北京市丰台区2021届高三一模考试数学试题Word版含答案
北京市丰台区2021届高三一模考试数学试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则AB =（A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，，（D ）{1012}-，，，2． 已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4． 圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25． 已知132a =，123b =，31log 2c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ，（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个俯视图左视图（点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换： ① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）.其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15． 已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆 22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（Ⅰ）从上表三社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传 心理咨询A 100 30 30 20 20B 120 40 35 20 25C 15050403030个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率；（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；（Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：的离心率为2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分） 已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5；② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,.（i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1； （ⅱ）求数列C 所有项的和.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2021届高三一模考试数学试题参考答案二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①②2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a =. …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1sin 22C C C =+1sin 22C C =-πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-. 因此π33sin()()322C -∈-,. 于是33sin 3cos (,)22B C -∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,，=(211)AM -,,，=(020)BC -,,，=(220)BA -,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, ,令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而2cos 2m n m n⋅<>==⋅,m n .解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx-.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增.因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分 20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意2222112.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,. 所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M . 直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-. 所以22022(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分21．（本小题共14分） 解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1. …………4分（Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==. 于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===. 依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,. 所以1k b =(12)k n =,,,.若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==.于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==.依次类推可得121b b ==.所以1k b =(12)k n =,,,.综上可知，数列B 中的每一项均为1. …………8分 （ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,使得110k k k b b b -+===.若存在{}21k n ∈-,,使得110k k k b b b -+===，则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,.由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下：(1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,.于是0k c =(12)k n =,,,.所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =，此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,.于是22401n b b b b ==≠=,.故4531,0,0n c c b b ====于是1156010n b b c b -≠===,,，于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,.依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233nnS n =-= .同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时，当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意.此时所有项的和23n S = . 综上，所有项的和0S =或23n S =（n 是3的倍数）. …………14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
北京市丰台区2021届高三数学一模试题(含解析)
北京市丰台区2020届高三数学一模试题（含解析）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合{}12A x x =∈-<<Z ，{}220B x x x =-=，则A B =（ ）A. {}0B. {}0,1C. {}0,1,2D.1,0,1,2【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再求并集即可. 【详解】{0,1},{0,2}A B =={0,1,2}A B ∴=故选：C【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题.2.已知向量(),2a x =，()2,1b =-，满足//a b ，则x =（ ） A. 1 B. 1-C. 4D. 4-【答案】D 【解析】 【分析】由向量平行的坐标运算求解即可. 【详解】向量(),2a x =，()2,1b =-，//a b ，2(2)4x ∴=⨯-=-故选：D【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数，属于基础题. 3.若复数z 满足1zi i=+，则z 对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数z ，确定对应复平面的点，即可得出答案. 【详解】(1)1z i i i =+=-+，其对应复平面的点为(1,1)-，在第二象限 故选：B【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及几何意义，属于基础题. 4.圆()2212x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（ ）A. 2C. 1D.2【答案】B 【解析】 【分析】由圆的方程得出圆心坐标，利用点到直线的距离公式得出答案. 【详解】圆()2212x y -+=的圆心坐标为(1,0)则圆心(1,0)到直线10x y ++=的距离d ==故选：B【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，属于中档题. 5.已知132a =，123b =，31log 2c =，则（ ） A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D.b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数和幂函数的单调性求解即可.【详解】66121342372⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0a b ∴<<331log log 021c =<= b a c ∴>>故选：C【点睛】本题主要考查了利用对数函数和幂函数的单调性比较大小，属于中档题. 6.“ x >1”是“1x<1”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先解分式不等式可得：11x<等价于1x >或0x <，再由“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件，即可得解. 【详解】解：因为11x<等价于10x x ->等价于1x >或0x <， 又“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件， 即“ x >1”是“1x<1”的充分而不必要条件， 故选A.【点睛】本题考查了分式不等式的解法及充分必要条件，属基础题.7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于3的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】 【分析】根据三视图得出该几何体的直观图，根据三角形的面积公式，即可得出结论. 【详解】该几何体对应的直观图如下图所示12332ABCS=⨯⨯=；12332ABDS =⨯⨯=； 222(3)7AC =+=，22(3)7AD =+=12332BCDS∴=⨯⨯=，2212(7)162ACD S ∆=⨯⨯-= 则面积等于3的有3个 故选：C【点睛】本题主要考查了根据三视图求直观图的面积，属于中档题.8.过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60︒的直线与抛物线C 交于两个不同的点A ，B （点A 在x 轴上方），则AFBF的值为（ ）A.13B.433 D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据几何关系以及抛物线的定义得出2AF p =，由直角三角形的边角关系得出A y ，再由直线AB 和抛物线的方程联立，结合韦达定理得出B y ，结合BFQ AFN ∆∆，对应边成比例，即【详解】设(,),(,)A A B BA x yB x y ，过点A 分别作准线和x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作x 轴的垂线，垂足于点Q ，直线AB 与准线交于点D ，准线与x 轴交于点E 直线AB 的倾斜角为60︒，30MDA ︒∴∠=，即2AD AM = 由抛物线的定义知，AM AF =，则2AD AF =，即点F 为AD 中点由于//AM EF ，则22AM EF p ==，即2AF p =，则2sin603A y p p =︒=设直线AB 的方程为32p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即332p x y ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭并代入22y px =中，得：222303p y y p --=，即2A B y y p =-，则233B p y p -== 由于BFQ AFN ∆∆，则||33||3A B y AF p BF y p==⨯=- 故选：D【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，属于中档题. 9.将函数()sin f x x ω=（0>ω）的图象向左平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =，下列说法错误．．的是（ ） A. ()g x 为偶函数B. 02g π-=⎛⎫⎪⎝⎭C. 当5ω=时，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点 D. 若()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为9 【答案】D 【解析】 【分析】由平移变换和两角和的正弦公式化简得出函数()g x 的解析式，利用定义得出奇偶性，进而判断A 选项；将2x π=-代入函数()g x 的解析式，即可判断B 选项；由余弦函数的性质判断C ，D.【详解】由题意得()sin 2g x x πωω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由(0)sin12g πω==，得出cos02πω=则()sin sin coscos sincos 222g x x x x x ππωπωωωωωω⎛⎫=+=⋅+⋅= ⎪⎝⎭对A 项，函数()g x 的定义域为R ，()cos()cos ()g x x x g x ωω-=-==，则函数()g x 为偶函数 对B 项，cos cos 0222g πππωω⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对C 项，当5ω=时，()cos5g x x =，由5,2x k k Z ππ=+∈得：,105k x k Z ππ=+∈ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，x 可以取3,,10102πππ，即当5ω=时，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点对D 项，由22,k x k k Z πωππ≤+∈，解得22,,k k x k Z πππωωω⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦则函数()g x 在区间0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减因为()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以5ππω≤，解得05ω<≤ 即ω的最大值为5 故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换求解析式，余弦函数性质的应用，在求余弦型函数的单调性时，利用整体法将余弦型函数的单调性化归为余弦函数的单调性来处理问题，属于中档题.10.已知函数()e 1,0,,0.x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k的取值范围是（ ） A. (),1-∞- B. (],1-∞-C.1,0D. [)1,0-【答案】A 【解析】 【分析】将方程的有解问题转化为函数图象的交点问题，利用导数，即可得出实数k 的取值范围. 【详解】不妨设00x >当0k ≥时，()00=e 10xf x ->，()000f x kx -=-≤，不存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则0k ≥不满足题意当k 0<时，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则方程00e 1xkx -=-有非零的正根，即函数()e 1,0xy x =->与(),0y kx x =->有交点先考虑函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切的情形设切点为11(,)x y ，则11111e 1x x k e y kx y ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，整理得()111e 10xx -+=令()()1e 1,0xg x x x =-+≥，则()0e xg x x '=≥，即函数()g x 在[)0,+∞上单调递增则()(0)0g x g ≥=，所以方程()111e 10xx -+=的根只有一个，且10x =，即1k -=则函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切时，切点为原点所以要使得函数()e 1,0xy x =->与(),0y kx x =->有交点，则1k ->，即1k <-所以实数k 的取值范围是(),1-∞- 故选：A【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，导数研究方程的根，属于中档题.第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =-，则5S =______. 【答案】25 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式求解即可. 【详解】()15555(19)2522a a S ++=== 故答案为：25【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题. 12.若1x >，则函数()11f x x x =+-的最小值为______，此时x =______. 【答案】 (1). 3 (2). 2 【解析】 【分析】 将()11f x x x =+-化为1()111f x x x =-++-，再由基本不等式求解即可. 【详解】1()112(1)131f x x x x =-++-=- 当且仅当111x x -=-，即2x =时，取等号 即函数()11f x x x =+-的最小值为3，此时2x = 故答案为：3；2【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.13.已知平面α和三条不同的直线m ，n ，l .给出下列六个论断：①m α⊥；②//m α；③//m l ；④n α⊥；⑤//n α；⑥//n l .以其中两个论断作为条件，使得//m n 成立.这两个论断可以是______.（填上你认为正确的一组序号） 【答案】①④（或③⑥） 【解析】 【分析】根据空间中直线，平面的位置关系进行判断即可.