二次函数与平行四边形综合.
二次函数和平行四边形的结合解题思路
二次函数和平行四边形的结合解题思路二次函数和平行四边形的结合解题思路1. 引言二次函数和平行四边形是数学中的两个重要概念。
二次函数是一种具有关于自变量的平方项的函数形式，常用来描述抛物线的形状和性质。
而平行四边形是一种具有四个边都平行的四边形，具有特殊的几何性质。
本文将通过结合二次函数与平行四边形，探讨它们在解题中的有趣应用，深入理解二次函数和平行四边形的知识点与概念。
2. 二次函数与平行四边形的基本概念2.1 二次函数的基本形式二次函数通常以一般式y=ax^2+bx+c的形式出现，其中a、b、c分别是常数，a不等于0。
通过调整a、b、c的值，可以改变二次函数的图像特征，如顶点的位置、开口方向等。
2.2 平行四边形的定义平行四边形是一种四边形，它的四条边两两平行。
其中，对边相等，对角线互相平分且互相垂直。
3. 二次函数与平行四边形的关联3.1 求解二次函数与平行四边形的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，它在函数图像上具有特殊的几何意义。
通过平行四边形的性质，可以推导出二次函数的顶点与对边的关联。
具体而言，可以建立一个平行四边形，其中顶边平行于x轴，底边与二次函数图像的切线重合，并垂直于x轴。
这样一来，平行四边形的高度就是二次函数的顶点坐标。
3.2 求解二次函数与平行四边形的根二次函数的根是方程y=0的解，也就是抛物线与x轴相交的点。
通过平行四边形的性质，可以将二次函数的零点与对边的关系进行探讨。
类似地，构建一个平行四边形，其中左边平行于y轴，右边与二次函数图像的另一条切线重合，并垂直于y轴。
这样一来，平行四边形的宽度就是二次函数的根的坐标。
4. 二次函数与平行四边形的解题思路4.1 平移变换与二次函数的关系平行四边形具有平移不变性，即保持所有边平行的同时可以移动。
我们可以利用平行四边形的特性，通过平移变换来研究二次函数的图像平移。
给定一个已知的抛物线y=x^2，在x轴上平移h个单位，得到新的抛物线y=(x-h)^2。
(教学反思)二次函数综合(动点)问题平行四边形存在问题
《二次函数综合（动点）问题——平行四边形存在性问题》
教学反思
本节课是在学习二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质及平行四边形性质的基础上来探究二次函数中动点问题与平行四边形模型的一节复习课；通过教学，让熟练掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质；熟练掌握平行四边形的性质；并会对平行四边形模型进行探究，分类讨论不同的情况；在整个教学中，我首先在学生掌握二次函数
y=ax2+bx+c的图像和性质的基础上，先脱离二次函数，再回到二次函数的情景中研究；先从简单入手探究平面直角坐标系中动点情况下平行四边形的存在问题，然后回到二次函数前提下的平行四边形存在问题。
利用几何画板，充分运用数形结合、转化、方程等数学思想来帮助解题。
在整个教学过程中培养了学生的处理图像综合运用的能力；让学生养成从特殊到一般，从简单到复杂的学习方法；形成对图形的处理能力，形成解题技巧，树立对解决此类问题的信心。
二次函数中平行四边形的通用解决方法
二次函数中平行四边形的通用解决方法要解决关于二次函数的平行四边形问题，我们需要了解二次函数的一般形式、平行四边形的性质以及如何将这两者结合起来解决问题。
首先，二次函数的一般形式可以写为f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c是常数，a不等于0。
接下来，我们需要了解平行四边形的性质。
平行四边形是一个有四个边，且对边平行的四边形。
根据平行四边形的性质，我们可以得到以下重要结论：1.对边平行：平行四边形的相对边是平行的，也就是说，如果ABCD是一个平行四边形，那么AB与CD平行，且AD与BC平行。
2.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，也就是说，对角线AC和BD相交于E，那么AE与CE的长度相等，BE与DE的长度也相等。
3.同底异位角相等：平行四边形的同底异位角相等，也就是说，对于平行四边形ABCD，∠A=∠C，且∠B=∠D。
现在我们来看一些具体问题，并探讨如何应用这些性质解决平行四边形问题。
问题1：已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
如何证明函数图像与y轴平行？解答：要证明函数图像与y轴平行，我们需要证明函数的导数为0。
导数表示了函数的斜率，如果导数为0，则对应的函数图像是水平的，即与y轴平行。
首先计算函数的导数f'(x) = 2ax + b。
要证明f'(x) = 0，我们可以解方程2ax + b = 0。
解这个方程可以得到x = -b/(2a)。
因此，当x=-b/(2a)时，函数的导数为0。
根据导数的意义，这意味着函数的图像与y轴平行。
问题2：已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
如何确定函数图像的顶点坐标？解答：要确定函数图像的顶点坐标，我们可以利用导数的信息。
对于二次函数来说，它的顶点坐标对应着导数为0的点。
首先计算函数的导数f'(x) = 2ax + b。
要求导数为0，我们可以解方程2ax + b = 0。
中考数学复习《二次函数与平行四边形的综合》专项检测卷(附带答案)
