高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座 19排列组合二项式定理
高中数学竞赛讲座排列组合二项
课题：正弦公式课型：新知课目标：1．知识目标：（1）会证明两角和与差的正弦公式，并能记住正弦公式。
（2）能够运用两角和与差的正弦公式。
2．隐性目标：（1）通过正弦公式的推导，进一步训练学生变形技巧；（2）培养学生认识事物之间的普遍联系的哲学观点；重点：两角和与差的正弦公式及应用难点：两角和与差的正弦公式推导用应用教学过程：一、先行组织者：1．回忆两角和与差的余弦公式，并求下列各式的值。
（1）cos (3π+4π) (2)cos (4π-6π) 2．已知cos72°=0.3090，则sin18°= ___________________ 。
cos24°=0.9135，则 sin66°= _____________。
sin3=0.1411，则cos (2π-3)=_____________。
二、新知：1．尝试练习：试求sin (3π+4π)的值2．两角和的正弦公式的推导：两角差的正弦公式推导：三、例题与练习：练习1．求下列三角函数的值。
（1）sin75° （2）sin(-15°) （3）sin825°例1．已知sin )23,(,43cos ),,2(,32ππ∈β-=βππ∈α=α，求sin(α-β)，co s (α+β) 值：练习2．课本P 38 3（1）、（3） 、4（1）（2）的前两个、5（1）（2）（3）例2．求满足 sinA -cosA=21cos10°-23sin10°的最小正角A 。
四、自选练习： 已知53)sin(,1312)cos(,434-=β+α=β-απ<α<β<π，求sin2α的值。
小结与作业：学习后记：高一数学课课练班级___________学号_________姓名____________ 一题一得1．若A ，B 是△ABC 的内角，且cosA=53，cosB=135，则sin(A+B)的值是（ ） A ．6556B ．-6556C ．6516D ．-65162．Sin95°cos35°+sin35°sin365°=_________________。
排列、组合、二项式定理精选教学PPT课件
数有多少？
5×5=25
练习2
1.某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？
P122
2.某段铁路上有12个车站，问有多少种不同的票价？
C122
3.用3，5，7，9四个数字，一共可组成多少个没有重 复数字的正整数
P41 P42 P43 P44
练习3
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 C150 ；
名称
排列
组合
一个~ ~~数
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的个数
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有组合的个数
符号
种数 公式 关系
性质
Pnm
C
m n
Pnm
Pnm
n(n 1) (n m
n! (n m)! Pnn n!
1)
0!
1
排列、组合、二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
二项式定理
高中数学 排列、组合、二项式定理 组合数(初始课件)
描述
课件名称
组合数
课程内容
组合数 概念及其特点 激趣导入：通过具体例子引出组合数概念。 知识新授：通过实例总结组合数 课堂练习：通过一小题巩固组合数 课堂小结：总结
教学设计
组合数
主讲教师：栾小敏
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组 合分别是: ab , ac , bc (3个) 2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的 所有组合.
m 第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数An ．
m A nn 1n 2n m 1 m n 因此：Cn m Am m! * m 、 n N 这里 ，且 m n ，这个公式叫做组合
m m m A C A 根据分步计数原理，得到： n n m
数公式．
概念讲解
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A
n n
m
m
m m
组合数公式:
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!
m n m n m m
n! 0 C 我们规定：Cn 1. m !(n m)!
