第三章量子力学中的力学量介绍
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量子力学中的力学量3
的本征值方程
l 表征角动量的大小，称为角量子数 m 表征角动量在 z 轴的投影，称为磁量子数 简并：对应于同一个本征值，有一个以上的本征函数； 本征函数的数目称为简并度。 的本征值是 2l + 1 度 简并的 称 l = 0, 1, 2, 3, … 的态依次为 s, p, d, f, … 态。处于这 些态的粒子，依次称为 s, p, d, f, … 粒子
√
算符的对易关系(4/7)
力学量的完全集合：一组完全确定体系状态的力学量。集 合中力学量的数目一般等于体系自由度的数目 例：三维空间的自由粒子(不考虑自旋) 对易的力学量算符组： 共同本征函数：平面波函数 力学量的完全集合： 自由度：3
例：氢原子中的电子 对易的力学量算符组： 共同本征函数：氢原子的定态波函数 力学量的完全集合： 自由度：3
内部运动方程
√
三维氢原子(2/5)
解
分析
能级依赖于径向量子数 nr 和角量子数 l 的特殊组合 nr+l+1 能级 En 存在 l 简并，简并度 n2 不同于一般中心力场(三维空间几何对称性 O3 )的简并度 2l+1，反映了 -1/r 具有更高的对称性( O4 )
√
三维氢原子(3/5)
电离能：E 与电子基态能量之差
跃迁：电子由 En 跃迁到 Em
√
氢原子(4/5)
波函数(内部结构)
径向概率密度 ：节点数目为 n-l-1
√
氢原子(5/5)
角向概率密度 ：与 无关
√
厄密算符本征函数(1/3)
正交
第3章 量子力学中的力学量
第3章 量子力学中的力学量§1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇ ， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx p i x∂=-∂ 不对易 证明：(1) ˆ()x xp x i x ψψ∂=-∂ i x xψ∂=-∂(2) ˆ()x p x i x x ψψ∂=-∂ i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -= ，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
[理学]第三章量子力学中的力学量1
![[理学]第三章量子力学中的力学量1](https://img.taocdn.com/s3/m/d1f77453a417866fb94a8e05.png)
能量本征方程（定态薛定谔方程） 于这个本征值的本征函数。根据以上假定，当 粒子属于这个状态时，坐标确定，坐标值就是 本征值 r ' 。 角动量本征方程
ˆ r r ' 坐标本征方程，注意这里 r '是本征值，r ' 是属 r r' r' r'
ˆ LL ' L 'L '
注意：这些量的分量也可构成各自的本征方程。
ˆ x p
当粒子处在这个方程的解 描述的状态中 时，它的动量在x方向上的分量是确定的， 值就是所属的本征值
力学量的值肯定是实数。根据以上基本假定，这些力学量算符的 本征值是粒子力学量的某个值。因此力学量算符的本征值必须是 实数。下面我们将要介绍一种重要的算符——厄密算符
（7）复共轭算符 算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成复共轭.