【详解】对①④，由线面垂直的性质定理可知，若m α⊥，n α⊥，则//m n ，故可填①④ 对①⑤，若m α⊥，//n α，则m n ⊥；对①⑥，若m α⊥，//n l ，则无法判断,m n 的位置关系； 对②④，若//m α，n α⊥，则m n ⊥；对②⑤，若//m α，//n α，则,m n 可能相交，平行或异面； 对②⑥，若//m α，//n l ，则无法判断,m n的位置关系；对③④，若//m l ，n α⊥，则无法判断,m n 的位置关系； 对③⑤，若//m l ，//n α，则无法判断,m n 的位置关系；对③⑥，由平行的传递性可知，若//n l ，//m l ，则//m n ，故可填③⑥ 故答案为：①④（或③⑥）【点睛】本题主要考查了判断空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题.14.如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换.有下列3种变换： ①对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ②对任意z C ∈，变换：求z 的共轭复数；③对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k ，b 均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是______. 【答案】①② 【解析】 【分析】由集合的运算性质，复数的性质结合题意，进行判断即可. 【详解】对①，集合A 的补集为集合RA ，集合RA 的补集为集合A ，故①为“回归”变换对②，设z a bi =+，,a b ∈R ，复数z 的共轭复数为z a bi =-，复数z 的共轭复数为()a b i a bi z --=+=，故②为“回归”变换对③，当0x =时，00k b b →⨯+=，b kb b →+，由于k ，b 均为非零实数，则kb b +不一定为0，则③不是“回归”变换 故答案为：①②【点睛】本题主要考查了集合的运算以及共轭复数的定义，属于中档题.15.已知双曲线M ：2213y x -=的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA ，OC 所在直线.若椭圆N ：22221x y a b+=（0a b >>）经过A ，C 两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a =______.【答案】12【解析】 【分析】由双曲线渐近线的斜率得出60AOB ∠=︒，进而得出点A 的坐标，根据题意得出椭圆N 的半焦距，再由椭圆的定义，即可得出a 的值.【详解】因为OA 为双曲线2213y x -=的渐近线，所以OA k =60AOB ∠=︒所以sin 602AD AO ︒==，1cos602OD AO ︒=⋅=，则1,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭因为21OB OD ==，所以椭圆N 的半焦距1c = 设椭圆N 的左焦点为1F ，则1(1,0)F -，连接1AF 由椭圆的定义可得12AF AB a +=2a =，解得a =故答案为：12【点睛】本题主要考查双曲线的基本性质以及椭圆的基本性质，其中利用定义求a 是解题的关键，属于中档题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，3A π=.（1）当2b =时，求a ；（2）求sin 3B C 的取值范围.【答案】（1）3a =2）33sin 322B C ∈⎛ ⎝⎭【解析】 【分析】（1）由余弦定理，即可得出a 的值；（2）由23B C π=-，结合三角恒等变换得sin 3B C sin 3C π=-⎛⎫⎪⎝⎭，再由C 的范围确定3C π-的范围，最后由正弦函数的性质即可得出结论.【详解】解：（1）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得22224224cos 123a π=+-⨯⨯⋅=.所以3a =（2）由3A π=可知，23B C π+=，即23B C π=-. 2sin 3sin 33B C C C π=-⎛⎫⎪⎝⎭31cos sin 3cos 22C C C =+- 13sin cos 22C C =-sin 3C π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为23B C π+=，所以20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故,333C πππ-∈-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因此33sin ,322C π-∈-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 于是33sin 3cos ,22B C -∈-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用以及与三角函数性质结合的应用，属于中档题. 17.如图，在四棱锥M ABCD -中，//AB CD ，90ADC BM C ∠=∠=，M B M C =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（1）求证：//CD 平面ABM ； （2）求证：AC ⊥平面BCM ；（3）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π？若存在，求出AEAM 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在；23AE AM=【解析】 【分析】（1）由线面平行判定定理证明即可；（2）由勾股定理得出2BC =，进而得AC BC ⊥，再由面面垂直的性质定理即可证明AC ⊥平面BCM ；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】证明：（1）因为AB CD ∥，AB 平面ABM ，CD ⊄平面ABM ，所以CD ∥平面ABM .（2）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中， 易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥.在Rt CNB △中，由勾股定理得2BC =. 在ACB △中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM .（3）取BC 的中点O ，连接OM ，ON . 所以ON AC ∥， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,1M ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()2,1,0A -，()2,1,1AM =-，()0,2,0BC =-，()2,2,0BA =-.易知平面BCM 的一个法向量为()1,0,0m =.假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π. 不妨设AE AM λ=（01λ≤≤）， 所以()22,2,BE BA AE λλλ=+=--， 设(),,n x y z =为平面BCE 的一个法向量，则0,0,n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即()20,220,y x z λλ-=⎧⎨-+=⎩令x λ=，22z λ=-，所以(),0,22n λλ=-.从而2cos ,2m n m nm n ⋅==⋅.解得23λ=或2λ=. 因为01λ≤≤，所以23λ=. 由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π，此时23AE AM=.【点睛】本题主要考查了证明线面平行，线面垂直以及由面面角求其他量，属于中档题. 18.在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（1）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率；（2）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；（3）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，“1A ξ=，1B ξ=，1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=，0B ξ=，0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）【答案】（1）337（2）详见解析（3）()()()A C B D D D ξξξ>> 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可；（2）先求出A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率，得出X 的所有可能取值，并计算出相应的概率，即可得出分布列；（3）根据方差的意义进行判断即可.【详解】解：（1）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，()30310012015037P D ==++.所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. （2）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为310，13，13. X 的所有可能取值为0，1，2，3. ()7222814010339045P X ==⨯⨯==，()3227127214041103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==， ()31232171119210331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()31131310339030P X ==⨯⨯==.X 的分布列为：（3）()()()A C B D D D ξξξ>>【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列，属于中档题. 19.已知函数()()ln 1f x a x x x =+-+.（1）若曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （2）当0a =时，求证：()0f x ≥； （3）若函数()f x 在区间1,上存在极值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0a =（2）证明见解析（3）,0【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）利用导数得出函数()f x 的单调性，进而得出其最小值，即可证明()0f x ≥； （3）分类讨论a 的值，利用导数得出()f x 的单调性，结合题意，即可得出实数a 的取值范围.【详解】解：（1）因为()()ln 1f x a x x x =+-+， 所以()ln a f x xx '=+.由题知()e ln e 1eaf '=+=， 解得0a =.（2）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以()ln f x x '=. 当()0,1x ∈时，0f x ，()f x 在区间0,1上单调递减； 当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 在区间1,上单调递增；所以()10f =是()f x 在区间0,上的最小值.所以()0f x ≥.（3）由（1）知，()ln ln a x x af x xxx +'=+=.若0a ≥，则当()1,x ∈+∞时，0f x，()f x 在区间1,上单调递增，此时无极值.若0a <，令()()g x f x '=， 则()21a g x x x'=-. 因为当()1,x ∈+∞时，0g x ，所以()g x 在1,上单调递增.因为()10g a =<， 而()()eee 10aaa g a a a -=-+=->，所以存在()01,eax -∈，使得()00g x =.fx 和()f x 的情况如下：x因此，当0x x =时，()f x 有极小值()0f x . 综上，a 的取值范围是(,0)-∞.【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式，导数几何意义的应用等，属于中档题.20.已知椭圆C ：22221y x a b +=（0a b >>），点1,0P 在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A ，B. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线PA ，PB 分别交y 轴于M ，N 两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212y x +=（2）存在；点()Q【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，求解即可； （2）假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=，根据几何关系得出tan tan OQN OMQ ∠=∠，进而得到2OQ ON OM =，设出直线PA ，PB 的方程，得出,M N 的纵坐标，进而得到22201y m x =-，结合()220021y x =-，解出m 的值，求出点Q 的坐标.【详解】解：（1）由题意222211b ca abc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，21b =.所以椭圆C 的方程为2212y x +=.（2）假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(),0Q m因为2OQN OQM π∠+∠=，所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQ OM=，所以2OQ ON OM =. 因为直线0y y =交椭圆C 于A ，B 两点，则A ，B 两点关于y 轴对称. 设()00,A x y ，()00,B x y -（01x ≠±）， 因为1,0P ，则直线PA 的方程为：()0011y y x x =--. 令0x =，得001M y y x -=-. 直线PB 的方程为：()0011y y x x -=-+. 令0x =，得001M y y x =+. 因为2OQ ON OM =，所以22201y m x =-.又因为点()00,A x y 在椭圆C 上，所以()220021y x =-.所以()20222121x m x-==-.即m =.所以存在点()Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立.【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程以及椭圆中存在定点满足条件的问题，属于中档题. 21.已知有穷数列A ：12,,,,,k n a a a a （*n ∈N 且3n ≥）.定义数列A 的“伴生数列”B ：12,,,,,k n b b b b ，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠⎧=⎨=⎩，，（1,2,,k n =），规定0n a a =，11n a a +=.（1）写出下列数列的“伴生数列”： ①1，2，3，4，5； ②1，1-，1，1-，1.（2）已知数列B 的“伴生数列”C ：1c ，2c ，…，k c ，…，n c ，且满足1k k b c =+（1k =，2，…，n ）.（i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1； （ⅱ）求数列C 所有项的和.【答案】（1）①1，1，1，1，1②1，0，0，0，1（2）（i ）证明见解析（ⅱ）所有项的和0S =或23n S =（n 是3的倍数）【解析】 【分析】（1）根据“伴生数列”的定义求解即可； （2）（i ）设存在{}1,2,,1k n =-，使得11k k b b +==，讨论1k =和21k n ≤≤-，结合“伴生数列”的定义证明即可；（ⅱ）利用反证法得出不可能存在110k k k b b b -+===，{}2,,1k n ∈-，再对数列{}n b 的前三项1b ，2b ，3b 的值进行讨论，当1231b b b ===时，得出所有项的和0S =；当11b =，20b =，31b =时，得出220b c +=与已知矛盾；当11b =，20b =，30b =时，结合“伴生数列”的定义得出所有项的和23n S =，同理可以得出当10b =，21b =，30b =及10b =，20b =，31b =时，所有项的和23n S =.【详解】解：（1）①1，1，1，1，1； ②1，0，0，0，1.（2）（i ）由题意，存在{}1,2,,1k n =-，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==.于是21n b b ==，131b b ==.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===.依次类推可得11k k b b +==（2k =，3，…，1n -）.所以1k b =（1k =，2，…，n ）.若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==.于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==.依次类推可得121b b ==.所以1k b =（1k =，2，…，n ）.综上可知，数列B 中的每一项均为1.（ⅱ）首先证明不可能存在{}2,,1k n ∈-使得110k k k b b b -+===. 若存在{}2,,1k n ∈-使得110k k k b b b -+===，则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}2,,1k n ∈-.由此及（ⅰ）得数列{}n b 的前三项1b ，2b ，3b 的可能情况如下：当1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =（1k =，2，…，n ）.于是0k c =（1k =，2，…，n ）0k c =.所以所有项的和0S =.当11b =，20b =，31b =时，20c =，此时220b c +=与已知矛盾.当11b =，20b =，30b =时，10c =，21c =，31c =.于是20n b b ==，241b b ≠=.故1n c =，40c =，530b b ==于是110n b b -≠=，51c =，60b =，于是14b b =，25b b =，36b b =，且21n b -=，10n b -=，0n b =.依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233nnS n =-=.同理可得10b =，21b =，30b =及10b =，20b =，31b =时，当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意. 此时所有项的和23nS =.综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）.【点睛】本题主要考查了求数列的前n 项和，涉及了反证法的应用，考查学生逻辑推理和计算的能力，属于难题.。
北京市丰台区2021届高三数学下学期综合练习(一模)试题(一).doc
21.（本小题共 14 分）
已 知 有 穷 数 列 A ： a1,a2, ,ak , ,an (n N* 且 n 3) . 定 义 数 列 A 的 “ 伴 生 数 列 ” B ：
b1,b2, ,bk , ,bn ，其中
bk
10，，aakk
1 1
ak
， 1 (k
ak 1
1,2,
,n) ，规定 a0 an ,an1 a1 .
（Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：
① 1，2，3，4，5；
② 1，−1，1，−1，1.
（Ⅱ）已知数列 B 的“伴生数列” C ： c1,c2, ,ck , ,cn ，且满足 bk ck 1(k 1,2, ,n) .
（C）当 5时， g(x) 在[0,π ] 上有 3 个零点 2
（D）若 g(x) 在[0,π ] 上单调递减，则 的最大值为 9 5
10.
已知函数
ex 1,x 0,
f
(
x)
k
x,
x 0.