中考数学复习《二次函数与平行四边形的综合》专项检测卷(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图1，已知抛物线2y x x =-++23与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，点M 是直线BC 上方抛物线上的一动点．(1)求抛物线的顶点D 的坐标和直线BC 的解析式；(2)如图1，连接AM 交BC 于点P ，若12MP AP =，求此时点M 的坐标； (3)如图2，直线y x b =+与抛物线交于A ，E 两点，过顶点D 作DF y ∥轴，交直线AE 于点F ．若点G 是抛物线上一动点，试探究在直线AE 上是否存在一点H ，使得以点D ，F ，G ，H 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点H 的坐标，若不存在，请说明理由．2．如图，二次函数28y ax bx =++的图像与坐标轴分别交于点A 、B 、C ，5cos B 和:1:2AO BO =．(1)求二次函数表达式；(2)在第二象限内，线段AC 上有一点D ，作PD 平行于x 轴，交二次函数图像于点P 、H （点P 在y 轴左侧），作点Q 与点P 关于y 轴对称．①证明：四边形AQHO 为平行四边形；①若ACQ 是以AC 为斜边的直角三角形，求点P 的横坐标；①直角坐标系内存在点(,)E x y ，使得四边形CQEH 为平行四边形，请直接写出y 与x 的函数表达式，并求当线段PD 的长度最大时，点E 的坐标．3．如图，二次函数()20y x bx c b =-++>的图像与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点()0,4C ，二次函数的最大值为254，P 为直线BC 上方抛物线上的一动点．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图1，过点P 作PD BC ⊥，垂足为D ，连接CP ．是否存在点P ，使以点C ，D ，P 为顶点的三角形与AOC 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点Q 也是直线BC 上方抛物线上的一动点（点Q 在点P 的左侧），分别过点P ，Q 作y 轴的平行线，分别交直线BC 于点M ，N ，连接PQ ．若四边形PQNM 是平行四边形，且周长l 最大时，求l 的最大值及相应的点P 的横坐标．4．已知，如图1，在平行四边形ABCD 中，对角线6cm AC =，8cm BC =和10cm AB =，如图2，点G 从点B 出发，沿BC 方向匀速运动，速度为1cm/s ，过点G 作GH BC ⊥交AB 于点H ；将平行四边形ABCD 沿对角线AC 剪开，DEF 从图1的位置与点G 同时出发，沿射线BC 方向匀速运动，速度为2cm /s ，当点G 停止运动时，DEF 也停止运动．设运动时间为()08t t <≤，解答下列问题：(1)当t 为何值时，点F 在线段GD 的垂直平分线上？(2)设四边形AHGD 的面积为()2cm S ，试确定S 与t 的函数关系式，并求S 的最大值； (3)连接EG ，试求当AG 平分BAC ∠时，四边形EGFD 与四边形AHGE 面积之比．5．如图，已知抛物线与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且()3,0A -，()1,0B 和()0,3C ，顶点为P ．(1)求抛物线的解析式；(2)若以A ，C ，P ，M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．6．已知抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，点()3,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为点D ，点P 为抛物线上的一个动点(1)求抛物线的解析式；(2)若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACE CEB S S =，求线段CE 的长是多少？(3)当点P 在第一象限时，连接PC 和PB ，求PBC 面积的最大值时多少？(4)若点Q 在x 轴上，当以点D ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点P 的坐标．7．如图，抛物线21262y x x =--与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．(1)请直接写出点A ，B ，C 的坐标；(2)点()(),06P m n m <<在抛物线上，当m 取何值时，PBC 的面积最大？并求出PBC 面积的最大值．(3)点F 是抛物线上的动点，作FE AC ∥交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．8．综合与探究：如图1，已知抛物线2142y x x =-++与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，直线BD 与y 轴相交于点D ，交线段AC 于点E ，且27BD DE =.