四川自贡高2013高三一诊试题-数学理(word版).

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四川省自贡市12—13上学期高三数学(理科)第一次诊断性考试试卷

秘密★启用前[考试时间：2012年10月25日下午3：00—5：00]四川自贡市普高2013届第一次诊断性考试数学(理工类)本试题卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题).第一部分1至3页，第二部分4至6页，共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，只交回答题卡，试题卷学生自己保留．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()((k ＝0，1，…，n )球的表面积公式S ＝4πR 2其中R 表示球的半径球的体积公式3π34R V =其中R 表示球的半径第一部分(选择题共60分)注意事项：1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2．本部分共12小题，每小题5分，共60分．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．8πcos 8πsin的值为 A ．22 B ．2C ．24D ．422．复数i i341++的虚部是A ．i 251B ．251 C ．251-D ．i 251-3．集合M ＝{x ｜｜ x －3 ｜＜4}，N ＝{x ｜ x 2＋x －2＜0,x ∈Z }，则M ∩N ＝ A ．{x ｜－1＜x ＜1} B ．{x ｜ 2≤x ≤7} C ．{2} D ．{0} 4．已知平面向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“a b m a ⊥-)(”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知对数函数f (x )＝log a x 是增函数，则函数f (｜ x ｜＋1)的图象大致是6．要得到函数)4π2cos(3-=x y 的图象，可以将函数y ＝3sin 2x 的图象 A ．沿x 轴向左平移8π个单位 B ．沿x 向右平移8π个单位C ．沿x 轴向左平移4π个单位D ．沿x 向右平移4π个单位7．某小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15m 3的住户的户数为A ．10B ．50C ．60D ．140 8．运行如右图所示的程序框图，则输出S 的值为 A ．－2 B ．3 C ．4 D ．89．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 A ．720 B ．600 C ．520 D ．36010．设l ，m ，n 为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是①若l ⊥α，则l 与α相交②若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α ③若l ∥m ，m ∥n ，l ⊥α，则n ⊥α④若l ∥m ，m ⊥α，n ⊥α，则l ∥n A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．已知函数⎩⎨⎧>≤+=,0,log ,0,1)(2x x x x x f 则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数是A ．4B ．3C ．2D ．112．定义域为[a ，b ]的函数y ＝f (x )图像的两个端点为A 、B ，M (x ，y )是f (x )图象上任意一点，其中x ＝λa ＋(1－λ)b ，(a ≤x ≤b )，已知向量)1(λλ-+=，若不等式k ≤||恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数xx y 1-=在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为 A ．[0，＋∞) B ．),121[+∞ C ．),223[+∞+D ．),223[+∞-第二部分(非选择题共90分)注意事项：1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效． 2．本部分共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．若实数a ，b 均不为零，且)0(12>=x xxb a，则(x a －2x b )9展开式中的常数项等于_______．14．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积等于_______．15．代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A 码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米／时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A码头从受到台风影响到影响结束，将持续_______小时．16．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对∀x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有0)()(2121<--x x x f x f ，给出下列命题：(1)f (2)＝0；(2)直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； (3)函数y ＝f (x )在[－4，4]上有四个零点； (4)f (2012)＝f (0)．其中所有正确命题的序号为____________．三、解答题：共6小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题共12分)有两个不透明的箱子，每个箱子里都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4．(Ⅰ)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；(Ⅱ)摸球方法与(1)相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不同则乙获胜，这样规定公平吗?请说明理由．18．(本小题共12分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及数列{a n b n }前n 项和S n ．19．(本小题共12分)已知函数R ,3cos 32cos sin 2)(2∈-+=x x x x x f ． (Ⅰ)求函数f (x )的周期和最小值；(Ⅱ)在锐角△ABC 中，若2,1)(=⋅=AC AB A f ，求△ABC 的面积．20．(本小题共12分)已知四棱锥P －ABCD 底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AD ＝2，AB ＝1，E 、F 分别是线段AB ，BC 的中点．(Ⅰ)证明：PF ⊥FD ；(Ⅱ)在PA 上找一点G ，使得EG ∥平面PFD ；(Ⅲ)若PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A －PD －F 的余弦值．21．(本小题共12分)已知函数)0(31)(23=/++-=a d cx bx ax x F 的图像过原点，f (x )＝F '(x )，g (x )＝f '(x )，f (1)＝0，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像交于不同的两点A 、B ． (Ⅰ)y ＝F (x )在x ＝－1处取得极大值2，求函数y ＝F (x )的单调区间； (Ⅱ)若使g (x )＝0的x 值满足]21,21[-∈x ，求线段AB 在x 轴上的射影长的取值范围．22．(本小题共14分)设函数).1ln()(2x x x x f ++-=(Ⅰ)讨论函数f (x )的单调性；(Ⅱ)若x ≥0时，恒有f (x )≤ax 3，试求实数a 的取值范围； (Ⅲ)令*)N ()21(1)21(ln )21(91426∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=n a n n n n ，试证明：31321<++++n a a a a .自贡市高2013届第一次诊断考试数学试题参考答案及评分意见一、选择题(每小题5分共60分) (理科)DBDCB ACABC AD (文科)DBDCB ACBAC AD二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分) (理)13．－672 ； 14．8＋π34； 15．2.5；16．(1)(2)(4)． (文) 13．[)∞,1；14．8＋π34； 15．1＋21＋…．＋121-n ﹥2n;16．(1)(2)(4)．三、解答题：共6个题，共74分． 17．解：(1)用),(y x (x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字)表示甲乙各摸到一球构成的基本事件有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1) (4,2)(4,3)(4,4)共有16个－－－－－－－－－－－－3分设甲获胜的事件为A ，则事件A 包括的基本事件为(2,1)(3,1)(3,2)(4,1) (4,2)(4,3)共有6个，－－－－－－－－－－－－－－－5分83166)(==A P 即甲获胜的概率为83－－－－－－－－－－6分(2)设甲获胜的事件为B ，乙获胜的事件为C ，事件B 所包含的基本事件为(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)共有4个，－－－－－－－－－－－－－－－－－－－8分则41164)(==B P ，431641)(=-=C P ，－－－－－－－－－－－10分 )()(C P B P ≠，∴不公平－－－－－－－－－－－12分18．解：(Ⅰ)由3418a q a ==得 2q = ………文(2分)理(2分) ∴ 1222n n n a -=⋅= ………文(4分)理(3分) (Ⅱ)31351528432b b d a b b d a =+==⎧⎨=+==⎩ ∴ 11612b d =-⎧⎨=⎩ ………文(8分)理(6分)∴ 16(1)121228n b n n =-+-=- ………文(10分)理(7分) (文) 21(161228)6222n S n n n n =-+-=- …………文(12分)(理)(1228)2n n n a b n =-⋅123162(4)282(228)2n n S n =-⋅+-⋅+⋅++-2312162(4)2(1240)2(1228)2n n n S n n +=-⋅+-⋅++-+-∴ 1231216212(222)(1228)2n n n n S S n +-=-⋅++++--∴12112(222)56(1228)2n n n S n +-=+++--- …………理(10分)＝12(12)1256(1228)212n n n +----- ∴3(310)280n n S n +=-- ……理(12分)19．解：()sin 2cos2)f x x x =+＝sin 22x x ＝2sin(2)3x π+ ……(2分) (Ⅰ)22T ππ==…(3分)2232x k πππ+=-+ 即5212x x k π=-+ k ∈Z 时 …(4分) min ()2f x =- ……(5分)(Ⅱ)()2sin(2)13f A A π=+= ∴ 12sin(2)32A π+=………(6分) ∴由 0A π<< 得 ∴ 4A π=………(8分)而||||AB AC AB AC COSA ⋅=⋅⋅ ∴ ||||2AB AC ⋅= ……(10分)∴1||||sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅=………(12分) 20．解：(Ⅰ)证明：连接AF ，则AF ＝2，DF ＝2，又AD ＝2，∴DF 2＋AF 2＝AD 2，∴DF ⊥AF ．又PA ⊥平面ABCD ，∴DF ⊥PA ，又PA ∩AF ＝A ，.DF PAF DF PF PF PAF ∴⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面 ……………4分(文科6分)(Ⅱ)过点E 作EH ∥FD 交AD 于点H ，则EH ∥平面PFD 且AH ＝14AD ．再过点H 作HG ∥DP 交PA 于点G ，则HG ∥平面PFD 且AG ＝14AP ，∴平面EHG ∥平面PFD ．∴EG ∥平面PFD ．从而满足AG ＝14AP 的点G 为所求．………8分(文科12分)(Ⅲ)建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PBA ∠是PB 与平面ABCD 所成的角．又有已知得45PBA ∠=，∴1PA AB ==，∴()()0,0,0,1,0,0,(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)A B F D P ．设平面PFD 的法向量为(),,n x y z =，由0n PF n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x y z x y +-=⎧⎨-=⎩，令1z =，解得：12x y ==．∴ 11,,122n ⎛⎫= ⎪⎝⎭． (10)分(理科)又∵AB PAD ⊥平面，∴AB 是平面PAD 的法向量，易得()1,0,0AB =，∴1cos ,61AB n AB n AB n⋅===⋅ 由图知，所求二面角A PD F --12分(理科) 21．解：2()2f x ax bx c =-+ ()22g x ax b =- (1)20f a b c =-+= 2c b a =-(Ⅰ)由 (0)0F d ==(1)20f a b c =-+= (1)20f a b c -=++= 1(1)23F a b c -=--+=∴303a b d c =⎧⎪==⎨⎪=-⎩∴ 3()3F x x x =- ………(3分) 2()()33F x f x x '==- (1,1)x ∈- ()0F x '< ()F x 单增 ………(4分)(,1)x ∈-∞-和(1,)x ∈+∞ ()0F x '> ()F x 单减 ………(5分)(Ⅱ)由 2222y ax bx cy ax b⎧=-+⎨=-⎩消y 得 2(22)20ax a b x b c -+++= (0)a ≠12122222241a b b x x a ab c b x x a a +⎧+==+⋅⎪⎪⎨+⎪⋅==-⎪⎩……(7分) ∴ AB 在x轴上射影长l =∴ 22(22)4(4)1b bl aa=+--24()8()8b b a a =-+ 24(1)4ba=-+ ……(9分)而 ()0g x =11[,]22b x a =∈-∴ 12b a =- 时max l =……(10分)21=a b 时min l =……(11分) ∴l ≤≤ ……(12分)22．(理科)解：(Ⅰ)函数的定义域为R ．由,0111)('2≥+-=xx f 知)(x f 是R 上的增函数．……(4分)(Ⅱ)令322)1ln()()(ax x x x ax x f x g =++-=-=则.11)31(1)('222xax x x g +--+=令.1)31(1)(22--+=ax x x h则.1)961(19)61()('2223x ax a x x ax x a x h +--=+--=(1)当0)(',61≤≥x h a 时，从而)(x h 是),0[+∞上的减函数，注意到,0)0(=h 则),0[)(.0)(',0)(,0+∞≤≤≥是进而也即时x g x g x h x 上的减函数，注意到.)(,0)(,0,0)0(3ax x f x g x g ≤≤≥=也即时则(2)当)961,0[,610aa a -<<在时上，总有0)('>x h ，进而推知，当3)(,)961,0[ax x f a a x >-∈时. (3)当,0)(',0>≤x h a 时同理可知3)(ax x f >.综上，所求a 的取值范围是).,61[+∞……(10分) (Ⅲ)在(Ⅱ)中，取.91)1ln(,)33,0[,9132x x x x x a >++-∈=时则 .),1ln(9123x x x x +++即 ,)21(2n x =令则,)21(])21(1)21ln[()21(912426n n n n n a <+++= .31411))41(1(41321<--<++++∴n n a a a a 即.31321<++++n a a a a ……(14分) (文科)22．解：(Ⅰ)当21-=a 时，14ln 21)(2++-=x x x f ， ∴xx x x x f 21221)(2-=+-='． ∵)(x f 的定义域为),0(+∞，∴由0)(='x f 得1=x ．－－－－－－－－－－－－－－－3分∴)(x f 在区间],1[e e 上的最值只可能在)(),1(),1(e f ef f 取到，而421)(,4123)1(,45)1(22e e f e e f f +=+==， ∴45)1()(,421)()(min 2max ==+==f x f e e f x f ．－－－－－－－－－6分 (Ⅱ)2(1)()(0,)a x a f x x x++'=∈+∞，． ①当01≤+a ，即1-≤a 时，)(,0)(x f x f ∴<'在),0(+∞单调递减；－－－－－－－－－－－－－8分②当0≥a 时，)(,0)(x f x f ∴>'在),0(+∞单调递增；－－－－－－－－－9分③当01<<-a 时，由0)(>'x f 得1,12+->∴+->a a x a a x 或1+--<a a x (舍去)－－－－－－10分综上，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增；当01<<-a 时，)(x f 在),1(+∞+-a a 单调递增，在)1,0(+-a a 上单调递减．当1-≤a 时，)(x f 在),0(+∞单调递减；－－－－－－－14分。