若存在非零实数 x0 ，使得
f (x0 )
f (x0 ) 成立，则实数 k 的取值范围是
（A） (,1)
4． 圆 (x 1)2 y2 2 的圆心到直线 x y 1 0 的距离为
（A） 2
（B） 2
5．
已知
a
1
23
，
b
1
32
，
c
log3
1 2
，则
（A） a b c
（B） a c b
6． “ a 1”是“ 1 1”成立的 a
（A）充分而不必要条件
（C）充分必要条件
（C）1
2021北京丰台高三一模数学试题与答案
2021 北京丰台高三一模本试卷满分共150分考试时间120分钟第一部分（选择题共40分）数学2021.03一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选岀符合题目要求的一项。
（1）已知集合 A = {xl-2vxWl}, B = {x\O<x^3},则A\JB =(A) {xl-2<x<0} (B) {xIOvxWl}(C) {xll<xW3} (D) {“1—2vxW3}（2）在复平面内，复数;（A）第一象限（C）第三象限: = 3-4i ,则三对应的点位于（B）第二象限（D）第四象限已知双曲线4-r = 1（^>0）的离心率是(3) 则0 =（A） V2 （B） 2（C）2yf2（D） 42（4）在平而直角坐标系xOy中，角a以Ox为始边，且sin6z = -.把角Q的终边绕端点O逆时针方向旋转兀弧度，这时终边对应的角是0,则sin0 =(A) (B)-(C) 一迈3 (D)迈3（5）若直线y =也+ 1是圆X2+/-2X = 0的一条对称轴，则R的值为(A) -丄(D) 2(C) 1（6）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长的棱长为(A) 2(B)2迈(C)2也(D) 4侧&）视图正（主）视图（7） P 为抛物线y 2=2px （p>0）上一点，点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6,则〃= (B) 4(D) 2或 18的变化规律是P = P^kh （A:=0.000126m 1）,心是海平而大气压强.已知在某高山4 A 两处测得的 大气压强分别为 H =那么备仏两处的海拔髙度的差约为（参考数据：In 2 2 0.693）(A) 550m(B) 1818m(C) 5500m(D) 8732m（9）已知非零向^a.b.c 共而，那么^存在实数/I,使得a =加成立"是“S •处=。
（必）"的（A ）充分而不必要条件 （C ）充分必要条件 （B ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件（10）已知函数= \「,x>m,若存在实数/儿 使得关于A 的方程f ｛x ） = b 有三个不同的根，则实数加的取值范围是 （A ） （0,2）(B) (-QO-2)U(0,2) (C) (-2,0)(D) (—2,0)U(2,+oo)第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京各区2019-2021年高三年级数学模拟试题汇编-两角和与差的三角函数
北京各区2019-2021年高三年级数学一模二模试题汇编两角和与差的三角函数一．选择题（共11小题） 1．（2019•西城区模拟）已知12cos 13α=，(,0)2πα∈−，则cos()(4πα−= )A B C D 2．（2019•北京模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ．射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34(,)55A ，(1,0)C −．若6BOC π∠=，则cos()βα−的值是( )A B C D3．（2019•丰台区二模）已知3(,)22ππα∈，且tan αsin (α= )A ．B ．C D4．（2019•延庆区一模）函数()sin 22f x x x =在区间[,]22ππ−上的零点之和是( )A ．3π−B ．6π−C ．6πD ．3π5．（2019•西城区模拟）sincos1212ππ+的值为( )A B C D ．126．（2019•北京模拟）已知tan()16πα+=，则tan()(6πα−= )A ．2B ．2C ．2−D ．2−+7．（2020•海淀区校级模拟）若()sin cos f x x x =−在[a −，]a 上是增函数，则a 的最大值是( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π8．（2020•北京模拟）函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期是( ) A ．2πB ．πC ．2πD ．4π9．（2021•丰台区模拟）sin 69cos9sin 21sin 9(︒︒−︒︒= )A ．B ．12−C D ．1210．（2021•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称．若cos α=cos()(αβ−= ) A ．35−B ．35C ．1D ．3411．（2021•北京模拟）cos24cos36sin 24cos54︒︒−︒︒的值等于( )A ．0B ．12C D ．12−二．填空题（共8小题）12．（2019•海淀区校级模拟）若角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，则tan()4πθ−=13．（2019•北京模拟）已知3cos 5α=，(0,)2πα∈，则cos()3πα+=14．（2021•北京模拟）设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+= ．15．（2020•北京模拟）已知函数()sin f x a x x =−的一条对称轴为12,()()06x f x f x π=−+=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为 ．16．（2020•北京模拟）已知(2πα∈，)π，4sin 5α=，则tan()4πα+= ． 17．（2021•丰台区二模）函数()sin cos f x x x =+的值域为 ．18．（2021•顺义区二模）已知α是任意角，且满足cos()sin 6k παα+⋅=，则常数k 的一个取值为 ．19．（2021•海淀区校级三模）已知()sin())f x x x θθ=−++是偶函数，且[0θ∈，]π，则θ= ． 三．解答题（共1小题）20．（2021•丰台区一模）已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>．（Ⅰ）当1ω=时，求()6f π的值；（Ⅱ）当函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是2π时，______．从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答．①求()f x 在区间[0,]2π上的最小值；②求()f x 的单调递增区间； ③若()0f x ，求x 的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．【分析】由已知结合同角平方关系可求sin α，然后结合两角差的余弦公式可求． 【解答】解：12cos 13α=，(,0)2πα∈−， 5sin 13α∴=−，则7cos()sin )413πααα−+=故选：D ．【点评】本题主要考查了同角平方关系及两角和的余弦公式在求解三角函数值中的简单应用，属于基础试题． 2．【分析】由三角函数的定义可知，3cos 5α=，4sin 5α=，56πβ=，然后结合两角差的余弦公式即可求解【解答】解：由三角函数的定义可知，3cos 5α=，4sin 5α=，56πβ=，55314cos()cos cos sin sin 66525ππβααα∴−=+=+⨯=故选：C ．【点评】本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦公式的简单应用，属于基础试题 3．【分析】直接利用三角函数的定义的应用求出结果．【解答】解：已知3(,)22ππα∈，且tan α则：sin3α==−． 故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题题型．4．【分析】利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再根据函数零点的定义、正弦函数的零点，求出在区间[,]22ππ−上的零点，可得结论．【解答】解：令函数()sin 222sin(2)03f x x x x π=−=−=，可得23x k ππ−=，求得26k x ππ=+，k Z ∈．根据x ∈区间[,]22ππ−，可得3x π=−，6π， 故函数在区间[,]22ππ− 上的零点之和为366πππ−+=−， 故选：B ．【点评】本题主要考查函数零点的定义，两角和差的三角公式，正弦函数的零点，属于基础题． 5．【分析】可利用辅助角公式将sincos1212ππ+sin()1243πππ+=，从而可得答案． 【解答】解：sin cos2())121221221212432πππππππ++=+==， sincos1212ππ∴+． 故选：A ．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，关键是辅助角公式的熟练应用及逆用两角和的正弦，属于中档题． 6．【分析】由题意利用两角和差的正切公式求得tan α的值，再利用两角和差的正切公式求得要求式子的值． 【解答】解：已知tan tantan 6tan()1631tan tan 163πααπαπαα++===−−，tan 2α∴==则tan tantan()2633παπαα−−==， 故选：D ．【点评】本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于基础题．7．【分析】由辅助角公式可得())4f x x π−，再根据正弦函数的单调性，即可得解．【解答】解：()sin cos )4f x x x x π=−=−，令[242x k πππ−∈−+,2]2k ππ+,k Z ∈，则[24x k ππ∈−+,32]4k ππ+,k Z ∈， ∴函数()f x 的单调递增区间为[24k ππ−+,32]4k ππ+,k Z ∈， 又()f x 在[a −，]a 上是增函数,∴取0k =，()f x 的单调递增区间为[4π−,3]4π,此时对应的a 的最大值为4π．故选：B ．【点评】本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，熟练掌握辅助角公式、正弦函数的单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8．【分析】函数y 变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出最小正周期．【解答】解：函数sin 2cos22y x x x =++， 2ω=，T π∴=．故选：B ．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．9．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出结果．【解答】解：sin 69cos9sin 21sin9cos21cos9sin 21sin9cos30︒︒−︒︒=︒︒−︒︒=︒ 故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10．【分析】由任意角的三角函数知cos cos αβ=，sin sin αβ=−，再根据两角差的余弦公式，即可得解． 【解答】解：由题意得，cos cos αβ=，sin sin αβ=−， 2223cos()cos cos sin sin cos sin 2cos 15αβαβαβααα∴−=+=−=−=． 故选：B ．【点评】本题考查两角和差的余弦公式，同角三角函数的平方关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．11．【分析】由题意利用诱导公式、两角和的余弦公式，计算求得结果． 【解答】解：cos24cos36sin24cos54cos24cos36sin24sin36︒︒−︒︒=︒︒−︒︒ 1cos(2436)cos602=︒+︒=︒=，故选：B ．【点评】本题主要考查诱导公式、两角和的余弦公式，属于基础题． 二．填空题（共8小题）12．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tan θ的值，再利用两角和差的正切公式求得要求式子的值． 【解答】解：角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，tan 3θ∴=，则tan 11tan()41tan 2πθθθ−−==+，故答案为：12． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正切公式的应用，属于基础题．13．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin α的值，再利用两角和的余弦公式求得cos()3πα+的值．【解答】解：3cos 5α=，(0,)2πα∈，4sin 5α∴=，则1334343cos()cos cos sin sin 333252510πππααα−+=−=−=，故答案为：310−． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．14．【分析】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan θ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin θ与cos θ的值，即可求出sin cos θθ+的值．【解答】解：tan 11tan()41tan 2πθθθ++==−，1tan 3θ∴=−，而222221cos 1cos sin cos tan θθθθθ==++，θ为第二象限角，cos θ∴==，sin θ则sin cos θθ+==．故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．15．【分析】利用辅助角公式化简，对称为6x π=−，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，可得对称中心，即可求出最小值．【解答】解：函数()(),f x asinx x tan θθ=−+=其中， 函数()f x 的一条对称轴为6x π=−，可得1()62f a π−=−−=2a =． ∴3πθ=−；对称中心横坐标由()(),33x k k z x k k z ππππ−=∈=+∈可得；又12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，∴12||2||3x x k π+=+，当0k =时，可得122||3x x π+=． 故答案为：23π． 【点评】本题考查了正弦函数的最值和单调性的综合应用，属于中档题． 16．【分析】直接利用三角函数关系式的定义和和角公式的应用求出结果．【解答】解：4(,),sin 25παπα∈=，则：3cos 5α=−，所以：4tan 3α=−，则：41tan tan134tan()4471tan tan 143παπαπα−+++===−−+， 故答案为：17−．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，和角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．17．【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，然后求解即可．【解答】解：函数()sin cos )[4f x x x x π=+=+∈．故答案为：[．【点评】本题考查了辅助角公式和三角函数的值域的求法，是基础题．18．【分析】由已知结合诱导公式进行化简即可求解．【解答】解：因为cos()sin 6k παα+⋅=，令62k ππ⋅=−，则3k =−．故答案为：3−（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了诱导公式，属于基础题．19．【分析】正弦函数的图象关于y 轴对称，从而当0x =时，函数取得最值，代入函数后，结合正弦函数对称轴处取得函数最值可求．【解答】解()sin())f x x x θθ=−+是偶函数，故函数的图象关于y 轴对称，根据正弦函数的对称性可知，当0x =时，()f x 取得最值，故sin 2θθ−=±，所以sin 2θθ=±，即12(sin )22θθ=±，所以sin()13πθ−=±，因为[0θ∈，]π， 则56πθ=， 故答案为：56π． 【点评】本题主要考查了正弦函数对称性的应用，解题的关键是正弦函数在对称轴处取得最值条件的应用． 三．解答题（共1小题）20．【分析】()I 把1ω=代入可求()f x ，即可求解()6f π，()II 由已知先求出()2sin(2)3f x x π=+，选①：由02x π得42333x πππ+，然后结合正弦函数的性质可求； ②令222232k x k πππππ−++，解不等式可求函数的单调递增区间；③若()0f x ，结合正弦函数的图象及性质可求．【解答】解：()1I ω=时，()sin f x x x =+，故1()262f π=+=，()()2sin()3II f x x πω=+，由函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是2π得T π=，2ω=，故()2sin(2)3f x x π=+，选①：由02x π得42333x πππ+，所以sin(2)13x π+，所以()f x 在区间[0,]2π上的最小值②求()f x 的单调递增区间， 令222232k x k πππππ−++，得51212k x k ππππ−+，k Z ∈，故函数()f x 的单调递增区间5[12k ππ−，]12k ππ+，k Z ∈， ③若()0f x ，则2223k x k ππππ++，k Z ∈，解得63k x k ππππ−+，k Z ∈， 故x 的取值范围[6k ππ−，]3k ππ+，k Z ∈．【点评】本题主要考查了正弦函数的周期性，单调性，最值求解，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．。
丰台区2021 2021第一学期高三数学理科期末试卷
丰台区2021 2021第一学期高三数学理科期末试卷丰台区2021-2021第一学期高三数学理科期末试卷丰台区2022-2022学年第一学期期末习题高三数学（理）2022.01第一部分（选择题共40分）一、共有8道选择题，每道题得5分，共计40分。
从每个子主题中列出的符合主题要求的四个选项中选择一个。
，，01}，b?{x|x2?1}，则aub?（1）已知集合a?{?1，}(a){?11，0，1}(b){?1(c){x|?1?x?1}（d） {x | x？1}x（2）“x?1”是“2?1”的（a）充分和不必要的条件(c)充分必要条件(b)必要而不充分条件（d）既不是充分条件，也不是必要条件（3）在极坐标系ox中，方程??sin?表示的曲线是（a）直线(b)圆（c）椭圆(d)双曲线? 十、Y1.（4）如果x，y满足？十、Y1，那么Z？十、2Y的最大值为?x?0，?(a)?2(c)1（b） ?？1（d）2开始输入x?1.5)内，（5）执行如图所示的程序框图，如果输入的x的值在区间[?2，那么输出的y属于十、≥0? 否是（0.5）（a）[0,1]（c）（0.5,0.5]（b）（0,1）（d）[0.5，x=x+1by=x输出y端（6）图中显示了三角棱锥体的三个视图，则三角棱锥体最长边的边长为(a)2(c)22（b）5(d)3丰台区高中数学第一学期期末考试（理科）第1页，共4页x2y2（7）过双曲线2?2?1(a?0，b?0)的一个焦点f作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为a，o为AB坐标原点，如果是OA？（a）1of，则此双曲线的离心率为2(b)23(c)2（d）5y） |x？z、是吗？z} ，非空集？u、由平面直角坐标系xoy中s上的点构成的图（8）的完整集合u={（x）关于x轴、Y轴和直线Y？x对称。
以下命题：3)?s，则(?1，?3)?s；①若(1，4)?s，则s中至少有8个元素；②若(0，0)?s，则s中元素的个数一定为偶数；③若(0，y)|x?y?4，x?z，y?z}?s，则{(x，y)||x|?|y|?4，x?z，y?z}?s．④若{(x，其中正确命题的个数是（a） 1（b）2(c)3（d）四,第二部分（非选择题共110分）二、共6个子题，每个子题5分，共计30分。
北京市丰台区高考数学三年(2021-2023)模拟题知识点分类汇编-平面向量、空间向量与立体几何
试卷第 4 页，共 5 页(1Biblioteka 求证： DF P平面 BCE ； 5
(2)在线段 DF 上是否存在点 P ，使得直线 AE 和平面 BCP 所成角的正弦值为 ？若存在， 6
求出 DP 的值；若不存在，说明理由．
DF
16．（2023·北京丰台·统考一模）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面是边长为 2 的菱形， AC 交 BD 于点 O， BAD 60 ， PB PD ．点 E 是棱 PA 的中点，连接 OE，OP．
①三棱锥 A BCD 的体积为 1 abc ；②三棱锥 A BCD 的每个面都是锐角三角形；③三
3
棱锥 A BCD 中，二面角 A CD B 不会是直二面角；④三棱锥 A BCD 中，三条侧棱 与底面所成的角分别记为 , , ，则 sin2 sin2 sin2 2 . 8．（2022·北京丰台·统考一模）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M，N 分别是棱 A1B1，A1D1 的中点，点 P 在线段 CM 上运动，给出下列四个结论：
③点
D
到直线 C1E
的距离的最小值为
25 5
．
其中所有正确结论的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题 7．（2021·北京丰台·统考一模）如图，从长、宽、高分别为 a,b, c 的长方体 AEBF GCHD 中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥 A BCD .下列四个结论中，所有正确结论 的序号是_____.
