第8章 动态规划复习
第8章动态规划PPT课件
fk
1
(sk
1 )
过程指标（阶段递推）函数:
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k= 4
7
f4 (C1) = 3, f4 (C2) = 4
A1 4
B1 1
k= 3
2
6
f f
3( 3(
B B
1 2
) )
= =
m m
i i
n n
{ {
1 6
+ +
f f
4( 4(
C C
1 1
) )
= =
4 9
* ,
,
34++f 4f(4QC( C22) =)4=78*
; 的 最 优 控 制 等 问 题
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§7.2 动态规划的基本概念和基本思想
一、基本概念
使用动态规划方法求解决策问题首先要将问题改造成符合动态规划求解要求的 形式,要涉及以下概念:
(1)阶段
(2)状态
(3)决策与策略
(4)状态转移方程
(5)指标函数
(6)基本方程
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(1) 划分阶段
• 离散确定型 • 离散随机型 • 连续确定型 • 连续随机型
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动态规划的特点:
• 动态规划没有准确的数学表达式和定义精确的算法, 它强调具体问题具体分 析, 依赖分析者的经验和技巧。
• 与运筹学其他方法有很好的互补关系, 尤其在处理非线性、离散性问题时有 其独到的特点。
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何找到的这个终点）无关；-----无后效性
• 3、逐段地求解最优路径，势必会找到一个全过程最优路径。-----
动态规划
动态规划1(qh)
4 1 C3
B2
2
2
C2 3
5 B1 4
3 C1 3
D3 5
E2
3
2
D2
4
F
4
2 E1
D1
A
B
C
D
E
F
动态规划的函数方程（DP）
建立DP函数方程是指确定过 程的阶段及阶段数，规定状态变 量和决策变量的取法，给出各阶 段的状态集合，允许决策集合， 状态转移方程和指标函数等。
在上面的计算过程中，利用了第 k阶段与第k+1阶段的关系：
f3(C1)=MIN r(C1,D1)+ f4(D1) r(C1,D2)+ f4(D2)
=MIN（3+6，3+5）=8 最短路线： C1——D2——E2——F 最优解： d3*(C1)= D2
4 A3
4 1 C3
B2
2
2
C2 3
5 B1 4
3 C1 3
D3 5
E2
3
2
D2
4
F
4
2 E1
D1
A
B
C
D
4
F
4
2 E1
D1
A
B
C
D
E
F
d1
r (S 1,d 1 (S 1))+ f2(S 2) f 1(S 1) d 1 (S 1)
S1
B1
B2
A
15
14
14
B2
4 A3
4 1 C3
B2
2
2
C2 3
5 B1 4
3 C1 3
D3 5
E2
3
动态规划(奥赛完整版本)
第八章动态规划第一节引言在分治法一章中，为了解决一个大的问题，我们总是想方设法把它分成两个或多个更小的问题；然后分别解决每个小问题；再把各小问题的解答组合起来，即可得到原问题的解答；小问题通常与原问题本质相似，只是规模小些，一般都可以用递归的方法来解决，如hanoi 塔问题和快速排序都是应用这种方法的典型例子。
然而常常有些问题难以用分治法来求解，当把问题分解成若干个子问题，使之能够从这些子问题的解得到原问题的解时，子问题的数目太多，这样，如果把每个子问题再分解，必将得到更多的子问题，以至于最后解决问题需要耗费指数时间。
往往在这类问题中子问题的数目其实只有多项式多个，于是在上述算法中，一定有些子问题被重复计算了许多次。
如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时简单查一下，这样我们就可以避免大量的重复计算，从而得到多项式时间的算法。
为了实现上述方法，我们用一个数组来记录所有已解决的子问题的答案。
无论子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果存入数组中，这种方法在程序设计中被称为动态规划，请看下面的实例。