ˆ O
设定义式中 则，
* ˆ ˆ )* d O d ( O
* * d ( ) d
* d * * d * * d
因为波函数 是平方可积的即
* d d A 2
ˆ T
2
2
2
前面我们已经通过能量本征值方程揭示了能量算符和能量之间 的密切关系。下面我们将这个结论推广到其他所有的物理量上：
量子力学基本假定
ˆ 表示，那么当微观粒子体系处于 F ˆ的 如果力学量 F 用算符 F ˆ 的本征函数 来描述。）时， 本征态 （即体系的状态用 F 力学量 F 具有确定值。这个值就是本征函数 所属的那个本 征值 。它们之间的关系用数学形式表达即： ˆ 本征方程 ˆ 算符 F F
第三章 量子力学中的力学量
* *
λ ∫ψ ψ d τ = λ ∫ψ ψ d τ
λ = λ（实数）
*
6.力学量算性质 6.力学量算性质 力学量算符为线性的厄米算符。 力学量算符为线性的厄米算符。 1.证明动量算符的一个分量 ˆ 例1.证明动量算符的一个分量 px 是厄密算符。
∂ ˆ 证明: ϕdx 证明: ∫ ψ pxϕdx = −ih∫ ψ −∞ −∞ ∂x * ∞ ∂ψ ∞ * ∞ ˆ = −ihψ ϕ + ih∫ ϕdx = ∫ ( pxψ )*ϕdx −∞ −∞ ∂x −∞
第 三 章 量子力学中的力学量
The Dynamical variable in Quantum Mechanism
引 言
只有粒子性
状态： 状态：
用坐标和动量来描述。 用坐标和动量来描述。
经典粒子 力学量： 力学量： 在任何状态下都有确 定值。 定值。
波粒二象性
状态： 状态：
用波函数来描述。 用波函数来描述。
v v v ψ (r ) P (r )dτ = A2 ∫ e ψ ∫
* v P′
i v v v ( P − P′)⋅r h
dτ
A = ( 2π h )
−3 / 2
归一化本征函数为： 归一化本征函数为：
v v (r ) = ψP 1 e 3/ 2 (2π h)
i vv P⋅ r h i ( px x + p y y + pz z ) 1 h = e 3/ 2 (2π h)
这正是自由粒子德布罗意波的空 间部分波函数， 间部分波函数，对应的本征值 v 取连续值。 P 取连续值。
的立方体内运动， ⅱ)若粒子处在边长为 L 的立方体内运动，则用所谓 箱归一化方法确定常数 A 。 的立方体内时， 当粒子被限制在边长为 L 的立方体内时，本征函数 v v (r ) 满足周期性边界条件。 ψP 满足周期性边界条件。
λ ∫ψ ψ d τ = λ ∫ψ ψ d τ
λ = λ（实数）
*
6.力学量算性质 6.力学量算性质 力学量算符为线性的厄米算符。 力学量算符为线性的厄米算符。 1.证明动量算符的一个分量 ˆ 例1.证明动量算符的一个分量 px 是厄密算符。
∂ ˆ 证明: ϕdx 证明: ∫ ψ pxϕdx = −ih∫ ψ −∞ −∞ ∂x * ∞ ∂ψ ∞ * ∞ ˆ = −ihψ ϕ + ih∫ ϕdx = ∫ ( pxψ )*ϕdx −∞ −∞ ∂x −∞
第 三 章 量子力学中的力学量
The Dynamical variable in Quantum Mechanism
引 言
只有粒子性
状态： 状态：
用坐标和动量来描述。 用坐标和动量来描述。
经典粒子 力学量： 力学量： 在任何状态下都有确 定值。 定值。
波粒二象性
状态： 状态：
用波函数来描述。 用波函数来描述。
v v v ψ (r ) P (r )dτ = A2 ∫ e ψ ∫
* v P′
i v v v ( P − P′)⋅r h
dτ
A = ( 2π h )
−3 / 2
归一化本征函数为： 归一化本征函数为：
v v (r ) = ψP 1 e 3/ 2 (2π h)
i vv P⋅ r h i ( px x + p y y + pz z ) 1 h = e 3/ 2 (2π h)
这正是自由粒子德布罗意波的空 间部分波函数， 间部分波函数，对应的本征值 v 取连续值。 P 取连续值。
的立方体内运动， ⅱ)若粒子处在边长为 L 的立方体内运动，则用所谓 箱归一化方法确定常数 A 。 的立方体内时， 当粒子被限制在边长为 L 的立方体内时，本征函数 v v (r ) 满足周期性边界条件。 ψP 满足周期性边界条件。
量子力学中力学量
位置期望值与测量
误差
