数值分析二元函数插值
数值分析实验报告--实验2--插值法
1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。
1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。
1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。
可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。
数值分析第二章 插值法
(j,k=0,1,…,n)
( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
n1 ( x ) ( x xk ) n1 ' ( xk )
n
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
• 性质 （2）k阶均差可重新写为：
f [ x1 , x2 ,, xk ] f [ x0 , x1 , xk 1 ] f [ x0 , x1 , xk ] xk x0
• 均差的计算
三、均差与牛顿插值
1.均差与性质
• 均差定义
类似地称 2 f k f k 1 f k 为 xk 处的二阶差分. 一般地称 n f k n1 f k 1 n1 f k 为 xk 处的n阶差分.
• 均差与差分关系
• 牛顿前插公式
n f k (1) f nk j , j 0 j
求5、6月份的日照时间的变化规律。 • 多项式插值的存在唯一性
一、引言
2.多项式插值
• 一个例子 日照时间的变化设为 y(x)=a0+ a1x + a2x2, 根据三组数据: (1, 13.53), (31, 14.21),(61, 14.40)， 导出关于a0，a1，a2的线性方程组
a0 a1 a2 13.53 2 a0 31a1 (31) a2 14.21 2 a0 61a1 (61) a2 14.40
三、均差与牛顿插值
3.差分形式的牛顿插值公式
若x0,x1,…,xn 为等距节点，即xk=x0+kh (k=0,1,...,n) 时，可将牛顿插值公式简化
2-2-5-拉格朗日插值-二元插值及小结
课程教案
实验数据的拟合及模型参数的确定
二元三点Lagrange插值
——简介
小结及注意事项
1.进行内插之前，先要对已知实验点进行误差分析，删除一些明显不合理的结果。
然后初步作出实验曲线图。
观察曲线变化规律以利于插值方法的选择或插值的分段。
2.如果精度要求不高，使用线性插值就可以了。
3.如果将Lagrange插值法使用得当是可以得到满意的插值结果的。
使用Lagrange插值法时，最好在需要插值点的附近选取一些实验点，或按曲线变化情况选点。
注意，如选点过多有时会误差更大。
这是高次多项式的插值所造成的。
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二元函数插值的一般方法研究
二元函数插值的一般方法研究《二元函数多项式插值的一般方法研究》的开题报告一.课题研究的背景和意义（一）.插值问题的提出和发展过程许多实际问题都用函数)(x f y =来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数通过实验或观测得到的.虽然)(x f 在某个区间[]b a ,上是存在的，有的还是连续的，但却只能给出[]b a ,上一系列点i x 的函数值),...,1,0)((n i x f y i i ==，这只是一张函数表.有的函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表、平方根和立方根表等.为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值.因此，我们希望根据给定的函数表做一个既能反应函数)(x f 的特性，又便于计算的简单函数)(x P ，用)(x P 近似)(x f .通常选一类较简单的函数（如代数多项式或分段代数多项式）作为)(x P ，并使)()(i i x f x P =对n i ,...,1,0=成立.这样确定的)(x P 就是我们希望得到的插值函数.对于上述的)(x f y =的函数插值，前人们已经做过很多的研究，典型的有多项式插值、拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值等.但是对于二元函数),(y x f z =的插值还没有一个较广的研究.（二）.二元函数插值研究的意义1. 理论意义：一元函数插值主要有基函数法、拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值等，但是对于二元函数插值乃至n 元插值是不能直接在一元函数插值的基础上直接推广的。
多元插值是一个活跃的研究领域，至今已有非常多的多元插值公式，但是可供利用的公式十分少。
所以我们研究二元函数的插值时，可以为n 元函数插值提供新的研究思路，有助于复杂函数的偏导数的求解，也可以是对插值理论的完善。
2. 实际意义：一元函数插值问题主要是平面的，而二元函数插值是在三维空间上的，这对我们构造三维空间图像有非常大的作用.例如，在现代机械工业中用计算机控制加工机械零件，根据设计可给出零件外形曲线的的某些型值点),...,1,0)(,(n i y x i i =,加工时为控制每步走刀及步数，就要算出零件外形曲线其它点的函数值，才能加工出外表光滑的零件，这就是求函数插值问题，利用二元函数插值也可以方便解决。
数值分析第2章插值法
0.32 0.34
0.34 0.32
0.330365.