(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)求直线BD 的函数表达式；(3)如图2，若抛物线的对称轴l 与直线BD 交于点P ，试探究，在平面内是否存在一点Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.9．综合与探究如图，抛物线214433y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，P 是直线BC 上方抛物线上一动点．(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式．(2)连接PB，PC，求PBC面积的最大值及此时点P的坐标．(3)在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线223=-++与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C，y x x连接BC．(1)求ABC的面积；(2)如图2，点P是该抛物线上一个动点，并沿抛物线从点B运动至点A，连接PO、PB，并以PO、PB为边作平行四边形POQB．①当平行四边形POQB的面积为9时，求点P的坐标；①直接写出在整个运动过程中，点Q与线段BC的最大距离是．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B -和点()2,0C ，连接AB 、AQ 、BQ ，BQ 与y 轴交于点N ．(1)求抛物线表达式；(2)点713Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点M 在x 轴上，点E 在平面内，且四边形ANEM 是平行四边形． ①求点E 的坐标；①设射线AM 与BN 相交于点P ，交BE 于点H ，将BPH 绕点B 旋转一周，旋转后的三角形记为11BP H △，求11BP 的最小值．12．如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点(1,0)A ，(3,0)B 与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标；(3)若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A ，B ，P ，F 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P 的坐标．13．如图，抛物线22y x x c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线3y x =-+经过B ，C 两点．(1)求抛物线的函数表达式．(2)已知P 为抛物线22y x x c =-++上一点（不与点B 重合），若点P 关于x 轴对称的点P '恰好在直线BC 上，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，以AB 为对角线画平行四边形AMBP '，将抛物线22y x x c =-++的顶点沿直线y x b=-+平移得到的抛物线恰好经过点M ，求平移后的抛物线的函数表达式．14．如图，抛物线22(0)y x x m m =-++>与y 轴交于A 点，其顶点为D ．直线122y x m =--分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点，与直线AD 相交于E 点．(1)求A 、D 的坐标（用m 的代数式表示）；(2)将ACE 沿着y 轴翻折，若点E 的对称点P 恰好落在抛物线上，求m 的值；(3)抛物线22(0)y x x m m =-++>上是否存在一点P ，使得以P 、A 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．15．若直线5y x =-与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点A ，点B ，且与x 轴交于点()1,0C -．(1)求二次函数的解析式；(2)若点P 为直线AB 下方抛物线上一点，过点P 作直线AB 的垂线，垂足为E ，作PF y ∥轴交直线AB 于点F ，求线段PF 最大值及此时点P 的坐标；(3)将抛物线沿x 轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线y '，Q 是新抛物线y '与x 轴的交点（靠近y 轴），N 是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M ，使得以M 、N 、B 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M 的坐标．参考答案：1．(1)()1,4D 3y x =-+(2)点M 的坐标的()1,4或()2,3(3)存在，点H 的坐标为()0,1或()2,3或117317++⎝⎭,或117317--⎝⎭,2．(1)228y x x =-++ (2)①12-①21102y x =-+ (4,2)E3．(1)抛物线的解析式为234y x x =-++，直线BC 的解析式为4y x =-+(2)点P 的坐标为1846,525⎛⎫ ⎪⎝⎭或12136,525⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)l 的最大值为12，相应的点P 的横坐标224．(1)2 (2)23924(08)8S t t t =-++<≤ (3)168955．