和点D ，

∴ 093,

3.

b c c =-++⎧⎨

=⎩

解得 2,3.b c =⎧⎨=⎩

∴ 抛物线的解析式为2

23y x x =-++.

（2）在线段DB 上存在这样的点P ，使得∠DCP =∠ODB .

如图，可求顶点C 的坐标为（1，4）.由题意，可知∠ODB ＝45°. 过点D 作此抛物线对称轴的垂线DG ，可知DG =CG =1,

所以此时∠DCG =45°,点P 的坐标为（1，2）. ……………5分

（3）存在这样的点P ，使得以点P 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形.

由题意知PE ∥CF ，

∴ 要使以点P 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形只要满足PE =CF =2即可.

∵ 点P 在直线DB 上，

∴ 可设点P 的坐标为 （,3x x -+）.∵ 点E 在抛物线 2

23y x x =-++上， ∴ 可设点E 的坐标为 （2

,23x x x -++）.

∴ 当2

3(23)2x x x -+--++=时，解得 317

2

x ±=

； 当2

23(3)2x x x -++--+=时，解得 121,2x x ==.

1x =不合题意，舍去.

∴ 满足题意的点P 的横坐标分别为123317317

2x x x +-=

==.