截 断 误 差 为 ：R1x
f
1
2！
2
x
M2 2
x
x0 x
x1 ， 其 中 ：
M2
max
x0 x x1
f x，f x sin x，f x
sin x，M2
sin x1
0.3335
R1 0.3367
sin0.3367
L1 0.3367
x a, b,插 值余 项Rn x
f x Ln x
f n1 n 1!
n1
x
,
其
中
a,
b,
与x有 关,n1x
n
x
k0
xk
.
n
性质： lk x 1. k0
5
例1、证明： ( xi x)2 li ( x) 0, 其中li ( x)是关于点x0 , x1 ,, x5的插值 i0
基 函 数.
2.2 拉格朗日插值
2.2.1、线性插值与抛物插值
1、 线 性 插 值 ：
设 yk f xk ， yk1 f xk1 ， xk xk1 求 一 次 多 项 式 L1 x， 满 足 ：L1 xk yk，L1 xk1 yk1
L1 x
yk
yk1 xk1
yk xk
x xk
求n次 插 值 多 项 式Ln x, 满 足 ：Ln xi yi i 0，1，2，，n
Ln
x
n
lk
x
yk
k0
lk
xj
1，k j
kj 0，k j
j 0，1，2，，n
lk x
x
数值分析中的插值算法及其应用
数值分析中的插值算法及其应用数值分析是研究解决数学问题的数值方法的一门学科。
其中，插值算法是数值分析中重要的方法之一。
插值是指在给定一些数据点的情况下，用一些方法建立一个函数，该函数可以在给定区间内的任何一点上计算出函数值。
插值方法有很多种，其中比较常用的有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种将一个多项式函数p(x)与一系列已知数据点相联系的方法。
假设给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中x1 < x2 < ... < xn，那么可以构造一个次数小于等于n-1的多项式函数p(x)满足p(xi) = yi，i=1,2,...,n。
设p(x)的表达式为：p(x) = Σyi li(x)其中，li(x)为拉格朗日基函数。
每个基函数都满足：li(xi) = 1, li(xj) = 0, j≠i基函数的表达式为：li(x) = Π[j≠i] (x - xj) / (xi - xj)利用拉格朗日插值法，可以在给定数据点的情况下，快速计算函数在其他点上的值。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种利用差商的方法建立插值多项式的方法。
相比于拉格朗日插值法，牛顿插值法更注重于递推计算。
给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，牛顿插值法可以建立一个关于x的n次多项式。
首先，定义一个差商：f[xi] = yif[xi, xi+1, ..., xj] = (f[xi+1, ..., xj] - f[xi, ..., xj-1]) / (xj - xi)差商f[xi, xi+1, ..., xj]是由区间(xi, xj)内的函数值f(xi), f(xi+1), ..., f(xj)所计算得到的。
定义一个新的多项式qk(x)，其中：qk(x) = f[x0, x1, ..., xk] + (x - xk) qk-1(x)其中q0(x) = f[x0]。
《数值分析》第二讲插值法PPT课件
1 xn xn2 xnn Vandermonde行列式
即方程组（2）有唯一解 (a0, a1, , an)
所以插值多项式
P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
存在且唯一
第二章：插值
§2.2 Lagrange插值
y
数值分析
1、线性插值
P 即(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)
l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
其中，基函数
lk (x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x k x n x )n )
因此 P (x ) lk (x )y k lk 1 (x )y k 1
且
P (x k ) y k P (x k 1 ) y k 1
lk(x), lk1(x) 称为一次插值基函数
数值分析
第二章：插值
2、抛物线插值 令
y (xk , yk )
f (x)
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) p( x) (xk1,yk1)
二元函数多项式插值的研究
本科毕业设计常熟理工学院本科毕业设计(论文)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业设计(论文)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
本人签名：日期：常熟理工学院本科毕业设计(论文)使用授权说明本人完全了解常熟理工学院有关收集、保留和使用毕业设计(论文)的规定，即：本科生在校期间进行毕业设计(论文)工作的知识产权单位属常熟理工学院。
学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业设计(论文)被查阅和借阅；学校可以将毕业设计(论文)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业设计（论文），并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。
