一位插值、二维插值
二维插值 原理
二维插值原理
二维插值是一种基于已知数据点的二维曲线或曲面估计方法。
它广泛应用于图像处理、地理信息系统、物理模拟等领域。
在二维插值中，我们假设已知的数据点位于一个二维平面上，每个数据点都有一个对应的数值。
我们的目标是通过这些已知数据点，来推断出未知位置上的数值。
常见的二维插值方法包括线性插值、拉格朗日插值和样条插值等。
线性插值是最简单的二维插值方法之一。
它假设在两个相邻数据点之间，数值的变化是线性的。
我们可以通过这两个相邻数据点之间的线段来估计未知位置上的数值。
拉格朗日插值则使用一个多项式来拟合已知数据点。
该多项式会经过所有已知数据点，并通过它们来估计未知位置上的数值。
它的优点是能够完全通过已知数据点来插值，但在高维情况下容易产生过拟合问题。
样条插值是一种基于局部插值的方法。
它通过在每个局部区域上拟合一个低阶多项式来实现插值。
这些局部多项式在相邻区域处满足平滑和连续性条件，从而得到整体平滑的插值结果。
除了上述方法外，还有其他一些二维插值方法，如反距离加权插值和克里金插值等。
总的来说，二维插值通过已知数据点之间的关系来估计未知位置上的数值。
不同的插值方法在计算复杂度、精度和平滑性等方面存在差异，根据具体应用场景的需求，选择合适的插值方法是非常重要的。
matlab插值方法
x 129 140 103.5 88 185.5 195 105
y 7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5
1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图.
输入以下命令： x=1:5; y=1:3; temps=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86]; mesh(x,y,temps) 2．以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值.
被插值点 的函数值
插值 节点
被插值点 插值方法
‘nearest’ 最邻近插值 ‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 缺省时, 双线性插值
要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取 行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超出 x0,y0的范围。
26
例：测得平板表面3*5网格点处的温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。
例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温 度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31， 30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度 值。
hours=1:12; temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; h=1:0.1:12; t=interp1(hours,temps,h,'spline'); (直接输出数据将是很多的) plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:') %作图 xlabel('Hour'),ylabel('Degrees Celsius’)
二维插值算法原理
二维插值算法原理二维插值算法是一种在二维空间中根据已知的数据点来估计未知位置上的数值的算法。
它广泛应用于图像处理、地理信息系统和数值模拟等领域。
其原理是基于数学上的连续性和局部平滑性假设，通过利用已知数据点的信息，对未知位置上的数值进行估计。
二维插值算法的基本思想是根据已知的数据点的数值和位置，构建出一个合适的数学模型。
对于每一个未知位置，通过模型可以预测其数值。
这个模型常常是一个多项式函数或者其它形式的连续函数，以便于能够在整个二维空间中插值。
其中最常见的二维插值算法是双线性插值。
双线性插值法假设每个未知位置上的数值都是由其相邻四个已知点的数值线性插值得到的。
具体而言，假设已知的四个点为A、B、C、D，它们的数值分别为f(A)、f(B)、f(C)、f(D)。
对于未知位置P，可以通过以下公式计算得到其数值f(P)：f(P) = (1 - u)(1 - v) f(A) + u(1 - v) f(B) + (1 - u)v f(C) + uv f(D)其中，u和v是分别表示未知位置在水平和垂直方向上的相对位置的权重。
这种方法实现简单，计算效率高，可以较为准确地插值出未知位置上的数值。
除了双线性插值之外，还有其它一些更复杂的二维插值算法，如三次样条插值、Kriging插值等。
这些算法在不同的应用场景下具有不同的优势。
例如，三次样条插值在处理光滑函数时效果较好，而Kriging插值则适用于处理具有空间相关性的数据。