四川省自贡市高2013届高三一诊试题数学理

x ≤ 1}
B． {x | 2 ≤ D．{0}
x ≤ 7}
� � � � � � � � � 4．已知平面向量 a , b满足 | a |= 1,| b | = 2, a与b 的夹角为 60°，则“m=l”是“ ( a − mb ) ⊥ a ”的
A．充分不必要条件 C ．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4 1 4 3 = ， P(C ) = 1 − = ， -----------10 分 16 4 16 4 P( B) ≠ P(C ) ，∴ 不公平 -----------12 分
18．解：（Ⅰ）由
a4 = q3 = 8 得 a1 an = 2 ⋅ 2n −1 = 2n
q=2
………文（2 分）理（2 分）
��
��
��
��
1 在[1，2]上“k 阶线性近 x
D． [ −
1 , +∞ ) 12
C． [ +
3 2
2, +∞)
3 2

2, +∞ )
第二部分（非选择题，共 90 分）
注意事项 1．必须使用 0．5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效． 2．本部分共 10 小题，共 90 分，二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，菇 16 分． 13．若实数 a，b 均不为零，且 x 2 a =
A．4 B．3 C．2 D．1 12．定义域为[a，b]的函数 y=f（x）图像的两个端点为 A 、B ，M（x，y）是 f（x）图象上任意一点，其中 x = λ a + (1 − λ )b , (a ≤ x ≤ b ),已知向量ON = λ OA + (1 − λ )OB ，若不等式 | MN |≤ k 恒成立，则称函数 f （x）在[a，b]上“k 阶线性近似” 。若函数 y = x − 似” ，则实数 k 的取值范围为 A． [0, +∞) B． [

2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(四川卷)