(1)223y x x =--+(2)()2,1-- ()4,1- ()2,76．(1)223y x x =-++；(3)278；(4)点P 的坐标为()11-或()11-或()1或()1．7．(1)()2,0A - ()6,0B ()0,6C -；(2)3m =，PBC 面积的最大值272；(3)存在，()2+或()2-或()4,6-．8．(1)()2,0A - ()4,0B ()0,4C (2)1433y x =-+ (3)()3,3-或()1,3--或()3,59．(1)()()2060A B -，，， ()04C ， 243y x =+ (2)PBC 的面积最大值为9，此时点P 的坐标为()35-，(3)713⎛⎫ ⎪⎝⎭，或753⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()73--，10．(1)6(2)①(0,3)或(2,3)；212 11．(1)214433y x x =--+ (2)①()2,2E --；①6212．(1)243y x x =-+； (2)94，33,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； (3)点P 的坐标为2,1或()4,3或()0,3．13．(1)223y x x =-++(2)(2,5)P --．(3)2(6)1y x =---14．(1)()()0,,1,1A m D m + (2)32m = (3)2524y x x =-++或2124y x x =-++15．(1)245y x x =--(2)PF 有最大值254，点P 的坐标为53524,⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)满足条件的点M 的坐标有()4,9M -或()6,5-或()2,27-。
二次函数与平行四边形综合题
二次函数与平行四边形综合题【最新版】目录1.二次函数与平行四边形的关系2.如何利用二次函数解决平行四边形问题3.实例解析正文二次函数与平行四边形的关系二次函数是一种数学函数，其图像通常为抛物线。
在几何中，平行四边形是一种四边形，其中对边两两平行。
二次函数与平行四边形看似不相关，但在一些数学问题中，它们却有着密切的联系。
例如，在解决一些涉及平行四边形的综合题目时，我们可以通过二次函数来找到平行四边形的性质，从而解决问题。
如何利用二次函数解决平行四边形问题利用二次函数解决平行四边形问题的关键在于找到平行四边形的对角线。
对角线是平行四边形中连接不相邻顶点的线段。
根据平行四边形的性质，对角线互相平分，且对角线中点重合。
因此，在解决平行四边形问题时，我们可以通过找到二次函数图像上的两个点，并求出这两个点的中点，从而确定平行四边形的对角线。
实例解析假设我们有一个二次函数 y = 2x^2 + 3x - 2，我们需要找到这个二次函数与平行四边形的关系。
首先，我们可以通过求导数的方法找到二次函数的顶点坐标。
对于这个二次函数，顶点的横坐标为 -b / (2a)，即 -3 / (2 * 2) = -3 / 4。
将横坐标代入原函数，可得顶点的纵坐标为 y = 2 * (-3 / 4)^2 + 3 * (-3 / 4) - 2 = -25 / 8。
因此，顶点坐标为 (-3 /4, -25 / 8)。
接下来，我们可以根据顶点坐标和二次函数的性质，求出与平行四边形相关的两个点。
首先，我们可以求出过顶点的两条直线的方程。
一条直线的斜率为 -2 / 3，过顶点，可得直线方程为 y + 25 / 8 = -2 / 3 (x + 3 / 4)，即 y = -2 / 3 x - 1 / 4。
另一条直线的斜率为 1 / 2，过顶点，可得直线方程为 y + 25 / 8 = 1 / 2 (x + 3 / 4)，即 y = 1 / 2 x + 11 / 8。
二次函数与平行四边形综合
这一关系提供了许多解析几何和图形问
题的有用工具，例如寻找最小值、最大
值和对称性。
3
图像
通过绘制函数和平行四边形的图形，可 以应用这些概念进行可视化。
平行四边形和二次函数的图像
图像
绘制平行四边形和二次函数的图 像可以使它们之间的关系更加清 晰。
二次函数图像
二次函数的图像通常采用抛物线 形式呈现，具有对称性和顶点。
平行四边形图像
平行四边形的图像可以通过将其 边界显示为矩形来构建。
平行四边形和二次函数的应用Fra bibliotek1 应用
这些概念在解析几何、物理学、计算机图形 学和工程等领域中有许多实际应用。
2 示例
可以使用这些概念解决包括区域最小化、体 积最大化、场景生成和动画路径设计等问题。
平行四边形和二次函数的解析几何证明
证明
二次函数的定义和性质
定义
二次函数是一种形式为 y=ax^2+bx+c 的函数，其中 a、b 和 c 是常数，且 a ≠ 0。
性质
二次函数具有许多重要的性质，如顶点、对称轴、单调性和极限。
平行四边形与二次函数的关系
1
关系
二次函数的顶点是平行四边形的中心点，
性质
2
同时平行四边形的对角线是二次函数的 对称轴。
需要应用纯粹的解析几何和一些基本的代数知识来 证明二次函数和平行四边形之间的关系。
方法
关键在于了解二次函数和平行四边形的特点和性质， 并将它们进行运算和变形，以显示它们之间的关系。
总结和要点
总结
在本演示中，我们介绍了平行四边形的定义和 性质，二次函数的定义和性质，以及二者之间 的关系和应用。
要点
关键是要理解二次函数和平行四边形的特征和 性质，并能将它们相互关联。
二次函数与平行四边形综合题