m n
例题分析
例1计算：⑴
C
4 7
⑵
C
7 10
• 【（1）35,（2）120】
例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
(1)列出所有各场比赛的双方；
（2)列出所有冠亚军的可能情况. 解：(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 （2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
小结
组合的概念 排列 联系 组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果 组合 组合数的概念
高中数学竞赛专题练习——排列组合
高中数学竞赛专题讲座之 排列组合 二项式定理和概率一． 排列组合二项式定理 1 (2005年浙江)设()n n n x a x a a x x 221021+++=++ ，求n a a a 242+++ 的值（ ） （A ）n 3 （B ）23-n （C ）213-n （D ）213+n 【解】： 令0=x 得 10=a ；（1） 令1-=x 得 123210=++-+-n a a a a a ；（2）令1=x 得 n n a a a a a 323210=+++++ ； （3）（2）＋（3）得 13)(22420+=++++n n a a a a ，故 2132420+=++++n n a a a a ， 再由（1）得 213242-=+++n n a a a 。
∴选 【 C 】 2、（2004 全国）设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有 （ ）A. 45个B. 81个C. 165个D. 216个解：a ，b ，c 要能构成三角形的边长，显然均不为0。
即,,{1,2,...,9}a b c ∈（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为1n ，由于三位数中三个数码都相同，所以，1199n C ==。
（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为2n ，由于三位数中只有2个不同数码。
设为a 、b ，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a ，b ）共有292C 。
共20种情况。
同时，每个数码组（a ，b ）中的二个数码填上三个数位，有23C 种情况。
故2222399(220)6(10)156n C C C =-=-=。
综上，12165n n n =+=。
3．（2005四川）设}10,,2,1{ =A ，若“方程02=--c bx x 满足A c b ∈,，且方程至少有一根A a ∈”，就称该方程为“漂亮方程”。
高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座19排列组合、二项式定理
比赛讲座 19- 摆列、组合、二项式定理基础知识1．摆列组合题的求解策略（ 1）清除：对有限条件的问题，先从整体考虑，再把不切合条件的所有状况清除，这是解决摆列组合题的常用策略．（ 2）分类与分步有些问题的办理可分红若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各种的并集是全集；有些问题的办理分红几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理．（ 3）对称思想：两类情况出现的时机均等，可用总数取半得每种情况的方法数．（ 4）插空：某些元素不可以相邻或某些元素在特别地点时可采纳插空法．即先安排好没有限制条件的元素，而后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．（ 5）捆绑：把相邻的若干特别元素“捆绑”为一个“大元素” ，而后与其余“一般元素”全摆列，而后再“松绑” ，将这些特别元素在这些地点上全摆列．（ 6）隔板模型：关于将不行辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将 12 个完整同样的球排成一列，在它们之间形成的 11 个空隙中任意插入 3 块隔板，把球分红4 堆，分别装入4 个不一样的盒子中的方法数应为C 113 ，这也就是方程a b c d12 的正整数解的个数．2．圆摆列（1）由 A{ a 1 , a 2 , a 3 , , a n } 的 n 个元素中，每次拿出r 个元素排在一个圆环上，叫做一个圆摆列（或叫环状摆列）．（ 2）圆摆列有三个特色： （ i ）无头无尾；（ ii ）依据同一方向变换后还是同一摆列；（ iii ）两个圆摆列只有在元素不一样或许元素固然同样，但元素之间的次序不一样，才是不一样的圆摆列．（ 3）定理：在 A { a 1 , a 2 , a 3 , , a n } 的 n 个元素中，每次拿出 r 个不一样的元素进行r圆摆列，圆摆列数为P n．r3．可重摆列同意元素重复出现的摆列，叫做有重复的摆列．