2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷）一、单选题1. 设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（）A．{﹣2}B．{2}C．{﹣2，2}D．∅2. （5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）A．A B．B C．C D．D3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A ．B ．C．D．4. 设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：∀x∈A，2x∉B B．￢p：∀x∉A，2x∉B C．￢p：∃x∉A，2x∈B D．￢p：∃x∈A，2x∉B 5. （5分）函数的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．B．C．D．6. （5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．7. （5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．8. 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（）A．9B．10C．18D．209. 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A ．B ．C ．D ．10. （5分）设函数（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）A．[1，e]B．[e﹣1﹣1，1]C．[1，e+1]D．[e﹣1﹣1，e+1]二、填空题11. 二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是（用数字作答）．12. （5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O ，，则λ= ．13. （5分）设sin2α=﹣sinα，，则tan2α的值是．14. 已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．三、解答题15. （5分）设P 1，P 2，…P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…P n 的距离之和最小，则称点P 为P 1，P 2，…P n 的一个“中位点”，例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点，现有下列命题：①若三个点A 、B 、C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A 、B 、C 、D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是（写出所有真命题的序号）．16. 在等差数列{a n }中，a 1+a 3=8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项，公差及前n 项和．17. （12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别a 、b 、c ，且（1）求cosA 的值；（2）若，求向量在方向上的投影．18. （12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i （i=1，2，3）；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i （i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）运行次数n 输出y 的值为1的频数输出y 的值为2的频数输出y 的值为3的频数3014610… ………2100 1027376697乙的频数统计表（部分）运行次数n 输出y 的值为1的频数输出y 的值为2的频数输出y 的值为3的频数30 1211 7… ………2100 1051696353当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．19. （12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．（I）在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（II）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．20. （13分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．（I）求椭圆C的离心率：（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．21. （14分）已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．（I）指出函数f（x）的单调区间；（II）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；（III）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．。

2013年高考试题四川卷(理科数学)试题及每个题的详细解答学生版

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（四川卷）第I卷一、选择题1. 设集合A= {x|x+ 2= 0}，集合B={x|x2—4= 0}，贝V AH B 等于（）A . { —2}B . {2}C . { —2,2}D . ?2. 如图，在复平面内，点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点（）A . A B. BC . CD . D3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）A B C D4.设x€Z,集合A是奇•数集，集合B是偶数集.若命题p: ? x € A,2x € B，贝U（）A .p ? x€ A,2x€ B B . - p: ? x?A,2x?BC . 一p：? x?A,2x€ BD . - p：? x€ A,2x?Bn n1E视图侧视图俯视阳5.函数f（x）= 2sin（3x+$）（3>0, —的部分图象如图所示，贝U co, $的值分别是（）n nA. 2,—3B. 2,—6nnC . 4，— 6D . 4, 36.抛物线y 2 = 4x 的焦点到双曲线2x 2—豊=1的渐近线的距离是（）A.1 C . 1 D. 32X7.函数y = 3x — 1的图象大致是(3 I&从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a , b ,共可得到lg a — lg b 的不同值的个数是（） A . 9 B . 10 C . 18 D . 20 9•节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2秒的概率是（） A.4 B.2 C.4 D.f10.设函数 f(x) = ：J e x + x - a(a € R , 使得f(f(y °)) = y °,贝V a 的取值范围是A . [1 , e]B . [e -1-1,1]C . [1 , e + 1]D . [e — 1, e + 1] e 为自然对数的底数），若曲线y = sin x 上存在点（x °, y °）第二卷二、填空题 11.二项式（x + y ）3的展开式中，含x 2y ： 3的项的系数是.（用数字作答） 12. 在平行四边形 ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O , AB + AD = A O ，贝V 入= A 、13. ___________________________________________________ 设 sin 2 a=— sin a, a€ 运， n 丿，贝U tan 2 a 的值是 ______________________________ . 14.已知f （x ）是定义域为 R 的偶函数，当x > 0时，f （x ） = x 2— 4x ,那么，不等式f （x + 2）<5的解集是 ___________ . 15.设P i,P 2,…，P n 为平面a 内的n 个点，在平面a 内的所有点中，若点P 到点P^P ?,…, P n 的距离之和最小，则称点 P 为点P 1, P 2,…，P n 的一个“中位点”.例如，线段 AB 上的任意点都是端点 A 、B 的中位点.现有下列命题: ①若三个点 A , B , C 共线，C 在线段AB 上，贝U C 是A , B , C 的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;③若四个点A，B，C，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________ ．（写出所有真命题的序号）三、解答题16. 在等差数列｛a n｝中，a i + a3 = 8,且a4为a?和a?的等比中项，求数列｛a“｝的首项、公差及前n 项和．2A —B17. 在△ ABC 中，角A, B, C 的对边分别为a, b, c,且2cos—2 cos B—sin(A —B)sin B3+ cos(A+ C)=—二5(1) 求cos A的值；⑵若a = 4 2, b= 5,求向量BA在BC方向上的投影.18. 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3,…，24这24个整数中等可能随机产生.(1) 分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i= 1,2,3);(2) 甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i = 1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计表(部分)运行输出y的值输出y的值输出y的值次数n为1的频数为2的频数为3的频数30146102 100 1 027376697乙的频数统计表(部分)运行输出》的值输出y的值输出了的值次数“为1的频数为2的频数为3的频数3012117« « A■ ■ ■■ • •* * *2 100 1 051696353当n= 2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i = 1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；(3) 将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数E的分布列及数学期望.19. 如图，在三棱柱ABCA i B i C i中，侧棱AA i丄底面ABC, AB= AC = 2AA i,/ BAC D, D i 分别是线段BC, B i C i的中点，P是线段AD的中点.(i)在平面ABC内，试作出过点P与平面A i BC平行的直线I，说明理由，并证明直线面ADDi A i；⑵设⑴中的直线I交AB于点M，交AC于点N，求二面角AA i MN的余弦值. 解i20°I丄平2 2X y20. 已知椭圆C: 2+詁=1(a>b>0)的两个焦点分别为F i(—1,0), F2(1,0)，且椭圆C经过点a b(1)求椭圆C的离心率；2 1⑵设过点A(0,2)的直线I与椭圆C交于M , N两点，点Q是线段MN上的点，且|AQ|2 = |^祈1+ 兩2，求点Q的轨迹方程.X2+ 2x+ a, x<0,其中a是实数，设A(x i, f(x i)), B(x2, f(X2))为该函21. 已知函数f(x) =|ln x, x>0,数图象上的两点，且X i<X2.(1)指出函数f(x)的单调区间；⑵若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2<0，求X2—X i的最小值;⑶若函数f(x)的图象在点A, B处的切线重合，求a的取值范围.。