（1）求证： BC OM ； （2）若 PM 3 PB ，求二面角 B OM C 的余弦值.
5 14．（2022·北京丰台·统考二模）如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 AB ，D 为 BC
北京市丰台区2021-2022学年高三下学期综合练习(一) 数学试题
北京市丰台区2021—2022学年度第二学期综合练习（一）高三数学2022.03第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，则A B ⋃=（）A.{|11}x x -<<B.{|11}x x -<≤ C.{|22}x x -<< D.{|22}x x -<≤【1题答案】【答案】D 【解析】【分析】利用并集的定义计算即可.【详解】∵集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，∴{|22}A B x x ⋃=-<≤.故选：D.2.已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是（）A.1x ∀>，210x ->B.1x ∀>，210x -≤C.1x ∃>，210x -≤D.1x ∃≤，210x -≤【2题答案】【答案】B 【解析】【分析】由特称命题的否定，直接判断得出答案.【详解】解：已知命题p ：1x ∃>，210x ->，则p ⌝为：1x ∀>，210x -≤.故选：B.3.若复数i z a b =+（a ，b 为实数）则“0a =”是“复数z 为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【3题答案】【答案】B 【解析】【分析】根据当0a =且0b ≠时，复数i z a b =+z 为纯虚数判断即可.【详解】解：根据复数的概念，当0a =且0b ≠时，复数i z a b =+z 为纯虚数，反之，当复数i z a b =+z 为纯虚数时，0a =且0b ≠所以“0a =”是“复数z 为纯虚数”的必要不充分条件故选：B4.已知圆22:20C x x y -+=，则圆心C 到直线3x =的距离等于（）A.4B.3C.2D.1【4题答案】【答案】C 【解析】【分析】求出圆心的坐标，即可求得圆心C 到直线3x =的距离.【详解】圆C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，故圆心C 到直线3x =的距离为132-=.故选：C.5.若数列{}n a 满足12n n a a +=，且41a =，则数列{}n a 的前4项和等于（）A.15 B.14C.158 D.78【5题答案】【答案】C 【解析】【分析】由等比数列定义和通项公式可得1a ，然后由前n 项和公式可得.【详解】因为12n n a a +=，且41a =，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又3411a a q ==，得118a =，所以44141(12)(1)1581128a q S q --===--.故选：C6.在△ABC中，cos 23B a b ===,,，则A ∠=（）A.6π B.3π C.56π D.6π或56π【6题答案】【答案】A 【解析】【分析】先求出sin B ，再借助正弦定理求解即可.【详解】由7cos 4B =得3sin 4B ==，由正弦定理得sin sin a b A B =，233sin 4A =，解得1sin 2A =，又a c <，故A C ∠<∠，6A π∠=.故选：A.7.在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（）A.19种 B.20种 C.30种D.60种【7题答案】【答案】A 【解析】【分析】利用对立事件，用总的分配方式减去“社区值守”岗位全是女性的情况可得.【详解】6位志愿者3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”的分配方式共有3620C =种，“社区值守”岗位全是女性的分配方式共1种，故“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有20119-=种.故选：A8.已知F 是双曲线22:148x y C -=的一个焦点，点M 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若||||OM MF =，则△OMF 的面积为（）A.32B.322C. D.6【8题答案】【答案】C 【解析】【分析】由等腰三角形的性质结合渐近线方程得出点00(,)M x y 的坐标，再求面积.【详解】不妨设F 为双曲线C 的左焦点，点00(,)M x y 在渐近线y =上，因为2,a b c ===，||||OM MF =，所以0x =，0y =，即△OMF 的面积12⨯=.故选：C9.已知函数()32,,3,x x a f x x x x a-<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（）A.(,1]-∞-B.(,1)-∞- C.[1,)+∞ D.(1,)+∞【9题答案】【答案】D 【解析】【分析】利用导数研究函数的性质，作出函数函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，利用数形结合即得.【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-，作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值()12f =-，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.10.对任意*m ∈N ，若递增数列{}n a 中不大于2m 的项的个数恰为m ，且12100n a a a +++= ，则n 的最小值为（）A.8B.9C.10D.11【10题答案】【答案】C 【解析】【分析】先由条件得出2n a n ≤，进而结合等差数列前n 项和列出不等式，解不等式即可.【详解】由递增数列{}n a 中不大于2m 的项的个数恰为m 可知2n a n ≤，又12100n a a a +++= ，故2462100n ++++≥ ，即()221002n n +≥，解得14012n -≤或14012n -≥，又*n ∈N ，故n 的最小值为10.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()f x 2lg x x -+的定义域是_________.【11题答案】【答案】{|02}x x <≤【解析】【详解】∵函数()f x lg x∴要使函数有意义，则20{x x -≥>∴02x <≤∴函数()f x lg x 的定义域为{}02x x <≤故答案为{}02x x <≤12.已知向量(2,3)a =- ，(,6)b x =-．若a b∥，则=x ______．【12题答案】【答案】4【解析】【分析】利用两向量共线的条件即求.【详解】∵向量(2,3)a =-，(,6)b x =-，a b∥，∴()()2630x -⨯--=，解得4x =.故答案为：4.13.设函数()f x 的定义域为[]0,1，能说明“若函数()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，则函数()f x 在[]0,1上单调递增“为假命题的一个函数是__________.【13题答案】【答案】213()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈，（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，可以构造在定义域为[]0,1上，先减后增的函数，满足最大值为1，即可得答案.【详解】根据题意，要求函数()f x 的定义域为[]0,1，在[]0,1上的最大值为()1f ，但()f x 在[]0,1上不是增函数，可以考虑定义域为[]0,1上，先减后增的函数的二次函数，函数213()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈符合，故答案为：213()24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈，（答案不唯一）.14.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，则F 的坐标为______；设点M 在抛物线C 上，若以线段FM 为直径的圆过点(0,2)，则||FM =______．【14题答案】【答案】①.(1,0)②.5【解析】【分析】由题可得()1,0F ，设(),M x y ，结合条件可得240x y -+=，24y x =，进而可得4x =，即得.【详解】∵抛物线2:4C y x =，∴()1,0F ，设(),M x y ，则24y x =，又以线段FM 为直径的圆过点(0,2)，∴2201001y x --⋅=---，即240x y -+=，又24y x =，∴22404y y -+=，解得4y =，4x =，∴||415FM =+=.故答案为：(10),；5.15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别是棱1111A B A D ，的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形是五边形；②直线11B D 到平面CMN 的距离是22；③存在点P ，使得11=90B PD ∠︒；④△1PDD 面积的最小值是6．其中所有正确结论的序号是______．【15题答案】【答案】①③【解析】【分析】作出截面图形判断①，利用等积法可判断②，利用坐标法可判断③④.【详解】对于①，如图直线MN 与11C B 、11C D 的延长线分别交于11,M N ，连接11,CM CN 分别交11,BB DD 于22,M N ，连接22,MM NN ，则五边形22MM CN N 即为所得的截面图形，故①正确；对于②，由题可知11//MN B D ，MN ⊂平面CMN ，11B D ⊄平面CMN ，∴11//B D 平面CMN ，故点1B 到平面CMN 的距离即为直线11B D 到平面CMN 的距离，设点1B 到平面CMN 的距离为h ，由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2可得，3,CM CN MN ===，11722CMNS = ，∴11117173326B CMN CMN V S h h -=⋅=⨯= ，111111123323C B MN B MN V S CC -=⋅=⨯⨯= ，∴由1B CMN V -=1C B MN V -，可得h =所以直线11B D 到平面CMN 的距离是17，故②错误；对于③，如图建立空间直角坐标系，则()()()()112,0,2,0,2,2,2,2,0,1,0,2B D C M ，设,01PC MC λλ=≤≤，∴()1,2,2PC MC λλ==-，又()2,2,0C ，()()112,0,2,0,2,2,B D ∴()2,22,2P λλλ--，()()11,22,22,2,2,22PB PD λλλλλλ=--=--，假设存在点P ，使得11=90B PD ∠︒，∴()()()2112222220PB PD λλλλλ⋅=-+-+-= ，整理得291440λλ-+=，∴71319λ+=>（舍去）或7139λ=，故存在点P ，使得11=90B PD ∠︒，故③正确；对于④，由上知()2,22,2P λλλ--，所以点()2,22,2P λλλ--在1DD 的射影为()0,2,2λ，∴点()2,22,2P λλλ--到1DD 的距离为：d =，∴当25λ=时，min 455d =，∴故△1PDD 面积的最小值是145452255⨯⨯=，故④错误.故答案为：①③.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数()sin ()(0||)2f x x ωϕωϕπ=+><,，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()(6g x f x f x π=++，求()g x 在区间4[0]π,上的最大值．条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：()f x 为奇函数；条件③：()f x 图象的一条对称轴为4x π=．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．【16~17题答案】【答案】（1）()sin 2f x x =（2【解析】【分析】（1）可以选择条件①②或条件①③，先由周期计算ω，再计算ϕ即可；（2）先求出26x π+整体的范围，再结合单调性求最大值即可.【小问1详解】选择条件①②：由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω．由条件②得()()f x f x -=-，所以(0)0f =，即sin 0ϕ=．解得π()k k ϕ=∈Z ．因为||2ϕπ<，所以0ϕ=，所以()f x sin2x =．经检验0ϕ=符合题意．选择条件①③：由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω．由条件③得()ππ2π42k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π()k k ϕ=∈Z ．因为||2ϕπ<，所以0ϕ=．所以()f x sin2x =．【小问2详解】由题意得()sin2sin 23g x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得3()sin 22)226g x x x x =+=+π．因为04x π≤≤，所以22663x πππ≤+≤，所以当262x ππ+=，即6x π=时，()g x 17.如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ，90DAB ∠=︒，12AD DC AB ==．以直线AB 为轴，将直角梯形ABCD 旋转得到直角梯形ABEF ，且AF AD ⊥．（1）求证：DF 平面BCE ；（2）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56？若存在，求出DPDF 的值；若不存在，说明理由．【17~18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）存在；13DP DF =【解析】【分析】（1）证明出四边形DCEF 为平行四边形，进而证明出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【小问1详解】证明：由题意得EF CD ‖，EF CD =，所以四边形DCEF 为平行四边形．所以DF CE ‖．因为DF ⊄平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，所以DF ‖平面BCE ．【小问2详解】线段DF 上存在点P ，使得直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56，理由如下：由题意得AD ，AB ，AF 两两垂直．如图，建立空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，(0,1,1)E ，(0,0,1)F ．所以()0,1,1AE = ，()1,1,0BC =-，()1,2,0BD =- ，()1,0,1DF =- ．设()01DP DF λλ=≤≤ ，则()1,2,BP BD DP BD DF λλλ=+=+=--设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z =，所以00n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即()0,120.x y x y z λλ-=⎧⎨--+=⎩令x λ=，则y λ=，1z λ=+．于是(),,1n λλλ=+设直线AE 和平面BCP 所成角为θ，由题意得：sin cos ,n AE n AE n AEθ⋅==⋅56=，整理得：232270λλ-+=，解得13λ=或7λ=．因为01λ≤≤，所以13λ=，即13DP DF =．所以线段DF 上存在点P ，当13DP DF =时，直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56．18.为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：毕业去向继续学习深造单位就业自主创业自由职业慢就业人数2005601412898假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．（1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；（2）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X 为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a (098)a <<人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为2s ．当a 为何值时，2s 最小．（结论不要求证明）【18~20题答案】【答案】（1）1400（2）分布列见解析；期望为35（3）42a=【解析】【分析】(1)用样本中“单位就业”的频率乘以毕业生人数可得；(2)先由样本数据得选择“继续学习深造”的频率，然后由二项分布可得；(3)由方差的意义可得.【小问1详解】由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为5602500=14001000⨯．【小问2详解】由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为200110005=．