在 m 个不一样的元素中，每次拿出 n 个元素，元素能够重复出现，依据必定的次序那么第一、第二、 、第 n 位是的选用元素的方法都是 m 种，因此从 m 个不一样的元素中，每次拿出n 个元素的可重复的摆列数为m n ．4．不尽相异元素的全摆列假如n 个元素中，有p1个元素同样，又有p2个元素同样，，又有p s个元素同样（ p1p2p s n ），这n 个元素所有取的摆列叫做不尽相异的n 个元素的全排n!列，它的摆列数是p1 ! p2 !p s!5．可重组合（ 1）从n个元素，每次拿出p 个元素，同意所取的元素重复出现1,2,, p 次的组合叫从 n 个元素拿出p 个有重复的组合．（ 2）定理：从n个元素每次拿出p 个元素有重复的组合数为： H n p C n r( p 1) ．6．二项式定理n（ 1）二项式定理(a b)n C n k a n k b k（ n N *）．k0（2）二项睁开式共有n 1项．（ 3）T r 1 C n r a n r b r（ 0r n ）叫做二项睁开式的通项，这是睁开式的第r 1项．（ 4）二项睁开式中首末两头等距离的两项的二项式系数相等．n （ 5）假如二项式的幂指数n 是偶数，则中间一项的二项式系数C n2最大；假如n是n 1n1奇数，则中间两项的二项式系数C n2与 C n2最大．（ 6）二项式睁开式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项系数之和，即C n0 C n2 C n4 C n1C n3 C n57．数学比赛中波及二项式定理的题型及解决问题的方法二项式定理，因为结构复杂，多年来在高考取未能充足展现应有的知识地位，而数学比赛的命题者却对其情有独钟．（1）利用二项式定理判断整除问题：常常需要结构对偶式；（2）办理整除性问题：结构对偶式或利用与递推式的联合；（3）求证不等式：经过二项式睁开，取睁开式中的若干项进行放缩；（4）综合其余知识解决某些综合问题：有些较复杂的问题看似与二项式定理没关，其实经过察看、剖析题目的特色，联想结构适合的二项式模型，即可使问题快速解决．例题剖析例 1．数 1447,1005,1231 有某些共同点，即每个数都是首位为 1 的四位数，且每个四位数中恰有两个数字同样，这样的四位数共有多少个？例 2．有多少个能被 3 整除而又含有数字 6 的五位数？例 3．有 2n 个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发互收，有多少种不一样的结对方式？例 4．将 n 1 个不一样的小球放入 n 个不一样的盒子中，要使每个盒子都不空，共有多少种放法？例 5．在正方体的 8 个极点， 12 条棱的中点， 6 个面的中心及正方体的中心共点中，共线的三点组的个数是多少个？例 6．用 8 个数字 1,1， 7,7，8,8， 9,9 能够构成不一样的四位数有多少个？27 个例 7．用A,B,C, D,E五种颜色给正方体的各个面涂色，并使相邻面一定涂不一样的颜色，共有多少种不一样的涂色方式？例 8．某种产品有 4 只次品和 6 只正品（每只产品可划分），每次取一只测试，直到4 只次品所有测出为止．求最后一只次品在第五次测试时被发现的不一样情况有多少种？ 例 9．在平面上给出5 个点，连接这些点的直线互不平行，互不重合，也互不垂直，过每点向其余四点的连线作垂线，求这此垂线的交点最多能有多少个？例 10。
高三数学高考二轮复习专题课件19：排列、组合和二项式定理
题型三 二项式定理
【例3】(1)(2009·江西)若C 1 nxC n 2x2 C n nxn
能被7整除,则x,n的值可能为
(C )
A.x=4,n=3
B.x=4,n=4
C.x=5,n=4
D.x=6,n=5
解析 由 C 1 n x C 2 n x 2 C n n x n ( 1 x ) n 1 ,分别
男生甲也只有一种排法.
此时共有 6A22 12种排法.
故不同排法为24+12+12=48种.
答案 B
5分
1.两个计数原理的应用:(1)应用分类计数原理要求每 一种方法都能把事件独立完成,即每法皆可完,方法 可分类;应用分步计数原理要求每步均是完成事件必 须经过的若干彼此独立的步骤,即每法必分步,每步 皆未完;(2)在应用分类计数原理和分步计数原理解 决问题时,一般先分类再分步,每一步中可能要用到 分类计数原理;(3)对于复杂问题,往往同时运用两 个原理,恰当地画出示意图或用列出表格的方法来 帮助分析,是使问题形象化、具体化、直观化的有 效手段.
法处理;⑥分排问题直排处理;⑦“小集团”排列问 题先整体后局部;⑧合理分类与准确分步;⑨正难则 反,等价转化.⑩构造模型,解决问题. 3.二项式定理及应用:(1)对于二项式定理中,二项展 开式的特征要分清，清楚各项的变化规律;(2)通项
序不变,则不同调整方法的种数是
(C )
A.C
2 8
A
2 3
B.C
2 8
A
6 6
C.
C
2 8
A
2 6
D.C
2 8
A
2 5
解析
在后排选出2个人有
高中数学 排列、组合、二项式定理 组合 (初始课件)
组合的定义
• 一般地，从n个不同元素中,任取m（m《n） 个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个组合.