选择适合的插值算法可以提高插值结果的质量。
在实际应用中，二维插值算法在处理图像、地理数据和模拟结果等方面具有重要意义。
通过插值算法，可以将有限的离散数据转换为连续的函数，从而对未知位置上的数值进行预测和分析。
同时，它也为数据的可视化提供了基础，使得我们能够更直观地理解数据的分布和变化规律。
总之，二维插值算法是一种有指导意义的数学工具，它通过在二维空间中根据有限的已知数据点估计未知位置上的数值。
Matlab中插值函数汇总和使用说明
MATLAB中的插值函数命令1：interp1功能：一维数据插值（表格查找）。
该命令对数据点之间计算内插值。
它找出一元函数f(x)在中间点的数值。
其中函数f(x)由所给数据决定。
x：原始数据点Y：原始数据点xi：插值点Yi：插值点格式(1) yi = interp1(x,Y,xi) 返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x 与Y 的内插值决定。
参量x 指定数据Y 的点。
若Y 为一矩阵，则按Y 的每列计算。
yi 是阶数为length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。
(2) yi = interp1(Y,xi) 假定x=1:N，其中N 为向量Y 的长度，或者为矩阵Y 的行数。
(3) yi = interp1(x,Y,xi,method) 用指定的算法计算插值：’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；’linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算；’spline’：三次样条函数插值。
对于该方法，命令interp1 调用函数spline、ppval、mkpp、umkpp。
这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函数。
命令spline 用它们执行三次样条函数插值；’pchip’：分段三次Hermite 插值。
对于该方法，命令interp1 调用函数pchip，用于对向量x 与y 执行分段三次内插值。
该方法保留单调性与数据的外形；’cubic’：与’pchip’操作相同；’v5cubic’：在MATLAB 5.0 中的三次插值。
对于超出x 范围的xi 的分量，使用方法’nearest’、’linear’、’v5cubic’的插值算法，相应地将返回NaN。
对其他的方法，interp1 将对超出的分量执行外插值算法。
(4)yi = interp1(x,Y,xi,method,'extrap')对于超出x 范围的xi 中的分量将执行特殊的外插值法extrap。
(5)yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval)确定超出x 范围的xi 中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN 或0。
simulink中查表模块的用法
simulink中查表模块的用法Simulink中查表模块的用法Simulink是一款广泛应用于系统建模与仿真的软件，其中查表模块是其常用的一个功能模块之一。
查表模块可以将输入信号映射到输出信号，通过预先定义好的表格来实现非线性函数的计算。
在本文中，我们将详细介绍Simulink中查表模块的用法。
一、查表模块概述1.1 查表模块的作用查表模块可以将输入信号映射到输出信号，通过预先定义好的表格来实现非线性函数的计算。
在实际应用中，我们常常需要对非线性函数进行处理，例如三角函数、指数函数等等。
此时就可以使用查表模块来进行处理。
1.2 查表模块的分类在Simulink中，查表模块主要分为两类：一维查找和二维插值。
其中一维查找主要适用于单变量情况下进行处理；而二维插值则适用于多变量情况下进行处理。
二、一维查找2.1 一维查找原理在一维情况下，我们可以将输入信号映射到输出信号上。
具体来说，在一维情况下，我们需要定义一个输入向量和一个输出向量，并且将它们存储在一个表格中。
当输入信号进入查表模块时，查表模块会根据输入信号在输入向量中的位置，找到对应的输出向量中的值，并将其作为输出信号输出。
2.2 一维查找实现在Simulink中，我们可以使用“Lookup Table”模块来实现一维查找。
具体步骤如下：（1）打开Simulink软件，在工具栏中选择“Sinks”下的“Scope”模块和“Sources”下的“Sine Wave”模块，并将它们连接起来。
（2）在工具栏中选择“Lookup Tables”下的“1-D L ookup Table”模块，并将其连接到Sine Wave模块的输出端口上。
（3）打开1-D Lookup Table模块，设置输入向量和输出向量，并保存设置。
（4）运行Simulink程序，观察Scope窗口中的波形图，即可看到一维查找结果。
三、二维插值3.1 二维插值原理在多变量情况下，我们需要使用二维插值来进行处理。