保密的毕业设计(论文)在解密后遵守此规定。
本人签名：日期：导师签名：日期：二元函数多项式插值方法的研究摘要计算数学是数学科学的一个分支，它主要研究用数值分析的理论求解各种数学问题的数值方法。
因此，计算数学内容十分广泛，它包含各种应用数学问题的求解算法的研究、发展和分析。
然而多项式插值法是一种古老而实用的插值方法，它为今后学习数值积分、数值微分、函数逼近以及微分方程数值解等数值分析奠定了基础。
本文主要研究数值分析中二维插值问题。
首先一些常用的一元函数插值方法；接着介绍了一种二元函数多项式插值方法；最后，基于再生核理论给出一种新的二元函数插值方法，并通过数值算例验证了所提出的插值方法的有效性。
关键词：数值分析计算数学多项式插值二元函数插值Study of Polynomial Interpolation Method for Functions of Two VariablesAbstractComputational mathematics is the branch of mathematics which is concerned primarily with ways in which to compute results to various problems by applying the theory of numerical analysis. Therefore, the contents of computational mathematic is extremely wide, it involves the study, development, and analysis of algorithm for obtaining numerical solutions to various mathematical problems. Polynomial interpolation is an ancient and practical interpolation method, and it is the basis of future study on numerical differentiation and integration, numerical solutions of differential equations. This thesis mainly discusses interpolation method to functions of two variables. Firstly, some usual interpolation method of functions of one variable are introduced. Secondly, a polynomial interpolation method to functions of two variables is discussed. Finally, based on the theory of reproducing kernel, a new interpolation method to functions of two variables is developed, and one numerical example is provided to show the validity of the present interpolation method.Key Words:numerical analysis; computational mathematics; polynomial interpolation; interpolation for functions of two variables目录1. 引言 (1)1.1 数值分析的背景 (1)1.2 数值分析的介绍 (1)1.3 插值方法的背景 (2)2. 多项式插值 (2)2.1常用一元函数插值 (2)2.2二元函数多项式插值 (4)3. 新的插值方法 (5)结语 (12)参考文献 (13)致谢 (14)1 引言1.1 数值分析的背景数百年前，人类已经将数学应用在建筑、战争、会计，以及许多领域之上，最早的数学大约是西元前1800年巴比伦人泥板（Babylonian tablet ）上的计算式子。
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分片线性插值
y
(xi, yj+1) (xi+1, yj+1)
•
•
•
••
•
(xi,•yj) (xi+1•, yj) •
•
•
•
•
••
O
x
二元函数插值：
设实值函数 f (x, y) 定义在矩形区域 D ={a x b, c y d },
n t 0,t r
y yt . yr yt
(5.12)
这样的 krx, y 满足
kr
(xi ,
yj
)
1, 0,
(i, j) (k, r) (i, j) (k, r)
因此, krx, y 在点集(xi, yj)上线性无关, 且易
知, 满足插值条件(5.11) 的插值多项式为
nm
pnm (x, y)
Rnm (x,
y)
n1 ( x)
(n 1)!
f
( n 1) xn1
(
,
y)
m1( y)
(m 1)!
n
lk
(
x)
f
( m 1) y m1
(
xk
,
)
k 0
(5.15)
Rnm (x,
y)
n1 ( x)
(n 1)!
f
( n 1) xn1
(
,
y)
m1( y)
(m 1)!
n
lk
(
x)
f
( m 1) y m1
插值节点集: Z ={(xi, yj)| a x0 x1 xn b, c y0 y1 ym d }.
