matlab插值曲线拟合
matlab插值法拟合曲线
matlab插值法拟合曲线
在MATLAB中，一维插值函数为interp1()，其调用格式为：
Y1=interp1(X,Y,X1,method)。
其中，X、Y是两个等长的已知向量，分别表示采样点和采样值；X1是一个向量或标量，表示要插值的点；method参数用于指定插值方法，常用的取值有以下四种：
1. linear：线性插值，默认方法。
将与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点的数据。
2. nearest：最近点插值。
选择最近样本点的值作为插值数据。
3. pchip：分段3次埃尔米特插值。
采用分段三次多项式，除满足插值条件，还需满足在若干节点处相邻段插值函数的一阶导数相等，使得曲线光滑的同时，还具有保形性。
4. spline：3次样条插值。
每个分段内构造一个三次多项式，使其插值函数除满足插值条件外，还要求在各节点处具有连续的一阶和二阶导数。
曲线拟合可以使用cftool工具，首先导入X和Y的数据，然后可以选择残差图和置信区间分布图。
(最新整理)matlab实现插值法和曲线拟合
matlab实现插值法和曲线拟合编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（matlab实现插值法和曲线拟合）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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插值法和曲线拟合电子科技大学摘要:理解拉格朗日多项式插值、分段线性插值、牛顿前插,曲线拟合，用matlab编程求解函数,用插值法和分段线性插值求解同一函数，比较插值余项；用牛顿前插公式计算函数，计算函数值；对于曲线拟合，用不同曲线拟合数据。
关键字：拉格朗日插值多项式;分段线性插值；牛顿前插;曲线拟合引言:在数学物理方程中，当给定数据是不同散点时，无法确定函数表达式，求解函数就需要很大的计算量，我们有多种方法对给定的表格函数进行求解，我们这里，利用插值法和曲线拟合对函数进行求解，进一步了解函数性质,两种方法各有利弊，适合我们进行不同的散点函数求解。
正文:一、插值法和分段线性插值1拉格朗日多项式原理对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：其中对应着自变量的位置，而对应着函数在这个位置的取值。
假设任意两个不同的x j都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：[3]拉格朗日基本多项式的特点是在上取值为1，在其它的点上取值为0。
2分段线性插值原理给定区间［a,b], 将其分割成a=x 0 <x 1 <…<x n =b ， 已知函数y= f （x ） 在这些插值结点的函数值为y k =f （x k )（k=0,1，…,n)求一个分段函数I h (x)， 使其满足:（1） I h (x k ）=y k ，(k=0,1，…,n) ；（2) 在每个区间[x k ,x k+1 ］ 上,I h (x ）是个一次函数.易知，I h （x)是个折线函数, 在每个区间［x k ，x k+1 ]上，（k=0，1,…,n ）k 1k k1k 1k k 1k k k ,1)()()(x x x x x f x x x x x f x L --+--=++++，于是, I h (x)在[a,b]上是连续的，但其一阶导数是不连续的。
matlab插值拟合工具箱用法
matlab插值拟合工具箱用法MATLAB插值拟合工具箱是一个强大的工具，用于处理实验或观测数据，并通过插值和拟合方法来推导出连续的曲线。
下面将介绍一些常用的用法和示例。
1. 数据准备：在使用插值拟合工具箱之前，我们需要准备数据。
可以使用`interp1`函数来插值离散数据，该函数接受输入参数为自变量和因变量的两个向量，并返回一个新的插值向量。
2. 线性插值：使用`interp1`函数可以进行线性插值。
例如，假设我们有一组数据点`(x, y)`，其中`x`是自变量，`y`是因变量。
我们可以使用以下代码进行线性插值：```matlabx = [1, 2, 3, 4]; % 自变量y = [2, 4, 1, 3]; % 因变量xi = 1.5; % 插值点yi = interp1(x, y, xi, 'linear'); % 线性插值disp(yi); % 输出插值结果```这将输出在`x=1.5`处的线性插值结果。