深入理解插值与卷积,1维插值,2维插值
a = 0.25 (a~c)
a = 1 (d~f)
a = 1.75 (g~i)
a = 0.5(j~l)
不同的a取值对于三次插值的效果。
•16.3.3 二维插值 •基本思想：先在某一维上进行一维插值，然后对这个中间结果的另外 一维进行一维插值。 •二维最近邻插值 •通过对x和y坐标分别取整，可以得到举例给定的连续点(x0,y0)最近的像 •素。
•16.3.2 以卷积方式描述插值 •对连续信号的重建可以描述为线性卷积运算。一般地，可以将插值表达 为给定离散函数g(u)和一连续插值内核w(x)的线性卷积。
• 可以理解为对离散函数的线性求和。 • 一维最近邻内插的插值内核为：
Байду номын сангаас
•线性插值的插值内核为：
最近邻插值(a-c)
线性插值(d-f)
•立方插值的插值内核为：
16.3 插值
•插值是估计采样函数或者信号在连续位置处的值，或者试图从一离散样 本集合重建原始连续函数的方法。 •16.3.1 一维插值方法 •为了更好地说明问题，首先处理一维情况，如下图所示。
•有一些简单的函数可以用来对离散函数在任意的连续位置处进行插值。
•最近邻插值 •将连续坐标x近似为最近的整数值u0，并且用样本值g(u0)作为估计的函 数值。下图(a)为其示例。
•线性插值 •连续坐标x的估计值为最近两个样本g(u0)和g(u0+1)的加权求和的形式。 •下图(b)是其示例。
•数值计算中的三次Hermite插值 •给定离散点处的导数值和离散点处的函数值，可以在该离散点之间进行 插值，从而得到一个分段插值函数。该函数满足c1连续。这种插值方式 称为Hermite插值。以多项式构造插值函数则该多项式最多为3次。 •将该多项式写为 • f(x) =ax3 +bx2 + cx + d •例：求离散点0和离散点1之间的插值函数值： •1：约束条件 • f(0)= d; f(1)= a + b + c + d; • f’(0)=c； f’(1)=3a + 2b + c •2：求解上述四个方程，可以得到a,b,c,d的值从而求得插值函数 •三次插值（立方插值） •三次插值（立方插值）与Hermite插值之间的差别在于离散点处的导数 •值并不是事先已知的，而是通过相邻离散点之间的差分得到,如下式所 示 •f‘(0) = α[f(1)-f(-1)]，f'(1) = α[f(2)-f(0)] •在上式中α是参数， α控制边缘处的锐化程度。当α =0.5时该插值又称为 •Catmull-Rom插值。
二维插值算法原理
二维插值算法是一种用于在二维空间中估计未知数据点的方法。
它基于已知数据点的值和位置来推断未知数据点的值。
以下是常见的二维插值算法原理之一：双线性插值。
双线性插值是一种基于四个最近邻数据点进行估计的方法。
假设我们有一个二维网格，已知在四个顶点上的数据点的值和位置。
要估计某个位置处的未知数据点的值，双线性插值算法按照以下步骤进行：
1.找到目标位置的最近的四个已知数据点，通常称为左上、右上、左下和右下。
2.计算目标位置相对于这四个已知数据点的相对位置权重。
这可以通过计算目标位置到每个已知数据点的水平和垂直距离，然后根据距离来计算相对权重。
3.根据权重对四个已知数据点的值进行加权平均。
这里的加权平均可以使用线性插值进行计算。
4.得到目标位置的估计值作为插值结果。
双线性插值算法基于以下两个假设：
-在目标位置的附近，插值曲面在水平和垂直方向上是一致的，即呈现线性关系。
-已知数据点之间的变化不会很剧烈，即目标位置与附近已知数据点的值之间存在一定的连续性。
双线性插值算法是一种简单而有效的二维插值方法，适用于平滑、连续变化的数据。
但对于非线性、不规则的数据分布，或者存在边界情况的情况下，可能需要使用其他更复杂的插值算法来获得更准确的估计结果。
二维插值
用MATLAB作网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点 的函数值
插值 节点
被插值点
插值方法
‘nearest’ 最邻近插值 ‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 缺省时, 双线性插值
要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取 行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超出 x0,y0的范围。
例：测得平板表面3*5网格点处的温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。
1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图. 输入以下命令： x=1:5; y=1:3; temps=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86]; mesh(x,y,temps) 2．以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值.