位置期望值的测量误差取决于粒 子所处的量子态，对于某些特殊 量子态，位置期望值的测量误差 可能非常大。
03 动量算符与动量期望值
动量算符的定义与性质
动量算符
在量子力学中，动量算符是用来描述粒子动量的算符，其定义为-iℏ∂/∂x，其中ℏ是 约化普朗克常数，∂/∂x是偏导数算子。
自旋算符在量子力学中具有重要 的意义，因为粒子的自旋是一种 内禀自由度，与粒子的其他自由
度一样重要。
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02 位置算符与位置期望值
位置算符的定义与性质
位置算符
在量子力学中，位置算符是一个线性算子，用于描述粒子在空间中的位置状态。
位置算符的性质
位置算符具有连续性和对称性，其本征值和本征函数分别表示粒子的位置和概 率幅。
位置期望值的计算与意义
位置期望值
在量子力学中，位置期望值是指粒子在某个时刻 处于空间某点的概率幅的平均值。
04 角动量算符与角动量期望 值
角动量算符的定义与性质
定义
角动量算符是描述粒子角动量的物理量，通常用L表示。
性质
角动量算符具有旋转不变性，即系统绕某轴旋转时，角动量算符的值不会改变。此外，角动量算符还 具有对易关系，即L_x、L_y、L_z三个分量之间相互独立且不对易。
角动量期望值的计算与意义
性质
动量算符是线性算符，具有可对易性、连续性和时间演化等性质，这些性质在量 子力学中具有重要意义。
动量期望值的计算与意义
计算
动量期望值是描述粒子动量的统计平均值，可以通过将粒子态函数代入动量算符进行计算。
意义
动量期望值可以反映粒子在某一时刻的平均动量，对于理解量子力学中的波粒二象性以及测量问题具有重要意义。
量子力学中的量子力学力学量的表示
量子力学中的量子力学力学量的表示量子力学是描述微观世界的物理学理论，它提供了一种描述粒子性质的数学框架。
在量子力学中，力学量是描述系统状态的物理量。
本文将探讨在量子力学中，如何表示力学量以及不同力学量的物理意义。
一、力学量的表示在经典物理学中，力学量通常可以用数值来表示，例如质量、速度、位移等。
然而，量子力学中的力学量不能简单地用数值表示，而是需要用算符表示。
力学量的算符通常用大写字母表示，比如位置算符X，动量算符P等。
对于某个具体的力学量，它的算符作用在波函数上，得到的结果是该力学量对应的本征值乘以波函数。
这可以用数学表达式表示为：AΨ = aΨ其中A是力学量的算符，Ψ是波函数，a是力学量的本征值。
这个方程称为力学量的本征值方程。
二、不同力学量的表示1. 位置算符在量子力学中，粒子的位置可以用位置算符X来表示。
位置算符的本征态是位置本征态，它表示粒子在某个确定的位置。
对于一维情况，位置本征态的波函数可以写为：Ψ(x) = δ(x - x0)其中x0是位置本征态对应的位置。
2. 动量算符动量算符P描述粒子的运动状态。
动量算符的本征态是动量本征态，它表示粒子具有某个确定的动量。
对于一维情况，动量本征态的波函数可以写为：Ψ(p) = e^(ipx/ħ)其中p为动量本征态对应的动量，ħ为普朗克常数除以2π。
3. 能量算符能量是量子力学中的另一个重要的力学量。
能量算符H描述粒子的能量状态。
能量算符的本征态是能量本征态，它表示粒子具有某个确定的能量。
能量本征态的波函数可以写为：Ψ(E) = e^(-iEt/ħ)其中E为能量本征态对应的能量，t为时间。
三、力学量的测量和物理意义在量子力学中，力学量的测量是通过对算符的作用得到的本征值来实现的。
当对某个力学量进行测量时，系统将处于该力学量的某个本征态上，从而得到相应的本征值。
力学量的本征值对应着可能的测量结果。
例如，对位置算符进行测量，可以得到粒子的位置值；对动量算符进行测量，可以得到粒子的动量值。
3第三章量子力学中的力学量
ˆ2Y 2Y L
1 1 2 2 (sin ) 2 Y ( , ) 2Y ( , ) (18) 2 sin sin 1 1 2 或 (sin ) 2 Y ( , ) Y ( , ) (19) 2 sin sin
ˆ <2> 坐标算符： r r (4)
2 2 ˆ <3> 哈密顿算符： H U (r ) (5) 2 p2 ˆ 经典的哈密顿函数：H T V U (r ) ，将 p p i 2 2 ˆ ˆ p 2 2 代入 H 中得：
分部积分
i |
i dx x
ˆ ˆ ( px ) dx, px i x