例8_1: 数字三角形(IOI'94)[问题描述] 如下所示为一个数字三角形：73 88 1 02 7 4 44 5 2 6 5请编一个程序计算从顶至底的某处的一条路径，使该路径所经过的数字的总和最大。
●每一步可沿直线向下或右斜线向下走；● 1＜三角形行数≤100；●三角形中的数字为整数0，1， (99)[输入]输入文件第一行为一个自然数，表示数字三角形的行数n，接下来的n行表示一个数字三角形。
[输出]输出文件仅有一行包含一个整数表示要求的最大总和。
[输入样例]572213 88 1 02 7 4 44 5 2 6 5[输出样例]30[问题分析] 假设从顶至数字三角形的某一位置的所有路径中，所经过的数字的总和最大的那条路径我们称之为该位置的最大路径。
由于问题规定每一步只能沿直线或右斜线向下走，若要走到某一位置，则其前一位置必为其左上方或正上方两个位置之一，由此可知，当前位置的最优路径必定与其左上方或正上方两个位置的最优路径有关，且来自于其中更优的一个。
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-动态规划的基本方法(圣才出品)
（1） A → B2 →C1 → D1 → E ；（2） A → B3 →C1 → D1 → E ； （3） A → B3 →C2 → D2 → E 。
8.3 计算从 A 到 B、C 和 D 的最短路线。已知各段路线的长度如图 8-2 所示。
图 8-2
解：设阶段变量 k = 1, 2,3, 4 ,依次表示 4 个阶段选择路线的过程；状态变量 sk 表示第 k 阶段初所处的位置；决策变量 xk 表示第 k 阶段初可能选择的路线；最优值函数 fk (sk ) 表示 从起点 A 到第 k 阶段状态 sk 的最短距离，则有
xn =sn
n
xn
，或 fn+1(sn+1) = 0
n
（2）设状态变量为 sk = ai xi (k = 1, 2, n) ，状态转移方程为 sk+1 = sk − ak xk ，最 i=k
n
优值函数 fk (sk ) 表示在 sk 状态下从第 k 阶段到第 n 阶段使 z = ci xi2 最小的值，则动态规 i=k
划的基本方程为：
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fk (sk )
=
min
0xk sk ak
{ck
xk2
+
f k +1 (sk
− ak xk )}
fn+1(sn − anxn ) = 0(k = n, n −1, 2,1)
8.5 用递推方法求解下列问题。
=
max {2
0x3 10
x32
+
f2 (s2 )} =
max {2
0x3 10
第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
运筹学第八章动态规划
x1
x2
x3
x4
x5
（3）决策（decision）
□当过程处于某一阶段的某状态时，可以做出不同的决定，从而 确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。 □描述决策的变量称为决策变量，常用uk( xk )表示第k阶段当状 态处于xk时的决策变量，它是状态变量的函数。
□从第2阶段的状态 B1出发，如我们决 定选择C2（也即确 定了下一阶段的状 态）。
B1
C2
B1
C2
□上例中， u2( B1 ) = C2 □状态转移律为： xk+1 = uk( xk )
□一般来说，下一阶段状态变量xk+1的取值是上阶段的某一状态 变量xk和上阶段决策变量uk(xk)的函数，记为 xk+1=Tk( xk, uk(xk) )
C2
01
用来衡量策略或子策略或决策的效果的某种数量指标，就称
02
为指标函数。
03
它是定义在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量函数。
04
对不同问题，指标函数可以是诸如费用、成本、产值、利润、
05
产量、耗量、距离、时间、效用，等等。
06
阶段
07
指标函数
08
过程
09
指标函数
（6）指标函数
①阶段指标函数：是指第 k 阶段从状态 xk 出发，采取决策 uk 时产生的效益，用 vk(xk, uk) 表示。
07
方法去处理。
