二元函数插值的一般方法研究
一种求二元向量有理插值函数的方法
一种求二元向量有理插值函数的方法二元向量（bivariate vector）是指同时具有两个分量的向量，这些分量可以是位移、加速度、应力、张量以及其它多个量的组合，是物理学、数学和工程计算中常见的一种向量的形式，他们描述了物体的力、位置、速度等。
二元向量的插值就是将一组不完全相同的已知点的值插值成新的关于参数的有理函数，从而对新的已知点取到准确的值，得到完整的数据描述。
本文将介绍一种求二元向量有理插值函数的方法——埃尔米特多项式法。
埃尔米特多项式法是基于多项式理论的拟合求解方法，而在二元向量插值中，它通过多项式拟合算法，将给定的几组点拟合出一组插值函数，构造出一种描述该给定点集序列信息的有理函数体系。
与一般的多项式拟合不同的是，埃尔米特多项式拟合能保证插值函数的平滑连续性以及非离散分布性，从而实现更加准确有效而快速的获取给定点集中物理信息的插值有理函数。
这种方法的基本步骤及其实现原理如下：1.确定函数表达式。
在埃尔米特多项式拟合法中，根据不同的所给点的坐标，选取一个适用的多项式函数的维度，它介于给定点集的数量及精度层次之间，并构造出一个适合实际物理信息特征的多项式表达式。
2.求解多项式系数。
给定的函数表达式越复杂，拟合方程系数就越多，但是有一定数量的已知点无法确定所有系数，所以一般选择用快速收敛的最小二乘法来求出这些多项式系数，用系数值来替代函数表达式中的未知量，使其为一个精度较高的定值。
3.绘制函数图形。
当求出拟合系数后，再从给定点集中取出数组对，将对应的X取值代入拟合函数中，再结合拟合系数，进行计算，以求得拟合点集的Y坐标，最后绘出一条完整的弧线，拟合出了二元向量的插值有理函数。
在实际应用中，埃尔米特多项式拟合求解将得到更优的估计结果，它的算法步骤简单且实用性更佳，可以有效的应用到实际中去，确保准确性及运算结果的实时性。
关于二元函数的三角插值逼近
关于二元函数的三角插值逼近
张瑞;徐晓芳
【期刊名称】《宝鸡文理学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2008(28)3
【摘要】目的为克服Lagrange插值多项式不能对任意连续函数都一致收敛的问题,构造了一类二元乘积型三角插值多项式算子使得该算子在全平面上能够一致收敛到每个以2π为周期的二元连续函数.方法通过对Lagrange插值三角多项式的平移与组合,在已有成果的基础上做了推广,构造了一类形式较为广泛的二元乘积型三角插值多项式(),进而讨论了该算子的逼近性质.结果/结论证明了该算子在全平面上一致收敛到任意以2π为周期的二元连续函数,并且对()函数类的逼近均达到最佳收敛阶,即,当(),成立().
【总页数】4页(P182-185)
【作者】张瑞;徐晓芳
【作者单位】宝鸡文理学院,数学系,陕西,宝鸡,721013;海原县高崖中学,宁夏,海原,755203
【正文语种】中文
【中图分类】O174.41
【相关文献】
1.反周期函数的一种Hermite仿三角多项式插值逼近 [J], 许贵桥;杜英芳
2.关于二元函数的三角插值逼近 [J], 袁学刚;韩友发
3.关于二元连续周期函数的三角插值逼近 [J], 李苏
4.Besov空间中一类反周期函数的三角插值逼近问题 [J], 何尚琴;冯秀芳
5.任意三角形单元上的三次Lagrange型插值逼近 [J], 田明;何晓斌
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二元函数插值的一般方法研究
二元函数插值的一般方法研究《二元函数多项式插值的一般方法研究》的开题报告一.课题研究的背景和意义（一）.插值问题的提出和发展过程许多实际问题都用函数)(x f y =来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数通过实验或观测得到的.虽然)(x f 在某个区间[]b a ,上是存在的，有的还是连续的，但却只能给出[]b a ,上一系列点i x 的函数值),...,1,0)((n i x f y i i ==，这只是一张函数表.有的函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表、平方根和立方根表等.为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值.因此，我们希望根据给定的函数表做一个既能反应函数)(x f 的特性，又便于计算的简单函数)(x P ，用)(x P 近似)(x f .通常选一类较简单的函数（如代数多项式或分段代数多项式）作为)(x P ，并使)()(i i x f x P =对n i ,...,1,0=成立.这样确定的)(x P 就是我们希望得到的插值函数.对于上述的)(x f y =的函数插值，前人们已经做过很多的研究，典型的有多项式插值、拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值等.但是对于二元函数),(y x f z =的插值还没有一个较广的研究.（二）.二元函数插值研究的意义1. 理论意义：一元函数插值主要有基函数法、拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值等，但是对于二元函数插值乃至n 元插值是不能直接在一元函数插值的基础上直接推广的。