二次函数与平行四边形综合题摘要：1.二次函数与平行四边形的关系2.怎样找全平行四边形3.平行四边形的性质及应用4.实例解析5.总结与展望正文：一、二次函数与平行四边形的关系二次函数是一种数学函数，表示为y=ax+bx+c（a≠0），其中a、b、c 为常数。
在几何中，平行四边形是一种四边形，其中对边两两平行。
二次函数与平行四边形看似没有直接关系，但在一些数学问题中，它们可以结合起来解决一些复杂的问题。
例如，在二次函数的图像上，如果存在两个点A、B，使得线段AB 与x 轴、y 轴构成平行四边形，那么可以利用这个性质求解一些问题。
二、怎样找全平行四边形要找全平行四边形，需要先确定二次函数的解析式。
假设已知二次函数过三个点A(x1, y1)、B(x2, y2) 和C(x3, y3)，我们可以用待定系数法求解二次函数的解析式。
具体步骤如下：1.设二次函数的解析式为y=ax+bx+c。
2.将点A、B、C 的坐标代入解析式，得到三个方程：y1 = ax1 + bx1 + cy2 = ax2 + bx2 + cy3 = ax3 + bx3 + c3.解这三个方程，得到a、b、c 的值。
4.将a、b、c 的值代入解析式，得到二次函数的解析式。
得到二次函数的解析式后，可以进一步求解线段AB 与x 轴、y 轴构成平行四边形的问题。
具体方法如下：1.求线段AB 的中点M，即M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
2.求线段AB 的斜率k，即k=(y2-y1)/(x2-x1)。
3.求过点M 且斜率为k 的直线方程，即y-(x1+x2)/2 = k(x-(x1+x2)/2)。
4.求该直线与x 轴、y 轴的交点，分别记为D 和E。
5.判断四边形ABED 是否为平行四边形。
如果AD//BE 且AD=BE，则四边形ABED 为平行四边形。
三、平行四边形的性质及应用平行四边形具有以下性质：1.对边平行且相等。
2.对角线互相平分。
二次函数与平行四边形
二次函数与平行四边形一、引言二次函数和平行四边形是高中数学中的重要概念和知识点。
二次函数是一种常见的函数形式，具有很多重要的特征和性质，而平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和定理。
本文将分别介绍二次函数和平行四边形的相关内容，并探讨它们之间的关联。
二、二次函数1.定义二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。
2.性质(1)对称性：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
(2)顶点：二次函数的图像的顶点是抛物线的最高点或最低点。
(3)零点：二次函数的图像与x轴相交的点称为零点，也就是函数的根。
(4)判别式：二次函数的判别式Δ=b²-4ac可以判断函数的图像与x 轴的交点情况，若Δ>0，则有两个不同的零点；若Δ=0，则有一个重根；若Δ<0，则无实根。
3.应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。
例如，抛物线的形状可以用来描述物体的抛射轨迹；二次函数的最优化问题可以用来求解最大值或最小值等。
三、平行四边形1.定义平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
平行四边形的对边长度相等，对角线互相平分，且对角线互相垂直。
2.性质(1)对边性质：平行四边形的对边长度相等。
(2)对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，并且互相垂直。
(3)角性质：平行四边形的对角线将四个角分成两对互补的角。
3.定理平行四边形有若干重要的定理，如以下几个例子：(1)对角线分割定理：平行四边形的对角线将其分割成两个面积相等的三角形。
(2)对角线互相平分定理：平行四边形的对角线互相平分，即将其分成两个面积相等的三角形。
(3)平行四边形面积定理：平行四边形的面积等于底边长乘以高。
四、二次函数与平行四边形的关联1.关联性质二次函数的图像是一个抛物线，而平行四边形的形状可以近似为一个抛物线。
二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，而平行四边形的对角线交点可以看作是其最高点或最低点。
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【例1】 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3
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y x =-+与x 轴、y 轴的交点分 别为A B 、，
将OBA ∠对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点.C （1）直接写出点C 的坐标，并求过A B C 、、三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为T Q ，
为线段BT 上一点，直接写出QA QO -的取值范围.
