曲线拟合与插值3二维插值
数值计算方法插值与拟合
数值计算方法插值与拟合数值计算方法在科学计算和工程应用中起着重要的作用，其中插值和拟合是其中两个常用的技术。
插值是指通过已知的离散数据点来构造出连续函数或曲线的过程，拟合则是找到逼近已知数据的函数或曲线。
本文将介绍插值和拟合的基本概念和常见的方法。
一、插值和拟合的基本概念插值和拟合都是通过已知数据点来近似表达未知数据的方法，主要区别在于插值要求通过已知数据点的函数必须经过这些数据点，而拟合则只要求逼近这些数据点。
插值更加精确，但是可能会导致过度拟合；拟合则更加灵活，能够通过调整参数来平衡拟合精度和模型复杂度。
二、插值方法1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法，通过已知数据点构造出线段，然后根据插值点在线段上进行线性插值得到插值结果。
2. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式插值的方法，通过已知数据点构造出一个多项式，并根据插值点求解插值多项式来得到插值结果。
3. 分段线性插值分段线性插值是一种更加灵活的插值方法，通过将插值区间分成若干小段，然后在每个小段上进行线性插值。
三、拟合方法1. 最小二乘法拟合最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化实际观测点和拟合函数之间的残差平方和来确定拟合函数的参数。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法，通过选择合适的多项式次数来逼近已知数据点。
3. 曲线拟合曲线拟合是一种更加灵活的方法，通过选择合适的曲线函数来逼近已知数据点，常见的曲线包括指数曲线、对数曲线和正弦曲线等。
四、插值与拟合的应用场景插值和拟合在实际应用中具有广泛的应用场景，比如图像处理中的图像重建、信号处理中的滤波器设计、金融中的风险评估等。
五、插值与拟合的性能评价插值和拟合的性能可以通过多种指标进行评价，常见的评价指标包括均方根误差、相关系数和拟合优度等。
六、总结插值和拟合是数值计算方法中常用的技术，通过已知数据点来近似表达未知数据。
插值通过已知数据点构造出连续函数或曲线，拟合则找到逼近已知数据的函数或曲线。
曲线拟合与插值方法的数学原理
曲线拟合与插值方法的数学原理现代科学技术的发展离不开数学的支持，而在数学领域中，曲线拟合与插值方法是一种常用的数学原理。
本文将从数学角度探讨曲线拟合与插值方法的原理及其应用。
曲线拟合是指利用已知的数据点，通过一定的数学方法找到与这些数据点最为契合的曲线。
在实际应用中，往往通过曲线拟合方法来预测未知数值，从而达到分析数据、优化设计等目的。
而曲线插值则是指通过已知数据点之间的光滑曲线来逼近实际函数的方法。
曲线插值要求插值函数通过所有给定的数据点，从而保证精确度要求。
曲线拟合与插值方法的数学原理主要涉及到数值分析、逼近论、微积分等数学知识。
在曲线拟合中，常用的方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合、最小二乘非线性拟合等。
最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来确定未知参数的优化方法，能够有效降低数据测量误差对拟合结果的影响。
在曲线插值方法中，常用的技术包括拉格朗日插值、线性插值、样条插值等。
这些方法通过不同的插值基函数来逼近实际函数，其中拉格朗日插值是一种广泛应用的方法，它通过已知数据点构造一个插值多项式，从而达到对函数的逼近效果。
曲线拟合与插值方法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在工程领域中，曲线拟合与插值方法能够对大量的实验数据进行处理，从而找到数据背后的规律，为工程设计提供支持。
在金融领域中，曲线插值方法被广泛用于股票市场走势的分析与预测，通过对历史数据的插值拟合，为投资决策提供参考。
此外，在地理信息系统、生物医学和社会科学等领域，曲线拟合与插值方法也有着重要的应用价值。
总之，曲线拟合与插值方法作为一种重要的数学原理，在现代科学技术领域中有着广泛的应用。
通过对曲线拟合与插值方法的深入研究和探讨，我们能够更好地理解数据背后的规律，为科学研究和工程实践提供强大的支持。
希望本文能够对读者对曲线拟合与插值方法有所启发和帮助。
常用数值分析方法3插值法与曲线拟合
p1(x)y1yx2 2 xy11(xx1)（变形）
xx1xx22y1xx2xx11y2
A1(x)
A2(x)
插值基函数
X.Z.Lin
3.2.3 抛物线插值
已知：三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3） 求：其间任意 x 对应的 y 值