多元插值是一个活跃的研究领域，至今已有非常多的多元插值公式，但是可供利用的公式十分少。
所以我们研究二元函数的插值时，可以为n 元函数插值提供新的研究思路，有助于复杂函数的偏导数的求解，也可以是对插值理论的完善。
2. 实际意义：一元函数插值问题主要是平面的，而二元函数插值是在三维空间上的，这对我们构造三维空间图像有非常大的作用.例如，在现代机械工业中用计算机控制加工机械零件，根据设计可给出零件外形曲线的的某些型值点),...,1,0)(,(n i y x i i =,加工时为控制每步走刀及步数，就要算出零件外形曲线其它点的函数值，才能加工出外表光滑的零件，这就是求函数插值问题，利用二元函数插值也可以方便解决。
二元有理插值函数的构造新方法
二元有理插值函数的构造新方法
二元有理插值函数是一种插值函数，它可以用来拟合两个点之间的函数。
它的构造方法是，在两个点之间构造一个函数，使得该函数在两个点处取得指定的值，并且在两个点之间的
曲线是平滑的。
这种插值函数的优点是，它可以用来拟合任意两个点之间的函数，而且拟
合的曲线是平滑的，不会出现锯齿状的现象。
二元有理插值函数的构造新方法可以用来拟合任意两个点之间的函数，从而解决复杂的函
数拟合问题。
例如，在机器学习中，可以使用二元有理插值函数来拟合复杂的函数，从而
解决复杂的机器学习问题。
此外，二元有理插值函数还可以用来拟合多维函数，从而解决
多维函数拟合问题。
此外，二元有理插值函数的构造新方法还可以用来解决复杂的数值计算问题。
例如，在数值积分中，可以使用二元有理插值函数来拟合复杂的函数，从而解决复杂的数值积分问题。
此外，二元有理插值函数还可以用来拟合多维函数，从而解决多维数值计算问题。
总之，二元有理插值函数的构造新方法可以用来解决复杂的函数拟合、机器学习、数值积分和多维数值计算等问题，从而提高计算效率，提高计算精度。
因此，二元有理插值函数
的构造新方法可以说是一种非常有用的技术，它可以为计算机科学和工程技术的发展做出
重要贡献。
二元插值问题唯一可解性的推广的开题报告
二元插值问题唯一可解性的推广的开题报告二元插值问题指的是给定一组二元数据点$(x_i,y_i,f_i)$，其中$f_i=f(x_i,y_i)$，找到一条平面曲面$g(x,y)$使得$g(x_i,y_i)=f_i$，即通过已知的数据点进行插值。
这个问题可以通过多元的拉格朗日插值或牛顿插值方式求解，但是对于某些数据点布局不合理的情况（如数据点分布比较松散或存在边缘数据点），可能会出现插值结果不唯一的情况。
本文将对二元插值问题唯一可解性的推广进行研究。
具体来说，我们将考虑在更广泛的情况下，如何保证二元插值问题的解的唯一性，以及如何通过优化算法来稳定插值结果。
首先，我们将考虑插值函数的约束条件。
在二元插值问题中，我们可以通过给定的数据点构造一个唯一的插值函数。
然而，如果我们给定的数据点不满足一些约束条件，那么插值函数可能无法确保唯一性。
因此，我们需要对数据点的分布做出一些假设，以确保插值函数的唯一性。
例如，如果我们假设数据点按照格点分布，并满足一定的平滑性条件，那么我们可以通过合理的插值方式来获得唯一的插值函数。
其次，我们将考虑优化算法的设计。
在实际情况中，数据点的分布往往比较复杂，并且可能存在噪声或异常值。
为了在这样的情况下稳定解二元插值问题，我们需要设计合适的优化算法。
这包括选择合适的损失函数、设置合理的正则化项、采用有效的求解算法等。
最后，我们将进行实验验证。
我们将基于各种不同的数据点分布和约束条件，设计实验来验证我们的推广在不同场景下的可行性和稳定性。
这些实验包括人造数据点和真实数据点的模拟比较，从而证明我们提出的方法的可靠性和实用性。
总之，本文将对二元插值问题唯一可解性的推广进行探究，并提出基于约束条件和优化算法的解决方案。
我们相信这个研究对于稳定解决实际问题具有重要的意义。
2-2-5-拉格朗日插值-二元插值及小结
课程教案
实验数据的拟合及模型参数的确定
二元三点Lagrange插值
——简介
小结及注意事项
1.进行内插之前，先要对已知实验点进行误差分析，删除一些明显不合理的结果。
然后初步作出实验曲线图。
观察曲线变化规律以利于插值方法的选择或插值的分段。
2.如果精度要求不高，使用线性插值就可以了。
3.如果将Lagrange插值法使用得当是可以得到满意的插值结果的。
使用Lagrange插值法时，最好在需要插值点的附近选取一些实验点，或按曲线变化情况选点。
注意，如选点过多有时会误差更大。
这是高次多项式的插值所造成的。
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二元函数多项式插值的研究
本科毕业设计常熟理工学院本科毕业设计(论文)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业设计(论文)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
