高考数学专题复习 函数性质
函数性质的综合应用-高考数学复习
目录
高中总复习·数学
解题技法
综合应用奇偶性与单调性解题的技巧
（1）比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区
间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再
利用函数的单调性比较大小；
（2）对于抽象函数不等式的求解，应变形为 f （ x 1）＞ f （ x 2）的形
式，再结合单调性，脱去“ f ”变成常规不等式，转化为 x 1＜ x 2
偶函数，则（
）
A. f （ x ）是偶函数
B. f （ x ）是奇函数
C. f （ x ＋3）是偶函数
D. f （ x ）＝ f （ x ＋4）
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高中总复习·数学
解析：
∵ f （ x ＋1）是偶函数，∴ f （－ x ＋1）＝ f （ x ＋1），
从而 f （－ x ）＝ f （ x ＋2）.∵ f （ x －1）是偶函数，∴ f （－ x －1）
它可能为某种基本初等函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜
测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为
我们的解题提供思路和方法.
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高中总复习·数学
常见的抽象函数对应的基本初等函数模型如下：
基本初等函数模型
一次函数 f （ x ）＝ kx
＋ b （ k ≠0）
抽象函数性质
f （ x ±y ）＝ f （ x ）±f （ y ）∓ b
1）＝2，则 f （2 025）＝（
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
）
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高中总复习·数学
解析： 由函数 y ＝ f （ x －1）的图象关于直线 x ＝1对称，可知函
数 f （ x ）的图象关于 y 轴对称，故 f （ x ）为偶函数.又由 f （ x ＋4）
高考总复习一轮数学精品课件 第3章 函数与基本初等函数 第5节 幂函数、对勾函数及一次分式函数
奇函数
函数
y=x
图象
过定点
(1,1)
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
微思考幂函数的图象可以经过第四象限吗?
提示 不可以.因为当x>0时,y=xα>0,所以幂函数的图象一定经过第一象限,
不经过第四象限.
微点拨1.幂函数在(0,+∞)内都有定义.
2.当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)内单调递增.
f(x)=2+ ,所以函数的单调递增区间是(-∞,-3)和(-3,+∞).
+3
又因为 f(x)在(-∞,a)内单调递增,所以 a≤-3.
变式探究1
在本例中,所有条件不变,则函数g(x)=f(sin
1 3
[-2 , 4]
x)的值域为__________.
-5
解析 g(x)=f(sin x)=2+sin+3,由于-1≤sin x≤1,所以 2≤sin x+3≤4,
解 根据题意知,要使函数 f(x)有意义,则不等式 x+a≠0 即 x≠-a,
又因为 f(x)的定义域为{x|x≠-3},所以 a=3.
(1)因为
2+1
f(x)= +3
=
2+6-5
-5
-5
=2++3,由于+3
+3
因此函数的值域为{y|y≠2}.
(2)因为
≠0,所以
-5
2++3
≠2,
-5
研考点
精准突破
考点一
幂函数的概念、图象及性质
2025新高考数学一轮复习函数性质的综合应用教案
∴ -1 ≥ 0, 或 -1 ≤ 0, 解得 1≤x≤3 或-1≤x≤0,
-1 ≤ 2
-1 ≥ -2,
∴满足 xf(x-1)≥0 的 x 的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选 D.
规律方法
综合运用奇偶性与单调性解题的方法技巧
(1)比较大小:先利用奇偶性将不在同一单调区间上的自变量的函数值转化
又因为f(2x+1)是奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,
于是函数f(x)的周期为T=4×|2-1|=4.
由于f(2x+1)是奇函数,所以f(2×0+1)=f(1)=0,而f(x+2)是偶函数,
所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1代入得f(3)=f(1)=0,因此f(-1)=0,故选B.
(2)当函数图象具有对称中心时,在对称中心两侧的单调性相同;当函数图
象具有对称轴时,在图象的对称轴两侧的单调性相反.
2.关于函数奇偶性与周期性的常用结论
(1)若f(a-x)=f(x)且f(x)为偶函数,则f(x)的周期为a;
(2)若f(a-x)=f(x)且f(x)为奇函数,则f(x)的周期为2a;
(3)若f(x+a)与f(x+b)(a≠b)都是偶函数,则f(x)的周期是2|a-b|;
[对点训练1](2024·江西赣州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+1)
因此|x-1|>1,解得x>2或x<0,即解集为(-∞,0)∪(2,+∞),故选B.
(3)(2020·新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则
满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( D )
高考数学函数的定义和性质
高考数学函数的定义和性质函数是高中数学中的重要概念之一。
它在高考数学中占有重要的地位，理解和掌握函数的定义和性质对于解题至关重要。
本文将从函数的定义、基本性质以及一些常见函数的性质等方面来进行阐述。
1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，可以将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一一个元素相关联。
用数学语言描述就是，对于集合A和B，如果存在一种规律，使得对于A中的每个元素a，都能找到B中唯一一个元素b与之对应，那么我们就可以说集合A和B之间存在一个函数f。
2. 函数的基本性质函数有一些基本的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性以及周期性等。
2.1 定义域和值域定义域是指函数能够取值的所有实数的集合，常用符号表示为D；值域是指函数所有可能取得的值的集合，常用符号表示为R。
2.2 单调性单调性指函数在定义域上的增减性质。
如果在定义域内任取两个实数a和b，并且a小于b，那么函数f(x)在a处的函数值f(a)和在b处的函数值f(b)之间的大小关系可以判断函数的单调性。
2.3 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点(0,0)的对称性。
如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = -f(x)成立，则称函数是奇函数；如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = f(x)成立，则称函数是偶函数。
2.4 周期性周期性指函数在一定区间上具有重复性质。
如果存在一个正数T，使得对于定义域上的任何实数x，有f(x+T) = f(x)成立，则称函数具有周期性。
3. 常见函数的性质在高考数学中，有许多常见的函数，其中包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
每个函数都有其独特的性质，掌握这些性质对于解题非常有帮助。
3.1 一次函数一次函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
一次函数的图像是一条直线，其特点是斜率恒定。
3.2 二次函数二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不为零。
高考数学专题复习 函数的周期性、对称性(原卷版)
第四讲函数的周期性与对称性【套路秘籍】一．对称性（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。
2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。
⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
⒁绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。
专题四函数性质的综合问题(2021年高考数学一轮复习专题)