3. 拟合曲线：除了插值，插值拟合工具箱还能进行曲线拟合。
我们可以使用`polyfit`函数拟合多项式曲线。
该函数接受自变量和因变量的两个向量，以及所需的多项式阶数，并返回一个多项式对象。
例如，假设我们有一组数据点`(x, y)`，我们可以使用以下代码进行二次曲线拟合：```matlabx = [1, 2, 3, 4]; % 自变量y = [2, 4, 1, 3]; % 因变量n = 2; % 多项式阶数p = polyfit(x, y, n); % 二次曲线拟合disp(p); % 输出拟合多项式系数```这将输出拟合多项式的系数。
4. 绘制插值曲线和拟合曲线：我们可以使用`plot`函数绘制插值曲线和拟合曲线。
假设我们有一组数据点`(x, y)`，我们可以使用以下代码绘制插值曲线和二次拟合曲线：```matlabx = [1, 2, 3, 4]; % 自变量y = [2, 4, 1, 3]; % 因变量xi = 1:0.1:4; % 插值点n = 2; % 多项式阶数yi_interp = interp1(x, y, xi, 'linear'); % 线性插值p = polyfit(x, y, n); % 二次曲线拟合yi_polyfit = polyval(p, xi); % 拟合曲线plot(x, y, 'o', xi, yi_interp, '--', xi, yi_polyfit, '-'); % 绘制数据点、插值曲线和拟合曲线xlabel('x'); % 设置x轴标签ylabel('y'); % 设置y轴标签legend('数据点', '线性插值', '二次拟合'); % 设置图例```这将绘制出数据点、线性插值曲线和二次拟合曲线。
MATLAB中的曲线拟合与插值
MATLAB 中的曲线拟合和插值在大量的使用领域中，人们经常面临用一个分析函数描述数据(通常是测量值)的任务。
对这个问题有两种方法。
在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。
这种方法在下一节讨论。
这里讨论的方法是曲线拟合或回归。
人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
图11.1说明了这两种方法。
标有'o'的是数据点；连接数据点的实线描绘了线性内插，虚线是数据的最佳拟合。
11.1 曲线拟合曲线拟合涉及回答两个基本问题：最佳拟合意味着什么？应该用什么样的曲线？可用许多不同的方法定义最佳拟合，并存在无穷数目的曲线。
所以，从这里开始，我们走向何方？正如它证实的那样，当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和，且所用的曲线限定为多项式时，那么曲线拟合是相当简捷的。
数学上，称为多项式的最小二乘曲线拟合。
如果这种描述使你混淆，再研究图11.1。
虚线和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的误差。
对各数据点距离求平方，并把平方距离全加起来，就是误差平方和。
这条虚线是使误差平方和尽可能小的曲线，即是最佳拟合。
最小二乘这个术语仅仅是使误差平方和最小00.20.40.60.81-2024681012xy =f (x )Second O rder C urv e Fitting图11.1 2阶曲线拟合在MATLAB 中，函数polyfit 求解最小二乘曲线拟合问题。
为了阐述这个函数的用法，让我们以上面图11.1中的数据开始。
» x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1]; » y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2];为了用polyfit ，我们必须给函数赋予上面的数据和我们希望最佳拟合数据的多项式的阶次或度。
如果我们选择n=1作为阶次，得到最简单的线性近似。
matlab中插值拟合与查表
matlab中插值拟合与查表MATLAB中的插值、拟合与查表插值法是实⽤的数值⽅法，是函数逼近的重要⽅法。
在⽣产和科学实验中，⾃变量x与因变量y的函数y = f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，⽽只能得到函数在若⼲个点的函数值或导数值。