2013年高考理科数学四川卷试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(2013四川，理1)设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B ＝( )．A ．{－2}B ．{2}C ．{－2,2}D ．∅2．(2013四川，理2)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )．A ．AB ．BC ．CD ．D3．(2013四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )．4．(2013四川，理4)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )．A ．⌝p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．⌝p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∉B 5．(2013四川，理5)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，π3-B ．2，π6-C ．4，π6-D ．4，π36．(2013四川，理6)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－23y ＝1的渐近线的距离是( )．A ．12 B． C ．1 D7．(2013四川，理7)函数331x x y =-的图象大致是( )．8．(2013四川，理8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )．A．9 B．10 C．18 D．209．(2013四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )．A．14 B．12 C．34 D．7810．(2013四川，理10)设函数f(x)(a∈R，e为自然对数的底数)，若曲线y＝sin x上存在点(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是( )．A．[1，e] B．[e－1－1,1]C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013四川，理11)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是__________．(用数字作答) 12．(2013四川，理12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝__________.13．(2013四川，理13)设sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则tan 2α的值是__________．14．(2013四川，理14)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是__________．15．(2013四川，理15)设P1，P2，…，P n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，P n的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，P n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(2013四川，理16)(本小题满分12分)在等差数列{a n}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项、公差及前n项和．17．(2013四川，理17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos 2A B-cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝35-，(1)求cos A 的值；(2)若a =b ＝5，求向量BA 在BC 方向上的投影．18．(2013四川，理18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．当n＝2 100的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．19．(2013四川，理19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC ＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．20．(2013四川，理20)(本小题满分13分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点P 41,33⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0,2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222211||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程．21．(2013四川，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝22,0,ln,0,x x a xx x⎧++<⎨>⎩其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2－x1的最小值；(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．答案：A解析：由题意可得，A＝{－2}，B＝{－2,2}，∴A∩B＝{－2}．故选A．2．答案：B解析：复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称．3．答案：D解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D．4．答案：D5．答案：A解析：由图象可得，35ππ3π41234T⎛⎫=--=⎪⎝⎭，∴T＝π，则ω＝2ππ＝2，再将点5π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入f(x)＝2sin(2x＋φ)中得，5πsin16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，令5π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，解得，φ＝2kπ－π3，k∈Z，又∵φ∈ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则取k＝0，∴φ＝π3-.故选A．6．答案：B解析：由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y=，即－y＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d==.7．答案：C解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；取x＝－1，y＝1113--＝32＞0，故再排除B；当x→＋∞时，3x－1远远大于x3的值且都为正，故331xx-→0且大于0，故排除D，选C．8．答案：C解析：记基本事件为(a，b)，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20个基本事件，而lg a －lg b ＝lga b ，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使lg ab的值相等，则不同值的个数为20－2＝18(个)，故选C ．9．答案：C解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则由题意可得，0≤x ≤4,0≤y ≤4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{(x ，y )||x －y |≤2}，由图示得，该事件概率1643164S P S -===阴影正方形.10．答案：A解析：由题意可得，y 0＝sin x 0∈[－1,1]，而由f (x )可知y 0∈[0,1]，当a ＝0时，f (x )∴y 0∈[0,1]时，f (y 0)∈[1．∴f (f (y 0 1.∴不存在y 0∈[0,1]使f (f (y 0))＝y 0成立，故B ，D 错；当a ＝e ＋1时，f (x )y 0∈[0,1]时，只有y 0＝1时f (x )才有意义，而f (1)＝0， ∴f (f (1))＝f (0)，显然无意义，故C 错．故选A ．第Ⅱ卷(非选择题共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．答案：10解析：由二项式展开系数可得，x 2y 3的系数为35C ＝25C ＝10.12．答案：2解析：如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＋AD ＝AC ＝2AO ，∴λ＝2.13．解析：∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α.又∵α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos α＝12-.∴sin α2=.∴sin 2α＝2-，cos 2α＝2cos 2α－1＝12-.∴tan 2α＝sin2cos2αα14．答案：(－7,3)解析：当x ≥0时，令x 2－4x ＜5，解得，0≤x ＜5.又因为f (x )为定义域为R 的偶函数，则不等式f (x ＋2)＜5等价于－5＜x ＋2＜5，即－7＜x ＜3；故解集为(－7,3)． 15．答案：①④解析：由“中位点”可知，若C 在线段AB 上，则线段AB 上任一点都为“中位点”，C 也不例外，故①正确；对于②假设在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如图所示，点P 为斜边AB 中点，设腰长为2，则|PA |＋|PB |＋|PC |＝32|AB |＝C 为“中位点”，则|CB |＋|CA |＝4＜对于③，若B ，C 三等分AD ，若设|AB |＝|BC |＝|CD |＝1，则|BA |＋|BC |＋|BD |＝4＝|CA |＋|CB |＋|CD |，故③错；对于④，在梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 的交点为O ，在梯形ABCD 内任取不同于点O 的一点M ，则在△MAC 中，|MA |＋|MC |＞|AC |＝|OA |＋|OC |，同理在△MBD 中，|MB |＋|MD |＞|BD |＝|OB |＋|OD |，则得，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |＞|OA |＋|OB |＋|OC |＋|OD |，故O 为梯形内唯一中位点是正确的．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．解：设该数列公差为d ，前n 项和为S n .由已知，可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )．所以，a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0，或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝232n n-.17．解：(1)由22cos 2A B -cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝35-，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝35-，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝35-.则cos(A －B ＋B )＝35-，即cos A ＝35-.(2)由cos A ＝35-，0＜A ＜π，得sin A ＝45，由正弦定理，有sin a bA =，所以，sin B ＝sin 2b A a =由题知a ＞b ，则A ＞B ，故π4B =.根据余弦定理，有2＝52＋c 2－2×5c ×35⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA 在BC 方向上的投影为|BA |cos B .18．解：(1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16. 所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当n ＝2 100(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝0303128C 3327⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝1)＝1213124C 339⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝2)＝2123122C 339⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝3)＝3033121C 3327⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故ξ的分布列为所以，E ξ＝0×827＋1×49＋2×9＋3×27＝1.即ξ的数学期望为1.19．解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC ．由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD ．因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交，所以直线l ⊥平面ADD 1A 1. (2)解法一：连接A 1P ，过A 作AE ⊥A 1P 于E ，过E 作EF ⊥A 1M 于F ，连接AF . 由(1)知，MN ⊥平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面A 1MN .所以AE ⊥平面A 1MN ，则A 1M ⊥AE . 所以A 1M ⊥平面AEF ，则A 1M ⊥AF .故∠AFE 为二面角A －A 1M －N 的平面角(设为θ)．设AA 1＝1，则由AB ＝AC ＝2AA 1，∠BAC ＝120°，有∠BAD ＝60°，AB ＝2，AD ＝1. 又P 为AD 的中点，所以M 为AB 中点，且AP＝12，AM ＝1，所以，在Rt △AA 1P 中，A 1PRt △A 1AM 中，A 1M.从而11AAAP AE A P ⋅==， 11AA AM AF A M ⋅==.所以sin θ＝AE AF =所以cos θ5==.解法二：设A 1A ＝1.如图，过A 1作A 1E 平行于B 1C 1，以A 1为坐标原点，分别以1A E ，11A D ，1A A 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点A 1重合)．则A 1(0,0,0)，A (0,0,1)．因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点．故M 1,,122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，N 1,122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.所以1AM＝1,122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，1A A ＝(0,0,1)，NM ＝0,0)．设平面AA 1M 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则1111,,A M A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即11110,0,A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n故有1111111,,,10,22,,0,0,10,x y z x y z ⎧⎛⎫()⋅=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪()⋅()=⎩从而111110,20.x y z z ++=⎪=⎩ 取x 1＝1，则y 1＝所以n 1＝(1，，0)．设平面A 1MN 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则212,,A M NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即2120,0,A M NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n故有2222221,,,10,2,,0,x y z x y z ⎧⎫()⋅=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪()=⎩从而222210,220.x y z ++=⎪= 取y 2＝2，则z 2＝－1，所以n 2＝(0,2，－1)．设二面角A －A 1M －N 的平面角为θ，又θ为锐角，则cos θ＝1212||||⋅⋅n n n n5=20．解：(1)由椭圆定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|=所以a =又由已知，c ＝1.所以椭圆C的离心率2c e a ===. (2)由(1)知，椭圆C 的方程为22x ＋y 2＝1.设点Q 的坐标为(x ，y )．(1)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为0,2⎛ ⎝⎭. (2)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 12，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2. 由222211||||||AQ AM AN =+，得22222212211111k x k x k x =+(+)(+)(+)，即212122222212122211x x x x x x x x x (+)-=+=.① 将y ＝kx ＋2代入22x ＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6＞0，得k 2＞32. 由②可知，x 1＋x 2＝2821k k -+，x 1x 2＝2621k +，代入①中并化简，得2218103x k =-.③ 因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以2y k x-=，代入③中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18. 由③及k 2＞32，可知0＜x 2＜32，即x∈2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∪0,2⎛ ⎝⎭.又0,25⎛- ⎝⎭满足10(y －2)2－3x 2＝18，故x∈,22⎛- ⎝⎭.由题意，Q (x ，y )在椭圆C 内，所以－1≤y ≤1.又由10(y －2)2＝18＋3x 2有(y －2)2∈99,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭且－1≤y ≤1，则y∈1,22⎛⎝⎦. 所以，点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，其中x∈⎛⎝⎭，y∈1,22⎛- ⎝⎦. 21．解：(1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)． (2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)，故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 当x ＜0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2. 因为x 1＜x 2＜0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1. 所以2x 1＋2＜0,2x 2＋2＞0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即132x =-且212x =-时等号成立．所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1.(3)当x 1＜x 2＜0或x 2＞x 1＞0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2.当x 1＜0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 12＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y＝(2x 1＋2)x －x 12＋a .当x 2＞0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝21x (x －x 2)，即y ＝21x·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是12221122,ln 1.x xx x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①②由①及x 1＜0＜x 2知，－1＜x 1＜0. 由①②得，a ＝x 12＋11ln22x +－1＝x 12－ln(2x 1＋2)－1.设h (x 1)＝x 12－ln(2x 1＋2)－1(－1＜x 1＜0)，则h ′(x 1)＝2x 1－111x +＜0. 所以，h (x 1)(－1＜x 1＜0)是减函数．则h (x 1)＞h (0)＝－ln 2－1，所以a ＞－ln 2－1.又当x 1∈(－1,0)且趋近于－1时，h (x 1)无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．。