专题四函数性质的综合问题一、题型全归纳题型一 函数的奇偶性与单调性【题型要点】函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x 1)>f (x 2)或f (x 1)<f (x 2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．【例1】已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 13，b ＝(ln 3)2，c ＝ln 3，则( ) A ．f (a )>f (b )>f (c ) B ．f (b )>f (a )>f (c ) C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )【解析】 由题意易知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，又因为|a |＝ln 3>1，b ＝(ln 3)2>|a |，0<c ＝ln 32<|a |，所以f (c )>f (|a |)>f (b )．又由题意知f (a )＝f (|a |)，所以f (c )>f (a )>f (b )．故选C.题型二 函数的奇偶性与周期性【题型要点】周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．【例1】(2020·武昌区调研考试)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且函数y ＝f (x －1)为偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则⎪⎭⎫⎝⎛25f ＝ ．【解析】解法一：因为f (x )是R 上的奇函数，y ＝f (x －1)为偶函数，所以f (x －1)＝f (－x －1)＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x )，即f (x )的周期T ＝4，因为0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，所以⎪⎭⎫⎝⎛25f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4-25f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+211-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ＝－18. 解法二：因为f (x )是R 上的奇函数，y ＝f (x －1)为偶函数，所以f (x －1)＝f (－x －1)＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，由题意知，当－1≤x <0时，f (x )＝x 3，故当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 3，当1<x ≤3时，－1<x －2≤1，f (x )＝－(x －2)3，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛25f ＝32-25-⎪⎭⎫⎝⎛＝－18.题型三 函数的综合性应用【题型要点】求解函数的综合性应用的策略(1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；偶函数一定有f (|x |)＝f (x )”在解题中的应用．(2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．【例1】(2020·陕西榆林一中模拟)已知偶函数f (x )满足f (x )＋f (2－x )＝0，现给出下列命题：①函数f (x )是以2为周期的周期函数；②函数f (x )是以4为周期的周期函数；③函数f (x －1)为奇函数；④函数f (x －3)为偶函数，其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 偶函数f (x )满足f (x )＋f (2－x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (2－x )，f (x ＋2)＝－f (x )， f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，可得f (x )的最小正周期为4，故①错误，②正确； 由f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋1)＝－f (x －1)．又f (－x －1)＝f (x ＋1)，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，故f (x －1)为奇函数，③正确； 若f (x －3)为偶函数，则f (x －3)＝f (－x －3)，又f (－x －3)＝f (x ＋3)，所以f (x ＋3)＝f (x －3)，即f (x ＋6)＝f (x )，可得6为f (x )的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误，故选B.题型四 函数性质中“三个二级”结论的灵活应用结论一、奇函数的最值性质【题型要点】已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0.【例1】设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝ ．【解析】函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，所以M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2.结论二、抽象函数的周期性(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .(3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .【例2】已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (1)＝2，则f (17)＝ ．【解析】由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数． 由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )，所以f (x )是最小正周期为8的偶函数，所以f (17)＝f (1＋2×8)＝f (1)＝2.结论三、抽象函数的对称性已知函数f (x )是定义在R 上的函数．(1)若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称，特别地，若f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称．【例2】(2020·黑龙江牡丹江一中期末)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，下面关于f (x )的判定，其中正确命题的个数为( ) ①f (4)＝0；②f (x )是以4为周期的函数；③f (x )的图象关于x ＝1对称；④f (x )的图象关于x ＝2对称． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 因为f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0，因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是以4为周期的周期函数，f (4)＝f (0)＝0， 因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f [(x ＋1)＋1]＝f (－x )，令t ＝x ＋1，则f (t ＋1)＝f (1－t )，所以f (x ＋1)＝f (1－x )， 所以f (x )的图象关于x ＝1对称，而f (2＋x )＝f (2－x )显然不成立．故正确的命题是①②③，故选C.二、高效训练突破 一、选择题1.(2020·洛阳一中月考）已知定义域为(－1，1)的奇函数f (x )是减函数，且f (a －3)＋f (9－a 2)<0，则实数a 的取值范围是( )A ．(22，3)B ．(3，10)C ．(22，4)D ．(－2，3)【解析】：由f (a －3)＋f (9－a 2)<0得f (a －3)<－f (9－a 2)．又由奇函数性质得f (a －3)<f (a 2－9)．因为f (x )是定义域为(－1，1)的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －3<1，－1<a 2－9<1，a －3>a 2－9，解得22<a <3.2．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－98D ．98【解析】：由f (x ＋4)＝f (x )知，f (x )是周期为4的周期函数，f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)． 由f (1)＝2×12＝2得f (－1)＝－f (1)＝－2，所以f (2 019)＝－2.故选A.3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝( ) A ．－6 B ．6 C ．4D ．－4【解析】 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4.4.(2020·广东六校第一次联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )及f (x )＝－f (－x )，且在[0，1]上有f (x )＝x 2，则⎪⎭⎫⎝⎛212019f ＝( ) A.94 B.14 C ．－94D ．－14【解析】：函数f (x )的定义域是R ，f (x )＝－f (－x )，所以函数f (x )是奇函数．又f (x )＝f (2－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝－f (2＋x )＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的奇函数，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛212019f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21-2020f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f .因为在[0，1]上有f (x )＝x 2，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛＝14， 故⎪⎭⎫ ⎝⎛212019f ＝－14，故选D. 5.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 的x 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛3231， B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡3231， C.⎪⎭⎫⎝⎛3221，D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡3221，【解析】：因为f (x )是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f (2x －1)<⎪⎭⎫⎝⎛31f ，所以|2x －1|<13，所以13<x <23.6.