61-2多元函数微分学的几何应用

函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处的全微分，在几 何上表示曲面 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切 平面上点的竖坐标的增量。
17
第五章 多元函数微分学及其应用
例 4．求圆锥面 z x2 y2 在点（3，4，5）处的 切平面及法线方程。
x x0 y y0 z z0 。
1
y( x0 ) z( x0 )
11
第五章 多元函数微分学及其应用
6.2 曲面的切平面与法线
定义 6.2 若曲面 上过 z
n
点 M 0 的任意一条光滑
T
曲线在点 M 0 处的切线
Mo
г
都在同一个平面上，则
o
y
称该平面为曲面 在点 x
第五章 多元函数微分学及其应用
例
6．求曲线
x2
Fx M0ຫໍສະໝຸດ Fy M0Fz M015
第五章 多元函数微分学及其应用
若曲面方程由显函数 z f ( x, y) 给出，令
F( x, y, z) f ( x, y) z ，于是
F(x, y, z) f (x, y) z 0 ，
∵ Fx f x ， Fy f y ， Fz 1 ，
即为曲线 在点 M 0 处的切线 M 0T 的方程。
切线的方向向量 a x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )。
曲线 在点 M 0 处的法平面方程为：
x(t0 )( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )( z z0 ) 0.
3 5
，
故
x(0 )


4 5
，
y(0 )

3 5
，
z(0 )


24 25
，
9
第五章 多元函数微分学及其应用
x3 y4 z 9
故切线方程为

5 4

35
25 ， 24
55
25
x3 y4 z 9 即 5 5 25 。
4 3 24
法平面方程为 4 ( x 3) 3 ( y 4) 24 (z 9 ) 0 ， 5 5 5 5 25 25
2
2
1
1
16
第五章 多元函数微分学及其应用
螺旋线在点 M 处的法平面方程为
2(x 2) 2( y 2) 2(z 2 ) 0 ，
4
即 4x 4 y 4z 2 0 。
注：（1）只要与x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )成比例的向量均
可作为切线的方向向量。
解： 令 F ( x, y, z) x2 y2 z2 104 ，
则 Fx 2 x ， Fy 2 y ， Fz 2z ，
设切点为 M0 ( x0 , y0 , z0 ) ， 则该点处切平面的法向量为 n {2x0 , 2y0 , 2z0} ，
∵切平面与平面 3x 4 y z 2 平行， 它们的法向量平行，
∴曲面 在点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程为
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) ，
曲面 在点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的法线方程为
x x0 y y0 z z0 。
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第五章 多元函数微分学及其应用
则曲面 在点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程为：
Fx M0 ( x x0 ) Fy M0 ( y y0 ) Fz M0 (z z0 ) 0，
曲面 在点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的法线方程为
x x0 y y0 z z0 。
4
4
∵ x(t) 2sint ， y(t) 2cos t ， z(t ) 2 ，
∴ x( ) 2 ， y( ) 2 ， z( ) 2 ，
4
4
4
∴螺旋线在点 M 处的切线方程为
x
2 y
2 z
2 4

，即
x

2 y
2 z
2
4；
2

16 x 2 12 x 2
在对应于
x

1 的点 2
M
处
的切线方程与法平面方程。
x x
解：以
x
为参数，得曲线
L
的参数方程：

y

16 x
2
，
当 x 1 时，点 M 的坐标为 ( 1 , 4, 3) 。 z 12x2
2
2
∵ x( 1 ) 1 ， y( 1 ) 16 ， z( 1 ) 12 ，
解得 z0 2 ， x0 6 ， y0 8 ，
∴切点为 M(6, 8, 2) 和 M(6, 8, 2) ， 相应的切平面方程为 3( x 6) 4( y 8) (z 2) 0 ，
和 3( x 6) 3( y 8) (z 2) 0。 21
，故
n

a
。
由于
a
为曲线

在点
M0
处的切线的方向向量，而曲线
是曲面 上任意一条过点 M 0 的曲线，因此上式表明，
过点 M 0 的任一位于曲面 上的曲线在 M 0 处的切线都与
n
垂直，因而它们都在过点
M
0
以
n
为法向量的同一平面
内，该平面即为曲面 在点 M 0 处的切平面，
称为曲线 在点 M 0 处的法平面。
2
第五章 多元函数微分学及其应用
x x(t)
设空间曲线
的参数方程为

y

y(t) ，其中

z

z(t
)
x(t) 、 y(t) 、 z(t) 可微。
当 t t0 及 t t0 t 时，曲线 上对应的两点为
M0 ( x0 , y0 , z0 ) 及 M ( x0 x, y0 y, z0 z) ，则割线
第六节 多元函数微分学 的几何应用
数学系 贺 丹
第五章 多元函数微分学及其应用
6.1 空间曲线的切线与法平面
定义 6.1 ：设 M 0 是空间曲线
上的一点，M 是 上的 另一点。当点 M 沿曲线
趋近于点 M 0 时，割线 M0 M
z
Γ
M
M0
o
y
的极限位置 M 0T ，称为曲线
x
在点 M 0 处的切线。过点 M 0 且与切线 M 0T 垂直的平面
2 ∴曲线在点
M
2 处的切线方程为
2 x
1 2

y4

z3；
1 16 12
法平面方程为 ( x 1 ) 16( y 4) 12(z 3) 0 ， 2
即 2x 32 y 24z 201 0 。
8
第五章 多元函数微分学及其应用
例 3．求抛物柱面 z x2 及圆柱面 x2 y2 1 相交所成的
f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
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第五章 多元函数微分学及其应用
把方程 z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) 变形为
z z0 f x ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y ， 得全微分的几何意义：
0，
13
第五章 多元函数微分学及其应用
即 Fx ( M0 ) x(t0 ) Fy (M0 ) y(t0 ) Fz (M0 )z(t0 ) 0 ，
令
n

{Fx
(M0
),
Fy
(M0
),
Fz
(M0
)}
，a

{
x(t0
),
y(t0
),
z(t0
)}
，
则
n

a

0
空间曲线在
M
0
(
3 5
,
4 5
,
9 25
)
处的切线方程和法平面方程。
5
第五章 多元函数微分学及其应用
x 2cos t
例
1．求螺旋线

y z

2 sin t 2t
上对应于
t


4
的点
M
处的切线
与法平面方程。
解：当 t 时，点 M 的坐标为 ( 2, 2, 2 ) 。
M 0 处的切平面，过点
M 0 且垂直于切平面的直线称为曲面 在点 M 0 处的法线。
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第五章 多元函数微分学及其应用
设曲面 的方程为 F( x, y, z) 0 ， M0 ( x0 , y0 , z0 ) ，
并设函数 F ( x, y, z)的偏导数在该点连续且不同时为零。
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第五章 多元函数微分学及其应用
∴ 2x0 2 y0 2z0 ， 3 41
解得 x0 3z0 ， y0 4z0 ，
∵点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 在球面 x 2 y2 z 2 104 上，
∴ x02 y02 z02 104 ， 即 9z02 16z02 z02 104 ，
M0 M 的方程为
x x0 y y0 z z0 ，