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保密的毕业设计(论文)在解密后遵守此规定。
本人签名：日期：导师签名：日期：二元函数多项式插值方法的研究摘要计算数学是数学科学的一个分支，它主要研究用数值分析的理论求解各种数学问题的数值方法。
因此，计算数学内容十分广泛，它包含各种应用数学问题的求解算法的研究、发展和分析。
然而多项式插值法是一种古老而实用的插值方法，它为今后学习数值积分、数值微分、函数逼近以及微分方程数值解等数值分析奠定了基础。
本文主要研究数值分析中二维插值问题。
首先一些常用的一元函数插值方法；接着介绍了一种二元函数多项式插值方法；最后，基于再生核理论给出一种新的二元函数插值方法，并通过数值算例验证了所提出的插值方法的有效性。
关键词：数值分析计算数学多项式插值二元函数插值Study of Polynomial Interpolation Method for Functions of Two VariablesAbstractComputational mathematics is the branch of mathematics which is concerned primarily with ways in which to compute results to various problems by applying the theory of numerical analysis. Therefore, the contents of computational mathematic is extremely wide, it involves the study, development, and analysis of algorithm for obtaining numerical solutions to various mathematical problems. Polynomial interpolation is an ancient and practical interpolation method, and it is the basis of future study on numerical differentiation and integration, numerical solutions of differential equations. This thesis mainly discusses interpolation method to functions of two variables. Firstly, some usual interpolation method of functions of one variable are introduced. Secondly, a polynomial interpolation method to functions of two variables is discussed. Finally, based on the theory of reproducing kernel, a new interpolation method to functions of two variables is developed, and one numerical example is provided to show the validity of the present interpolation method.Key Words:numerical analysis; computational mathematics; polynomial interpolation; interpolation for functions of two variables目录1. 引言 (1)1.1 数值分析的背景 (1)1.2 数值分析的介绍 (1)1.3 插值方法的背景 (2)2. 多项式插值 (2)2.1常用一元函数插值 (2)2.2二元函数多项式插值 (4)3. 新的插值方法 (5)结语 (12)参考文献 (13)致谢 (14)1 引言1.1 数值分析的背景数百年前，人类已经将数学应用在建筑、战争、会计，以及许多领域之上，最早的数学大约是西元前1800年巴比伦人泥板（Babylonian tablet ）上的计算式子。
二元函数插值及其程序设计
目录摘要2关键词21前言21.1二元函数插值及其发展过程 (2)1.2本文所要达到的目的 (3)2二元函数插值32.1一元Lagrange 插值的构造方法 (3)2.2二元函数插值的基本思想 (4)2.3二元函数插值的几种方法 (7)2.3.1分片双一次插值 (7)2.3.2分片不完全双二次插值 (9)2.3.3矩形域上分片双三次埃尔米特插值 (11)2.4二元函数插值程序设计 (14)2.4.1MATLAB 中插值描述及程序设计 (14)3总述20致谢21参考文献21英文摘要22二元函数插值及其程序设计王国栋20091105156数学科学学院信息及计算科学2009级2班指导教师徐俊文摘要本篇文章主要对二元函数插值进行了叙述。
针对一元函数插值思想主要是拉格朗日插值，我们将其中构造基函数的方法推广到二元函数，讨论了二元函数的插值问题。