(2020·石家庄市模拟(一))已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝4x －1，则在(1，3)上，f (x )≤1的解集是( )A.⎥⎦⎤ ⎝⎛231，B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2523，C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡323，D ．[2，3)【解析】因为0≤x ≤1时，f (x )＝4x －1，所以f (x )在区间[0，1]上是增函数，又函数f (x )是奇函数，所以函数f (x )在区间[－1，1]上是增函数，因为f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以函数f (x )在区间(1，3)上是减函数，又⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝1，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ＝1，所以在区间(1，3)上不等式f (x )≤1的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡323，，故选C.6.(2020·黑龙江齐齐哈尔二模)已知函数f (x )是偶函数，定义域为R ，单调增区间为[0，＋∞)，且f (1)＝0，则(x －1)f (x －1)≤0的解集为( ) A ．[－2，0] B ．[－1，1]C ．(－∞，0]∪[1，2]D ．(－∞，－1]∪[0，1]【解析】：由题意可知，函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，且f (－1)＝0，令x －1＝t ，则tf (t )≤0，当t ≥0时，f (t )≤0，解得0≤t ≤1；当t <0时，f (t )≥0，解得t ≤－1，所以0≤x －1≤1或x －1≤－1，所以x ≤0或1≤x ≤2.故选C. 7.对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是( ) A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4D ．1和2【解析】：设g (x )＝a sin x ＋bx ，则f (x )＝g (x )＋c ，且函数g (x )为奇函数．注意到c ∈Z ，所以f (1)＋f (－1)＝2c 为偶数．故选D.8.(2020·甘肃甘谷一中第一次质检)已知定义在R 上的函数f (x )满足条件：①对任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对任意的x 1，x 2∈[0，2]且x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)；③函数f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，则下列结论正确的是( )A ．f (7)<f (6.5)<f (4.5)B ．f (7)<f (4.5)<f (6.5)C ．f (4.5)<f (7)<f (6.5)D ．f (4.5)<f (6.5)<f (7)【解析】：因为对任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，所以函数是以4为周期的周期函数，因为函数f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，所以函数f (x )的图象关于x ＝2对称， 因为x 1，x 2∈[0，2]且x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在[0，2]上为增函数， 所以函数f (x )在[2，4]上为减函数．易知f (7)＝f (3)，f (6.5)＝f (2.5)，f (4.5)＝f (0.5)＝f (3.5)，则f (3.5)<f (3)<f (2.5)，即f (4.5)<f (7)<f (6.5)．9．(2020·甘肃静宁一中一模)函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛25f <⎪⎭⎫ ⎝⎛27fB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛27f <⎪⎭⎫ ⎝⎛25f <f (1)C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛27f <f (1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛25fD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛25f <f (1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛27f【解析】：函数f (x ＋2)是偶函数，则其图象关于y 轴对称，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称，则⎪⎭⎫⎝⎛25f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛27f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ，函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，则有⎪⎭⎫ ⎝⎛21f <f (1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛27f <f (1)<⎪⎭⎫⎝⎛25f .故选C. 10.(2020·辽宁沈阳东北育才学校联考(二))函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (－1)＝0，若对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有x 1f （x 1）－x 2f （x 2）x 1－x 2<0成立，则不等式f (x )<0的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－1，0)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)【解析】：令F (x )＝xf (x )，因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以F (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝F (x )， 所以F (x )是偶函数，因为f (－1)＝0，所以F (－1)＝0，则F (1)＝0，因为对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2时，都 有x 1f （x 1）－x 2f （x 2）x 1－x 2<0成立，所以F (x )在(－∞，0)上单调递减，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以不等式f (x )<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)，故选C.二、填空题1.若偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则f (x －2)>0的条件为 ．【解析】：由f (x )＝x 3－8(x ≥0)，知f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0.所以，由已知条件可知f (x －2)>0⇒f (|x －2|)>f (2)．所以|x －2|>2，解得x <0或x >4. 2.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是________； 【解析】 易知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )为偶函数．当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，易知此时f (x )单调递增．所以f (x )>f (2x －1)⇒f (|x |)>f (|2x －1|)，所以|x |>|2x －1|，解得13<x <1.3.偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝ ． 【解析】：因为f (x )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)．又f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (1)＝f (3)．所以f (－1)＝3.4.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝1f (x )，当x ∈[0，2)时，f (x )＝x ＋e x ，则f (2020)＝________.【解析】因为定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝1f (x )，所以f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4.当x ∈[0,2)时，f (x )＝x ＋e x ，所以f (2020)＝f (505×4＋0)＝f (0)＝0＋e 0＝1. 5.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝ ．【解析】：根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.6.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为 ．【解析】：因为f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (1)＝0，所以f (－1)＝－f (1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数．