y (x3, y3)
y=f(x) (x2, y2) y=p2(x)
（1）算术平均值
n
xi
x i1 n
（2）标准偏差
n xi2 N xi 2 n
i1
i1
n1
（3）平均标准偏差
E
n
（4）剔出错误数据??可可疑疑数数 据据
Q 数据排序（升）：x1，x2，…，xn；
最大与最小数据之差；
值 可疑数据与其最邻近数据之间的差
法 求Q值：
Qxnxn1 或 Qx2x1
3.1 实验数据统计处理
3.1.1 误差
系统误差 经常性的原因
影响比较恒定
偶然误差
偶然因素
正态分布规律
校正
过失误差
统计分析
-3σ -2σ -σ 0 σ 2σ 3σ 图6.1 平行试验数据的正态分布图
操作、计算失误
错误数据
剔出
21:39 07.02.2021
2/37
X.Z.Lin
3.1.2 数据的统计分析
A3(x)(x(x3 xx11))((xx3xx22))
21:39 07.02.2021
9/37
X.Z.Lin
3.2.4 Lagrange插值的一般形式
已知：n点（x1，y1）、（x2，y2）……（xn，yn） 求：其间任意 x 对应的 y 值
插值法和曲线拟合的主要差异
插值法和曲线拟合的主要差异
插值法和曲线拟合是数据处理和分析中常用的方法，它们的主要差异如下：
1. 目标不同：
- 插值法的主要目标是通过已知数据点的函数值推断未知数据点的函数值，以填充数据的空缺部分或者进行数据的重构。
- 曲线拟合的主要目标是通过已知数据点拟合出一条函数曲线，以描述数据点之间的趋势或模式。
2. 数据使用方式不同：
- 插值法使用已知数据点的函数值作为输入，通过构造插值函数来推断未知数据点的函数值。
- 曲线拟合使用已知数据点的函数值作为输入，并通过选择合适的拟合函数参数，使得拟合函数与数据点尽可能接近。
3. 数据点要求不同：
- 插值法要求已知数据点间的函数值比较准确，以保证插值函数的质量，并要求数据点间的间距不会过大，避免出现过度插值或者不稳定的现象。
- 曲线拟合对于数据点的要求相对较松，可以容忍噪声、异常值等因素，因为它不需要将函数曲线完全通过所有数据点。
4. 应用场景不同：
- 插值法常见应用于信号处理、图像处理等领域，可以用于填充缺失数据、图像重构等任务。
- 曲线拟合常见应用于数据分析、模型建立等领域，可以用
于描述数据间的趋势、拟合科学模型等。
综上所述，插值法和曲线拟合在目标、数据使用方式、数据点要求和应用场景等方面存在明显的差异。
曲线拟合和插值运算原理和方法
实验10 曲线拟合和插值运算一． 实验目的学会MATLAB 软件中软件拟合与插值运算的方法。
二． 实验内容与要求在生产和科学实验中，自变量x 与因变量y=f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。
当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
要根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=t (x),使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数t(x),办法是很多的。
根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法。
（1） 测量值是准确的，没有误差，一般用插值。
（2） 测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。
MATLAB 中提供了众多的数据处理命令，有插值命令，拟合命令。
1.曲线拟合已知离散点上的数据集[(1x ,1y ),………(n x ,n y )]，求得一解析函数y=f (x),使f(x)在原离散点i x 上尽可能接近给定i y 的值，之一过程叫曲线拟合。
最常用的的曲线拟合是最小二乘法曲线拟合，拟合结果可使误差的平方和最小，即使求使21|()|n i ii f x y =-∑ 最小的f(x).格式：p=polyfit(x,Y ,n).说明：求出已知数据x,Y 的n 阶拟合多项式f(x)的系数p ，x 必须是单调的。
[例 1.9]>>x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; %给出数据点的x 值>>y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; %给出数据点的y 值>>p=polyfit (x,y,2); %求出二阶拟合多项式f(x)的系数>>x1=0.5:0.05:3.0; %给出x 在0.5~3.0之间的离散值>>y1=polyval(p,1x ); %求出f(x)在1x 的值>>plot(x,y,‟*r ‟, 11,x y ‟-b ‟) %比较拟合曲线效果计算结果为：p=0.5614 0.8287 1.1560即用f(x)=0.56142x +0.8287x+1.1560拟合已知数据，拟合曲线效果如图所示。