自贡高三第一次诊断考试数学理试题

自贡市普高2011级第一次诊断性考试数学试卷（理工农医类）本试卷分第1卷（1-2贞.选择题〉和第II 卷（3£如非选择题）购部分.共150分. 考试结束后.梅第II 卷和答題卡一并交回■笫一卷考生保解.第I 卷（选择题，共60分）注立亨項：1. 答第I 卷前.考生务必将自己的越N •浪考辽号.考迖科目涂马在答题卡上.2. 皐小题选出冬案£・用怡笔把咨題卡上对止越目的签衾标号涂黑.如寓玫动.用樟皮推干净后，再选涂其他各案标号，不枪冬在试题客上.3. 水试巻具12小题、每小題5分.共60分•崔毎小题给出的四个选墳# "_项差苻合雄目妥求的.多考公式如果亨件人8互折那么 PWB ） ■"/） ♦/＞（£）如呆亨件儿月互和仗女.那么 /＞"•刃・Pg P （刃如釆亨件4在一次试险中发生的概導是代・那么刀夫独立支复畑中怆好发生k 农概率 • A （Jl ）・C ：P*（l-P 〉z选择龍,I 、己知集合”=制彳＞1}, ¥={x|logM ＞l},则集合MCN 零予(A){x|x>l}(B 》{x|jt>2}(C)^|x>l^U<-l}(D>{R1V£V2}2、若aER.则o=l 趁艮数Z=j-14（a4l"足纯虚敖时3.如国.向饋厶一为等于(A> -4c }-2e 2 (B> -2e )-4e a (C> 勺一3^2(D) 3c 、— e?15三年圾一诊数学（理工农医k ）试是第i 页（共8页）球的表西积公式 S ・4品其中R 表示球的半径球的井釈公式其中珀長示球的半径（A ）充分非必耍条件（（B ）必娶非充分条件（□＞既非充分也非必耍条件高三年级一诊数学(理工农医类)试题第2页(共8页)4. 已知{d”}为等差数列•若q +冬+為=兀，则cos^a^ai)的值为5、设集合^ = {2,4,6,8,10}, B = {1,3,5,7.9}从集合A 申任选一个元素©从集合B 中任选一个元素b,则b<a 的概率是13 ・ 3 1 (A) - (B) 一 (C) -(D)-5 5 42■6、已知函数/(刃"严则下列说法正确的是.[3 (x = 1)线共有'•(A) 1 条(B) 2 条(C) 3 条(D) 4 条11、已^/(x) = |x 3+|(a + l)x 2+(a + Z> + l)x + l,若方程/'(x) = 0的两个根可以分别作为一个楠圆和双曲线的离心率.则(A) a-b<-3 (B) a-b>-3(C) a-b^-3(D) a-bW-312、在由数字1, 2, 3, 4, 5组成的所有没有靈复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有・(A) 56 个(B) 57 个(C) 58 个 (D) 60 个(B )T(C)V3(D)(A) /(x)在x = 1 连续 (B) /⑴=5 (C) lim/(x) = 3 iff I(D)lim/(x) = 57、函数>z = el ,nx l-|x -l|的图鮫大致堆 8、如果(3x- 的展开式中各项系数之和为128,则展开式中A 的系数是r(A) 21 - (B) -21 (C)7(D) -79^ 已知函数 /(x) = 2sin(i + 0)的则/(響刃的值为-f(B) -2(D) 2部分图像如右图所示，(A)--^3 (C) V310、在坐标平面内，到点A (-1, 2)的距离为1,且到点B (3, 1)的距离为2的宜2yyX(B)XyoSir xrvm k z 八j jp rx j i高三年级一诊数学（理工农医类）试題第3页（共8页）自贡市普高2011级第一次诊断性考试数学试卷（理工农医类）注意事项:（1）用钢笔或圆珠笔直接答在试題卷中.（2）答题前密封线内的项目填坷消楚. （3）本卷共10小题.共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分.共16分•把答案填在题中橫线上.13、设a 为锐角，若cos (手+a) = £,则sin(^-a)= ________________6 3 614. 设平面向^a = （-2J ）. 5 =（入一 1）, 若方与乙的夹角为钝角.则几的取值范鬧是 _____________________ ■15、log 4(x + 2y) + log 4(x - 2y) = 1.则|x| + |y|的最小值为 __________________16、已知二次函数/（X ）的二次项系数为负，对任&XG R.都冇/（2 + x ） = /（2-x ）那么/（1-2『）与/（1 + 2X -H ）满足条件 _______________________ 时，才有-2yxv0.第II 卷（非选择题共90分）•高三年级一诊数学(理工农医类)试题第4页(共8页)三、解答题：共6小题.共74分，解答时应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤. 17 (本小题满分12分)•已知向Mm = (VJsin2x + 2,cosx) > M = (l,2cosx) t 设 f(x) = m • n ・(I )求函数/(x)的最小正周期与单调递增区间;(II)在中，a. b 、c 分别是角川、B. C 的对边，若/(J) = 4,/> = 1,△48C 的面积为求a 的值.1•218 €本小题满分12分)先阅读下列不等式的证明.再解决后面的问题:已知糾、a 2 e R y a } +a 2 =1,求证：卧+另$丄・2证明：构造函数/(x) = (x-q)2+(兀一。