因为f （x ）－f （－x ）x ＝2·f （x ）x <0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f （x ）<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f （x ）>0，解得x ∈(－1，0)∪(0，1)． 三、解答题1.函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论．【解析】：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， 所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．2.已知函数f (x )对任意x ∈R 满足f (x )＋f (－x )＝0，f (x －1)＝f (x ＋1)，若当x ∈[0，1)时，f (x )＝a x ＋b (a ＞0且a ≠1)，且⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ＝12.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )的值域．【解析】：(1)因为f (x )＋f (－x )＝0，所以f (－x )＝－f (x )，即f (x )是奇函数． 因为f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (0)＝0，即b ＝－1.又⎪⎭⎫⎝⎛23f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ＝1－a ＝12，解得a ＝14. (2)当x ∈[0，1)时，f (x )＝a x ＋b ＝x⎪⎭⎫⎝⎛41－1∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡043-，，由f (x )为奇函数知，当x ∈(－1，0)时，f (x )∈⎪⎭⎫ ⎝⎛430，， 又因为f (x )是周期为2的周期函数，所以当x ∈R 时，f (x )∈⎪⎭⎫⎝⎛4343-，.。
高三数学专题复习函数的性质及应用
函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。
函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。
研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。
函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。
对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。
掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。
要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。
一、函数与反函数例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有个．（2）、（2012•徐汇区一模）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有个．（3）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= ．二、函数值域及最值求法例2、（1）（2011•上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为．（2）（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是．（3）．（2012•虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是．三、函数单调性与奇偶性例3、（1）（2013•资阳一模）已知函数若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值范围是．（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是．（3）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）= ．（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ．四、函数的周期性例4、（1）已知奇函数满足的值为 。
高考数学复习考点题型专题讲解29 函数的图象与性质
高考数学复习考点题型专题讲解专题29 函数的图象与性质高考定位 1.以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、最值与值域、奇偶性和单调性；2.利用函数的性质推断函数的图象；3.利用图象研究函数性质、方程及不等式的解集，综合性较强.1.(2022·北京卷)已知函数f(x)＝11＋2x，则对任意实数x，有( )A.f(－x)＋f(x)＝0B.f(－x)－f(x)＝0C.f(－x)＋f(x)＝1D.f(－x)－f(x)＝1 3答案 C解析函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝11＋2－x ＝2x1＋2x，所以f(－x)＋f(x)＝2x1＋2x＋11＋2x＝1，故选C.2.(2022·全国甲卷)函数f(x)＝(3x－3－x)·cos x在区间[－π2，π2]的图象大致为( )答案 A解析 法一(特值法) 取x ＝1，则y ＝(3－13)cos 1＝83cos 1＞0 ；取x ＝－1，则y ＝(13－3)cos(－1)＝－83cos 1＜0.结合选项知选A. 法二 令y ＝f (x )，则f (－x )＝(3－x －3x )cos(－x )＝－(3x －3－x )cos x ＝－f (x )， 所以函数y ＝(3x －3－x )cos x 是奇函数，排除B ，D ； 取x ＝1，则y ＝(3－13)cos 1＝83cos 1＞0，排除C.故选A.3.(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋y )＋f (x －y )＝f (x )f (y )，f (1)＝1，则∑22k ＝1f (k )＝( ) A.－3 B.－2 C.0 D.1 答案 A解析 因为f (1)＝1，所以在f (x ＋y )＋f (x －y )＝f (x )f (y )中， 令y ＝1，得f (x ＋1)＋f (x －1)＝f (x )f (1)， 所以f (x ＋1)＋f (x －1)＝f (x )，① 所以f (x ＋2)＋f (x )＝f (x ＋1).② 由①②相加，得f (x ＋2)＋f (x －1)＝0， 故f (x ＋3)＋f (x )＝0， 所以f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )， 所以函数f (x )的一个周期为6. 在f (x ＋y )＋f (x －y )＝f (x )f (y )中， 令y ＝0，得f (x )＋f (x )＝f (x )f (0)， 所以f (0)＝2.令x ＝y ＝1，得f (2)＋f (0)＝f (1)f (1)， 所以f (2)＝－1. 由f (x ＋3)＝－f (x )，得f (3)＝－f (0)＝－2，f (4)＝－f (1)＝－1，f (5)＝－f (2)＝1，f (6)＝－f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，∑22k ＝1f (k )＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1－1－2－1＝－3，故选A. 4.(2021·新高考Ⅰ卷)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________. 答案 1解析 函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞). ①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ，所以f ′(x )＝2－2x ＝2（x －1）x.当12<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1； ②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x ，显然f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减， 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2ln 12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1. 综上，f (x )min ＝1.热点一 函数的概念与表示1.复合函数的定义域(1)若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f (g (x ))中，由m ≤g (x )≤n 解得x 的范围即为f (g (x ))的定义域.(2)若f (g (x ))的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 得到g (x )的范围，即为f (x )的定义域. 2.分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.例1 (1)(2022·济宁质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，x ≤0，log 12x ，x ＞0，则f (f (－1))＝()A.－2B.2C.－12D.12(2)已知函数f (x )＝x 1－2x，则函数f （x －1）x ＋1的定义域为( )A.(－∞，1)B.(－∞，－1)C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(－∞，－1)∪(－1，1) 答案 (1)A (2)D解析(1)∵f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，x ≤0，log 12x ，x ＞0，∴f (－1)＝22＝4，∴f (f (－1))＝f (4)＝log 124＝－2，故选A.(2)令1－2x >0，即2x <1，即x <0. ∴f (x )的定义域为(－∞，0). ∴函数f （x －1）x ＋1中，有⎩⎨⎧x －1<0，x ＋1≠0，解得x <1且x ≠－1. 