你能说说排列与组合之间的联系与 区别吗？
• 相同点：两者都是从n个不同元素中取出m 个元素
• 不同点：排列与元素的顺序有关，组合与 元素的顺序无关
判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有 多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种 车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题 组合是选择的结果，排列 (3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组 ,共有 是选择再排序的结果. 多少种分法? 组合问题 (4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手 多少次? 组合问题
内容
描述
课件名称
组合
课程内容
组合的定义及其特点
教学设计
激趣导入：通过具体例子组合的定义。 知识新授：通过实例归纳总结组合特征，得出组合的 定义。 课堂练习：通过一小题巩固 课堂小结：总结
Байду номын сангаас
组合
主讲教师：栾小敏
探究
• 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参 加一项活动，其中1名同学参加上午的活动， 另1名同学参加下午的活动，有多少种不同 的选法？ • 问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去 参加一项活动，有多少种不同的选法？
思考
• 这两个问题有什么联系与区别？ • 都是两名同学去参加活动 • 不同的是问题1有顺序，问题2没有顺序
• 问题1：从3名同学中选出2名：甲乙，甲丙， 乙丙
• 而且还要将他们按照“上午在前，下午在 后”的顺序排列。
全国高中数学竞赛讲义二项式定理与多项式
§17二项式定理与多项式1．二项工定理2．二项展开式的通项)0(1n r b a C T r r n r n r ≤≤=-+它是展开式的第r+1项. 3．二项式系数 4．二项式系数的性质 〔1〕).0(n k C C k n n k n ≤≤=-〔2〕).10(111-≤≤+=---n k C C C k n k n k n〔3〕假设n 是偶数，有n n n n n nnnC C C C C >>><<<-1210 ，即中间一项的二项式系数2n nC 最大.假设n 是奇数，有nnn n n nn nnnC C CCC C >>>=<<<-+-1212110 ，即中项二项的二项式系数212+n nnn CC 和相等且最大.〔4〕.2210n n n n nn C C C C =++++ 〔5〕.21531420-=+++=+++n n n nn n n C C C C C C 〔6〕.1111----==k n k n k n k n C knC nC kC 或〔7〕).(n k m C C C C C C m m k n m k n m k m n m n m k k n ≤≤=⋅=⋅+---- 〔8〕.1121++++++=+++++n k n n k n n n n n n n C C C C C以上组合恒等式〔是指组合数m n C 满足的恒等式〕是证明一些较复杂的组合恒等式的基本工具.〔7〕与〔8〕的证明将在后面给出. 5．证明组合恒等式的方法常用的有〔1〕公式法，利用上述根本组合恒等式进展证明.〔2〕利用二项式定理，通过赋值法或构造法用二项式定理于解题中. 〔3〕利用数学归纳法.〔4〕构造组合问题模型，将证明方法划归为组合应用问题的解决方法. 例题讲解1．求7)11(xx ++的展开式中的常数项. 2．求62)321(x x -+的展开式里x 5的系数.3．数列)0(,,,0210≠a a a a 满足 ),,3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 求证：对于任何自然数n ，nn n n n n n n n n n n n n xC a x x C a x x C a x x C a x C a x p +-++-+-+-=-----)1()1()1()1()(111222211100 是x 的一次多项式或零次多项式. 4．a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A ba ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，A n 均为整数.5．y x ,为整数，P 为素数，求证：)(m od )(P y x y x P P P +≡+ 6．假设)10*,,()25(12<<∈+=++ααN m r m r ，求证：.1)(=+ααm7．数列}{n a 中，)2(3,311≥==-n a a a n n ，求2001a 的末位数字是多少？ 8．求N=1988－1的所有形如b a d b a ,(,32⋅=为自然数〕的因子d 之与. 9．设8219)22015()22015(+++=x ，求数x 的个位数字.10．),2,1(8,1,01110 =-===-+n a a a a a n n n 试问：在数列}{n a 中是否有无穷多个能被15整除的项？证明你的结论. 例题答案：1.解：由二项式定理得其中第)70(1≤≤+r r 项为r r r xx C T )1(71+=+ ②在r xx )1(+的展开式中，设第k+1项为常数项，记为,1+k T 那么)0(,)1(2,1r k x C xx C T k r k r k k r k r k ≤≤==--+ ③由③得r －2k=0，即r=2k ，r 为偶数，再根据①、②知所求常数项为评述：求某一项时用二项展开式的通项. 2. 