用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为15．随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．所以()030311640155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21311481155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()22311122155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3331113155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．所以X 的分布列为X0123P641254812512125112564481213()01231251251251255E x =⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】易知五种毕业去向的人数的平均数为200，要使方差最小，则数据波动性越小，故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小，所以42a=．19.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上不同于A ，B 的一点，直线PA ，PB 与直线4x =分别交于点M N ，．若||4MN ≤，求点P 横坐标的取值范围．【19~20题答案】【答案】（1）2214x y +=（2）8[05，【解析】【分析】（1）直接由条件计算,a b 即可；（2）设出点P 坐标，分别写出直线PA ，PB 的方程，表示出M N ，坐标，由||4MN ≤得到不等式，解不等式即可.【小问1详解】由题意得222243,2,a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=．【小问2详解】设(,)P m n （22m -<<），由已知得(2,0)A -，(2,0)B ，所以直线AP ，BP 的方程分别为(2)2n y x m =++，(2)2ny x m =--．令4x =，得点M 的纵坐标为62M n y m =+，点N 的纵坐标为22N ny m =-，所以62||22n nMN m m =-+-()2444n m m -=-．因为点P 在椭圆C 上，所以2214m n +=，所以2244m n -=-，即4||m MN n-=．因为4MN ||≤，所以44m n-≤，即22(4)16m n -≤．所以22(4)4(4)m m ---≤．整理得2580m m -≤，解得805m ≤≤．所以点P 横坐标的取值范围是8[0]5，．20.已知函数()f x =（1）当1a =时，求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（2）若函数2()()3ag x f x =-恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．【20~21题答案】【答案】（1）y x=（2）(3)+∞，【解析】【分析】（1）直接求导，由()1f x '=求出切点，写出切线方程即可；（2）求导后分类讨论确定函数的单调性，结合零点存在定理确定零点个数即可求出a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，()1)f x x =≤，所以()f x '=令()1f x '=，解得0x =．因为(0)0f =，所以切点坐标为(00),．故切线方程为y x =．【小问2详解】因为2()3ag x =-()x a ≤，所以()g x '=令()0g x '=，解得23a x =．当0a ≤时，由x a ≤，得230a x a --≥≥，所以()0g x '≥，则()g x 在定义域(,]a -∞上是增函数．故()g x 至多有一个零点，不合题意，舍去．当0a >时，随x 变化()g x '和()g x 的变化情况如下表：故()g x 在区间2()3a -∞,上单调递增，在区间2()3aa ,上单调递减，当23a x =时，()g x 取得最大值2(3a g =．若03a <≤时，2()03a g =，此时()g x 至多有一个零点；若3a >时，2(03a g >，又2(0)()03ag g a ==-<，由零点存在性定理可得()g x 在区间2(0)3a ,和区间2()3aa ,上各有一个零点，所以函数()g x 恰有两个不同的零点，符合题意．综上所述，a 的取值范围是(3)+∞，．21.已知集合{12}S n = ,,,(3n ≥且*n N ∈），12{}m A a a a = ,,,，且A S ⊆．若对任意i j a A a A ∈∈,（1i j m ≤≤≤），当i j a a n +≤时，存在k a A ∈(1k m ≤≤)，使得i j k a a a +=，则称A 是S 的m 元完美子集．（1）判断下列集合是否是{12345}S =,,,,的3元完美子集，并说明理由；①1{124}A =,,；②2{245}A =,,．（2）若123{}A a a a =,,是{127}S = ,,,的3元完美子集，求123a a a ++的最小值；（3）若12{}m A a a a = ,,,是{12}S n = ,,,（3n ≥且*n N ∈）的m 元完美子集，求证：12(+1)2m m n a a a +++ ≥，并指出等号成立的条件．【21~23题答案】【答案】（1）1A 不是S 的3元完美子集；2A 是S 的3元完美子集；理由见解析（2）12（3）证明见解析；等号成立的条件是11N 1n a m +=∈+*且(1)(2)1i n ia i m m +=+≤≤【解析】【分析】（1）根据m 元完美子集的定义判断可得结论；（2）不妨设123a a a <<．由11a =，12a =，13a ≥分别由定义可求得123a a a ++的最小值；（3）不妨设12m a a a <<< ，有121i i i i m i a a a a a a a n +-<+<+<<+ ≤．121i i i m i a a a a a a +-+++ ,,,是A 中1m i +-个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,L ，此时该集合恰有m i -个不同的元素，显然矛盾．因此对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥，由此可得证.【小问1详解】解：（1）①因为1235+=≤，又13A ∉，所以1A 不是S 的3元完美子集．②因为2245+=≤，且24A ∈，而55454425245+>+>+>+>+>，所以2A 是S 的3元完美子集．【小问2详解】解：不妨设123a a a <<．若11a =，则112a a A +=∈，123A +=∈，134A +=∈，与3元完美子集矛盾；若12a =，则114a a A +=∈，246A +=∈，而267+>，符合题意，此时12312a a a ++=．若13a ≥，则116a a +≥，于是24a ≥，36a ≥，所以123+13a a a +≥．综上，123a a a ++的最小值是12．【小问3详解】证明：不妨设12m a a a <<< ．对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥，否则，存在某个(1)i i m ≤≤，使得1i m i a a n +-+≤．由12m a a a <<< ，得121i i i i m i a a a a a a a n +-<+<+<<+ ≤．所以121i i i m i a a a a a a +-+++ ,,,是A 中1m i +-个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,L ，该集合恰有m i -个不同的元素，显然矛盾．所以对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥．于是1211211212()()()()()(1)m m m m m m a a a a a a a a a a a a m n ---++++=+++++++++≥L L ．即12(1)2m m n a a a ++++≥L ．等号成立的条件是11N 1n a m +=∈+*且(1)(2)1i n ia i m m +=+≤≤．。
2021年北京市丰台区高考数学一模试卷(理科)-教师用卷
2019年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）副标题1.复数z=11+i的共轭复数是()A. 12+12i B. 12−12i C. 1+i D. 1−i【答案】A【解析】解：复数11+i =1−i(1+i)(1−i)=1−i2=12−12i，∴复数11+i的共轭复数是12+12i，故选：A．先利用两个复数的除法法则化简复数11+i ，再依据共轭复数的定义求出复数11+i的共轭复数．本题考查两个复数代数形式的混合运算法则以及共轭复数的概念．2.已知集合A={−2,3，1}，集合B={3,m2}，若B⊆A，则实数m的取值集合为()A. {1}B. {√3}C. {1,−1}D. {√3,−√3}【答案】C【解析】解：∵A={−2,3，1}，B={3,m2}，若B⊆A，则m2=1∴m=1或m=−1实数m的取值集合为{1,−1}故选：C．若B⊆A，则m2=1，即可求解满足条件的m本题主要考查了集合的包含关系的简单应用，属于基础试题3.设命题p：∀x∈(0,+∞)，lnx≤x−1，则￢p为()A. ∀x∈(0,+∞)，lnx>x−1B. ∃x0∈(0,+∞)，lnx0≤x0−1C. ∀x∉(0,+∞)，lnx>x−1D. ∃x0∈(0,+∞)，lnx0>x0−1【答案】D【解析】解：由全称命题的否定是特称命题.可知命题p：∀x∈(0,+∞)，lnx≤x−1，则￢p是：￢p：∃x0∈(0,+∞)，lnx0>x0−1．故选：D．全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查含有一个量词的命题的否定.是基本知识的考查．4.执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，输出的S=15，那么判断框内的条件可以为()A. k<6B. k≤6C. k>6D. k>7【答案】A【解析】解：若a=1，第一次条件成立，S=1，a=−1，k=2，第二次条件成立，S=1−4=−3，a=1，k=3，第三次条件成立，S=−3+9=6，a=−1，k=4，第四次条件成立，S=6−16=−10，a=1，k=5，第五次条件不成立，S=−10+25=15，a=−1，k=6，此时k=6不满足条件.输出S=15，即k=5不成立，k=6不成立，则条件k<6，故选：A．根据程序框图进行模拟计算，确定k终止的条件即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键．5.下列函数中，同时满足：①图象关于y轴对称；②∀x1，x2∈(0,+∞)(x1≠x2)，f(x2)−f(x1)>0的是()x2−x1A. f(x)=x−1B. f(x)=log2|x|C. f(x)=cosxD. f(x)=2x+1【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性综合应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义以及判断方法．【解答】解：根据题意，若f(x)的图象关于y轴对称，则函数f(x)是偶函数，>0，则f(x)在(0,+∞)上是增函数；若；②∀x1，x2∈(0,+∞)(x1≠x2)，f(x2)−f(x1)x2−x1据此分析选项：对于A，f(x)=x−1，为奇函数，不符合题意；对于B，f(x)=log2|x|，为偶函数，则在(0,+∞)上，f(x)=log2x，为增函数，符合题意；对于C，f(x)=cosx，为偶函数，但在区间(0,+∞)上不是增函数，不符合题意；对于D，f(x)=2x+1，为非奇非偶函数，不符合题意；故选：B．根据题意，分析可得要求函数是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数；据此分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合可得答案．6.已知α和β是两个不同平面，α∩β=l，l1，l2是与l不同的两条直线，且l1⊂α，l2⊂β，l1//l2，那么下列命题正确的是()A. l与l1，l2都不相交B. l与l1，l2都相交C. l恰与l1，l2中的一条相交D. l至少与l1，l2中的一条相交【答案】A【解析】解：∵l1//l2，∴l1//β，又l1⊂α，α∩β=l，∴l1//l，同理l2//l，故选：A．由线面平行的性质易得三线互相平行．此题考查了线面平行的性质，难度不大．7.已知F1，F2为椭圆M：x2m2+y22=1和双曲线N：x2n2−y2=1的公共焦点，P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为()A. √2B. 1C. √22D. 12【答案】B【解析】解：∵F1，F2为椭圆M：x2m +y22=1和双曲线N：x2n−y2=1的公共焦点，∴m2−2=n2+1，∵P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，∴2m =1n(不妨设m>0，n>0)．解得：m=2，n=1，⇒c2=m2−2=n2+1=2，∴椭圆M和双曲线N的离心率之积为√22⋅√21=1．故选：B．利用m2−2=n2+1，2m =1n(不妨设m>0，n>0).求得m，n即可．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．8.在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点(横纵坐标都是整数)，那么称该多边形为格点多边形，若△ABC是格点三角形，其中A(0,0)，B(4,0)，且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为()A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C×4ℎ=8，即ℎ=4，【解析】解：设三角形的高为h，则三角形的面积S=12即C点的纵坐标为4，若C(4,4)或(0,4)时，则三角形边边界上的格点个数为12个，若C(2,4)，则三角形边边界上的格点个数为8个，若C(1,4)或(3,4)，则三角形边边界上的格点个数为6个，则不可能的为10个，故选：C．根据条件设三角形的高为h，结合三角形的面积得到高ℎ=4，即顶点C在直线y=4上，结合C的整点坐标，利用数形结合进行排除即可．本题主要考查合情推理的应用，结合条件求出三角形的高即顶点A的位置，利用数形结合以及特殊值法是解决本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知平面向量a⃗=(1,−3)，b⃗ =(−2,m)，且a⃗//b⃗ ，那么m=______．【答案】6【解析】解：∵a⃗//b⃗ ，∴1×m−(−3)×(−2)=0，解得m=6．故答案为：6．根据两个向量平行的坐标表示可得．本题考查了平面向量共线的坐标表示.属基础题．10. 从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务，如果要求恰有1名女生，那么不同的选派方案种数为______． 【答案】12【解析】解：从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务，如果要求恰有1名女生，则有C 21⋅C 42=12种， 故答案为：12．根据分步计数原理即可求出．本题考查排列组合的实际应用，属于基础题．11. 直线y =kx +1与圆{y =3+2sinαx=2cosα(α为参数)相交于M ，N 两点，若|MN|=2√3，则k =______． 【答案】±√3【解析】解：圆{y =3+2sinαx=2cosα(α为参数) 转换为直角坐标方程为：x 2+(y −3)2=4， 则：点(0,3)到直线的距离d =√1+k 2=√1+k 2， 所以：(√1+k 2)2+(√3)2=4，解得：k =±√3， 故答案为：±√3．首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．12. 若△ABC 的面积为2√3，且A =π3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 【答案】4【解析】解：由△ABC 的面积为2√3， 得：12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×sin π3=2√3， 所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=8， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π3=8×12=4， 故答案为：4．由三角形面积公式得：△ABC 的面积为2√3，得：12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×sin π3=2√3，所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8，由平面向量的数量积运算：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π3=8×12=4，得解．本题考查了三角形面积公式及平面向量的数量积运算，属中档题．13. 已知函数f(x)=cos(2x +φ)(−π2<φ<0)．①函数f(x)的最小正周期为______； ②若函数f(x)在区间[π3,4π3]上有且只有三个零点，则φ的值是______．【答案】π −π6【解析】解：①函数f(x)=cos(2x +φ)(−π2<φ<0)． 