当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
如何根据观测点的值，构造⼀个⽐较简单的函数y=φ(x)，使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值。
⽤简单函数y=φ(x)在点x处的值来估计未知函数y=f(x)在x点的值。
寻找这样的函数φ(x)，办法是很多的。
φ(x)可以是⼀个代数多项式，或是三⾓多项式，也可以是有理分式；φ(x)可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分段函数。
函数类的不同，⾃然地有不同的逼近效果。
在许多应⽤中，通常要⽤⼀个解析函数（⼀、⼆元函数）来描述观测数据。
根据测量数据的类型：1．测量值是准确的，没有误差。
2．测量值与真实值有误差。
这时对应地有两种处理观测数据⽅法：1．插值或曲线拟合。
2．回归分析（假定数据测量是精确时，⼀般⽤插值法，否则⽤曲线拟合）。
MATLAB中提供了众多的数据处理命令。
有插值命令，有拟合命令，有查表命令。
2.2.1 插值命令命令1 interp1功能⼀维数据插值（表格查找）。
该命令对数据点之间计算内插值。
它找出⼀元函数f(x)在中间点的数值。
其中函数f(x)由所给数据决定。
各个参量之间的关系⽰意图为图2-14。
格式 yi = interp1(x,Y,xi) %返回插值向量yi，每⼀元素对应于参量xi，同时由向量x 与Y的内插值决定。
参量x指定数据Y的点。
若Y为⼀矩阵，则按Y的每列计算。
yi是阶数为length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。
yi = interp1(Y,xi) %假定x=1:N，其中N为向量Y的长度，或者为矩阵Y的⾏数。
yi = interp1(x,Y,xi,method) %⽤指定的算法计算插值：’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；’linear’：线性插值（缺省⽅式），直接完成计算；’spline’：三次样条函数插值。
matlab插值拟合函数求导
matlab插值拟合函数求导插值和拟合是数据分析中的常见技术，它们可以帮助我们通过已知的数据点估计未知的函数形式。
在插值中，我们使用一组数据点来估计一个未知函数在某个区间上的值；而在拟合中，我们尝试找到一个数学模型来描述一组数据，以最小化模型的残差。
Matlab作为一种强大的数学软件，提供了丰富的工具箱来支持这些操作。
本文将介绍如何在Matlab中进行插值拟合，并使用导数功能进行数值求导。
一、插值拟合基础插值是通过构造一个多项式函数，使得该函数在给定数据点上的值与实际数据一致，进而估计未知函数的形式。
拟合则是通过最小化模型残差来找到一个数学模型，以描述一组数据的变化规律。
在Matlab中，我们可以使用fit函数进行拟合操作。
1. 插值：Matlab提供了interp1和interp2函数来进行一维和二维插值。
我们可以根据实际需求选择合适的插值方法，如线性插值、多项式插值等。
2. 拟合：Matlab的fit函数可以用于进行线性拟合、多项式拟合等。
fit函数接受一组数据和拟合模型作为输入，并返回一个拟合对象，该对象包含了模型的系数等信息。
三、求导数功能在插值拟合之后，有时我们需要对估计的函数进行求导数操作。
Matlab提供了diff函数来进行数值求导，该函数可以计算一个函数的导数，并返回一个向量，其中包含了函数的导数值。
四、应用实例假设我们有一组测量数据，其中包含了某物体的位移和时间信息。
我们希望通过插值拟合的方法估计该物体的运动方程，并对其求导数以研究其运动规律。
首先，我们使用interp1函数进行一维插值，得到位移随时间的变化曲线；然后，我们使用fit多项式函数进行拟合，得到该运动方程的系数；最后，我们使用diff函数求出运动方程的导数，并进行绘图分析。
五、总结本文介绍了如何在Matlab中进行插值拟合以及求导数操作。
通过这些方法，我们可以方便地进行数据分析，并得到未知函数的估计形式。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的插值方法、拟合模型和求导数方式，以获得准确且有用的结果。
matlab 插值拟合
MATLAB 插值拟合介绍MATLAB是一种用于科学计算和工程应用的高级编程语言和环境。