解：因为6662)1()31()321(x x x x -+=-+].1][)3()3()3(31[6665564463362261666633622616x C x C x C x C x C x C x C x C x C x C +-+-+-⋅++⋅+⋅+⋅+= 所以62)321(x x -+的展开式里x 5的系数为26363362624616563)(33)(1C C C C C C C ⋅+-+⋅+- 评述：此题也可将62)321(x x --化为62)]32(1[x x -+用例1的作法可求得. 3. 分析：由}{211n i i i a a a a 知=++-是等差数列，那么),,2,1(01 =+=+=-i id a d a a i i 从而可将)(x p 表示成d a 和0的表达式，再化简即可.解：因为),3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 所以数列}{n a 为等差数列，设其公差为d有),3,2,1(0 =+=i id a a i 从而nn n n n n n n n xC nd a x x C d a x x C d a x C a x P )()1()2()1()()1()(022*******+++-++-++-=-- ],)1(2)1(1[])1()1([222111100n n n n n n n n n n n n n n x nC x x C x x C d x C x x C x C a ++-+-⋅+++-+-=---由二项定理，知又因为,)]!1()1[()!1()!1()!(!!11--=-----⋅=-⋅=k n kn nC k n k n n k n k n k kC 从而nn n n n n n x nC x x C x x C ++-+--- 22211)1(2)1(.])1[(1nx x x nx n =+-=- 所以.)(0ndx a x P +=当x x P d 为时)(,0≠的一次多项式，当为时)(,0x P d =零次多项式. 4. 分析：由θn sin 联想到复数棣莫佛定理，复数需要θcos ，然后分析A n 与复数的关系.证明：因为.sin 1cos ,,20,2sin 2222222ba b a b a b a ab +-=-=><<+=θθπθθ所以且显然n i n )sin (cos sin θθθ+为的虚部，由于n i )sin (cos θθ+ 所以.)()sin (cos )(222n n bi a n i n b a +=++θθ从而n n n bi a n b a A 222)(sin )(++=为θ的虚部.因为a 、b 为整数，根据二项式定理，n bi a 2)(+的虚部当然也为整数，所以对一切*N ∈n ，A n 为整数.评述：把A n 为与复数n i )sin (cos θθ+联系在一起是此题的关键. 5. 证明：P P p P P P P P P Py xy C y x C y x C x y x +++++=+----1122211)(由于)1,,2,1(!)1()1(-=+--=P r r r p p p C rP为整数，可从分子中约去r ！，又因为P 为素数，且p r <，所以分子中的P 不会红去，因此有).1,,2,1(|-=P r C P rP 所以评述：将P y x )(+展开就与P P y x +有联系，只要证明其余的数能被P 整除是此题的关键. 6. 分析：由1)()25(12=++=++αααm m r 和 猜测12)25(+-=r α，因此需要求出α，即只需要证明1212)25()25(++--+r r 为正整数即可.证明：首先证明，对固定为r ，满足条件的α,m 是惟一的.否那么，设1112)25(α+=++m r那么)1,0()0,1(,,021212121⋃-∈-∈-≠-=-ααααZ m m m m 而α是惟一的. 下面求α及m . 因为12212212211212012121222)5(2)5()5()25()25(+-++++++++⋅+⋅+=--+r r r r r r r r r C C C 又因为)1,0()25(),1,0(2512∈-∈-+r 从而所以)2252525(21212121231312112+--+-+++⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=r r r r r r r r r C C C m 故.)25()(12+-=+r m αα .1)45()25(1212=-=+++r r评述：猜测121212)25()25(,)25(+++-+-=r r r 与α进展运算是关键. 7. 分析：利用n 取1，2，3，…猜测n n a a 及的末位数字. 解：当n=1时，a 1=3，3642733321+⨯====a a27)81(3)81(3)3(3336363643642732⨯=⋅=⋅====+⨯a a ，因此32,a a 的末位数字都是7，猜测，.*,34N ∈+=m m a n 现假设n=k 时，.*,34N ∈+=m m a k 当n=k+1时， 34341)14(33+++-===m m a k ka,3)1(414+-=-=T T 从而*)(34N ∈+=m m a n于是.27)81(33341⨯===++m m a n na 故2001a 的末位数字是7.评述：猜测34+=m a n 是关键.8. 分析：寻求N 中含2与3的最高幂次数，为此将19变为20－1与18+1，然后用二项式定理展开.解：因为N=1988－1=(20－1)88－1=(1－4×5)88－1 )552(22552565-=⨯+⨯-=M M 其中M 是整数.上式说明，N 的素因数中2的最高次幂是5. 又因为N=(1+2×9)88－1=32×2×88+34·P=32×〔2×88+9P 〕其中P 为整数. 上式说明，N 的素因数中3的最高次幂是2.综上所述，可知Q N ⋅⋅=2532，其中Q 是正整数，不含因数2与3. 因此，N中所有形如b a 32⋅的因数的与为(2+22+23+24+25)(3+32)=744.9. 