农大2009 -2010 学年春季学期概率论与数理统计(C)课程试题解答

2
(n − 1) S 2 2 2 ，当 H 0 为真， χ ∼ χ ( n − 1) 4
2分
2 2 当给定 α = 0.05, n = 4 时， χα ( n − 1) = χ 0.05 (3) = 7.815, 故拒绝域为 χ 2 > 7.815.
2分
(n − 1) S 2 3 × 13.3 = = 9.975 > 7.815, 故拒绝 H 0 。 χ = 4 4
随机样本。 求（1） θ 的矩估计量 θ ； （2）求 θ 的方差 D(θ ) 。
解： （1） E ( X ) = 令
∧ ∧ ∧
∧
（15 分）
3分
∫
+∞
−∞
xf ( x)dx = ∫
∧
θ
6 x2
0
θ
3
(θ − x)dx =
θ
2
，
θ
2
= X 得到 θ = 2 X 4 D( X ) n
3分 3分
（2） D (θ ) = D (2 X ) = 4 D ( X ) =
解：记事件 A、 B 分别为甲、乙两厂的产品, C 为废品, 则 (1) P( A) =
30 3 20 2 = , P( B) = = , 50 5 50 5
(10 分)
2分 1分 2分 2分 1分 2分
P(C | A) = 0.06, P(C | B) = 0.05 由全概率公式, 得 P (C ) = P( A) P(C | A) + P( B) P(C | B) = 0.056 (2) P( A) =
2、设 ϕ ( x ) 为连续型随机变量 X 的密度函数， F ( x ) 为它的分布函数，则（ （A） 0 ≤ ϕ ( x ) ≤ 1 （B） P ( X = x ) = ϕ ( x ) （C） P ( X = x) ≤ F ( x )
（D） P ( X = x) = F ' ( x) A ）
3、设 k 在 [0, 5] 上服从均匀分布，则方程 4 x 2 + 4kx + k + 2 = 0 有实根的概率为（ （A）
第2页 共4页
（2） X , Y 边缘密度函数 f X ( x), fY ( y ) ，并判断 X , Y 是否相互独立； （3） P{Y ≥ X } 。
解： （1）区域 D 的面积为 A =
（15 分） 2 3 1 1 2 ( x − x ) dx = [ x 2 − x3 ]1 0 = ∫0 3 3 3
30 × 100 20 × 120 5 4 = , P( B ) = = , 30 × 100 + 20 × 120 9 30 × 100 + 20 × 120 9
P(C | A) = 0.06, P(C | B) = 0.05 由全概率公式, 得 P (C ) = P( A) P(C | A) + P( B) P(C | B) ≈ 0.056 .
0
1分
1分 4分
∫ ∫
1
ห้องสมุดไป่ตู้
x
2
x
1 1 1 1 dy = 3∫ ( x − x 2 ) dx = 3( x 2 − x 3 ) |1 = 0 0 2 3 2
⎧ 6x ⎪ 3 (θ − x), 0 < x < θ 六、 设总体 X 的概率密度为 f ( x) = ⎨ θ ，X 1，X 2， X n 是取自总体 X 的简单 ⎪ 其它 0, ⎩
解： P ( X > 150) =
100 100 +∞ 2 dx = −[ ]150 = 2 3 x x 2 8 （1）三只都完好的概率为： ( )3 = 3 27 2 4 1 1 （2）恰有一只被替换的概率为： C3 ⋅ ⋅ ( )2 = 3 3 9
∫
+∞
150
4分 3分
3分
五、设二维随机变量 ( X , Y ) 在曲线 y = x 2 与 x = y 2 所围成的区域 D 中服从均匀分布，求 （1） ( X , Y ) 的联合密度函数；
当给定 α = 0.05, n = 4 时， tα 2 ( n − 1) = t0.025 (3) = 3.1824, 故拒绝域为 t ≥ 3.1824
2分
t =
1267 − 1260 = 3.834 > 3.1824 ，故拒绝 H 0 。 3.6515 4
3分
（2） H 0 : σ 2 ≤ 4, H1 : σ 2 > 4 选取检验统计量为 χ =
s = 3.65 度。假定数据服从正态分布，在 α = 0.05 条件下，试检验
（1）这些结果是否符合公布的数字 1260 度？ （2）假设 H 0 : σ 2 ≤ 4, H1 : σ 2 > 4 （15 分）
查表 t0.025 (3) = 3.1824, t0.025 (4) = 2.7764, t0.05 (3) = 2.3534, t0.05 (4) = 2.1318
2分