学习目标：
变量、决策变量、状态转移律、指标函数、基本方程
02
准确、熟练地掌握动态规划的基本概念、特别是状态
动态规划复习题
动态规划复习题在计算机科学和数学领域中，动态规划是一种非常重要的算法思想和解题策略。
它常常被用于解决那些具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，能够有效地降低计算复杂度，提高算法的效率。
动态规划的核心思想是将一个复杂的问题分解成若干个子问题，并通过保存子问题的解来避免重复计算，从而逐步求解出原问题的最优解。
这种方法的关键在于找出问题的最优子结构和状态转移方程。
让我们通过一个经典的例子来理解动态规划的基本概念。
假设有一个楼梯，我们需要从楼梯的底部走到顶部。
每次可以向上走 1 级或者 2 级台阶。
那么，请问走到第 n 级台阶共有多少种不同的走法？我们可以用动态规划的方法来解决这个问题。
首先，定义一个数组dp，其中 dpi 表示走到第 i 级台阶的不同走法数量。
对于第 1 级台阶，只有 1 种走法，即直接走上去，所以 dp1 ＝ 1。
对于第 2 级台阶，可以一次走 2 级，也可以分两次每次走 1 级，所以 dp2 ＝ 2。
对于第 i 级台阶（i ＞ 2），它可以从第 i 1 级台阶走 1 级到达，也可以从第 i 2 级台阶走 2 级到达。
所以，走到第 i 级台阶的走法数量等于走到第 i 1 级台阶的走法数量加上走到第 i 2 级台阶的走法数量，即dpi ＝ dpi 1 ＋ dpi 2。
通过这种方式，我们可以从第 1 级和第 2 级台阶的基础情况出发，逐步计算出 dpn，即走到第 n 级台阶的不同走法数量。
另一个常见的动态规划问题是背包问题。
假设有一个背包，它的容量为 C，有 n 个物品，每个物品有自己的重量 wi和价值 vi。
我们需要选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。
同样地，我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dpij 表示在前 i 个物品中，背包容量为 j 时能够获得的最大价值。
对于第 1 个物品，如果背包容量足够容纳它，那么 dp1j ＝ v1（j ＞＝ w1），否则 dp1j ＝ 0。
第8章动态规划PPT课件
逆推
f 0,k4 ,,1
3. 动态规划解决的问题必须包含最 优子结构，即可以由（n－1）的最 优推导出n的最优
7
动态规划模型的分类： 以“时间”角度可分成：
离散型和连续型。 从信息确定与否可分成：
确定型和随机型。 从目标函数的个数可分成：
单目标型和多目标型。
8
8.2 基本概念与方程
1.基本概念
阶段（Stage）——分步求解的过程，用阶段变量k表示，k=1，，n 状态（State）——每阶段初可能的情形或位置，用状态变 量Sk表示。
2 14 6
A
5
B2
10 4
79 6
C2 5
D1 5 0 2E
逆 序
19
1 13 12
B3 11
8 10
D2
C3
2
解 法
19
12
1
2
3
4
始
终
端
端
18
请在每个节点上标出从该节点到始点的最短距离
12
B1 14 C1 3
2
6
9
D1 5
顺
A
5
B2
10 4
1 13
12
6
C2 5
2
8 10
D2
E
序 解 法
B3 11 C3
为vkn= vkn(Sk， Pkn )。其中最优的称最优 指标函数，记 fk = fk（ Sk ）=opt vkn。
问题：动态规划的最优解和最优值各是什么？
——最优解：最优策略P1n ，
最优值：最优指标f1。
12
多阶段决策过程
d1
d2
s1
s2
第八章动态规划1PPT课件
第八章 动态规划
３.决策（Decision) uk(sk) 决策指从一个阶段的某个状态演变到下一个阶段的
某个状态的选择。
uk(sk)表示第k阶段当状态处于sk时的决策变量。 Ｄk(sk)表示决策集合。 Ｄ1(s1)= u1(A) = B1,B2 ; D2(S2)= u2(B1),u2(B2) =
C1,C2,C3;C2,C3,C4 ……
第八章 动态规划
二、动态规划的基本概念和基本原理
以书中例1最短路线问题为例，说明动态 规划的基本概念。
第八章 动态规划
1.阶段（stage)k 阶段指作出决策的若干轮次。将所给问题的过程，按