【例2】 如图，点O 是坐标原点，点(0)A n ，是x 轴上一动点(0)n <.以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在第二象限，且2OB OA =．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90︒得矩形AGDE ．过点A 的直线y kx m =+(0)k ≠交y 轴于点F ，FB FA =．抛物线2y ax bx c =++过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM x ⊥轴，垂足为点M ． ⑴ 求k 的值；
⑵ 点A 位置改变时，AMH ∆的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由．
【例3】 如图1，Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3
tan 4
B =
，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，已知y 是x 的函数，其图
象是过点()1236，的抛物线的一部分（如图2所示）．
（1）求AB 的长；
（2）当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值．
R Q B
C
A
二次函数与平行四边形综合
B '
D A y=x 2-4
【例4】 如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．
（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等；
（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确 定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；
（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE ∆的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE ∆的周长；
（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN =∠°？若存在，请直接写出点P 的坐标．
【例5】 如图，已知抛物线1l ：24y x =-的图象与x 轴相交于A C 、1A C 、重合)，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D ． （1）求2l 的解析式；
（2）求证：点D 一定在2l 上；
（3）平行四边形ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由．（注：计算结果不取近似值．）
【例6】 如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是()40A -，
，()20B -，，()08E ，． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式；
（2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C ，D 两点(点C 在点D 的左侧)，顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，说明理由．
【例7】 如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数2
14
y x =在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为()01，，直线l 过()01B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴、直线l 于C Q 、，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ．
⑴ 求证：H 点为线段AQ 的中点； ⑵ 求证：四边形APQR 为菱形； ⑶ 除P 点外，直线PH 与抛物线2
14
y x =有无其它公共点？若有，求出其它公共点的坐标；若没有，请说明理由．
x
【例8】 如图，在平面直角坐标系内，以y
轴为对称轴的抛物线经过直线y 点0M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式； （2）将（1）中所求抛物线沿x 轴平移．
①在题目所给的图中画出沿x 轴平移后经过原点的抛物线大致图象；
②设沿x 轴平移后经过原点的抛物线对称轴与直线AB 相交于C 点．判断以O 为圆心，OC 为半径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由；
（3）P 点是沿x 轴平移后经过原点的抛物线对称轴上的点。
求P 点的坐标，使得以O A C P 、、、 四点为顶点的四边形是平行四边形．
【例9】 如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半
轴上，且1AB =，OB ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P
Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P
在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。