(n − 1) 2 D( S 2 )
σ4
2σ 4 = 2(n − 1) ，即 D( S ) = n −1
2分
第4页
共4页
2
3分
八、设总体 X ∼ N ( μ , σ 2 ), X 1 , X 2 ,
解：
X n 为简单随机样本， S 2 为样本方差，求 D( S 2 ). （5 分）
1分
(n − 1) S 2
σ2
∼ χ 2 (n − 1) ， (n − 1) S 2
又 χ 分布的性质可知， D (
2
σ2
2
) = 2(n − 1) ，
X
X n 是来自总体 X 的样本，则 μ 的极大似然估计
。
⎧be − ( x + y ) , 0 < x < 1, 0 < y < +∞ 0, 其它
5、设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为 f ( x, y ) = ⎨
⎩
，
则常数 b =
1 1 − e −1
。
三、某商店收进甲厂生产的产品 30 箱，乙厂生产的同种产品 20 箱，甲厂每箱装 100 个，废 品率为 0.06，乙厂每箱装 120 个， 废品率为 0.05。 求：(1) 任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2) 若将所有产品开箱混放，任取一个为废品的概率。
2009 -2010 学年春季学期概率论与数理统计（C）课程试题解答（2010.7）
一、选择题（15 分） 1、设事件 A, B 的概率均大于零小于 1，且 A, B 相互独立，则（ （A） A, B 互不相容 （B） A, B 一定相容 B ） （D） A, B 互不相容 C ）
（C） A, B 互不相容
i =1
则常数 k 和 χ 2 分布的自由度 n 分别为（
1 （A） k = , n = 1 4 1 （B） k = , n = 1 2
A
）
1 （D） k = , n = 4 2
1 （C） k = , n = 4 4
二、填空题（15 分）
1 1 2 1、甲乙两人向同一目标独立地各射击一次，命中率分别为 , , 则目标被击中的概率为 3 2 3
⎧100 , x > 100 ⎪ 四、 某种电子管的寿命 X （小时）的概率密度为 f ( x) = ⎨ x 2 ⎪ x ≤ 100 ⎩ 0,
一台仪器装有三个这种电子管， （假设三个电子管的寿命是相互独立的） （1） 求在最初使用的 150 小时内，三个电子管都未被替换的概率； （2）求在最初使用的 150 小时内，恰有一个电子管被替换的概率。 （10 分）
D( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 = ∫
∧
θ
6 x3
0
θ 2 3 2 θ2 θ2 ( θ − x ) dx − ( ) = θ − = θ3 2 10 4 20
3分
4 4 θ2 θ2 D(θ ) = D( X ) = × = n n 20 5n
3分
第3页
共4页
七、某冶金工作者对锰的熔化点作了四次试验，测得温度平均值 x = 1267 度，样本标准差
2分
所以 X 的边缘密度函数为 f X ( x) = ⎨ 当 0 ≤ y ≤ 1 时， fY ( y ) =
1分
∫
y y
2
3dx = 3( y − y 2 )
2分
⎧ ⎪3( y − y 2 ), 0 ≤ y ≤ 1 所以 Y 的边缘密度函数为 fY ( y ) = ⎨ 其它 0, ⎪ ⎩
因为 f ( x, y ) ≠ f X ( x) fY ( y ) ，所以 X , Y 不相互独立。 （3） P{Y ≥ X } = 3 dx
1
2分
⎧ ⎪3, 0 ≤ x ≤ 1, x 2 ≤ y ≤ x ( X , Y ) 的联合密度为 f ( x, y ) = ⎨ 其它 ⎪ ⎩0,
（2）当 0 ≤ x ≤ 1 时， f X ( x) =
2分
∫
x
x2
3dy = 3( x − x 2 )
⎧3( x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 1 ⎪ 其它 0, ⎪ ⎩
2、设 X ∼ N (4,9), 确定常数 c 使得 P{ X > c} = P{ X ≤ c}, 则 c = 3、设随机变量 X 1 , X 2 独立同分布 Xi
P
4
。
0
1 2
1
1 2
0 0.75
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则随机变量 Y = min{ X 1 , X 2 } 的概率分布为 Y
1 0.25
4、设总体 X ∼ N ( μ , σ 2 ) ， μ 未知， X 1 , X 2 , 量为