它提供了许多功能强大的工具箱，可以用于各种数学计算、数据分析和图形绘制任务。
其中之一是插值拟合，它可以通过已知数据点之间的数学插值来估计未知数据点的值。
在本文中，我们将深入探讨MATLAB中的插值拟合方法以及如何使用它们来解决实际问题。
一、插值的概念插值是一种通过已知数据点之间的数学插值来估计未知数据点的值的方法。
它在许多领域中都有广泛的应用，如信号处理、图像处理、数据分析等。
插值的目标是在已知数据点之间建立一个连续的函数，以便可以在这些点之外对函数进行求值。
二、MATLAB中的插值方法MATLAB提供了多种插值方法，可以根据需要选择合适的方法。
下面介绍几种常用的插值方法：1. 线性插值线性插值是一种简单而直观的插值方法。
它假设在两个已知数据点之间的值是线性变化的，并使用直线来连接这些点。
MATLAB中的interp1函数可以实现线性插值。
2. 多项式插值多项式插值是一种更高阶的插值方法，它通过在已知数据点上构造一个多项式函数来逼近未知数据点。
MATLAB中的polyfit函数可以用于拟合多项式，并使用polyval函数进行插值。
3. 三次样条插值三次样条插值是一种更加平滑的插值方法，它通过在每个已知数据点附近构造一个三次多项式函数来逼近未知数据点。
MATLAB中的spline函数可以实现三次样条插值。
4. 二维插值除了在一维数据上进行插值外，MATLAB还提供了在二维数据上进行插值的方法。
例如，interp2函数可以用于二维线性插值，griddata函数可以用于二维三次插值。
三、插值拟合的实际应用插值拟合在许多实际问题中都有广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用场景：1. 曲线拟合插值拟合可以用于拟合实验数据或观测数据的曲线。
通过选择适当的插值方法，可以找到最佳拟合曲线，从而更好地理解数据的趋势和规律。
2. 图像处理图像处理中经常需要对像素之间的值进行插值，以便进行放大、缩小或平滑处理。
在Matlab中如何进行数据插值与拟合
在Matlab中如何进行数据插值与拟合引言：数据处理是科学研究与工程开发中不可或缺的环节之一。
而数据插值和拟合则是数据处理中常用的技术手段。
在Matlab这一强大的数值分析工具中，提供了丰富的函数与工具箱，使得数据插值与拟合变得更加便捷高效。
本文将详细阐述在Matlab中如何进行数据插值与拟合，并介绍几个常用的插值与拟合方法。
一、数据插值数据插值是通过已知的有限个数据点，推导出数据点之间未知位置上的数值。
在Matlab中，可以利用interp1函数进行数据插值。
假设我们有一组离散的数据点，存储为两个向量x和y。
那么，可以通过以下步骤进行数据插值：1. 调用interp1函数，并传入x和y作为输入参数。
```matlabxi = linspace(min(x), max(x), n);yi = interp1(x, y, xi, '方法');```其中，xi是插值点的位置，min和max分别是x向量的最小值和最大值，n是插值点的数量。
'方法'是要使用的插值方法，可以选择线性插值(method='linear')、样条插值(method='spline')等。
2. 绘制插值结果曲线。
```matlabplot(x, y, 'o', xi, yi)legend('原始数据','插值结果')```使用plot函数可以绘制原始数据点和插值结果的曲线。
通过设置不同的插值方法和插值点的数量，可以探索不同的插值效果。
二、数据拟合数据拟合是通过已知的一组数据点，找到一个符合数据趋势的函数模型。
在Matlab中，可以利用polyfit函数进行多项式拟合。
假设我们有一组离散的数据点，存储为两个向量x和y。
那么，可以通过以下步骤进行数据拟合：1. 调用polyfit函数，并传入x和y作为输入参数。
```matlabp = polyfit(x, y, n);```其中，n是多项式的次数，p是拟合多项式的系数。
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Matlab常用数据插值函数及功能 函数 格式 yi=interp1(x,y,xi) yi=interp1(y,xi) Interp1 功能 一维插值。对一组点(x,y)进行插 值，计算插值点xi的函数值。 此格式默认x=1:n，其中n是向量 y的长度，y为矩阵时， n=size(y,1)