四川省自贡市高三数学第一次诊断性考试理旧人教版

四川省自贡市2012届高三第一次诊断性考试（数学理）本试卷分第一部分试题卷和第二部分答题卷两部分，共150分。

考试结束后，将答题卷和答题卡一并交回，并分别密封装订，试题卷由学生自己保留。

第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号，不能答在试题卷上。

3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写一新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()( （k=0，1，2，…，n ）球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径球的体积公式 343V R π= 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A={1，2}，则满足{1,2,3}A B =的集合的个数是（）A ．1B ．3C ．4D ．82．已知1,,()((1))(1),,x x R f x f f i i x x R +∈⎧=+⎨-∉⎩则等于（）A ．3i +B ．3C ．0D ．—33．“14a =”是“对任意的正数x ，均有1ax x +≥”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．已知等差数列3138{}2,{}n n a a a a a +-=满足则的前15项和15S 等于（）A ．60B ．30C ．15D ．105．已知0,60,||3||,cos ,a b c a cb a a b ++==<>且与的夹角为则等于（）A ．B ．12C ．—12D ．6．已知函数(12)(1)()2ln 38,limx f x f f x x x x ∆→-∆-=+∆则的值为（）A ．10B ．—10C ．—20D ．207．甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0，5，10三种数字，每人则可喊0，5，10，15，20五种数字，当两人所出数字之和等于某人所喊时为胜，若甲喊10，乙喊15时，则（） A ．甲胜的概率大 B ．乙胜的概率大 C ．甲、乙胜的概率一样大 D ．不能确定8．下列图像中，有且只有一个是函数3221()(1)1(,0)3f x x ax a x a R a =++-+∈≠的导数'()f x 的图象，则(1)f -的值为（）9．已知函数sin(2)3y x π=-，下列结论正确的个数为（）①图像关于12x π=-对称；②函数在区间[0,]π上的最大值为1；③函数图像按向量(,0)6a π=-平移后所得图像关于原点对称。

2013年高考数学(四川卷)(理工农医类)

2013年高等学校统一考试文试题（四川卷）数学（理工类）Ⅰ卷参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么球的表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24πS R =如果事件A ，B 相互独立，那么其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()C (1)k k n k n n P k P P -=-一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|560A x x x =-+≤，集合{}||21|3B x x =->，则集合A B = （）Ａ．{}|23x x ≤≤Ｂ．{}|23x x <≤ Ｃ．{}|23x x <≤Ｄ．{}|13x x -<< 2．复数3(1)i - 的虚部为（）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．2 Ｄ．2-3．已知()2312=1x x f x x +⎧=⎨⎩，，，≠ 下面结论正确的是（）Ａ．()f x 在1x =处连续Ｂ．()15f = Ｃ．()1lim 2x f x -→= Ｄ．()1lim 5x f x →= 4．已知二面角l αβ--的大小为60︒，m ，n 为异面直线，且m α⊥，n β⊥，则m n ，所成的角为（）Ａ．30︒ Ｂ．60︒ Ｃ．90︒ Ｄ．120︒5．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）Ａ．πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ Ｂ．πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭Ｃ．πcos 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ Ｄ．πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭6．已知两定点(20)(10)A B -，，，，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（）Ａ．π Ｂ．4π Ｃ．8π Ｄ． 9π7．如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（）Ａ．1213PP PPＢ．1214PP PP · Ｃ．1215PP PP · Ｄ．1216PP PP ·8．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为1a ，1b 千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为2a ，2b 千克．甲、乙产品每千克可获利润分别为12d d ，元．月初一次性购进本月用原料A B ，各12c c ，千克．要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克，y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润12z d x d y =+最大的数学模型中，约束条件为（）Ａ．12112200a x a y c b x b y c x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≥≥≥≥ Ｂ．11122200a xb yc a x b y c x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ Ｃ．12112200a x a y c b x b y c x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥ Ｄ． 12112200a x a y c b x b y c x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩==≥≥ 9．直线3y x =-与抛物线24y x =交于A B ，两点，过A B ，两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P Q ，，则梯形APQB 的面积为（）Ａ．48 Ｂ．56 Ｃ．64 Ｄ．7210．已知球O 的半径是1，AB C ，，三点都在球面上，A B ，两点和A C ，两点的球面距离都是π4，B C ，两点的球面距离是π3，则二面角B OA C --的大小是（）Ａ．π4 Ｂ．π3 Ｃ．π2 Ｄ． 2π3 11．设a b c ，，分别是ABC △的三个内角A B C ，，所对边，则2()a b b c =+ 是2A B =的（）Ａ．充要条件Ｂ．充分而不必要条件Ｃ．必要而不充分条件Ｄ．既不充分又不必要条件12．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（）Ａ．1954 Ｂ．3554 Ｃ．3854 Ｄ．4160二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13．在三棱锥O ABC -中，三条棱OAOB OC ，，两两互相垂直，且OA OB OC ==，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成角的大小是_______．（用反三角函数表示）14．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4，()P k ak b ξ==+(1234)k =，，，，又ξ的数学期望3E ξ=，则a b += ．15．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于127P P P，，，七个点，F 是椭圆的一个焦点，则127||||||PF P F P F +++= _______．16．非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a b G ∈，都有a b G ⊕∈；（2）存在e G ∈，使得对一切a G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G ={非负整数}，⊕为整数的加法．②G ={偶数}，⊕为整数的乘法．③G ={平面向量}，⊕为平面向量的加法．④G ={二次三项式}，⊕为多项式的加法．⑤G ={虚数}，⊕为复数的乘法．其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是______．（写出所有“融洽集”的序号）三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知A B C ，，是ABC △三内角，向量m (=-，n (cos sin )=，AA ，且m n 1=．（I ）求角A ；（II ）若221sin 23cos sin B B B+=--，求tan C ． 18．（本小题满分12分）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”．甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.90.80.7，，；在实验考核中合格的概率分别为0.80.70.9，，，所有考核是否合格相互之间没有影响．（I ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（II ）求这三人该课程考核都合格的概率．（结果保留三位小数）．19．（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，EP ，分别是11BC A D ，的中点，M N ，分别是1AE CD ，的中点，1AD AA a ==，2AB a =．（I ）求证：1ADD MN A 1面∥；（II ）求二面角P AE D --的大小；（III ）求三棱锥P DEN -的体积．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a ，其中11a =，21132(2)n n n a a a a n +-==+，≥，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{ln }n S 的前n 项和为n U ．（I ）求n U ；（II ）设22e ()(0)2(!)n U n n F x x x n n=>，1()()n n k k T x F x ='=∑（其中()k F x '为()k F x 的导函数）．计算1()lim ()n n n T x T x →∞+． 21．（本小题满分12分）已知两定点12(F F 满足条件212-= PF PF 的点P 的轨迹是曲线E ，直线1y kx =-与曲线E 交于A B ，两点，如果AB =，且曲线E 上存在点C ，使OA OB mOC += ．求m 的值和ABC △的面积S ．22．（本小题满分14分）已知函数22()ln (0)f x x a x x x =++>，()f x 的导函数是()f x '，对任意两个不相等的正数12x x ，，证明：（I ）当0a ≤时，1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭；（II ）当4a ≤时，1212()()f x f x x x ''->-．。