函数f(x)的最小正周期T =2πω=2π2=π； ②由x ∈[π3,4π3]，可得2x +φ∈[2π3+φ,8π3+φ]，根据函数f(x)在区间[π3,4π3]上有且只有三个零点，可得{−π2<2π3+φ≤π25π2≤8π3+φ<3π解得：{−7π6<φ≤−π6−π6≤φ<π3 ∴φ=−π6； 故答案为：π，−π6 ①根据周期公式T =2πω，可得答案；②根据x ∈[π3,4π3]，求解内层函数的范围，结合余弦函数的图象可得φ的值．本题考查了余弦函数的性质的应用，属于基础题14. 已知数列{a n }对任意的n ∈N ∗，都有a n ∈N ∗，且a n+1={3a n +1,a n 为奇数a n 2,a n 为偶数，①当a 1=8时，a 2019=______②若存在m ∈N ∗，当n >m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ，则p =______． 【答案】2 1【解析】解：①由题意，可知： a 1=8， a 2=a 12=82=4， a 3=a 22=42=2， a 4=a 32=22=1，a 5=3×a 4+1=3×1+1=4，a 6=a 5=4=2…∴数列{a n}：8，4，2，1，4，2，1，…即数列{a n}从第二项起是以3为最小正周期的周期数列．∵(2019−1)÷3=672 (2)∴a2019=2．②由①可知，a n为奇数的只有奇数1，∴p=1．本题第一题主要考查数列的奇偶问题，通过枚举法可发现数列{a n}从第二项起是以3为最小正周期的周期数列，即可得到a2019的值；第二题主要考查对题意的理解a n为奇数的只有奇数1，从而p=1．本题第一题主要考查周期数列的判定，第二题主要针对题意的理解.本题属基础题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f(x)=cos(2x−π3)−2sin2x+a(a∈R)，且f(π3)=0．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)若f(x)在区间[0,m]上是单调函数，求m的最大值．【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=cos(2x−π3)−2sin2x+a，=12cos2x+√32sin2x−2⋅1−cos2x2+a，=√3sin(2x+π3)+a−1，且f(π3)=0．解得：a=1．所以：f(x)=√3sin(2x+π3)．(Ⅱ)由于：f(x)在区间[0,m]上是单调函数，故：①当函数为单调递增时，−π2+2kπ≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z)，解得：−5π12+kπ≤x≤kπ+π12(k∈Z)，所以：m≤π12，②当函数为单调递减时，π2+2kπ≤2x+π3≤2kπ+3π2(k∈Z)，解得：m≤7π12，综上所述：m的最大值为π12．【解析】(Ⅰ)直接利用三角函数关系式的变换和函数的值求出函数的关系式．(Ⅱ)利用函数的关系式和函数的单调性的应用求出m的最大值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16. 随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争.吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示．(Ⅰ)若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；(Ⅱ)现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立记X 为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X 的分布列和数学期望E(X)；(Ⅲ)记图中月平均收入薪资对应数据的方差为s 12，月平均期望薪资对应数据的方差为s 22，判断s 12与s 22的大小.(只需写出结论)【答案】解：(Ⅰ)设该生该月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A ， ∵15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，∴该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率P(A)=615=25． (Ⅱ)由(Ⅰ)知选中平均薪资高于8500元的城市的概率为25， 低于8500元的概率为35， ∴X ～B(2,25)，P(X =0)=(35)2=925，P(X =1)=C 21×25×35=1225， P(X =2)=C 22×(25)2=425，P12X9251225425E(X)=2×25=45．(Ⅲ)S 12>S 22． 【解析】(Ⅰ)求出15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，由此能求出该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率．(Ⅱ)推导出X ～B(2,25)，由此能求出X 的分布列和E(X)．(Ⅲ)S 12>S 22． 本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17. 如图，四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为直角梯形，AB//CD ，AB ⊥BC ，平面ABCD ⊥平面ABB 1A 1，∠BAA 1=60∘，AB =AA 1=2BC =2CD =2． (Ⅰ)求证：BC ⊥AA 1；(Ⅱ)求二面角D −AA 1−B 的余弦值；(Ⅲ)在线段DB 1上是否存在点M ，使得CM//平面DAA 1？若存在，求DMDB 1的值；若不存在，请说明理由．【答案】证明：(Ⅰ)∵四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为直角梯形， AB//CD ，AB ⊥BC ，平面ABCD ⊥平面ABB 1A 1，交线为AB ， ∴BC ⊥平面ABB 1A 1，∵AA 1⊂平面ABB 1A 1，∴BC ⊥AA 1．解：(Ⅱ)∵BC ⊥平面ABB 1A 1，∠BAA 1=60∘，AB =AA 1=2BC =2CD =2． ∴以B 为原点，在平面ABB 1A 1中，过B 作BB 1的垂线为x 轴，BB 1为y 轴，BC 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(√3,−1,0)，B(0,0，0)，A 1(√3,1，0)，D(√32,−12,1)，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1，0)， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,12,1)， 设平面AA 1D 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0n ⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32x +12y +z =0，取x =2，得n ⃗ =(2,0，√3)， 平面AA 1B 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设二面角D −AA 1−B 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√7=√217． ∴二面角D −AA 1−B 的余弦值为√217．(Ⅲ)假设在线段DB 1上存在点M ，使得CM//平面DAA 1，B 1(0,2，0)，C(0,0，1)， 设M(a,b ，c)，DMDB 1=λ，λ∈[0,1].则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(a −√32,b +12,c −1)=(−√32λ,52λ,−λ)，解得M(√32−√32λ,52λ−12,1−λ)，∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32−√32λ,52λ−12,−λ)，∵CM//平面DAA 1，平面DAA 1的法向量n ⃗ =(2,0，√3)， ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√3−√3λ−√3λ=0，解得λ=12，∴在线段DB 1上存在点M ，使得CM//平面DAA 1，且DM DB 1=12．【解析】(Ⅰ)由AB ⊥BC ，平面ABCD ⊥平面ABB 1A 1，交线为AB ，得BC ⊥平面ABB 1A 1，由此能证明BC ⊥AA 1．解：(Ⅱ)以B 为原点，在平面ABB 1A 1中，过B 作BB 1的垂线为x 轴，BB 1为y 轴，BC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −AA 1−B 的余弦值． (Ⅲ)设M(a,b ，c)，DMDB1=λ，λ∈[0,1].则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32−√32λ,52λ−12,−λ)，平面DAA 1的法向量n ⃗ =(2,0，√3)，利用向量法能求出在线段DB 1上存在点M ，使得CM//平面DAA 1，且DM DB 1=12．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与示法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18. 已知函数f(x)=(x −2)e x −13ax 3+12ax 2．(Ⅰ)当a =0时，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)当a ≤e 时，求证：x =1是函数f(x)的极小值点． 【答案】解：(Ⅰ)a =0时，f(x)=(x −2)e x ， f′(x)=(x −1)e x ，令f′(x)>0，解得：x >1， 令f′(x)<0，解得：x <1，故f(x)在(−∞,1)递减，在(1,+∞)递增； (Ⅱ)f′(x)=(x −1)(e x −ax)， x ≥1时，x −1≥0，令ℎ(x)=e x −ax ，则ℎ′(x)=e x −a ≥0，故ℎ(x)在(1,+∞)递增，故ℎ(x)≥ℎ(1)=e −a ≥0， 故x ≥1时，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)在(1,+∞)递增，11x <1时，x −1<0，ℎ′(x)=e x −a >0，ℎ(x)>ℎ(1)=e −a >0，故x <1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(−∞,1)递减，故x =1是函数f(x)的极小值点．【解析】(Ⅰ)代入a 的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．19. 已知抛物线C ：y 2=2px 过点M(2,2)，A ，B 是抛物线C 上不同两点，且AB//OM(其中O 是坐标原点)，直线AO 与BM 交于点P ，线段AB 的中点为Q ．(Ⅰ)求抛物线C 的准线方程；(Ⅱ)求证：直线PQ 与x 轴平行．【答案】解：(Ⅰ)抛物线C ：y 2=2px过点M(2,2)，∴4=4p ，即p =1，∴抛物线C 的准线方程x =−p 2=−12， 证明(Ⅱ)∵M(2，2)，AB//OM ，∴k AB =k OM =1，设直线AB 的方程为y =x +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y 2=2x y=x+m ，消x 可得y 2−2y +2m =0，∴△=4−8m >0，即m <12且m ≠0，∴y 1+y 2=2，y 1y 2=2m ，∵线段AB 的中点为Q ，∴y Q =12(y 1+y 2)=1， ∵直线OA 的方程为y =y 1x 1⋅x =2y 1⋅x ，① 直线BM 的方程为y −2=y 2−2x 2−2(x −2)=y 2−2y 222−2(x −2)=2y 2+2(x −2)，②，由①②解得y =2y 2y 2−y 1+2=2y 2y 2−(2−y 2)+2=1，∴y p =1∴直线PQ 的方程为y =1，故直线PQ 与x 轴平行【解析】(Ⅰ)把点代入即可求出p 的值，可得抛物线C 的准线方程，(Ⅱ)由题意可设直线AB 的方程为y =x +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据韦达定理定理可得y 1+y 2=2，即可求出点Q 的纵坐标，在再分别求出直线OA ，BM 的方程，求出点P 的纵坐标，即可证明本题考查了抛物线的方程，直线和抛物线的位置关系，韦达定理，直线方程，考查了运算求解能力，属于中档题12 20. 设n ∈N ∗且n ≥2，集合S n ={(x 1,x 2…,x n )||x 1|=1，|x i+1|=2|x i |(i =1,2…,n −1)}．(Ⅰ)写出集合S 2中的所有元素；(Ⅱ)设(a 1,a 2,…a n )，(b 1,b 2,..b n )∈S n ，证明“∑a i n i=1=∑b i n i=1”的充要条件是“a i =b i (i =1,2，3，…n)”；(Ⅲ)设集合T n ={∑x i n i=1|(x 1,x 2,..x n )∈S n }，求T n 所有正数之和．【答案】解：(1)依题意，|x 1|=1，|x 2|=2|x 1=2，∴x 1=±1，x 2=±2，|∴集合S 2中的所有元素为：(1,2)，(1,−2)，(−1,2)，(−1,−2)共四个元素．(2)证明：①充分性，当a i =b i 时，显然∑a i n i=1=∑b i n i=1成立．②必要性，依题意，a i =p i ⋅2i−1，其中p i ∈{−1,1}，所以∑a i n 1=∑p i n 1⋅2i−1，其中p i ∈{−1,1}， 下面证明∑p i n 1⋅2i−1的符号与最后一项的符号相同.且不为0． 当p n =1时，∑p i n 1⋅2i−1=∑p i n−11⋅2i−1+2n−1=2n−1−∑2i−1n−11=2n−1−1−2n−11−2=1>0，即当p n =1时，∑p i n 1⋅2i−1>0， 当p n =−1时，∑p i n 1⋅2i−1=∑p i n−11⋅2i−1−2n−1≤∑2i−1n−11−2n−1=1−2n−11−2−2n−1=−1<0，即当p n =−1时，∑p i n 1⋅2i−1<0． ∑a i n i=1=∑b i n i=1成立时，假设a i ≠b i ，且他们有k 项不相同(k ≥1,k ∈N)，则∑a i n i=1−∑b i n i=1为这k 项的二倍的和或差，将这k 项按绝对值从小到大排列起来，分别记作p 1c 1，p 2c 2，……，p k c k ，p i ∈{−1,1}，则∑a i−n i=1∑b i n i=1=p 1c 1+p 2c 2+⋯…+p k c k ，设绝对值最大项c k =p k ⋅2m ，若p k =1，∑a i−n i=1∑b i n i=1=p 1c 1+p 2c 2+⋯…+p k c k ≥−∑2i m−11+2m >0， 若p k =−1，∑a i−n i=1∑b i n i=1=p 1c 1+p 2c 2+⋯…+p k c k ≤∑2i m−10−2m <0， 这与∑a i n i=1=∑b i n i=1矛盾，故假设错误，即当∑a i n i=1=∑b i n i=1时，有a i =b i (i =1,2，3，…n)，充分性成立．综上“∑a i n i=1=∑b i n i=1”的充要条件是“a i =b i (i =1,2，3，…n)．(3)T n ={∑x i n i=1|(x 1,x 2,..x n )∈S n }，故T n 可以记作：T n =p 1⋅20+p 2⋅21+⋯…+p n ⋅2n−1，p i ∈{−1,1}，由(2)知，要使T n 取正值，需要最后一项系数p n =1，而前n −1项的系数可以任意选取，则前n −1项的系数取−1的有C n−10+C n−11+C n−12+⋯…+C n−1n−1=2n−1项，前n −1项的系数取1的也有C n−10+C n−11+C n−12+⋯…+C n−1n−1=2n−1项，且它们相加为0．故T n 所有正数之和为2n−1个2n 相加，故T n 所有正数之和为2n−1×2n =22n−1．【解析】(1)根据题意，直接列出即可(2)利用以∑a i n 1=不为零这个特性，结合反证法可以证明．(3)根据计数原理，T n 为正时，最后一项的系数必为正数，再看前n −1项的情况，数出个数相加即可．本题考查了数列递推关系等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2022年丰台区高三一模数学试题+答案