故函数f （x －1）x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1).规律方法 1.形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.2.对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解. 训练1 (1)设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数.若f (x )的图象绕原点按逆时针方向旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是( ) A.3B.32C.33D.0 (2)(2022·南京模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－e x，x ＞0，x 2＋2x ＋4，x ≤0.若f (f (a ))＝4，则a ＝________.答案 (1)B (2)ln 2解析 (1)根据题设知，函数f (x )的图象绕原点按逆(顺)时针方向旋转k π6(k ＝0，1，…，11)后仍与原图象重合.若f (1)＝0，即点A (1，0)是f (x )的图象上的点，将其分别绕原点按逆(顺)时针方向旋转π6，得到点A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12和A ″⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12两点，它们都在f (x )的图象上， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝±12，与函数的定义矛盾，所以排除D ；类似地，若f (1)＝33，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33绕原点按顺时针方向旋转π3，可得f (1)＝－33；若f (1)＝3，可得f (1)＝－3，都不符合函数的定义，故选B. (2)∵x ＞0时，f (x )＝－e x ＜0，x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ＋4＝(x ＋1)2＋3≥3， ∴由f (x )＝4，得x 2＋2x ＋4＝4(x ≤0)，解得x ＝0或x ＝－2， ∴f (a )＝0不存在，舍去，∴f (a )＝－2，则－e a ＝－2，解得a ＝ln 2. 热点二 函数的性质1.函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )＝f (|x |)； f (x )是奇函数⇔f (－x )＝－f (x ).(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数). 2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法. 3.函数图象的对称中心或对称轴(1)若函数f (x )满足关系式f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称.(2)若函数f (x )满足关系式f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ，则函数y ＝f (x )的图象关于(a ，b )对称.考向1 奇偶性与单调性例2 若定义在R 上的奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是( )A.[－1，1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞)D.[－1，0]∪[1，3] 答案 D解析 因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，画出函数f (x )的大致图象如图(1)所示， 则函数f (x －1)的大致图象如图(2)所示.当x ≤0时，要满足xf (x －1)≥0， 则f (x －1)≤0，得－1≤x ≤0. 当x ＞0时，要满足xf (x －1)≥0， 则f (x －1)≥0，得1≤x ≤3.故满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是[－1，0]∪[1，3]. 考向2 奇偶性、周期性与对称性例3 (1)设函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝ax 2＋b .若f (0)＋f (3)＝6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝( )A.－94B.－32C.74D.52(2)(2022·全国乙卷)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且f (x )＋g (2－x )＝5，g (x )－f (x －4)＝7.若y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2对称，g (2)＝4，则∑22k ＝1f (k )＝( ) A.－21 B.－22 C.－23 D.－24 答案 (1)D (2)D解析 (1)由于f (x ＋1)为奇函数， 所以函数f (x )的图象关于点(1，0)对称， 即有f (x )＋f (2－x )＝0，所以f (1)＋f (2－1)＝0，得f (1)＝0， 即a ＋b ＝0.①由于f (x ＋2)为偶函数，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 即有f (x )－f (4－x )＝0，所以f (0)＋f (3)＝－f (2)＋f (1)＝－4a －b ＋a ＋b ＝－3a ＝6.② 根据①②可得a ＝－2，b ＝2， 所以当x ∈[1，2]时，f (x )＝－2x 2＋2.根据函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f (x )的周期为4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2＝52.(2)由y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2对称， 可得g (2＋x )＝g (2－x ).由g (x )－f (x －4)＝7得g (2＋x )－f (x －2)＝7， 又f (x )＋g (2－x )＝5即f (x )＋g (2＋x )＝5， 所以f (x )＋f (x －2)＝－2，由f (x )＋f (x －2)＝－2得f (x －2)＋f (x －4)＝－2， 所以f (x －4)＝f (x )，所以函数f (x )是以4为周期的周期函数. 由f (x )＋g (2－x )＝5可得f (0)＋g (2)＝5，又g (2)＝4，所以可得f (0)＝1， 又f (x )＋f (x ＋2)＝－2， 所以f (0)＋f (2)＝－2，f (－1)＋f (1)＝－2，得f (2)＝－3，f (1)＝f (－1)＝－1， 又f (3)＝f (－1)＝－1，f (4)＝f (0)＝1，所以∑22k ＝1f (k )＝6f (1)＋6f (2)＋5f (3)＋5f (4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D.规律方法 1.若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），其中f (x )≠0，则f (x )的周期为2|a |.2.若f (x )的图象关于直线x ＝a 和x ＝b 对称，则f (x )的周期为2|a －b |.3.若f (x )的图象关于点(a ，0)和直线x ＝b 对称，则f (x )的周期为4|a －b |.训练2 (1)(2022·西安模拟)设y ＝f (x )是定义在R 上的函数，若下列四条性质中只有三条是正确的，则错误的是( ) A.y ＝f (x )为[0，＋∞)上的减函数 B.y ＝f (x )为(－∞，0]上的增函数 C.y ＝f (x ＋1)为偶函数 D.f (0)不是函数的最大值(2)(2022·台州模拟)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，f (5.5)＝2，g (x )＝(x －1)f (x ).若g (x ＋1)是偶函数，则g (－0.5)＝( ) A.－3 B.－2 C.2 D.3答案(1)A (2)D解析(1)由y＝f(x＋1)为偶函数，得函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，假设A，B正确，则有f(x)max＝f(0)，所以D错误，y＝f(x＋1)不可能为偶函数，由此判断出C，D错误，与已知矛盾，由此判断答案A，B中一个正确一个错误，C，D正确，而A，C矛盾，由此确定A错误.(2)因为g(x)＝(x－1)f(x)，g(x＋1)是偶函数，所以g(x＋1)＝xf(x＋1)是偶函数，因为y＝x是奇函数，所以f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，用－x－1替换x，得f(x＋2)＝－f(－x)，又f(x)为R上偶函数，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，所以g(－0.5)＝－1.5f(－0.5)＝1.5f(1.5)＝1.5f(5.5)＝1.5×2＝3.热点三函数的图象1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，解不等式、求解函数的零点等问题.例4 (1)(2022·上饶二模)函数f(x)＝x2x＋2－x的大致图象为( )(2)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是( )A.(－1，1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(0，1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)答案(1)B (2)D解析(1)f(－x)＝－x2－x＋2x＝－f(x)，函数为奇函数，排除C；0＜f(2)＝222＋2－2＜24＝12，排除AD，故选B.