x
O
将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次 简记为： f (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4
分两片的函数表达式如下：
第一片(下三角形区域)： (x, y)满足
插值函数为： f ( x, y) f1 (f 2 f1 )( x x i ) (f 3 f 2 )( y y j )
f=a1+a2/x + + +
f=aebx +
+
-bx f=ae + +
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（1）测量数据的数据量较小并且数据值是准确的， 或者基本没有误差，这时我们一般用插值的方法来 解决问题。 （2）测量数据的数据量较大或者测量值与真实值 有误差，这时一般用曲线拟合的方法来解决问题。
在MATLAB中，无论是插值还是拟合，都有相应的 命令来处理。本实验讨论插值。
一维插值 已知离散点上的数据集 {( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),,( xn , yn )}，即 已知在点集 X {x1, x2 ,, xn}上的函数值 Y {y1, y2 ,, yn}， 构造一个解析函数（其图形为一曲线）通过这些点， 并能够求出这些点之间的值，这一过程称为一维插 值。完成这一过程可以有多种方法，我们现在 在MATLAB中，无论是插值还是拟合，都有相应的 命令来处理。本实验讨论插值。
method可以下列方法之一： ‘nearest’：最近邻点插值，直接完成计算； ‘spline’：三次样条函数插值； ‘linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算 ‘cubic’：三次函数插值；
MATLAB命令：Zi=interp2(X,Y,Z,Xi,Yi,method) 该命令用指定的算法找出一个二元函数 z f ( x, y ) ， 然后以 f ( x, y) 给出 ( x, y ) 处的值。返回数据矩阵Zi， Xi，Yi是向量，且必须单调，Zi和meshgrid(Xi,Yi) 是同类型的。
服务年限 年份 1950 1960 1970 1980 1990
10 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633
20 169.592 195.072 239.092 273.706 370.281
30 187.652 250.287 322.767 426.730 598.243
x=1900:2010; y=interp1(year,product,x,'spline'); plot(year,product,'o',x,y); 计算结果为：p1995=253.2278 如果用线性插值，则程序的后四行改为： 解：程序如下 year=1900:10:2010; product=[75.995,91.972,105.711,123.203, 131.699,150.697,179.323,203.212,226.505,249.6 33,256.344,267.893] p1995=interp1(year,product,1995,'spline')
这两种计算方法得到的数据有微小的差异，这种差 异我们从两个图形上也能够看到，主要表现在节点 （那些绘制成圆点的点）的附近。前者是光滑的， 后者有角点出现。
p1995=interp1(year,product,1995,'linear') x=1900:2010; y=interp1(year,product,x,'linear'); plot(year,product,'o',x,y); 计算结果为：p1995=252.9885
method可以下列方法之一： ‘nearest’：最近邻点插值，直接完成计算； ‘spline’：三次样条函数插值； ‘linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算 ‘cubic’：三次函数插值；
例2：已知1950年到1990年间每隔10年，服务年限 从10年到30年每隔10年的劳动报酬表如下： 某企业工作人员的月平均工资（元）
试计算1975年时，15年工龄的工作人员平均工资。
解：程序如下： years=1950:10:1990; service=10:10:30; wage=[150.697 169.592 187.652 179.323 195.072 250.287
1960 1970 1980 1990
一维插值 已知离散点上的数据集 {( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),,( xn , yn )}，即 已知在点集 X {x1 , x2 ,, xn }上的函数值 Y { y1 , y2 ,, yn }， 构造一个解析函数（其图形为一曲线）通过这些点， 并能够求出这些点之间的值，这一过程称为一维插 值。完成这一过程可以有多种方法，我们现在利用 MATLAB提供的函数interp1，这个函数的调用格式 为： yi=interp1(X,Y,xi,method) 该命令用指定的算法找出一个一元函数 y f ( x) ， 然后以 f ( x) 给出 x 处的值。