取在 Z 上线性无关的函数组
krx, y | k=0,1, , n; r=0,1, , m. 其中， krx, y 是次数关于 x 不高于 n 次、
关于 y 不高于 m 次的二元多项式。
在函数空间
如同一元的情况, 满足插值条件(5.11)的二元 插值函数是唯一存在的。
➢Lagrange 插值曲面
取插值基函数
kr (x, y) lk (x)l%r (y), k 0,1,..., n;r 0,1,..., m.
其中
lk (x)
n t 0,t k
x xt xk xt
,
l%r ( y)
0.25
0.5
1
1
0.43 0.87 1.73
建立x为二次、y为一次的二元插值多项式p21(x,y)， 用以计算f (0.3,0.8)的近似值。
解：由n=2，m=1的二元插值多项式(5.13)可得
2 1
~
p21(x, y)
lk (x)lr (x) f (xk , yr )
k0 r0
1 x(x 1)( y 1 0.25 y 0.5 0.43)
lk (x)l%r ( y) f (xk , yr )
k0 r0
(5.13)
式(5.13)叫做 Lagrange 形式的插值曲面.
近似式
(x, y) pnm(x, y)
(5.14)
叫做二元函数的Lagrange插值公式. 式 (5.14) 的
余项 或 截断误差为
Rnm(x, y) (x, y) pnm(x, y)
r0
r0
n
m
lk (x)
~ lr ( y) f (xk ,yr )
k 0
r0
ωm1( y) (m 1)!
f
( m 1) y m1
(
x ,
)
ωn 1 ( x) (n 1)!
m
~ lr
(
y
)
f
( n 1) x n1
(,y
r
)
r 0
(5.16)
例2 试利用f (x,y)的函数表
fx
y
-1
0
1
0.5
5.1.2 二元函数插值
第一种（网格节点）：
y
•
•
•
•
•
••
•
••
•
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
•
•
••
O
x
第二种（散乱节点）：
y
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
0
x
最邻近插值
y•
(x1•, y2) (x2,•y2)
•
•
•
•
•
••
(x1, y1) (x2, y1)
•
•
•
••
O
x
二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻 近的节点的函数值即为所求。
• 数学符号 x0,x1, , xn, y0,y1, , ym, 0x,1x, , nx
• k=0,1, , n
(x, y) pnm(x, y)
•
• ΓΔΘΛΞΦΨΩ
• •
•
•
•
• ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
2
0.5 1
1 0.5
(x 1)(x 1)( y 1 0.5 y 0.5 0.87) 0.5 1 1 0.5
1 x(x 1)( y 1 1 y 0.51.73)
2
0.5 1 1 0.5
0.17x2 y 0.55xy 0.04x2 0.1x 0.74y 0.13
f (0.3,0.8) p21(0.3,0.8) 0.89984
D Span00, , 0m, , n0, , nm
上寻找二元插值多项式
nm
pnm (x, y)
ck ,r k,r (x, y)
k0 r0
使其满足插值条件
(5.10)
pnm (xi , y j ) f (xi , y j ), i 0,1,..., n; j 0,1,..., m. (5.11) 此问题就是二元函数的代数插值问题。
(
xk
,
)
k 0
(5.15)
证明Ⅰ：Rnm(x, y) (x, y) pnm(x, y)
n
n
Rnm (x,y) f (x,y) lk (x) f (xk ,y) lk (x) f (xk ,y)
k 0
k 0
m ~
n
lr ( y) lk (x) f (xk ,yr )
r0
k 0
ωn1(x) (n 1)!
f
( n 1) x n1
(ξ ,
y)
ωm1( y) (m 1)!
n
lk
(
x)
f
( m 1) y m1
(
xk
,
).
k 0
(5.15)
证明Ⅱ：Rnm(x, y) (x, y) pnm(x, y)
m ~
m~
Rnm (x,y) f (x,y) lr ( y) f (x,yr ) lr ( y) f (x,yr )