(2)在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图. 由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2).又f(x)＞0等价于2x＞x＋1，结合图象，可得x＜0或x＞1.故f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).规律方法 确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.训练3 (1)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是( )A.y ＝－x 3＋3x x 2＋1B.y ＝x 3－x x 2＋1C.y ＝2x cos x x 2＋1D.y ＝2sin xx 2＋1(2)(2022·佛山质检)函数f (x )＝2（x －b ）2a的图象如图所示，则( )A.a >0，0<b <1B.a >0，－1<b <0C.a <0，－1<b <0D.a <0，0<b <1 答案 (1)A (2)D解析 (1)对于选项B ，当x ＝1时，y ＝0，与图象不符，故排除B ； 对于选项D ，当x ＝3时，y ＝15sin 3＞0，与图象不符，故排除D ；对于选项C ，当0＜x ＜π2时，0＜cos x ＜1，故y ＝2x cos x x 2＋1＜2x x 2＋1≤1，与图象不符，所以排除C.故选A.(2)由题图可知，f (0)＝2b 2a <1＝20，故b 2a <0，故a <0， 函数f (x )＝2（x －b ）2a的图象关于直线x ＝b 对称，由题图可知，0<b <1，故选D.一、基本技能练1.(2022·重庆八中测试)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则函数F (x )＝f (x ＋2)＋3－x 的定义域为( ) A.(－2，3] B.[－2，3] C.(0，3] D.(0，3) 答案 A解析 函数F (x )＝f (x ＋2)＋3－x 有意义需满足⎩⎨⎧x ＋2>0，3－x ≥0，解得－2<x ≤3.2.(2022·海南模拟)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A.y ＝ln x B.y ＝|x |＋1 C.y ＝－x 2＋1 D.y ＝3－|x | 答案 B解析 对于A ，函数y ＝ln x 定义域是(0，＋∞)，不是偶函数，A 不是； 对于B ，函数y ＝|x |＋1定义域为R ，是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，B 是； 对于C ，函数y ＝－x 2＋1定义域为R ，是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，C 不是； 对于D ，函数y ＝3－|x |定义域为R ，是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，D 不是.故选B.3.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ＋2，x ＞0，－x ＋a ，x ≤0的值域为[1，＋∞)，则a 的最小值为( )A.1B.2C.3D.4 答案 A 解析 由已知得当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，值域为[1，＋∞)； 当x ≤0时，f (x )＝－x ＋a ，值域为[a ，＋∞)； ∵函数f (x )的值域为[1，＋∞)， ∴a ≥1，则a 的最小值为1.故选A.4.函数f (x )＝ln |x |＋1＋cos x 在[－π，π]上的大致图象为( )答案 C解析 由题知f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，排除A ；f (π)＝ln π＋1－1＜ln e －1＝0，排除B ，D.故选C.5.(2022·梅州二模)设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（6－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 26)＝( ) A.2 B.6C.8D.10 答案 B解析 因为f (x )＝⎩⎨⎧log 2（6－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1.所以f (－2)＝log 28＝3，f (log 26)＝2log 26－1＝3， 所以f (－2)＋f (log 26)＝6.故选B.6.已知函数f (x )＝－x |x |，且f (m ＋2)＋f (2m －1)＜0，则实数m 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13B.(－∞，3)C.(3，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞答案 D解析 对f (x )＝－x |x |，其定义域为R ，且f (－x )＝x |x |＝－f (x )，故f (x )为R 上的奇函数；又当x ＞0时，f (x )＝－x 2，其在(0，＋∞)单调递减； 当x ＜0时，f (x )＝x 2，其在(－∞，0)单调递减； 又f (x )是连续函数，故f (x )在R 上是单调递减函数； 则f (m ＋2)＋f (2m －1)＜0， 即f (m ＋2)＜f (1－2m )，则m ＋2＞1－2m ，解得m ＞－13.故选D.7.(2022·金华质检)已知定义域为R 的偶函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝( )A.－32B.－1C.1D.32答案 C解析 因为函数f (x )是定义域为R 的偶函数，所以f (x )＝f (－x )， 又因为f (1＋x )＝f (1－x )， 所以f (2－x )＝f (x )，则f (2－x )＝f (－x )，即f (2＋x )＝f (x )， 所以f (x )的周期为T ＝2. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1. 8.定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (x )≥12的解集为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k ＋12，4k ＋32(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k ＋12，2k ＋32(k ∈Z )答案 C解析 由题意，函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x )＝f (x ＋4)， 所以函数f (x )是周期为4的函数， 又由f (x )为R 上的奇函数， 可得f (－x )＝－f (x )， 所以f (x ＋2)＝f (－x )，可得函数f (x )的图象关于x ＝1对称， 因为当0≤x ≤1时f (x )＝x ， 可得函数f (x )的图象，如图所示，当x ∈[－1，3]时，令f (x )＝12，解得x ＝12或x ＝32，所以不等式f (x )≥12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k ＋12，4k ＋32(k ∈Z ).故选C.9.(多选)(2022·漳州一模)已知函数f (x )＝2xx 2＋9，则( )A.f (x )的定义域为RB.f (x )是偶函数C.函数y ＝f (x ＋2 022)的零点为0D.当x ＞0时，f (x )的最大值为13答案 AD解析 对A ，由解析式可知f (x )的定义域为R ，故A 正确；对B ，因为f (x )＋f (－x )＝2x x 2＋9＋－2xx 2＋9＝0，可知f (x )是奇函数，故B 不正确；对C ，y ＝f (x ＋2 022)＝2（x ＋2 022）（x ＋2 022）2＋9＝0，得x ＝－2 022，故C 不正确；对D ，当x ＞0时，0＜f (x )＝2x x 2＋9＝2x ＋9x≤22x ·9x＝13，当且仅当x ＝3时取等号，故D 正确.故选AD.10.(多选)对于函数f (x )＝x |x |＋x ＋1，下列结论中错误的是( ) A.f (x )为奇函数B.f (x )在定义域上是单调递减函数C.f (x )的图象关于点(0，1)对称D.f (x )在区间(0，＋∞)上存在零点 答案 ABD解析 f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋x ＋1，x ＜0，x 2＋x ＋1，x ≥0，由图象可知，图象关于点(0，1)对称，因此不是奇函数，在定义域内函数为增函数，在(0，＋∞)上没有零点. 故选ABD.11.(2022·盐城质检)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x，则f (log 27)＝________. 答案 －17解析 因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x ，所以f (log 27)＝－f (－log 27)＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫log 217＝－2log 217＝－17.12.(2022·赤峰模拟)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x )＝________. ①f (－x )＝f (x )；②当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＞0；③f (x 1x 2)＝f (x 1)·f (x 2). 答案 x 2(答案不唯一)解析 由题意，要求f (x )为偶函数且值域为(0，＋∞). 若满足f (x 1x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，则f (x )可以为幂函数，则有f (x )＝x 2满足条件. 二、创新拓展练13.