2013年四川高考理科数学试题及答案

绝密启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回．第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B = （）（A ）{2}- （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）∅2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（）（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）主视图侧视图俯视图A 、B 、C 、D 、4．设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（）（A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （B ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （D ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈5．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）（A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π6．抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（）（A ）12 （B ）32（C ）1 （D ）3 7．函数231x x y =-的图象大致是（）A 、B 、C 、D 、8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（）（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）209．节日家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）（A ）14 （B ）12 （C ）34 （D ）7810．设函数()x f x e x a =+-（a R ∈，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是（）（A ）[1,]e （B ）1[,1]e - （C ）[1,1]e + （D ）1[,1]e e -+第二部分（非选择题共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．二项式5()x y +的展开式中，含23x y 的项的系数是____________．（用数字作答）12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ=____________．13．设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是____________．14．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，2()4f x x x =-，那么，不等式(2)5f x +<的解集是____________．15．设12,,,n P P P 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到12,,,n P P P 点的距离之和最小，则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点．则有下列命题：①若,,A B C 三个点共线，C 在线段上，则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在等差数列{}n a 中，218a a -=，且4a 为2a 和3a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和．17．(本小题满分12分) 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且232c o sc o s s i n ()s i n 25A BB A B B ---=-．（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若42a =，5b =，求向量BA 在BC方向上的投影．18．(本小题满分12分) 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）乙的频数统计表（部分）当2100n =时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．否否是是运行次数n输出y 的值为1的频数输出y 的值为2的频数输出y 的值为3的频数3014610…………2100 1027 376 697运行次数n输出y 的值为1的频数输出y 的值为2的频数输出y 的值为3的频数3012117…………21001051 696 353开始输入xx 为偶数x 能被3整除y=1y=2y=3输出y结束19．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 的中点．（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A A M N --的余弦值．20．(本小题满分13分) 已知椭圆C ：22221,(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆C 经过点41(,)33P ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222211||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程．21．(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数．设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <．（Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值；（Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围．参考答案。

四川省自贡市高三数学第一次诊断性考试试卷理(无答案)

自贡市普高2015届第一次诊断性考试数学（理工类）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）.第一部分1至3页，第二部分4至6页，共6页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，只交回答题卡，试题卷学生自己保留.第一部分（选择题共50分）注意事项：1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上. 2．本部分共10小题，每小题5分，共50分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}5M x x =<，}1log |{3>=x x N ，则=⋂N M （A ）φ （B ）{}05x x << （C ）{}15x x << （D ）{}35x x << 2. 在数列{a n }中，252,1a a ==，如果数列{}21n a +是等差数列，那么8a 等于（A ）13（B ）12（C ）23（D ）13. 设R b a ∈,，则“0>>b a ”是“ba 11<”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件4.62xx⎛-⎪⎝⎭的二项展开式中2x的系数为（A）480 （B）192（C）-192 （D）-4805. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）甲组乙组9 6 0 9x 2 1 5 y87 4 2 1 4若甲组数据的中位数为13.5，乙组数据的平均数为17.5，则x、y的值分别为（A）2，5 （B）5，5（C）5，8 （D）8，86. 如图所示是一个几何体的三视图，若该几何体的体积为12，则主视图中三角形的高x的值为（A）1 2（B）3 4（C）1（D）3 27. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（A ）60种（B ）63种（C ）65种（D ）66种 8. 为了得到函数sin(2)6y x π=-的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（A ）向左平移6π个单位（B ）向右平移6π个单位（C ）向左平移3π个单位（D ）向右平移3π个单位 9. 函数()f x 是R 上的偶函数，且对于任意x R ∈都有(1)()f x f x +=-，当[)0,1x ∈时，()f x x =.那么在区间[]3,4-上，函数()f x 的图像与函数1y x -=的图像的交点个数是（A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）910. 设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=,则当zxy取得最大值时，z y x 212-+的最大值为（A ）0 （B ）1 （C ）49（D ）3第二部分(非选择题共100分)注意事项：1. 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效．2. 本部分共11小题，共100分.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 321i i-+(i 为虚数单位)的值为 . 12. 右图中所示的是一个算法的框图，已知31=a ，输出的7b =,则2a 的值是 .13. 某校高三年级为了解学生学习情况，在2000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次模拟考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）。

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秘密★启用前[考试时间：2012年10月25日下午3:00〜5:00]自贡市普高2013届第一次诊断性考试数学（理工类）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）.第一部分1至3页，第二部分4至6页，共6页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，只交回答題卡，试题卷学生自己保留. 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S Rπ=如果事件A ，B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，343V R π= 那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p k k n -=-=第一部分（选择题共60分)注意事项：1. 选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.2. 本部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‘ 1.的值为(A) (B) (C) (D)2. 复数的虚部是(A)(B) (C)(D)3. 集合，则=(A) (B).(C) {2} (D) {0}4. 己知平面向量满足，与的夹角为60°,则“m = l”是“”的(A)充分不必要条件（B)必要不充分条件(C)充要条件（D)既不充分也不必要条件5. 已知对数函数是增函数，则函数的图象大致是6. 要得到函数的图象，可以将函数的图象(A)沿x轴向左平移个单位（B)沿x向右平移个单位(C)沿x轴向左平移个单位（D)沿x向右平移个单位7. 某小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了 50户进行调查，得到本月的用水量（单位：m3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15m3的住户的户数为(A) 10 (B) 50(C) 60 (D) 1408. 运行如右图所示的程序框图，则输出X的值为(A) -2 (B) 3(C) 4 (D) 89. 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为(A) 720(B) 600(C) 520(D) 36010. 设l，m,n为三条不同的直线，a为一个平面，下列命题中正确的个数是①若，则l与a相交②若，则③若，则④若，则(A) 1 (B) 2 (C) 3 , (D) 411. 已知函数.则函数的零点个数是(A) 4 (B) 3(C) 2 (D) 1 “12. 定义域为[a,b]的函数y=f(x)图像的两个端点为A、B，M(x，y）是 .图象上任意一点，其中，己知向量，若不等式恒成立，则称函数在[a,b]上“k阶线性近似”。

若函数在[1,2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为(A)(B)(C)(D)第二部分(非选择题共90分）注意事项：1. 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效.2. 本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 若实数仏B均不为零，且，则展开式中的常数项等于_____.14. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积等于________15. 代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以 40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心350 千米的范围都会受到台风影响，则A码头从受到台风影响到影响结束，将持续________小时.16. 已知函数是及上的偶函数，对都有成立.,且时，都有，给出下列命题：(1) f(2) = 0；(2) 直线：x= -4是函数y= f(x)图象的一条对称轴；(3) 函数y=f(x)在[-4,4]上有四个零点；(4) f(2012) = f(0).其中所有正确命题的序号为________.三、解答题：共6小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题共12分）有两个不透明的箱子，每个箱子里都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1， 2, 3，4.(I )甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；(II)摸球方法与（1)相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由.18. (本小题共12分）在等比数列{a n}中,,己知a1=2, a4 =16.(I )求数列{a n}的通项公式;(II)若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及数列{a n b n}前n项和S n19. (本小题共12分）已知函数.(I )求函数f(x)的周期和最小值；(I I)在锐角ΔABC中，若,求ΔABC的面积.20 (本小题共12分）已知四棱锥P-ABCD底面ABCD是矩形，PA丄平面ABCD， AD=2,AB=1，E.F分别是线段的中点.(I )证明：PF丄FD(II )在烈上找一点G,使得EG//平面PFD;(III)若PB与平面ABCD所成的角为45°, 求二面角A-PD-F的余弦值.21. (本小题共12分）已知函数的图像过原点，，,函数y=f(x)与y=g(x)的图像交于不同的两点A、B,(I) y= F(x)在X = -1处取得极大值2，求函数y=F(x)的单调区间；(II) 若使g(x)= O的x值满足，求线段在x轴上的射影长的取值范围.22. (本小题共14分）设函数.(I )讨论函数f(x)的单调性； (II) 若寸，恒有.，试求实数a 的取值范围； (III) 令，试证明：，自贡市高2013届第一次诊断考试数学试题参考答案及评分意见一、选择题(每小题5分共60分) (理科)DBDCB ACABC AD(文科)DBDCB ACBAC AD二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）（理）13. -672 ；14. 8+π34；15.2.5；16. （1）（2）（4）.（文）13. [)∞,1；14. 8+π34；15.1+21+….+121-n ﹥2n ;16. （1）（2）（4）. 三、解答题：共6个题，共74分。