时间或空间特征分解成若干个相互联系的阶段，以 便按次序去求每阶段的解，常用k表示阶段变量。 如上例中我们把从A到G看成一个六阶段问题，k（阶 段变量）分别等于1，2，3，4，5，6
1、离散确定型； 2、离散随机型； 3、连续确定型； 4、连续随机型；
第八章 动态规划
• 应用
– 最短路问题 – 资源分配问题 – 生产调度问题 – 库存问题 – 排序问题 – 设备更新问题 – 生产过程最优控制问题
第八章 动态规划
多阶段决策过程最优化问题举例
1、最短路问题：运输网络如下图，求从A到E的最短路。
D5(S5)= u5(E1),u5(E2),u5(E3) = F1,F2; F1,F2; F1,F2 = F1,F2
D6(S6)= u6(F1),u6(F2) = G,G = G
第八章 动态规划
4.策略(policy)和子策略（sub-policy)
策略是指全过程中按顺序排列的各阶段决策 组成的集合。记为：p1,n(s1)
增加产量
成本降低 库存费增加
第八章 动态规划
1
引言
• 动态规划(Dynamic Programming)是应用数学 和计算机科学领域中一个非常重要的算法设计技 术 • 美国数学家Richard Bellman于20世纪50年代发 明，用于解决多阶段决策过程最优问题 • 这里的Programming是计划和规划的意思
2
动态规划的适用条件
C(i,j)的值记录 在第i行，第j列
9
• 算法 Binomial(n,k) //用动态规划算法计算C(n,k) //输入：—对非负整数n>=k>=0 //输出：C(n,k)的值 for i← 0 to n do for j ← 0 to min(i,k) do if j=0 or j=i C[i,j] ← 1 else C[i,j] ←C[i-1,j-1]+C[i-1,j] return C[n,k]
当k 1, d
(0) ij
wij时, d
(k ) ij
min{d
( k 1) ij
,d
( k 1) ik
d }
(0) kj
• （3）以自底向上的方式计算出最优值。 • （4）根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。
25
a
2
b
3
c
6
1
7
d
D(0) 0 2 ∞ 6 ∞ 3 ∞ 0 ∞∞ 7 0 1 ∞∞ 0
13
a
b
c
d
邻接矩阵 a b c d a0 1 0 0 b0 0 0 1 c0 0 0 0 d1 0 1 0
传递闭包
a b c d a1
1 b1 1 c0 0 d1 1
1 1 0 1
1 1 0 1
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• (4)对一个动态规划问题，应用顺推或逆推解法可能会得出 不同的最优解； • (5)动态规划计算中的“维数障碍”主要是由于问题中阶段 数的急剧增加而引起； • (6)假如一个线性规划问题含有5个变量和3个约束，则用 动态规划方法求解时 • 将划分为3个阶段，每个阶段的状态将由一个5维的向量组 成。 • 8 对静态规划的模型(如线性规划、非线性规划、整数规划 等)，一般可以采用动态规划的方法求解，对此你能否评 说一下各自的优缺点。 • 9 在动态规划中，定义状态时要保证各阶段决策的相互独 立性，试述“货郎担”问题中状态是如何定义的，以及为 什么要这样来定义。 • 10 什么是动态规划算法中的维数灾难，试举出本章有关 问题中，在什么情况下会出现维数灾难。
第5章 动态规划问题
复习思考题
复习思考题
• • • • • • • • • • 1 举例说明什么是多阶段的决策过)最优策略；(d)状态转移方程；(e) 指标函数和最优值函数。 3 建立动态规划模型时应注意哪几点，它们在模型中的作用是什么? 4 试述动态规划方法的基本思想，动态规划基本方程的结构及方程中各个 符号的含义及正确写出动态规划基本方程的关键因素。 5 试述动态规划的最优化原理，以及它同动态规划基本方程之间的关系。 6 试述动态规划方法与逆推解法和顺推解法之间的联系及应注意之处。 7 判断下列说法是否正确 (1)在动态规划模型中，问题的阶段数等于问题中的子问题的数目； (2)动态规划中，定义状态时应保证在各个阶段中所做决策的相互独立性； (3)动态规划的最优性原理保证了从某一状态开始的未来决策独立于先前已 做出的决策；