凸轮曲线优化方法
凸轮曲线优化方法主要有两种：三次样条曲线拟合插值法和最小二乘法拟合插值法。
三次样条曲线拟合插值法的插值曲线能够通过所有已知的离散点，但是只能反映被插值函数的局部性质。
因为该曲线必须通过给出的离散点，可能造成两个离散点之间的曲率变化过快，曲线不够平滑，因此适合凸轮磨削之后的局部优化，较多应用于凸轮磨的修整系统。
最小二乘法拟合插值法的拟合曲线不能通过所给的离散点，只要求在每个离散点处偏差的平方和最小，反映了被插值函数的总体趋势。
使用这种方法拟合得到的曲线可以过滤掉原始升程数据中的部分误差，既能反映数据的总体分布，又不会出现局部较大的波动，更能反映被插值函数的特性，因此适合在凸轮磨削之前进行加工过程曲线的优化。
在选择优化方法时，需要综合考虑具体的应用场景和需求，以达到最佳的效果。
《数值分析》第5章 曲线拟合与函数插值
例如用函数
y Aebx
(5.8)
去拟合一组给定的数据，其中 A和 b是待定参这数时. ，可以在 (5.8) 式两端取
对数，得
ln y ln A bx
记 y ln y，a ln A，则上式可写成 y a b. x这样，仍可用最小二乘法解出
和 a (从而b 也就确定了 和 A) ，于b 是得到拟合函数
区间 [a,b]上是存在的，但往往不知道其具体的解析表达式，只能通过观察、
测量或实验得到一些离散点上的函数值.
我们希望对这种理论上存在的函数用一个比较简单的表达式近似地给出整体 上的描述.
此外，有些函数虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论 分析和数值计算，我们同样希望构造一个既能反映函数特性又便于计算的简 单函数，近似替代原来的函数.
图5-1 人口增长的线性模型
5.1.1 最小二乘问题
设人口 y 与年份 x之间的函数关系为
y a bx
（5.1）
其中 a和 b 是待定参数. 由图5-1可知， (xi , yi并) 不是严格地落在一条直线上，
因此，不论怎样选择 和 a，都b不可能使所有的数据点
(x均i ,满yi )足关系
式 (5.1) .
s0 10, s1 545, s2 29785, u0 18.09, u1 987.78
于是正规方程组为
10 545 a 18.09 545 29785 b 987.78
5.1.2 最小二乘拟合多项式
解得 a 0.570，4 b 0.02，27于是 A ea 1.76，90所求拟合函数为
21 91
441
a1
163
91 441 2275 a2 777
解得 a0 26.8，a1 14.08，57 a2 ，2因此所求拟合多项式为
插值与拟合的MATLAB实现
插值与拟合的MATLAB实现插值和拟合是MATLAB中常用的数据处理方法。
插值是通过已知数据点之间的数值来估计未知位置的数值。
而拟合则是通过已知数据点来拟合一个曲线或者函数，以便于进行预测和分析。
插值方法：1.线性插值：使用MATLAB中的interp1函数可以进行线性插值。
interp1函数的基本语法为：yinterp = interp1(x, y, xinterp)，其中x和y为已知数据点的向量，xinterp为待插值的位置。
函数将根据已知数据点的线性关系，在xinterp位置返回相应的yinterp值。
2.拉格朗日插值：MATLAB中的lagrangepoly函数可以使用拉格朗日插值方法。
lagrangepoly的基本语法为：yinterp = lagrangepoly(x, y, xinterp)，其中x和y为已知数据点的向量，xinterp为待插值的位置。
函数将根据拉格朗日插值公式，在xinterp位置返回相应的yinterp值。
3.三次样条插值：使用MATLAB中的spline函数可以进行三次样条插值。
spline函数的基本语法为：yinterp = spline(x, y, xinterp)，其中x和y为已知数据点的向量，xinterp为待插值的位置。
函数将根据已知数据点之间的曲线关系，在xinterp位置返回相应的yinterp值。
拟合方法：1.多项式拟合：MATLAB中的polyfit函数可以进行多项式拟合。
polyfit的基本语法为：p = polyfit(x, y, n)，其中x和y为已知数据点的向量，n为要拟合的多项式的次数。
函数返回一个多项式的系数向量p，从高次到低次排列。
通过使用polyval函数，我们可以将系数向量p应用于其他数据点，得到拟合曲线的y值。