17. 解：（1）用),(y x （x 表示甲摸到的数字，y 表示乙摸到的数字）表示甲乙各摸到一球构成的基本事件有：（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）共有16个 ------------------------------------------------3分设甲获胜的事件为A ，则事件A 包括的基本事件为（2,1）（3,1）（3,2）（4,1）（4,2）（4,3）共有6个， ---------------5分83166)(==A P 即甲获胜的概率为83 ----------6分（2）设甲获胜的事件为B ，乙获胜的事件为C ，事件B 所包含的基本事件为（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）共有4个， --------------------------------------------8分则41164)(==B P ，431641)(=-=C P ， -----------10分)()(C P B P ≠，∴ 不公平 -----------12分18．解：(Ⅰ)由3418a q a ==得 2q = ………文（2分）理（2分）∴ 1222n n n a -=⋅= ………文（4分）理（3分）(Ⅱ)31351528432b b d a b b d a =+==⎧⎨=+==⎩ ∴11612b d =-⎧⎨=⎩ ………文（8分）理（6分）∴ 16(1)121228nb n n =-+-=- ………文（10分）理（7分）（文）21(161228)6222n S n n n n=-+-=- …………文（12分）（理）(1228)2n n n a b n =-⋅123162(4)282(228)2n n S n =-⋅+-⋅+⋅++-2312162(4)2(1240)2(1228)2n n n S n n +=-⋅+-⋅++-+- ∴ 1231216212(222)(1228)2n n n n S S n +-=-⋅++++--∴ 12112(222)56(1228)2n n n S n +-=+++--- …………理（10分）=12(12)1256(1228)212n n n +----- ∴3(310)280n n S n +=-- ……理（12分） 19．解：()sin 2cos2)f x x x =+＝sin 22x x ＝2sin(2)3x π+ ……（2分） (Ⅰ)22T ππ==…（3分）2232x k πππ+=-+ 即5212x x k π=-+ k ∈Z 时 …（4分）min ()2f x =- ……（5分）(Ⅱ)()2sin(2)13f A A π=+= ∴12sin(2)32A π+=………（6分）∴ 由 0A π<< 得 ∴4A π=………（8分）而||||AB AC AB AC COSA ⋅=⋅⋅= ∴ ||||2AB AC ⋅= ……（10分）∴ ………（12分）20．解：（Ⅰ）证明：连接AF ，则AF ＝2，DF ＝2，又AD ＝2，∴DF 2＋AF 2＝AD 2，∴DF ⊥AF ．又P A ⊥平面ABCD ，∴DF ⊥P A ，又P A ∩AF＝A ，.DF PAF DF PF PF PAF ∴⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面 ……………4分（文科6分）（Ⅱ）过点E 作EH ∥FD 交AD 于点H ，则EH ∥平面PFD 且AH ＝14AD ．再过点H 作HG ∥DP 交P A 于点G ，则HG ∥平面PFD 且AG ＝14A P ，∴平面EHG ∥平面PF D ．∴EG ∥平面PFD ．从而满足AG ＝14AP 的点G 为所求．………8分（文科12分）（Ⅲ）建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PBA ∠是PB 与平面ABCD 所成的角．又有已知得45PBA ∠=，∴1PA AB ==，∴()()0,0,0,1,0,0,(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1)A B F D P ．设平面PFD 的法向量为(),,n x y z =，由00n PF n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得x y z x y +-=⎧⎨-=⎩，令1z =，解得：12x y ==．∴ 11,,122n ⎛⎫= ⎪⎝⎭．……10分(理科) 又∵AB PAD ⊥平面，∴AB 是平面PAD 的法向量，易得()1,0,0AB =，∴1cos ,61AB n AB n AB n⋅===⋅．由图知，所求二面角A PD F -- ……………12分（理科） 21．解：2()2f x ax bx c =-+ ()22g x ax b =- (1)20f a b c =-+= 2c ba =- (Ⅰ) 由 (0)0F d == (1)20f a b c =-+= (1)20f a b c -=++= 1(1)23F a b c -=--+= ∴303a b d c =⎧⎪==⎨⎪=-⎩∴3()3F x x x =- ………（3分） 2()()33F x f x x '==- (1,1)x ∈- ()0F x '< ()F x 单增 ………（4分）(,1)x ∈-∞-和(1,)x ∈+∞ ()0F x '> ()F x 单减 ………（5分）(Ⅱ) 由2222y ax bx c y ax b⎧=-+⎨=-⎩消y 得2(22)20ax a b x b c -+++= (0)a ≠12122222241a b b x x a a b c b x x a a +⎧+==+⋅⎪⎪⎨+⎪⋅==-⎪⎩……（7分）∴ AB 在x 轴上射影长l =∴22(22)4(4)1b bl a a=+-- 24()8()8b b a a =-+ 24(1)4b a=-+ ……（9分）而 ()0g x =11[,]22b x a =∈- ∴ 12ba =- 时 max l = ……（10分）21=a b 时 m i n l =……（11分） ∴l ≤ ……（12分）22.(理科)（文科）22. 解：（Ⅰ）当21-=a 时，14ln 21)(2++-=x x x f ， ∴xx x x x f 21221)(2-=+-='．∵)(x f 的定义域为),0(+∞，∴由0)(='x f 得1=x ． ---------------------------3分 ∴)(x f 在区间],1[e e 上的最值只可能在)(),1(),1(e f ef f 取到，而421)(,4123)1(,45)1(22e e f e e f f +=+==， ∴45)1()(,421)()(min 2max==+==f x f e e f x f ． ---------------------------6分（Ⅱ）．①当01≤+a ，即1-≤a 时，)(,0)(x f x f ∴<'在),0(+∞单调递减；-------------8分 ②当0≥a 时，)(,0)(x f x f ∴>'在),0(+∞单调递增； ----------------9分 ③当01<<-a 时，由0)(>'x f 得1,12+->∴+->a ax a a x 或1+--<a a x （舍去）∴)(x f 在),1(+∞+-a a 单调递增，在)1,0(+-a a 上单调递减； --------------------10分综上，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增；当01<<-a 时，)(x f 在),1(+∞+-a a 单调递增，在)1,0(+-a a 上单调递减．当1-≤a 时，)(x f 在),0(+∞单调递减； -----------------------14分。