其中，主要讨论矩形区域上的插值、分片低次插值，将矩形域上分片插值问题分作分片双一次插值，分片不完全的双二次插值。
并且针对插值做了MATLAB的程序设计，简单分析了插值问题的解决办法。
关键词二元函数插值；拉格朗日；MATLAB；分片双一次插值；分片不完全双二次插值；矩形区域；1前言1.1二元函数插值及其发展过程二元函数插值在生活中有着广泛的应用。
例如在计算几何及计算辅助几何设计中有着重要的作用。
在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而这种关系很难有明显的解析表达式，通常只是由观察或测试得到一些离散数值。
有时，即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，不仅使用不便，而且不易于进行计算和理论分析。
从几何角度来说，就是要由给定的这组数据点去描绘曲线的近似图形。
解决这类问题的方法有两种：插值法和曲线拟合法。
二元逼近是一元函数逼近理论的发展，是在逼近工具和被逼近对象方面的二元推广。
由于现代科学技术的发展的需要，二元函数逼近理论的研究日益受到数学、计算机数学、物理及工程等领域的专家和科学工作者的重视，已成为当今逼近理论和计算数学的研究热点之一。
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《二元函数多项式插值的一般方法研究》的开题报告
一.课题研究的背景和意义
（一）.插值问题的提出和发展过程
许多实际问题都用函数)(x f y =来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数通过实验或观测得到的.虽然)(x f 在某个区间[]b a ,上是存在的，有的还是连续的，但却只能给出[]b a ,上一系列点i x 的函数值),...,1,0)((n i x f y i i ==，这只是一张函数表.有的函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表、平方根和立方根表等.为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值.因此，我们希望根据给定的函数表做一个既能反应函数)(x f 的特性，又便于计算的简单函数)(x P ，用)(x P 近似)(x f .通常选一类较简单的函数（如代数多项式或分段代数多项式）作为)(x P ，并使)()(i i x f x P =对n i ,...,1,0=成立.这样确定的)(x P 就是我们希望得到的插值函数.
对于上述的)(x f y =的函数插值，前人们已经做过很多的研究，典型的有多项式插值、拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值等.但是对于二元函数),(y x f z =的插值还没有一个较广的研究.
（二）.二元函数插值研究的意义
1. 理论意义：
一元函数插值主要有基函数法、拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值等，但是对于二元函数插值乃至n 元插值是不能直接在一元函数插值的基础上直接推广的。
多元插值是一个活跃的研究领域，至今已有非常多的多元插值公式，但是可供利用的公式十分少。
所以我们研究二元函数的插值时，可以为n 元函数插值提供新的研究思路，有助于复杂函数的偏导数的求解，也可以是对插值理论的完善。
2. 实际意义：
一元函数插值问题主要是平面的，而二元函数插值是在三维空间上的，这对我们构造三维空间图像有非常大的作用.例如，在现代机械工业中用计算机控制加工机械零件，根据设
计可给出零件外形曲线的的某些型值点),...,1,0)(,(n i y x i i =,加工时为控制每步走刀及步数，就要算出零件外形曲线其它点的函数值，才能加工出外表光滑的零件，这就是求函数插值问题，利用二元函数插值也可以方便解决。
在许多实际问题中需要建立模拟曲面以及描述一些科学现象的曲面拟合等等，而我们很难用一个函数来表示其内在规律。
二.研究综述
目前，对于一元函数插值的研究已经接近完整，对于二元函数的插值研究是比较少的。
只有少数几篇文章作过基于径向基的二元函数插值研究和其在其他领域的具体应用以及二元函数插值的一些唯一性、存在性、有理逼近等研究。
对于二元函数在某一特定条件下的某种插值方法的研究也是较少的。
整体来说，对于二元函数插值方法的研究就目前来说还是有很大的发展空间的，也是值得我们去探索研究的。
三.研究目标与内容
（一） 研究目标
1． 总结出二元函数插值的基本思想
2． 将一元函数插值中的拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值推广到二元函数
3． 归纳总结二元函数插值的几种方法
4． 二元函数插值方法实现的程序设计
5． 二元函数最小二乘法逼近及误差估计
6． 二元函数的最佳平方逼近
（二） 研究内容
1． 一元拉格朗日插值的构造方法
给定1+n 个节点n x x x ,...,10<<的n 次插值多项式)(x L n ，假定它满足条件n j y x L i i n ,...,1,0,)(==.