例3：设有数据x=1,2,3,4,5,6，y=1,2,3,4，在由x， y构成的网格上，数据为： 12,10,11,11,13,15 16,22,28,35,27,20 18,21,26,32,28,25 20,25,30,33,32,20 画出原始网格图和将网格细化为间隔为0.1后的插 值网格图。 解：程序为： x=1:6; y=1:4;
这两种计算方法得到的数据有微小的差异，这种差 异我们从两个图形上也能够看到，主要表现在节点 （那些绘制成圆点的点）的附近。前者是光滑的， 后者有角点出现。
二维插值 已知离散点上的数据集 {( x1, y1, z1 ),( x2 , y2 , z2 ),,( xn , yn , zn )} 即已知在点集 {( x1, y1 ),( x2 , y2 ),,( xn , yn )} 上的函数值 {z1 , z2 ,, zn } ，构造一个解析函数 z f ( x, y) （其图形 为一曲面）通过这些点，并能够求出这些已知点以 外的点的函数值，这一过程称为二维插值。 MATLAB命令：Zi=interp2(X,Y,Z,Xi,Yi,method) 该命令用指定的算法找出一个二元函数 z f ( x, y) ， 然后以 f ( x, y) 给出 ( x, y ) 处的值。返回数据矩阵Zi， Xi，Yi是向量，且必须单调，Zi和meshgrid(Xi,Yi) 是同类型的。
x=1900:2010; y=interp1(year,product,x,'spline'); plot(year,product,'o',x,y); 计算结果为：p1995=253.2278 如果用线性插值，则程序的后四行改为： p1995=interp1(year,product,1995,'linear') x=1900:2010; y=interp1(year,product,x,'linear'); plot(year,product,'o',x,y); 计算结果为：p1995=252.9885
实验十二
实验数据的插值
一、实验目的
学会MATLAB软件中利用给定数据进行插值运算的 方法。
二、相关知识
在生产和科学实验中，自变量 x 与因变量 y 间的函 数关系 y f ( x) 有时不能写出解析表达式，而只能 得到函数在若干点的函数值或导数值，或者表达式 过于复杂需要较大的计算量而只能计算函数在若干 点的函数值或导数值，当要求知道其它点的函数值 时，需要估计函数值在该点的值。 为了完成这样的任务，需要构造一个比较简单的函 数 y ( x) ，使函数在观测点的值等于已知的值，或 使函数在该点的导数值等于或者接近已知的值，寻 找这样的函数 y ( x) 有很多方法。根据测量数据 的类型有以下两类处理观测数据的方法。
例3：设有数据x=1,2,3,4,5,6，y=1,2,3,4，在由x， y构成的网格上，数据为： 12,10,11,11,13,15 16,22,28,35,27,20 18,21,26,32,28,25
203.212 239.092 322.767
226.505 273.706 426.730 249.633 370.281 598.243] w=interp2(service,years,wage,15,1975) 计算结果为：235.6288
179.323 203.212 226.505 249.633
195.072 239.092 273.706 370.281
250.287 322.767 426.730 598.243
试计算1975年时，15年工龄的工作人员平均工资。
解：程序如下： years=1950:10:1990; service=10:10:30; wage=[150.697 169.592 187.652 179.323 195.072 250.287 203.212 239.092 322.767 226.505 273.706 426.730 249.633 370.281 598.243] w=interp2(service,years,wage,15,1975) 计算结果为：235.6288
xi 可以是一个标量，也可以是一个向量，是向量时， 必须单调，method可以下列方法之一： ‘nearest’：最近邻点插值，直接完成计算； ‘spline’：三次样条函数插值； ‘linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算
利用MATLAB提供的函数interp1，这个函数的调用 格式为：
例1：已知某产品从1900年到2010年每隔10年的产 量为：75.995, 91.972, 105.711,123.203, 131.699, 150.697, 179.323, 203.212, 226.505, 249.633, 256.344, 267.893，计算出1995年的产量，用三次 样条插值的方法，画出每隔一年的插值曲线图形， 同时将原始的数据画在同一图上。 解：程序如下 year=1900:10:2010; product=[75.995,91.972,105.711,123.203, 131.699,150.697,179.323,203.212,226.505,249.6 33,256.344,267.893] p1995=interp1(year,product,1995,'spline')