数分样条函数

其中， d k
yk 1 yk f [ xk , xk 1 ] 。 hk
mk m h hk k 1 k d k 6 3
同理，当 x [ x k 1 , x k ] 时，
S '( x)
y mk 1 m m h y mh 2 2 xk x k x xk 1 k 1 k 1 k 1 k k k 1 2hk 1 2hk 1 6 hk 1 6 hk 1
Example 4.7
解：n=3。 1、首先计算二阶均差 Xk f(xk) 0 0 1 0.5 2 3 2、计算 g 0 ， g n 2.0 1.5
一阶均差
二阶均差
f [ x0 , x1 ] g1 6 g2 f [ x1 , x2 , x3 ] 6 f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x2 , x3 ]
S " ( xi 0) S " ( xi 0)
因此， 额外还需要两个约束条件。 通常可以根据实际应用问题， 在区间的两个端点设置约束。
教材上 Table 4.8 指定了 5 种端点约束条件。我们感兴趣三种边界条件，它们是： 第一类边界条件(夹持条件)：
S ( x0 ) y0 n S ( xn ) y
2 0 m0 g 0 2 m g 1 1 1 1 k 2 k mk g k n 1 2 n 1 mn 1 g n 1 n 2 mn g n
hk 1 hk uk mk 1 2mk mk 1 6 hk 1 hk hk 1 hk hk 1 hk
k mk 1 2mk k mk 1 g k
其中：
k 1, 2,3,..., n 1
k
hk 1 hk , k hk hk 1 hk hk 1 uk d d k 1 gk 6 6 k hk 1 hk hk 1 hk
f ( xi ) y i , i 0,1,..., n 。 若 S ( x) 满 足 S ( xi ) y i , i 0,1,..., n ； S ( x) 在 每 个 小 区 间 [ xi , xi 1 ] 上至多是一个三次多项式；S ( x) 在 [a, b] 上有连续的二阶导数，则称 S ( x) 为 f ( x) 关于剖分 a x 0 x1 .... x n b 的三次样条插值函数，称 x0 , x1 ,...., x n 为样条节点。
一类分段（片）光滑、并且在各段交接处也有一定光滑性的函数，简称样条。样条一词 来源于工程绘图人员为了将一些指定点连接成一条光顺曲线所使用的工具， 即富有弹性的细 木条或薄钢条。 由这样的样条形成的曲线在连接点处具有连续的坡度与曲率。 分段低次多项 式、 在分段处具有一定光滑性的函数插值就是模拟以上原理发展起来的， 它克服了高次多项 式插值可能出现的振荡现象， 具有较好的数值稳定性和收敛性， 由这种插值过程产生的函数 就是多项式样条函数。样条函数的研究始于 20 世纪中叶，到了 60 年代它与计算机辅助设 计相结合，在外形设计方面得到成功的应用。样条理论已成为函数逼近的有力工具。它的应 用范围也在不断扩大，不仅在数据处理、数值微分、数值积分、微分方程和积分方程数值解 等数学领域有广泛的应用，而且与最优控制、变分问题、统计学、计算几何与泛函分析等学 科均有密切的联系。 定 义 给 定 区 间 [a, b] 上 n+1 个 节 点 a x0 x1 .... xn b 和 这 些 点 上 的 函 数 值 ，
第二类边界条件(自然边界条件)：
S ( x0 ) y 0 S ( x n ) y n
当 y 0 y n 0 时，称为自然边界条件。
" "
第三类边界条件(周期性条件)：假设函数 f 为一个周期函数，自然假设
(1) (2) (2) y0 yn ， y 0(1) yn ， y 0 yn
我们可以将 S ( x) 表示成如下的形式：
S ( x)
将 xk , xk 1 代入，得
mk m 3 3 xk 1 x k 1 x xk p k xk 1 x qk x xk 6hk 6hk mk 2 h p k hk yk 6 k mk 1 h 2 q h y k k k 1 6 k y k mk hk pk h 6 k q y k 1 mk 1hk k hk 6