分析：直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 解：令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22+⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x +y 是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.评述：转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.10. 分析：先求出n a ，再将n a 表示成与15有关的表达式，便知是否有无穷多项能被15整除.证明：在数列}{n a 中有无穷多个能被15整除的项，下面证明之. 数列}{n a 的特征方程为,0182=+-x x 它的两个根为154,15421-=+=x x ，所以n n n B A a )154()154(-++= 〔n=0，1，2，…〕由,1521,15211,010-====B A a a 得 那么],)154()154[(1521n n n a --+=取),2,1,0(2 ==k k n ，由二项式定理得由上式知当15|k ，即30|n 时，15|a n ，因此数列}{n a 中有无穷多个能被15整除的项.评述：在二项式定理中，n n b a b a )()(-+与经常在一起结合使用.。
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竞赛讲座19
-排列、组合、二项式定理
基础知识
1．排列组合题的求解策略
（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略．
（2）分类与分步
有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理．（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数．
（4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．
（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列．
（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔3C，这也就是方程个不同的盒子中的方法数应为板，把球分成4堆，分别装入411a?b?c?d?12的正整数解的个数．2．圆排列
A?{a,a,a, ,a}nr个元素排在一个圆环上，的个元素中，每次取出）由（1n231叫做一个圆排列（或
叫环状排列）．
（2）圆排列有三个特点：（i）无头无尾；（ii）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列．
A?{a,a,a, ,a}nr个不同的元素进行的（3）定理：在个元素中，每次取出n312r P n圆排列，圆排列
数为．r3．可重排列
允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列．
mn个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那在个不同的元素中，每次取出nmm个不同的元素中，么第一、第二、…、第位是的选取元素的方法都是种，所以从n mn．个元素的可重复的排列数为每次取出
4．不尽相异元素的全排列
pppn个元素相同如果个元素相同，又有个元素中，有个元素相同，…，又有s21p?p? ?p?nnn
个元素的全排个元素全部取的排列叫做不尽相异的（），这s12n!列，它的排列数是
p!?p!? ?p!s12．可重组合5p np,,2 ,1次的组合个元素，每次取出允许所取
的元素重复出现个元素，（1）从p n个有重复的组合．个元素取出叫从pr C?H n p）定理：从个元素每次取出．个元素有重复的组合数为：（2)n?(pn?16．二项式定理
n?kn?knk*bC(a?b)?aN?n）（1）二项式定理（．n0k?n?1项．（2）二项开展式共有rn?rr T?Cab0?r?nr?1）
叫做二项开展式的通项，这是开展式的第）（（3n1r?项．
（4）二项开展式中首末两端等距离的两项的二项式系数相等．
n nn C2是（5）如果二项式的幂指数最大；如果是偶数，则中间一项的二项式系数nn?1n?1
CC22最大．奇数，则中间两项的二项式系数与nn（6）二项式开展式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项系数之和，即
024135CCCCCC??? ??? ?nnnnnn7．数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法
二项式定理，由于结构复杂，多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位，而数学竞赛的命题者却对其情有独钟．
（1）利用二项式定理判断整除问题：往往需要构造对偶式；
（2）处理整除性问题：构造对偶式或利用与递推式的结合；
（3）求证不等式：通过二项式展开，取展开式中的若干项进行放缩；
（4）综合其他知识解决某些综合问题：有些较复杂的问题看似与二项式定理无关，其实通过观察、分析题目的特征，联想构造合适的二项式模型，便可使问题迅速解决．
例题分析
例1．数1447,1005,1231有某些共同点，即每个数都是首位为1的四位数，且每个四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？