yi=interp1(x,y,xi,method) Method为指定的插值算法。 Nearest最近邻点插值，linear线 性插值(默认方式)，spline三次 样条函数插值，cubic三次插值。
y2
1.0000 0.8205 0.5000 0.2973 0.2000 0.1401 0.1000 0.0745 0.0588 0.0484 0.0385
例 5 在一天24h内, 从零点开始每间隔2h测得的环境温度为
12, 9, 9, 10, 18, 24, 28, 27, 25, 20, 18, 15, 13 (单位: C ) 推测在每1s时的温度. 并描绘温度曲线. 解 在命令窗口输入:
y
1.0000 0.8000 0.5000 0.3077 0.2000 0.1379 0.1000 0.0755 0.0588 0.0471 0.0385
y1
1.0000 0.7500 0.5000 0.3500 0.2000 0.1500 0.1000 0.0794 0.0588 0.0486 0.0385
y01 = 0.639700000000000 y02 = 0.693100000000000 y03 = 0.641818996851421 y04 = 0.641831200000000
例4 对 y
性插值和三次样条插值, 用m=21个插值点作图,比较结果. 解 在命令窗口输入:
n=11, m=21 x=-5:10/(m-1):5 y=1./(1+x.^2) z=0*x x0=-5:10/(n-1):5 y0=1./(1+x0.^2) y1=interp1(x0,y0,x) y2=interp1(x0,y0,x,'spline') [x' y' y1' y2'] plot(x,z,'r',x,y,'k:',x,y1,'b',x,y2,'g') gtext('Piece.linear.'),gtext('Spline'),gtext('y=1/(1+x^2)')
四种插值方法比较
函数
格式
功能
zi=interp2(x,y,z,xi,yi)
二维插值。Z为由已知点的值组成的 矩阵，参量x与y是与z同维的已知点 的矩阵，且必须是单调的。xi与yi为 需要插值的点。若xi与yi中有在x与y 范围之外的点，则相应地返回NaN。
此格式默认x=1:n、y=1:m，其中 [m,n]=size(z)。再按 zi=interp2(x,y,z,xi,yi)情形进行计算。
例3. 已知实验数据如表。
x y
0 0.25 0.50 0.75 1.00 0.9162 0.8109 0.6931 0.5596 0.4055
计算插值点x0=0.6处的函数值y0。
>> x=[0 0.25 0.50 0.75 1.00]; >> y=[0.9162 0.8109 0.6931 0.5596 0.4055]; >> x0=0.6; >> y01=interp1(x,y,x0); >> y02=interp1(x,y,x0,'nearest'); >> y03=interp1(x,y,x0,'pchip'); >> y04=interp1(x,y,x0,'spline'); >> y01,y02,y03,y04
三、插值、曲线拟合
插值就是已知一组离散的数据点集，在集合内部某两 个点之间预测函数值的方法。
插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。在 生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y = f(x)的关 系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个 点的函数值或导数值。当要求知道观测点之外的函数值时， 需要估计函数值在该点的值。
)
MATLAB实现
function yi=lagrange(x,y,xi) yi=zeros(size(xi)); np=length(y); for i=1:np y ( x) z=ones(size(xi)); for j=1:np if i~=j z=z.*(xi-x(j))/(x(i)-x(j)); end end yi=yi+z*y(i); end
曲线拟合
据人口统计年鉴，知我国从1949 年至1994年人口数据资料如下： (人口数单位为：百万)
例7 天文学家在1914年8月份的7次观测中, 测得地球与金 星之间距离(单位: m), 并取其常用对数值与日期的一组历 史数据如下所示, 试推断何时金星与地球的距离(单位: m)
的对数值为 9.9352.