2． 二元函数插值的基本思想
将一元拉格朗日插值的构造方法推广到二元函数，但实际问题中给的节点
),,(i i i z y x 的个数很多，如果用一个整片多项式去逼近，所得到的二元多项式的次数一定比较高，效果并不好，故采用类似于一元函数的分段逼近，用分片二元多项式去逼近.
3． 二元函数插值的几种方法
主要研究分片双一次插值、分片不完全双二次插值、矩形域上分片双二次插值等方
法.
4．二元函数最佳平方逼近
我们已经研究了一元函数在某一区间上一般的最佳平方逼近问题.对于多变量函数离散情况下的最小平方逼近可以仿照一元函数的逼近方法一样处理。
5．最小二乘拟合程序设计及相关程序设计
在现代高科技的背景下，计算机应用无处不在，新事物的出现需要理论支持外，更需要其可以进行高效快捷运作，而二元函数的计算是相当复杂的，故程序设计是必须的，且计算机程序可以给出三维立体图形，更加直观。
四.研究方法
类比法：对于一元函数插值，前人已经给出了十分完备的理论支持及研究，对于二元函数的研究，主要从一元函数出发，做些推广和类比。
实验法：已经给出二元函数插值的相关理论之后，我们需要利用数据对其的可行性与操作性及误差进行评估。
五.研究步骤
1．准备阶段：
通过各种渠道获取大量的相关文章书籍，认真仔细地阅读思考，将对自己有用的语句段落进行批注，摘抄。
在文献研究的基础上，提供研究的思路，制定课题研究方案。
2．实施阶段
根据研究思路，进行具体的研究探索，发现问题及时调整，在完成理论部分后，进行程序设计
3．总结阶段
对自己的研究成果撰写成文，进行总结
六．参考文献
[1]刘春凤，何亚丽.应用数值分析[M].北京：冶金工业出版社，2005.15～68
[2]梁学章，李强.多元逼近[M].北京：国防工业出版社，2005.21～22
[3]李岳生，黄友谦.数值逼近[M].北京：人民教育出版社，1978.360～367
[4]（德）梅拉德斯（Meinardus,G.）. 函数逼近[M].高等教育出版社
[5]李庆扬，关治，白峰山.数值计算原理[M]. 北京：清华大学出版社
[6]徐士良.数值方法与计算机实现[M].北京：清华大学出版社
[7]徐士良.数值分析算法描述与习题解答[M].机械工业出版社
[8]王仁宏.无界函数逼近[M].科学出版社
[9]王仁宏.数值有理逼近[M].上海科学技术出版社
[10]曹立凡，史万明.数值分析[M].北京：北京工业学院出版社，1986.403～404
[11]姜健飞，胡良剑，唐俭.数值分析及其MATLAB实验[M].北京：科学出版社，2004.103 ～104 [12]李宁，黄有度.一种特殊形式的二元插值问题[A].大学数学，2004，6：1～3合肥工业大学理学院，合肥230009
[13]朱春钢.二元线性样条函数插值.应用数学[A]，2006，19（3）：575～579大连理工大学应用数学系，辽宁大连116024
[14]段立红，常玉宝.修正的拉格朗日插值算子的最佳逼近阶[A].吉林师范大学学报，2005，1：1
[15]刘大健，卫力，叶强.二元函数插值法校正传感器非线性及温度漂移.仪表技术[J]，2001年第5期，中国计量学院信息工程分院，浙江杭州310034
[16]LI Su.On Triangle Interpolation Approximation of the Double Continuous Periodic Function.Journal of Inner Mongolia Normal University(Natural Science Edition).2005,34(1): 2～3
[17] A Note on the Bivariate Lagrange Interpolation Polynomials Dan Bărbosu American Journal of Applied Sciences 2008-12 DOAJ[J]。