整除而又含有数字36的五位数？例2．有多少个能被n2个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发互收，有多少种不同的结．有例3 对方式？n1n?个不同的盒子中，要使每个盒子都不空，共有多．将个不同的小球放入例4 少种放法？个6个面的中心及正方体的中心共275．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，例点中，共线的三点组的个数是多少个？，9,9可以组成不同的四位数有多少个？1,1，7,7，8,8例6．用8个数字E,D,A,B,C并使相邻面必须涂不同的颜五种颜色给正方体的各个面涂色，7．用例色，共有多少种不同的涂色方式？，每次取一只测试，直到6只正品（每只产品可区分）例8．某种产品有4只次品和4只次品全部测出为止．求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？个点，连结这些点的直线互不平行，互不重合，也互不垂直，．在平面上给出5例9 过每点向其余四点的连线作垂线，求这此垂线的交点最多能有多少个？位政治家举行圆桌会议，两位互为政敌的政治家不愿相邻，其入坐方法有。
.8例10 多少种？条东西走向的街道．如果有人从城南北角条南北走向的街道，5例11．某城市有6BA（图点最短的走法有多少种？点）走到东南角中9位的奖，共有多少种可能的码？2个3球摇出一个．用4个1球，3个2球，例12n?r nr．例13．将）个相同的小球，放入个不同的盒子（）有多少种不同的放法？（1 ）如果不允许空盒应有多少种不同的放法？（2（只个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站着两个男孩．．8个女孩和25例14 要把圆旋转一下就重合的排列认为是相同的）1099851369419224)CC?33C? ?3(1?3C?3C?0?919n的求15．设，例nnnnnn2值．*)7(3?Nn?时，16．当的整数部分是奇数还是偶数？证明你的结
论．例)3,1,2,a,aa, a2a(ia,a,0a? ???．已知数列（）满足：例17i31i2i0?11?0n，求证：对于任意正整数1?nnnnn?1n?101xaCx)?x??aC(1?1C1Cxp()?a(?x)?ax(?x) 是一次nn1n?n1n0n多项式或零次多项式．*12r?1??,0Nr,m?a(5?2am??)a(m?a)?1．，求证：．若18例）（．
8219)220)220?(15?x?(15?x的个数数字．．设的整数部分，求例19100b?2)(1?2?aNb?a,ab（的个位数字．例20）求．已知1?nn2)(1?32N?n整除（．试证大于．）例21的最小整数能被nnn)?1?(2n(2n?1)?(2n)n，不等式．例22．求证：对任意的正整数11?R?,ba1??Nn?．求证对于每个23．设，都有，且例ba1?2nnnnn2(a?b)??a2?b?
训练题）种3次，其中愉有2次连续命中的情形共有（1．8次射击，命中60
）（D30（B）（C）48（A）15
名选手各比赛32．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有名选手之间比赛3了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。
那么，在上述）的场数是（
3
（D）2 （B）1 （C）（A）0
2000210002xa ?aa?ax?x?)x1??x(的展开式为，则3．若2000201a?? a?a?a?a的值为1998630920013339996663333（（B））（A）（CD））级，不同的走法有（4．某人从楼下到楼上要走11级楼梯，每步可走1级或2 种81
）（D64）A（）144（B121（C）名进行男女混合双打，不同的5名男乒乓球队员，名女乒乓球队员中选出45．从7 ）种分组方法有（
22222222CC4CCCCPP2 D）（C（）（A（）B）55777575）有0枚、3张、9张，可组成的不同币值（非26．有5分、1角、5角的人民币各）种（
89
）D）88（C B（A）79（）80（的偶数，不同个数中取出这103个数，使其和为不小于10．从70,1,2,3,4,5,6,7,8,9 的取法有________种6N?1?N)?(76NN＝写成8．把的形式，为自然数，则．
个不同的元素，31,0,1,2,3}中的?3,?2,?c=0中的a,b,c是取自集合{9．已知直线ax+by+ ．并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是______处，它每次可随意地跳到相邻AABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点10．设点，则跳完D5次之内不能到达5次之内跳到D点，则停止跳动；若两顶点之一．若在种．5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共中的最,d,b,c?a；(3)a是a?；（2）a?b,bc,c?d,db11．如果：（1）a,,c,d 都属于{1,2,3,4}_________．小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是abcd．在一个正六边形的六个区域种植观赏植物，要求同一块中种同一种植物，相邻12 种载种方案．的两块种不同的植物。
现有4种不同的植物可供选择，则有
种坐法．．10人围圆桌而，如果甲、乙二人中间相隔4人，有1362000101991除以．的余数是14．
1?2n(52?7)FI记它的小数部分．求证：的展开中，用15记它的整数部分，．设(I?F)F是一定值．a,a,a,aa?a?29, ,1,1,23中，，四个数，使得从16．按从小到大的顺序选取431212a?a?3a?a?4．问
符合上要求的不同取法有多少种？，2334CBBA两人以必须相邻的不两人不得相邻，而17．8人围张一张圆桌，其中、、同围坐方式有多少种？
18．4对夫妇去看电影，8人坐成一排．若每位女性的邻座只能丈夫或另外的女性，共有多少种坐法？
n?1n122n?C? ?C??C2．．求证：19 nnnn?1nnn)ba?a(2?b)(?bn2n??a?0b?aN?．求证：，．设20，，．。