(多选)(2022·沈阳模拟)已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，且y ＝f (x ＋2)为偶函数，若当x ∈[0，2]时，f (x )＝12log 3(x ＋a 2)，下列结论正确的是( )A.a ＝1B.f (1)＝f (3)C.f (2)＝f (6)D.f (2 022)＝－12答案 BD解析 根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数， 则f (－x )＝－f (x )， 又由函数f (x ＋2)为偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 则f (－x )＝f (4＋x )， 即有f (x ＋4)＝－f (x )， 即f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，所以f(x)是周期为8的周期函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝12log3(x＋a2)，可得f(0)＝12log3a2＝0，所以a2＝1，a＝±1，A错；由f(x＋4)＝f(－x)，可得f(1)＝f(3)，B正确；f(6)＝f(－2)＝－f(2)，C错；f(2 022)＝f(252×8＋6)＝f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－12log3(2＋1)＝－12，D正确.故选BD.14.(多选)(2022·济南二模)已知函数f(x)为偶函数，且f(x＋2)＝－f(2－x)，则下列结论一定正确的是( )A.f(x)的图象关于点(－2，0)中心对称B.f(x)是周期为4的周期函数C.f(x)的图象关于直线x＝－2轴对称D.f(x＋4)为偶函数答案AD解析因为f(x＋2)＝－f(2－x)，所以f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，又因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)是周期为8的周期函数，且它的图象关于点(－2，0)中心对称和关于直线x＝4轴对称，所以f(x＋4)为偶函数.故选AD.15.(多选)(2022·泰州模拟)已知定义在R上的单调递增函数f(x)满足：任意x∈R，有f(1－x)＋f(1＋x)＝2，f(2＋x)＋f(2－x)＝4，则( )A.x∈Z时，f(x)＝xB.任意x∈R，f(－x)＝－f(x)C.存在非零实数T，使得任意x∈R，f(x＋T)＝f(x)D.存在非零实数c，使得任意x∈R，|f(x)－cx|≤1答案ABD解析对于A，令t＝1－x，则x＝1－t，则f(t)＋f(2－t)＝2，即f(x)＋f(2－x)＝2，又f(2＋x)＋f(2－x)＝4，∴f(x＋2)＝4－f(2－x)＝4－(2－f(x))＝f(x)＋2；令x＝0，得f(1)＋f(1)＝2，f(2)＋f(2)＝4，∴f(1)＝1，f(2)＝2，则由f(x＋2)＝f(x)＋2可知：当x∈Z时，f(x)＝x，A正确；对于B，令t＝－(1－x)，则x＝1＋t，则f(－t)＋f(2＋t)＝2，即f(－x)＋f(2＋x)＝2，∴f(－x)＝2－f(2＋x)＝2－(4－f(2－x))＝f(2－x)－2，由A的推导过程知：f(2－x)＝2－f(x)，∴f(－x)＝2－f(x)－2＝－f(x)，B正确；对于C，∵f(x)在R上的增函数，∴当T>0时，x＋T>x，则f(x＋T)>f(x)；当T<0时，x＋T<x，则f(x＋T)<f(x)，∴不存在非零实数T，使得任意x∈R，f(x＋T)＝f(x)，C错误；对于D，当c＝1时，|f(x)－cx|＝|f(x)－x|；由f(1－x)＋f(1＋x)＝2，f(2＋x)＋f(2－x)＝4知，f(x)关于(1，1)，(2，2)成中心对称，则当a∈Z时，(a，a)为f(x)的对称中心；当x∈[0，1]时，∵f(x)为R上的增函数，f(0)＝0，f(1)＝1，∴f(x)∈[0，1]，∴|f(x)－x|≤1；由图象对称性可知：此时对任意x∈R，存在非零实数c，|f(x)－cx|≤1，D正确.故选ABD.16.(多选)(2022·杭州质检)已知函数f(x)＝lg(x2－2x＋2－x＋1)，g(x)＝2x＋62x＋2，则下列说法正确的是( )A.f(x)是奇函数B.g(x)的图象关于点(1，2)对称C.若函数F(x)＝f(x)＋g(x)在x∈[1－m，1＋m]上的最大值、最小值分别为M，N，则M ＋N＝4D.令F(x)＝f(x)＋g(x)，若F(a)＋F(－2a＋1)>4，则实数a的取值范围是(－1，＋∞)答案BCD解析对于A，因为x2－2x＋2－x＋1＝（x－1）2＋1－(x－1)>0恒成立，所以函数f(x)的定义域为R.因为f(0)＝lg(2＋1)≠0，所以f(x)不是奇函数，故A选项错误；对于B，将g(x)的图象向下平移2个单位长度得y＝2x＋62x＋2－2＝2－2x2＋2x，再向左平移1个单位长度得h(x)＝2－2x＋12＋2x＋1＝1－2x1＋2x，h (－x )＝1－2－x 1＋2－x ＝2x －12x ＋1＝－h (x )， 所以h (x )的图象关于(0，0)对称，所以g (x )的图象关于(1，2)对称，所以B 正确；对于C ，将f (x )的图象向左平移1个单位长度得m (x )＝lg(x 2＋1－x ).因为m (－x )＋m (x )＝lg(x 2＋1＋x )＋lg(x 2＋1－x )＝lg 1＝0，所以m (x )是奇函数，则f (x )关于(1，0)对称，所以F (x )＝f (x )＋g (x )若在1＋m 处取得最大值，则F (x )在1－m 处取得最小值，则F (1＋m )＋F (1－m )＝f (1＋m )＋f (1－m )＋g (1＋m )＋g (1－m )＝0＋4＝4，所以C 正确； 对于D ，F (a )＋F (－2a ＋1)>4⇔f (a )＋f (1－2a )＋g (a )＋g (1－2a )>4，f (x )＝lg[（x －1）2＋1－(x －1)].设m (x )＝lg(x 2＋1－x )，t ＝x 2＋1－x ， 因为t ′＝x x 2＋1－1＝－x 2＋1＋x x 2＋1<0， 所以t ＝x 2＋1－x 为减函数，所以m (x )＝lg(x 2＋1－x )为减函数，所以f (x )为减函数.又g (x )＝2x＋62x ＋2＝1＋42x ＋2为减函数，所以F (x )为减函数. 由C 项知F (x )关于点(1，2)对称，所以F (a )＋F (－2a ＋1)>4＝F (a )＋F (2－a )，所以F (－2a ＋1)>F (2a )，则－2a ＋1<2－a ，解得a >－1，所以D 正确，故选BCD.17.(2022·全国乙卷)若f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋b 是奇函数，则a ＝______，b ＝______.答案 －12ln 2 解析 f (x )＝ln|a ＋11－x|＋b ，若a ＝0，则函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}， 不关于原点对称，不具有奇偶性，所以a ≠0.由函数解析式有意义可得：x ≠1且a ＋11－x ≠0， 所以x ≠1且x ≠1＋1a. 因为函数f (x )为奇函数，所以定义域必须关于原点对称，所以1＋1a ＝－1，解得a ＝－12， 所以f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋x 2（1－x ）＋b ，定义域为{x |x ≠1且x ≠－1}. 由f (0)＝0，得ln 12＋b ＝0，所以b ＝ln 2， 即f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋11－x ＋ln 2＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋x 1－x ， 在定义域内满足f (－x )＝－f (x )，符合题意.18.(2022·金华模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －1，x ≤0，－x 2＋x ，x ＞0，则f (f (－ln 2))＝________；当x ∈(－∞，m ]时，函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，14，则m 的取值范围是________.答案 e －12－1 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1＋52解析 ∵－ln 2＜0，∴f (－ln 2)＝e －ln 2－1＝12－1＝－12， 又－12＜0，f (f (－ln 2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝e －12－1或e e －1； 当x ≤0时，f (x )∈(－1，0]，当x >0时，f (x )∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14， 且在x ＝12时，函数f (x )取得最大值14， 根据函数表达式，绘制函数图象如下：当f (x )＝－1时，－x 2＋x ＝－1，解得x ＝1＋52， 要使f (x )的值域在x ∈(－∞，m ]时是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，14，则必须m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1＋52.。