2.曲线拟合：MATLAB中的fit函数可以进行曲线拟合。
fit函数的基本语法为：[f, goodness] = fit(x, y, 'poly2')，其中x和y为已知数据点的向量，'poly2'表示要拟合的曲线类型为二次多项式。
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二维插值
二维插值是基于与一维插值同样的基本思想。
然而，正如名字所隐含的，二维插值是对两变量的函数
z=f(x, y)进行插值。
为了说明这个附加的维数，考虑一个问题。
设人们对平板上的温度分布估计感兴趣，给定的温度值取自平板表面均匀分布的格栅。
采集了下列的数据：
» width=1:5;%index for width of plate (i.e.,the x-dimension)
» depth=1:3;%index for depth of plate (i,e,,the y-dimension)
» t emps=[8281808284; 7963616581; 8484828586]%temperature data
temps = 8281808284 7963616581 8484828586
如同在标引点上测量一样，矩阵temps表示整个平板的温度分布。
temps的列与下标depth或y-维相联系，行与下标width或x-维相联系(见图11.6)。
为了估计在中间点的温度，我们必须对它们进行辨识。
» wi=1:0.2:5;%estimate across width of plat e » d=2;%at a depth of 2
» zlinear=interp2(width, depth, temps, wi, d) ;%linear interpolation
» zcubic=interp2(width, depth, temps, wi,d, ' cubic ') ;%cubic interpolation
» plot(wi, zlinear, ' - ' , wi, zcubic)%plot results
» xlabel(' Width of Plate '),y label(' Degrees Celsius ')
» title( [' Temperature at Depth ='num2str(d) ] )
另一种方法，我们可以在两个方向插值。
先在三维坐标画出原始数据，看一下该数据的粗糙程度(见图11.7)。
» mesh(width, depth, temps)%use mesh plot
» xlabel(' Width of Plate '),ylabel(' Depth of Plate ')
» zlabel(' Degrees Celsius '),axis(' ij '),grid
图11.6在深度d=2处的平板温度图11.7平板温度
然后在两个方向上插值，以平滑数据。
» di=1:0.2:3;%choose higher resolut ion for depth
» wi=1:0.2:5;%choose higher resolution for width
» zcubic=interp2(width, depth, temps, wi, di, ' cubic ') ;%cubic
» mesh(wi, di, zcubic)
» xlabel(' Width of Plate '),ylabel(' Depth of Plate ')
» zlabel(' Degrees Celsius '),axis(' ij '),grid
上面的例子清楚地证明了，二维插值更为复杂，只是因为有更多的量要保持跟踪。
interp2的基本形式是interp2(x, y, z, xi, yi, method)。
这里x和y是两个独立变量，z是一个应变量矩阵。
x和y对z的关系是 z(i, :) = f(x, y(i))和z(:, j) = f(x(j), y).
也就是，当x变化时，z的第i行与y的第i个元素y(i)相关，当y变化时，z的第j列与x的第j个元素x(j)相关，。
xi是沿x-轴插值的一个数值数组；yi是沿y-轴插值的一个数值数组。
图11.8二维插值后的平板温度
可选的参数method可以是'linear'，'cubic'或'nearest'。
在这种情况下，cubic不意味着3次样条，而是使用3次多项式的另一种算法。
linear方法是线性插值，仅用作连接图上数据点。
nearest方法只选择最接近各估计点的粗略数据点。
在所有的情况下，假定独立变量x和y是线性间隔和单调的。
关于这些方法的更多的信息，可请求在线帮助，例如，» help interp2，或参阅MATLAB参考手册。