S ( x) S i ( x) ai x 3 bi x 2 ci x d i x [ xi , xi 1 ], i 0,1,...n 1 共需要 4n 个待定参数。在三次样条插值的定义中一共有 4n-2 个约束条件： 1、2n 个函数值约束。 i 0,1,..., n 1 S i ( xi ) y i S i ( xi 1 ) y i 1 2、 2( n 1) 个内部插值点导数约束。 i 1,..., n 1 S ' ( xi 0) S ' ( xi 0)
x xk
lim S '( x)
y mk m h y mh hk 1 k 1 k 1 k 1 k k k 1 2 6 hk 1 6 hk 1

mk m h y -y hk 1 k 1 k 1 k k 1 hk 1 6 3 m h mk hk 1 k 1 k 1 d k 1 3 6
d y0 f [ x0 , x1 ] y0 g0 6 0 6 h0 h0 f [ x2 , x3 ] y d 2 y3 g3 6 3 6 h2 h2
对 S ( x) 求导数，整理得
S '( x)
y m h mk m 2 2 xk 1 x k 1 x xk k k k 2hk 2hk 6 hk
y k 1 mk 1hk 6 hk y m h y m m h lim S '( x) k hk k k k k 1 k 1 k x xk 2 6 hk 6 hk m m h y y k hk k 1 k k 1 k 6 3 hk
由于 lim S '( x) lim S '( x) ，我们有
x xk x xk
mk m h m m h hk k 1 k d k k hk 1 k 1 k 1 d k 1 3 6 3 6 2mk hk mk 1hk 6d k 2mk hk 1 mk 1hk 1 6d k 1
yk 1 yk yk yk 1 hk hk 1 6 hk 1 hk 6 f [ xk , xk 1 ] f [ xk 1 , xk ] hk 1 hk
6 f [ xk 1 , xk , xk 1 ]
关于 m k 的方程组还差两个约束，考察三类边界条件问题。 对于第一类边界条件有：
所以
S ( x)
mk m 3 3 xk 1 x k 1 x xk 6hk 6hk
y m h y m h k k k xk 1 x k 1 k 1 k x xk 6 6 hk hk
Interpolation by Spline Function
高阶多项式插值的 Runge 现象 y 1 /(1 x 2 )
4.3.1 Piecewise Linear Interpolation 分段线性插值
不够光滑！
4.3.2 Piecewise cubic splines 分段三次样条函数
m0 mh h0 1 0 d 0 y0 3 6 d y0 2m0 m1 6 0 g0 h0
同理
y d n 1 mn 1 2mn 6 n gn hn 1
令 0 1, n 1 ，则 n+1 阶方程组
hk 1mk 1 2 hk 1 hk mk hk mk 1 6 d k d k 1 hk 1mk 1 2 hk 1 hk mk hk mk 1 6uk
其中， uk d k d k 1 用 hk 1 hk 除等式两边，得到
则边值条件要求
x x0
lim S ( x) lim S ( x) ， lim S ( x) lim S ( x) ， lim S ( x) lim S ( x) 。
x xn
x x0
x xn
x x0
x xn
在具体构造样条函数时一般都不使用计算量大的待定系数法。 下面给出构造三次样插值 的三弯矩方程，其待定参数的个数分别是在插值点上的 n+1 个二阶导数。在力学上二阶导 数解释为细梁在插值点截面处的弯矩。程之称。 另外一种方法是以各个节点处的一阶导数作为待定的参数， 在力学上， 一阶导数解释为 转角，这样推导出来的方程称为三转角方程。 三弯矩方程 设 S ( x) 在插值节点 xk 处的二阶导数值为 mk ，在每个小区间 [ x k , x k 1 ] ， S "( x) 是一次 多项式，设 hk x k 1 x k ，则当 x [ x k , x k 1 ] 时，
定义强调了四个方面，见教材 P177： 1、 分段三次多项式； 2、 满足约束条件： S ( xi ) y i , i 0,1,..., n ； 3、 三次样条样条在每个节点连续； 4、 三次样条样条的导函数在每个节点连续； 5、 三次样条样条在二阶导函数每个节点连续；