§3.2 动量算符和角动量算符
一、动量算符
１、动量算符的本征值方程
i p (r ) p p (r ) (1)
2 2 ˆ H U (r ) 2
<4> 量子力学中力学量用算符表示的规则： 如果量子力学中的力学量 F 在经典力学中有相 ˆ ( r , p ) 中将 p 换 ˆ 应的力学量，则算符 F 由经典表示式F ˆ 为算符 p 而得出： ˆ F (r , p) F (r , i) ˆ ˆ ˆ ˆ F (6)
du 如xu v，表示x与u相乘得函数v。又如 v， dx ˆ d ， 2u v, 算符F 2，等等。 ˆ 则F dx ˆ 设波函数１经算符F 作用后变为２ ，则粒子状态 由１态变为２态。
２、算符的本征值方程
ˆ 如果一个算符F 作用于一个函数 ，结果等于 乘 上一个常数， ˆ F （2）
第三章量子力学中的力学量
v v v 电子相对于核的坐标： r = r − r 1 2
x = x1 − x2 , y = y1 − y2 , z = z1 − z 2
球坐标：
x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ
z = r cosθ ˆ = ih (sin ϕ ∂ + ctgθ cos ϕ ∂ ), Lx ∂θ ∂ϕ ˆ = −ih (cos ϕ ∂ − ctgθ sin ϕ ∂ ), Ly ∂θ ∂ϕ ˆ = −ih ∂ ; Lz ∂ϕ
用分离变量法求解：
设ψ (r , θ , ϕ ) = R (r )Y (θ , ϕ ) zes2 2µ λ 2 ∇ r R(r ) + [ 2 ( E + ) − 2 ]R ( r ) = 0 h r r L2Y (θ , ϕ ) = λh 2Y (θ , ϕ )
（1） （2）
λ = l (l + 1)
两算符相乘其次序不能随便调换。 线性算符（态叠加原理 态叠加原理） 态叠加原理
ˆ ˆ ˆ 定义：若 F (C1Ψ1 + C2 Ψ2 ) = C1 FΨ1 + C2 FΨ2
ˆ 则 F 是线性的。 Ψ1 , Ψ2 是任意函数，C1、C2是常数
∂ x, 是线性的， ∂x
若
是非线性的。
厄米算符：ψ ( x), φ ( x) 是任意函数。
n, l,
l = 0,1,2, L n − 1 m = 0,±1,±2, L ± l (2l + 1) = n 2 ∑
l =0 n −1
§3.4
氢原子
∂ h2 2 h2 2 v v v v ih Ψ (r1 , r2 , t ) = [− ∇1 − ∇ 2 + U ]Ψ (r1 , r2 , t ) ∂t 2 µ1 2µ2 电子 ( x1 , y1 , z1 , µ1 ) 核 ( x2 , y 2 , z 2 , µ 2 )
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x
x
的性质可得 x ( x) ( x x )
• 讨论： （1）在以 为变量的坐标系中，力学量 x 的算符就 是自身，而本征函数为 函数； （2）本征值可以取任何实数，组成连续谱，本征函 数的归一化写成
x
* x ( x) x ( x)dx ( x x) ( x x)dx ( x x)
s
s
四个特例
• 3.1 球坐标中的角动量 z 首先看角动量的 分量 L z i 的本征函数 设其本征函数为 ( )
本征方程为 将其变为
i
对应的本征值为 L z
Lz
Lz ln i im
( Lz m)
可解出
m ( ) Ce im
4 任意状态下力学量的可能值 • 4.1 厄米算符的三个基本性质： 实数性、正交性、完备性。
量子力学中所有表示力学量的算符都是厄米算符，所以 明确厄米算符的基本性质是讨论力学量的理论基础。 （1）厄米算符的本征值都是实数，表示为 * 。 （2）厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交， 分立谱为
, 一般为任意函数， F F ，例如算符x 的转置算符为
*
* F dx F dx *
~
（3）
~
这是因为
~ ＋ * * dx － x － x dx
＋
~ x x
（4）
|
* ＋ －
本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学 习的重点。重点掌握以下内容：