北京市丰台区2021—2022学年度第二学期综合练习（一）高三数学 2022.03 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则（A ）{|11}x x -<<（B ）{|11}x x -<≤（C ）{|22}x x -<<（D ）{|22}x x -<≤2．已知命题p ：2110x x ∃>->,，则p ⌝是（A ）2110x x ∀>->, （B ）2110x x ∀>-,≤ （C ）2110x x ∃>-,≤（D ）2110x x ∃-≤,≤3．已知复数，则“”是“为纯虚数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4．已知圆22:20C x x y -+=，则圆心C 到直线3x =的距离等于（A ）4（B ）3（C ）2（D ）15．若数列{}n a 满足12n n a a +=，且41a =，则数列{}n a 的前4项和等于（A ）15（B ）14（C ）158（D ）786．在△ABC中，cos 23B a b ===,,，则A ∠= （A ）6π （B ）3π （C ）56π （D ）或7．在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”.若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者.则这6位志愿者不同的分配方式共有 （A ）19种 （B ）20种 （C ）30种 （D ）60种8. 已知F 是双曲线22:148C x y -=的一个焦点，点M 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若||||OM MF =，则△OMF 的面积为（A ）（B ）（C ）（D ）{|12}A x x =-<≤{|21}B x x =-<≤AB =i ()z a b a b =+∈R ,0a =z 6π56π32269. 已知函数32()3x x a f x x x x a -<⎧=⎨-⎩,,,≥无最小值，则的取值范围是（A ）（B ）（C ） （D ）10. 对任意，若递增数列中不大于的项的个数恰为，且12100n a a a +++=，则n 的最小值为 （A ）8（B ）9（C ）10（D ）11第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11.函数()lg f x x =的定义域是 ． 12. 已知向量(23)=-,a ，(6)x =-,b .若ab ，则=x ．13. 已知函数()f x 的定义域为[01],.能够说明“若()f x 在区间[01],上的最大值为(1)f ，则()f x 是增函数”为假命题的一个函数是 ．14. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，则F 的坐标为 ；设点M 在抛物线C 上，若以线段FM 为直径的圆过点(02),，则||FM = ．15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别是棱1111A B A D ，的中点，点在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形是五边形； ②直线11B D 到平面CMN③存在点，使得11=90B PD ∠︒； ④△1PDD其中所有正确结论的序号是 ．a (1]-∞-,(1)-∞-,[1)∞,+(1)∞,+*N m ∈{}n a 2m m P P1B三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共13分）已知函数()sin ()(0||)2f x x ωϕωϕπ=+><,，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()()6g x f x f x π=++，求()g x 在区间4[0]π,上的最大值．条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：()f x 为奇函数；条件③：()f x 图象的一条对称轴为4x π=. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．17.（本小题共14分）如图，在直角梯形ABCD 中，ABCD ，90DAB ∠=︒，12AD DC AB ==．以直线AB 为轴，将直角梯形ABCD 旋转得到直角梯形ABEF ，且AF AD ⊥． （Ⅰ）求证：DF平面BCE ；（Ⅱ）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线AE 和平面BCP 所成角的正弦值为56？若存在，求出DP DF的值；若不存在，说明理由.18.（本小题共14分）为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．（Ⅰ）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；（Ⅱ）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的X A DCBEF人数．以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的(098)a <<人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为2s .当为何值时，2s 最小.（结论不要求证明）19.（本小题共15分）已知椭圆2222:1x y C a b+=（）的左、右顶点分别为，，且||4AB =．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上不同于，的一点，直线，与直线分别交于点M N ，.若||4MN ≤，求点横坐标的取值范围．20.（本小题共15分）已知函数()f x =（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）若函数2()()3ag x f x =-恰有两个不同的零点，求a 的取值范围.21.（本小题共14分）已知集合{12}S n =,,,(3n ≥且n ∈*N ），12{}m A a a a =,,,，且A S ⊆.若对任意i j a A a A ∈∈,（1i j m ≤≤≤），当i j a a n +≤时，存在k a A ∈(1k m ≤≤)，使得i j k a a a +=，则称A 是S 的m 元完美子集.（Ⅰ）判断下列集合是否是{12345}S =,,,,的3元完美子集，并说明理由；①1{124}A =,,； ②2{245}A =,,. （Ⅱ）若123{}A a a a =,,是{127}S =,,,的3元完美子集，求123a a a ++的最小值； （Ⅲ）若12{}m A a a a =,,,是{12}S n =,,,(3n ≥且n ∈*N ）的m 元完美子集，求证：12(+1)2m m n a a a +++≥，并指出等号成立的条件. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）X ()E X a a 0a b >>A B C P C A B PA PB 4x =P北京市丰台区2021---2022学年度第二学期综合练习（一）高三数学参考答案2022．03二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．(02], 12．4 13．21()()4f x x =-（答案不唯一）14．(10),；5 15．①③三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共13分） 解： 选择条件①②：（Ⅰ）由条件①及已知得，所以.由条件②得， 所以，即sin 0ϕ=. 解得π()k k ϕ=∈Z . 因为||2ϕπ<， 所以， 所以.经检验符合题意.………………6分（Ⅱ）由题意得，化简得.因为，所以ππ2π2663x +≤≤， 所以当ππ262x =+，即时，. ………………13分2ππT ω==2ω=()()f x f x -=-(0)0f =0ϕ=()f x sin 2x =0ϕ=()sin 2sin(2)3πg x x x =++())6πg x x =+0π4x ≤≤6πx =()g x选择条件①③：（Ⅰ）由条件①及已知得，所以.由条件③得()ππ2π42k k ϕ⨯+=+∈Z ， 解得π()k k ϕ=∈Z . 因为||2ϕπ<， 所以.所以. ………………6分（Ⅱ）由题意得，化简得.因为， 所以ππ2π2663x +≤≤， 所以当，即时，. ………………13分17.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）由题意得EF CD ‖，EF CD =，所以四边形DCEF 为平行四边形.所以DF CE ‖.因为DF ⊄平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，所以DF ‖平面BCE ． ………………4分（Ⅱ）线段上存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为，理由如下：由题意得AD ，AB ，AF 两两垂直. 如图，建立空间直角坐标系. 设，则，， ，，，． 2ππT ω==2ω=0ϕ=()f x sin 2x =()sin 2sin(2)3πg x x x =++())6πg x x =+0π4x ≤≤62ππ2x +=6πx =()g x DF P AE BCP 56A xyz -2AB =(000)A ,,(020)B ,,(110)C ,,(100)D ,,(011)E ,,(001)F ,,所以，，,. 设，则. 设平面的一个法向量为，所以 即 令，则，.于是． 设直线和平面所成角为， 由题意得， 整理得， 解得或. 因为， 所以，即. 所以线段上存在点，当时，直线和平面所成角的正弦值为. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为5602500=14001000⨯. ……4分 （Ⅱ）由题意得，样本中名毕业生选择“继续学习深造”的频率为. 用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为.随机变量的所有可能取值为0，1，2，3. 所以，， ，(011)AE −−→=,,(110)BC −−→=-,,(120)BD −−→=-,,(101)DF −−→=-,,(01)DP DF λλ−−→−−→=≤≤(12)BP BD DP BD DF λλλ−−→−−→−−→−−→−−→=+=+=--,,BCP ()=x,y,z n 00BC BP −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩,,n n 0 (1)20.x y x y z λλ-=⎧⎨--+=⎩,x λ=y λ=1z λ=+(1+)λλλ,,n =AE BCPθ||5sin |cos |6||||AE AE AE θ−−→−−→−−→⋅=〈〉===⋅,n n n 232270λλ-+=13λ=7λ=01λ≤≤13λ=13DP DF =DF P 13DP DF =AE BCP 561000200110005=15X 00331164(0)()(1)55125P X C ==-=1231148(1)()(1)55125P X C ==-=2231112(2)()(1)55125P X C ==-=.所以的分布列为64481213()01231251251251255E x =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………11分 （Ⅲ）.……………14分19．（本小题共15分）解：（Ⅰ）由题意得22224a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，, 解得24a =，21b =.所以椭圆的方程是2214x y +=. ……………….5分（Ⅱ）设()P m n ,（22m -<<），由已知得(20)A -,，(20)B ,，所以直线AP ，BP 的方程分别为(2)2n y x m =++，(2)2ny x m =--. 令，得点M 的纵坐标为62M n y m =+，点N 的纵坐标为22N ny m =-，所以62||22n nMN m m =-+-.因为点P 在椭圆C 上，所以2214m n +=，所以2244m n -=-，即4||m MN n-=. 因为4MN ||≤，所以44m n-≤，即22(4)16m n -≤. 所以22(4)4(4)m m ---≤.整理得2580m m -≤，解得805m ≤≤. 3303111(3)()(1)55125P X C ==-=X 42a =C 4x =24(4)4n m m -=-所以点P 横坐标的取值范围是8[0]5，. ……………….15分20.（本小题共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，()1)f x x =≤，所以()f x '=令()1f x '=，解得0x =.因为(0)0f =，所以切点坐标为(00),.故切线方程为y x =. ……………….5分（Ⅱ）因为2()3ag x =()x a ≤，所以()g x '令()0g x '=，解得23ax =.当0a ≤时，由x a ≤,得230a x a --≥≥， 所以()0g x '≥，则在定义域(]a -∞,上是增函数. 故()g x 至多有一个零点，不合题意，舍去.当0a >时，随x 变化()g x '和()g x 的变化情况如下表：故()g x 在区间2()3a -∞,上单调递增，在区间2()3aa ,上单调递减， 当23a x =时，()g x 取得最大值2()3a g=.若03a <≤时，2()03a g ，此时()g x 至多有一个零点；若3a >时，2()03a g >，又2(0)()03ag g a ==-<, 由零点存在性定理可得()g x 在区间2(0)3a ,和区间2()3aa ,上各有一个零点，所以函数()g x 恰有两个不同的零点，符合题意.()gx综上所述，a 的取值范围是(3)+∞，. ……………….15分21．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）①因为1235+=≤，又13A ∉,所以1A 不是S 的3元完美子集.②因为2245+=≤，且24A ∈,而55454425245+>+>+>+>+>，所以2A 是S 的3元完美子集. ……………….4分（Ⅱ）不妨设123a a a <<.若11a =，则112a a A +=∈,123A +=∈,134A +=∈，与3元完美子集矛盾；若12a =，则114a a A +=∈，246A +=∈，而267+>，符合题意，此时123+12a a a +=. 若13a ≥，则116a a +≥，于是24a ≥，36a ≥，所以123+13a a a +≥.综上，123+a a a +的最小值是12. ……………….8分（Ⅲ）证明：不妨设12m a a a <<<.对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥, 否则，存在某个(1)i i m ≤≤，使得1i m i a a n +-+≤. 由12m a a a <<<，得121i i i i m i a a a a a a a n +-<+<+<<+≤.所以121i i i m i a a a a a a +-+++,,,是A 中1m i +-个不同的元素，且均属于集合12{}i i m a a a ++,,,， 该集合恰有m i -个不同的元素，显然矛盾. 所以对任意1i m ≤≤，都有11i m i a a n +-++≥. 于是1211211212()()()()()(1)m m m m m m a a a a a a a a a a a a m n ---++++=+++++++++≥.即12(1)2m m n a a a ++++≥. 等号成立的条件是111n a m +=∈+*N 且(1)(2)1i n ia i m m +=+≤≤. ……………….14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
【区级联考】北京市丰台区2021届高三第一学期期末考试数学(理)试题
【区级联考】北京市丰台区2019届高三第一学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|22}B x x =-≤≤，那么AB =（ ）A ．{1,0,1}-B ．{1,0,1,2}-C ．{1,0,1,2,3}-D ．{|22}x x -≤≤ 2．若复数（2﹣i ）（a+i ）的实部与虚部互为相反数，则实数a ＝（ ）A ．3B ．13C ．−13D ．﹣3 3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为A ．34B ．45C ．56D ．674．已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ）A ．30B ．45C ．90D ．186 5．设a ，b 是非零向量，则“a b =”是“a 2a b =⋅”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）．作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（ ）A ．65B ．54C ．32D ．527．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为AB ．1 CD ．2二、填空题8．在极坐标系中，圆C ：2sin ρθ=的圆心到点(1,0)的距离为____．9．5(21)x -展开式中2x 的系数为____．10．能够说明“设,a b 是任意非零实数．若1b a>，则b a >”是假命题的一组整数．．,a b 的值依次为____． 11．若,x y 满足1,1,210,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =-的最大值为____．12．动点(,)A x y 在圆221x y +=上沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间0t =时，点A的坐标是1)2，则当06t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的值域为____．三、双空题13．已知函数()33,,2,.x x x a f x x x a ⎧-+≥=⎨<⎩(1) 若0a =，则函数()f x 的零点有____个；(2) 若存在实数m ，使得函数()y f x m =+总有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是____．四、解答题14．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3a =，b =1cos 3B =. （Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求ABC △的面积.