日期 18 20 22 24 26 28 30
距离 9.9618 9.9544 9.9468 9.9391 9.9312 9.9232 9.9150 对数 解 由于对数值 9.9352 位于 24 和 26 两天所对应的对数 值之间, 所以对上述数据用三次样条插值加细为步长为1 的数据:
例 6 在飞机的机翼加工时, 由于机翼尺寸很大, 通常在图
纸上只能标出部分关键点的数据. 某型号飞机的机翼上缘 轮廓线的部分数据如下: x 0 4.74 9.05 19 38 57 76 95 114 133 y 0 5.23 8.1 11.97 16.15 17.1 16.34 14.63 12.16 6.69 x 152 171 190 y 7.03 3.99 0
Lagrange插值
方法介绍 对给定的n个插值点 x1, x2 , , xn 及对应的函数 值 y1 , y2 , , y，利用 n次Lagrange插值多项式， n 则对插值区间内任意x的函数值y可通过下式求的：
y ( x) yk (
k 1 j 1 j k
n
n
x xj xk x j
y=interpft(x,n) Interpft y=interpft(x,n,dim)
yy=spline(x,y,xx)
spline
pp=spline(x,y)
注意： （1）只对已知数据点集内部的点进行的插值运算称为内插， 可比较准确的估测插值点上的函数值。
（2）当插值点落在已知数据集的外部时的插值称为外插， 要估计外插函数值很难。
MATLAB对已知数据集外部点上函数值的预测都返回NaN， 但可通过为interp1函数添加‘extrap’参数指明也用于外插。 MATLAB的外插结果偏差较大。
例1 对
f x
1 在[-1, 1 9 x2
1]上, 用n=20的等距分点
进行线性插值, 绘制 f(x)及插值函数的图形.
解 在命令窗口输入:
例 6 在飞机的机翼加工时, 由于机翼尺寸很大, 通常在图 纸上只能标出部分关键点的数据. 某型号飞机的机翼上缘 轮廓线的部分数据如下:
x=[0 4.74 9.05 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190] y=[0 5.23 8.1 11.97 16.15 17.1 16.34 14.63 12.16 9.69 7.03 3.99 0] xi=[0:0.001:190] yi=interp1(x,y,xi,'spline') plot(xi,yi)
1 在[-5, 5]上, 用n=11个等距分点作分段线 2 1 x
例4 对 y
性插值和三次样条插值, 用m=21个插值点作图,比较结果. x
0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000
1 在[-5, 5]上, 用n=11个等距分点作分段线 2 1 x
x=-1:0.1:1; y=1./(1+9*x.^2); xi=-1:0.1:1; yi=interp1(x,y,xi); plot(x,y,'r-',xi,yi,'*')
例2. 在普通V带设计中，带轮的包角α与包角系数ka之间的关系如 表所示。求α=133.5°时的包角系数ka。
包角与包角系数
包角 ( °) 包角系 数 包角 ( °) 90 100 110 120 125 130 135 140
>> x=linspace(0,2*pi,11); >> y=sin(x).*exp(-x/5); >> xi=linspace(0,2*pi,21); >> yi=interpft(y,21); >> plot(x,y,'o',xi,yi); >> legend('Original','Curve by interpft')
Interp2
zi=interp2(z,xi,yi)
zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method) 用指定的算法method计算二维插值。 Linear双线性插值(默认方式)， Nearest最邻近插值，spline三次样条 插值，cubic双三次插值。
函数
格式
功能 一维Fourier插值。适用于周期函数生 成数据的插值。X为抽样序列，n为 需要计算的等距点数，y为n点的插 值计算结果。 沿着指定的方向dim进行计算。 三次样条数据插值。用三次样条插 值计算出由向量x与y确定的一元函 数在点xx处的值yy。 返回由向量x与y确定的分段样条多 项式的系数矩阵pp。