• 一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）； • 两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米 算符的本征态表示； • 三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值； p 或 p 、角动量 • 四个本征态及本征值：坐标 x或 r 、动量 x L2 及 L z 、能量（哈密顿量 H ）。 • 本部分的难点是任意态 ( x, t ) 与力学量算符本征态 n 及力 学量概率态 C n 的区别。
以 r r , p i 为基础，原则上可以得出所有力学量算符
F F (r , p ) F (r ,i)
（9）
• 3 力学量算符的本征态和本征值 微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状 态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。 ，本征方程为 假定体系处于力学量算符 的本征态 F （10） F 说明力学量算符对应着确定的实数本征值 ，这时的 力学量没有别的选择，只能是 （11） F
* m ( x) n ( x) 0
连续谱为
* ( x) ( x) 0
一般与归一化结合在一起，表示为
* m ( x) n ( x) mn
* ( x) ( x) ( )
（12）
# 这里需要说明的是，正交本征态是属于不同本征值 m , n 的。若属于同一本征值的本征态有 个，即 度简并，则这 个本征态不一定正交，但也不一定不正交！这要看这个力 Q的 学量 F 的本征值简并的态函数是否同时也是其它力学量 态函数，如果是，那么对F , Q 的本征值是否还简并？如球谐 2 函数 Ylm ( , ) ，它是角动量平方算符 L 的本征函数，对应 2 l ( l 1 ) 的本征值 有 ( 2l 1)度简并，但 Ylm ( , ) 也是角动量的
• 3.4 关于 H 的本征态（能量本征态） dinger 方程 H E n ，本征值 E n （1）定态 Schro 是粒子能量的可能取值。如一维无限深势阱、线性谐振子 等。 （2）电子在库仑场中运动的氢原子问题
H nlm (r , , ) E n nlm (r , , )
能量本征值 本征态
z 2 es4 E n 2 2 , n 1,2,3, 2 n
nlm (r , , ) Rnl (r )Ylm ( , )
• 注意分析结果后回答几个问题： （a）能级简并度？ （b） Ylm ( , )是 L2 , L z 的本征态吗？假若是的话， 对应的本征值各是多少？ H 和 L2 能共同 （c） H 能确定唯一的本征态吗？ 确定本征态吗？ H , L2 , L z 三者呢？
2 d 2 2 n H n ( x) sin x 2 的本征态（能量本征态） 2 dx a a 2 2 2 势阱宽 (0 ~ a ) ，本征值 E E n n , n 1,2,3 2 2 a
力学量算符的本征值被称为力学量谱或本征值谱
• 大致可分为三类： （1）连续谱—本征值可取任何实数值。如自由粒子的 坐标和动量的本征值谱； （2）带谱—本征值被限定在某些区域， x1 F1 x 2 , x3 F x 4 , 例如固体中的能带； （3）分立谱—本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在 束缚态下的能谱。 重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为 或 ，分 立谱记为 n (n 1,2, ) 。对应的本征函数分别记为 , 及 n 。 二是力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而 出现若干个（如 个）本征态对应一个本征值，称这种情 况为 度简并。
即归一化为 函数
• 3.3 动量算符
能归一化为 函数 对于三维情况 归一化为
i p x ( x) p x p x ( x) x 对应本征值 p x 的本征函数 1 ipx x / p x ( x) e 2 具有确定动量 p x 的平面波函数，本征值组成连续谱，只
x