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，Q 为棱PD 的中点，PA AB =．（Ⅰ）求证：AQ CD ⊥；（Ⅱ）求直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角C AQ D --的余弦值．16．2021年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．（Ⅰ）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；（Ⅱ）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访.（i ）记X 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量X 的分布列；（ii ）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10％.记Y 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数.试比较随机变量,X Y 的均值()E X 和()E Y 的大小.（只需写出结论） 17．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12，直线:(4)l y k x =-(0)k ≠与椭圆C 交于不同两点,M N ，直线,FM FN 分别交y 轴于,A B 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求证：||||FA FB =.18．设函数()sin cos ,[0,]2f x a x x x x π=-∈．（Ⅰ）当1a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅱ）如果()0f x ≥恒成立，求实数a 的最小值． 19．将m n ⨯阶数阵111212122212,,,,,,,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦记作{}i j m n a ⨯（其中，当且仅当,i s j t ==时，i j st a a =）.如果对于任意的1,2,3,,i m =，当12j j <时，都有12i j i j a a <，那么称数阵{}i j m n a ⨯具有性质A . （Ⅰ）写出一个具有性质A 的数阵34{}i j a ⨯，满足以下三个条件：①114a =，②数列1{}n a 是公差为2的等差数列，③数列1{}m a 是公比为12的等比数列； （Ⅱ）将一个具有性质A 的数阵{}i j m n a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作数阵{}i j m n b ⨯.试判断数阵{}i j m n b ⨯是否具有性质A ，并说明理由.参考答案1．B【解析】【分析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}1,0,1,2,3A =-，{|22}B x x =-≤≤，所以{}1,0,1,2A B ⋂=-，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 2．D【分析】利用复数乘法的运算法则化简复数(2−i)(a +i)，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可.【详解】因为(2−i)(a +i)=2a +2i −ai +1=2a +1+(2−a)i ,且复数(2−i)(a +i)的实部与虚部互为相反数，所以，2a +1+(2−a )=0，解得a =−3，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．B【解析】【分析】执行程序框图，可知该框图表示数列()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前4项和，利用裂项相消法可得结果.【详解】模拟程序的运营，可知该程序的功能是求()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前4项和， 并输出111112233445S =+++⨯⨯⨯⨯ 11111111411223344555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B 【点睛】算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮点，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.4．C【解析】由2115163{{4153a a d a a a d d =+==⇒=+==，33(1)3n a n n ∴=+-=，26n nb a n ==， 所以56305902S +=⨯=．5．A【分析】利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为,a b 是非零向量，所以若a b =，则2a b a a a ⋅=⋅=，即2a a b =⋅；若2a a b =⋅，则()0a a b ⋅-=，可得()a a b ⊥-或a b =，所以a b =是2a a b =⋅的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6．D【分析】设MB t =，可得12,8MO t MA t =-=-，则410MO MA AO -=<=，由双曲线的定义可得210,24c a ==，从而可得结果.【详解】设MB t =，因为10OA =，12OB =，所以12,8MO t MA t =-=-，可得410MO MA AO -=<=，由双曲线的定义可得M 的轨迹是双曲线的一支，且210,24c a ==，5,2c a ==， 离心率52c e a ==，故选D. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．7．C【分析】延展平面EFG ，可得截面EFGHOR ,其中H Q R 、、分别是所在棱的中点，可得1//D P 平面EFGHQR ,再证明平面1//D AC 平面EFGHQR ,可知P 在AC 上时，符合题意，从而得到P 与O 重合时三角形1PBB 的面积最小，进而可得结果.【详解】延展平面EFG ，可得截面EFGHQR ,其中H Q R 、、分别是所在棱的中点，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，所以1//D P 平面EFGHQR ,由中位线定理可得AC//EF ,EF 在平面EFGHQR 内，AC 在平面EFGHQR 外，所以AC //平面EFGHQR ,因为1D P 与AC 在平面1D AC 内相交，所以平面1//D AC 平面EFGHQR ,所以P 在AC 上时，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，因为B O 与AC 垂直，所以P 与O 重合时BP 最小，此时，三角形1PBB 的面积最小，最小值为122⨯=故选C. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.8【解析】 【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心坐标，利用两点间距离公式即可得结果. 【详解】2sin ρθ=化为22sin ρρθ=，化为直角坐标为2220x y y +-=，即为()2211x y +-=，圆心坐标为()0,1，()1,0的直角坐标仍然是()1,0,所以()0,1与()1,0=.【点睛】利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，极坐标问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题． 9．40- 【解析】 【分析】先求出二项式()521x -的展开式的通项公式，令x 的指数等于2，求出r 的值，即可求得展开式中2x 的项的系数. 【详解】二项式()521x -的展开式的通项公式为()()()5551552112r rrrrr r r T C x C x ---+=-=-，令523r r -=⇒=，所以2x 的系数为()33251240C -=-，故答案为40-.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 10．1,2--（答案不唯一） 【分析】要使“设,a b 是任意非零实数．若1ba>，则b a >”是假命题，只需满足0b a << 且,a b Z ∈ 即可， 【详解】要使“设,a b 是任意非零实数．若1ba>，则b a >”是假命题， 只需满足0b a << 且,a b Z ∈ 即可， 可取1,2a b =-=-，故答案为：1,2--（答案不唯一）. 【点睛】此题考查不等式性质的应用，考查假命题的判断方法，属于基础题. 11．1 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出1,1,210,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩表示的可行域，如图，由1010x y x y --=⎧⎪⎨⎪+-=⎩可得10x y =⎧⎪⎨⎪=⎩， 将2z x y =-变形为1122y x z =-， 平移直线1122y x z =-， 由图可知当直1122y x z =-经过点()1,0时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值，最大值为1201z =-⨯=，故答案为1. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 12．1[,1]2-【分析】由12秒旋转一周，可得每秒旋转6π，由0t =时，点A的坐标是122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，可得当0t =时，cos ,26παα==，由此可得sin ,66y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出66t ππ+的范围，结合正弦函数的单调性即可得结果. 【详解】因为动点(),A x y 12秒旋转一周， 所以每秒旋转6π， 设动点A 与x 正方向夹角为,α因为时间0t =时，点A的坐标是122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以当0t =时，cos ,26παα==，所以66t ππα=+，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数为sin ,66y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当06t ≤≤时，766ππα≤≤，1sin ,1,2y α⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦即动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故答案为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查三角函数的解析式，正弦函数的单调性与值域，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 13．2 0a <且1a ≠- 【分析】(1)直接由3300x x x ⎧-+=⎨≥⎩或020x x <⎧⎨=⎩求解即可的结果；（2）问题等价于使得()y f x =的图象y m =-的图象有三个交点，分类讨论，分别画出函数图象，利用数形结合可得结果. 【详解】(1)由3300x x x ⎧-+=⎨≥⎩得0x =或x =020x x <⎧⎨=⎩无解，所以函数()f x 的零点有2个； （2）设3y 3x x =-+,则2y'33x =-+,由2330x -+>,可得3y 3x x =-+在(1,1)-递增， 由2330x -+<,可得在(,1),(1,)-∞-+∞上递减，函数3y 3x x =-+在1x =-有极小值2-，在1x =有极大值2，若1a <-，画出函数()y f x =的图象，如图，由图可知存在m ,使得()y f x =的图象与y m =-的图象有三个交点，此时()f x 有三个零点；若10a -<<，画出函数()y f x =的图象，如图，由图可知存在m ,使得()y f x =的图象与y m =-的图象有三个交点，此时()f x 有三个零点；若0a >，画出函数()y f x =的图象，如图，由图可知()y f x =的图象与y m =-的图象最多有两个交点，不合题意；若1a =-，()y f x =在(,1)-∞上递增，在(1,)+∞递减，()y f x =的图象y m =-的图象最多有两个交点，不合题意，综上可得，实数a 的取值范围是0a <且1a ≠-， 故答案为(1). 2 (2). 0a <且1a ≠-. 【点睛】本题主要考查函数的零点、分类讨论思想的应用以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．14．（Ⅰ）3c = ； （Ⅱ）【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理列方程求解即可；（Ⅱ）由同角三角函数的关系求得sin B =结合（Ⅰ）利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（Ⅰ）在△ABC 中，因为3a =，b =1cos 3B =， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 可得2230c c --=， 所以3c =，或1c =-（舍）． （Ⅱ）因为()1cos ,0,3B B π=∈，所以sin 3B ==.所以ABC 的面积11sin 3322S ac B ==⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15．（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）13；【分析】（Ⅰ）由线面垂直的性质可得PA CD ⊥，由正方形的性质可得AD CD ⊥ ，由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面PAD ，从而可得结果；（Ⅱ）正方形ABCD 中AB AD ⊥，侧棱PA ⊥底面ABCD ，以AB AD AP 、、为轴建立坐标系，求出CP ，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面AQC 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果；（Ⅲ）由（Ⅰ）知CD ⊥平面PAD ，则()2,0,0DC = 为平面PAD 的法向量，结合（Ⅱ），由空间向量夹角余弦公式可得结果. 【详解】（Ⅰ）因为PA ⊥底面,ABCD CD ⊂底面ABCD ， 所以PA CD ⊥，正方形ABCD 中,AD CD ⊥ ， 又因为PA AD A ⋂=， 所以CD ⊥平面PAD ， 因为AQ ⊂平面PAD ，所以AQ CD ⊥．（Ⅱ）正方形ABCD 中AB AD ⊥，侧棱PA ⊥底面ABCD . 如图建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设2AB =. 依题意，则()()()()0,0,0,2,2,0,0,0,2,0,1,1A C P Q ，所以()()()2,2,2,2,2,0,0,1,1CP AC AQ =--== .设平面AQC 的法向量(),,n x y z =，因为·0·0n AC n AQ ⎧=⎨=⎩，所以2200x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即()1,1,1n =-，所以·1cos ,3n CP n CP n CP==⋅， 所以直线PC 与平面AQC 所成角的正弦值为13； （Ⅲ）由（Ⅰ）知CD ⊥平面PAD ，所以()2,0,0DC = 为平面PAD 的法向量， 因为·3cos ,3n DC n DC n DC==⋅， 且二面角C AQ D --为锐角， 所以二面角C AQ D --的余弦值为．【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角与线面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 16．（Ⅰ）136； （Ⅱ）（i ）见解析； （ii ）()()EX E Y >. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求得7个展区企业数共3600家，其中备受关注的智能及高端装备企业共40025%100⨯=家，利用古典概型概率公式可得结果；（Ⅱ）（i ）X 的可能取值为0,1,2，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列；（ii ）根据数学期望的实际意义（均值）求解即可. 【详解】（Ⅰ）7个展区企业数共400+60+70+650+1670+300+450=3600家， 其中备受关注的智能及高端装备企业共40025%100⨯=家，设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A , 所以()1001360036P A ==. （Ⅱ）（i ）消费电子及家电备受关注的企业有6020%12⨯=家， 医疗器械及医药保健备受关注的企业有3008%24⨯=家，共36家.X 的可能取值为0，1，2.()()()2112241224122223636364616110,1,110535105C C C C P X P X P X C C C ========= 所以随机变量X 的分布列为：（ii ）()()E X E Y > 。