（4）厄米算符 满足 F F 的算符称为厄米算符，又 称自厄算符。因此，只要称其为厄米算符，虽然没有任何标 记，但它都包含转置共轭的性质，如 F 为厄米算符，则有
* F dx F dx ( F ) dx * * *
（7）
• 此式为厄米算符的定义式，它的本征值具有特殊的结果： 厄米算符的本征值都是实数
• 1 厄米算符 • 1.1 算符：算符 F 只是代表对函数施加某种运算的符号， d 是一种数学语言工具。例如 dx 、 、 等。量子力学中的力学 量在与波函数的作用中，往往表现为一种运算形式，例如动 2 2 量 p 与 i 相当，自由粒子体系的能量 E 与 2 相当。 于是，用算符表示力学量的假设被人们初步认识。 1.2 算符和它的本征态：一般来说，算符作用在一个函数 上，总会得到另一个构造不同的函数
2
l 0,1,2,
m l
m 0,1,2,
注意以下三点： （1）m 取负值时 Ylm ( , ) (1) m Yl*m ( , ) 所以只需注 意 m 为正值时的 Ylm 即可； 2 2 （2）当 l 一定时，角动量平方算符的本征值 L l (l 1) 一定，但 m 可取 ( 2l 1) 个值，所以本征态有 Ylm , Yl 0 , Yl m 共 ( 2l 1)个，即角动量平方算符的本征
F
但在特殊情况下，得到
（1）
(本征方程) （2）
F
• 1.3 厄米算符： * F （1 ）算符 F 中所有复量换成共轭复量，称为共轭算符 * * 例如 p i ，则 p i ，一般来说， p p ~ （2）算符 F 的转置算符定义为 F ，即
p (r )
1 ip r / e 3/ 2 (2 )
p x i 的本征方程 x
0 , p p * * p (r ) p (r )d ( p p ) , p p
值是 (2l 1) 度简并的； ) （3）L z Ylm ( , ) mYlm ( , ，说明 Ylm ( , )也是 L z 的本征 m 只与一个确定的本 态。由此可见，当 l 给定后，本征值 征态 Ylm ( , ) 相对应，说明 L2 , L z 共同消除了简并，确定了 一个共同的本征函数Ylm ( , ) 。例如，给定 l 3 ，则 L2 12 2 对应7个简并态 Y3m ；进一步给定 m 2 ，则 Lz 2 ，二者 共同确定一个本征态 Y32 ( , ) 。 3.2 坐标算符 的本征态 设坐标算符 的本征函数为 x ( x) ，本征值为 x ，则 本征方程为 x x ( x) x x ( x) 即 ( x x ) x ( x) 0 )dx － － x x ＋
*
（3）转置共轭算符（又称厄米共轭）定义为 F * F ，即
* F dx F dx ( F ) dx * * *
~
一般来讲
（5） F F 但动量算符却例外 p x i x p x i p x （6）
• 由波函数单值性要求 e im( 2 ) e im 故 m 必须是整数 m 0,1,2, 可见本征值 Lz m 是量子化的分立谱。 利用归一化条件 2 * 2 d C 2 1
0
得归一化的波函数为
m ( ) 1 2 e im
( m 0,1,2, )
角动量平方算符
1 1 2 L sin 2 2 sin sin
2 2
L Y ( , ) l (l 1) 2Y ( , ) • 本征方程 L2 l (l 1) 2 对应的本征值 本征态 (2l 1)(l m)! m Ylm ( , ) Pl (cos )e im 4 (l m)!
量子力学中的力学量
经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动 量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描 述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一 个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状 态。但 并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了 一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中的力学 量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿 始终。