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2015高考数学专题复习：函数的单调性1.函数的单调性定义：增函数：减函数： 2.函数的单调性通常也可以以下列形式表达：1212()()0f x f x x x ->-⇔单调递增 1212()()f x f x x x -<-⇔单调递减 3.设()[]xg f y =是定义在M 上的函数若)(x f 与)(x g 的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是 函数若)(x f 与)(x g 的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是 函数，即： 4.函数的凸凹性：1212()()()22x x f x f x f ++< 凹函数（图像“下凹”，如：指数函数） 1212()()()22x x f x f x f ++>凸函数（图像“上凸”，如：对数函数） 5.已知函数()()()()()⎩⎨⎧>≤=a x x g a x x h x f ,,，当()x f 在()+∞∞-,为增函数则有结论⎪⎩⎪⎨⎧当()x f 在()+∞∞-,为减函数则有结论⎪⎩⎪⎨⎧1.已知1(1)(0)()2(0)x a x a x f x a x ⎧-++<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，求实数a 的取值范围2.求单调区间：（1）6)(2-+-=x x x f （2）x x x f -=2)( （3）()542-+=x x x f（4）3412-+-=x x y （5）()212log 2y x x =-+ （6）()62log 2--=x x y π3.下述函数中，在)0,(-∞上为增函数的是（1）22-=xy（2）y=x3（3）y=x--21（4）2)2(+-=xy（5）xy-=4.求函数()()()xxxf21lg21lg--+=的定义域,单调区间,以及在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,0上的值域5.若函数)(xf是区间[]b a,上的增函数，也是区间[]c b,上的增函数，则函数)(x f在区间[]c a,上是（）若函数)(xf是区间()b a,上的增函数，也是区间()c b,上的增函数，则)(x f在区间()c a,上是（）A.增函数B.是增函数或减函数C.是减函数D.未必是增函数或减函数6.函数()x f满足()()xfxf+=-31，且在[)()()(),,0,,2212121xxxxxfxfx<<--+∞∈比较大小：()()()5,0,1fff7.函数),2[,32)(2+∞-∈+-=xmxxxf当时是增函数，则m的取值范围是8.函数2()2(1)2f x x a x=+-+在(,4]-∞上是减函数，则实数a的取值范围是9.函数()cbxxxf++=2对任意实数t都有()()t ftf=-4,()()()4,2,1fff的大小关系为10.若偶函数)(xf在(]1,-∞-上是增函数，则)2()1()23(fff，，--由大到小：11.下列函数()f x中，满足“对任意的12,(,0)x x∈-∞，当12x x<时，总有12()()f x f x>”的是( )A．2()(1)f x x=+B．()ln(1)f x x=-C．1()f xx=D．()xf x e=12.已知函数1()2axf xx+=+在区间()2,-+∞上为增函数，实数a的取值范围13.证明函数()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x f 11ln 的奇偶性与单调性14.函数)lg(2x x y +-=的递增区间为 ,值域为15.若函数()x f 满足()()()x x f x x f x f ln 1,2=≥=-时，比较大小()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31,2f f f16.若函数2()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2a -∞上为减函数，求a 的取值范围.17.已知定义域为R 的函数()124+=xxx f 是奇函数．证明单调性，解不等式()()032<-+t f t f18.已知函数()()()210(2)0x ax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是19.已知[]1,0,∈=x x y ,对于满足:1201x x <<<的任意12,x x ，下列结论正确的是 （ ）A.2121()()f x f x x x ->- B.2121()()f x f x x x -<- C.1212()()()22f x f x x x f ++> D.2112()()x f x x f x >20.已知函数()g x 是R 上的奇函数，且当0x <时()ln(1)g x x =--，设函数3(0)()()(0)x x f x g x x ⎧≤=⎨>⎩, 若2(2)f x ->()f x ，则实数x 的取值范围是 （ ） A.(,1)(2,)-∞+∞U B.(,2)(1,)-∞-+∞U C.()21， D.(2,1)-()()()[)()()()()()()(]()(]()()()()4129.388,7.5016.50,21,214.5,33.1,211f f f f f f AD <<-∞--∞->>∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎢⎣⎡，，增，()()()223110f f f >⎪⎭⎫ ⎝⎛->-()()()13.,2112.11⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞C 奇函数，减函数()()4lg ,21014-∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛，，()()()()32161.2131251，⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛>f f f ()()(]().19.3,218371D t -> 2015高考数学专题复习：函数奇偶性定义：1.奇函数： 在对称区间上单调性 偶函数： 在对称区间上单调性2.偶函数图像 ，奇函数图像 ，具有奇偶性的函数，其定义域 .3.如果奇函数()f x 在0x =时有定义，则(0)f = .4.已知函数()x n m dx cx bx ax x f +++++=234当 ()x f 为偶函数，当 ()x f 为奇函数6.对称问题：（1）函数()x f 满足()()x a f x a f -=+，则()x f 关于 对称（2）函数()x f 满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f 关于 对称（3）已知()x f 为上的增函数，且满足()()0=-++x a f x a f ，则()()⇔≥+0n f m f （4）已知()x f 为上的减函数，且满足()()0=-++x a f x a f ，则()()⇔<+0n f m f 1.下列函数中，偶函数有 ，奇函数 .()()21xx f = ()()[]2,3,22-∈=x x x f()()x x x f 13+= ()()54=x f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-=0,30,3522x x x x x x x f ()()126+=x x f ）（73()5f x x x =+ ）（8()11f x x x =++-()9()()0f x x a x a a =+--≠ ()10()()()2200x x x h x x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩ ()11()x x x f -+-=1912()12 y = ()13()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x f 33ln ()1411()()212x f x x =+-2.(13山东)已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，x x x f 1)(2+=，则=-)1(f （ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．2-3.（04山东）已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg)(a f a f x x x f 则若 （ ）A ．21B ．21-C ．2D ．2-4.已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则在[]2,1-的值域为5.设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （ ）Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数Ｃ．()()f xg x +是偶函数 Ｄ．()()f xg x -是奇函数6.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 （ ）A ． 1y x =+ B. 3y x =- C.1y x =D. ||y x x =7.下列函数中既是奇函数，又是区间[]1,1-上单调递减的是 （ ）A ．()sin f x x =B ．()1f x x =-+C ． 1()()2x xf x a a -=+ D ．2()2x f x ln x -=+ 8.下列4个函数中： ①13-=x y ，②);10(11log ≠>+-=a a x xy a且③123++=x x x y ， ④).10)(2111(≠>+-=-a a a x y x 且既不是奇函数，又不是偶函数的是 （ ）A ．①B ．②③C ．①③D ．①④9.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()f x f x x x -<-.则( )A ．(3)(2)(1)f f f <-< B.(1)(2)(3)f f f <-< C.(2)(1)(3)f f f -<< D.(3)(1)(2)f f f <<-10.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -<1()3f 的x 取值范围是 11.偶函数)(x f 定义域为R ，在[)+∞,0上是减函数，)252()23(2++-a a f f 与的大小关系12.设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，求()0x f x ⋅<的解集13.定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且2)31(=f ，求不等式2)(log 81>x f 的解集14.设偶函数)(x f 在),0[+∞上为减函数，则不等式()12)(+>x f x f 的解集是15.若()1222+-+⋅=x x a a x f 为奇函数，则实数a =16.)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0≤x 时，)3()(x x x f -=，则当0>x 时=)(x f17.)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0≤x 时，123)(2++-=x x x f ，则当0>x 时=)(x f18.)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，3)2013()(2+-=x x f ，则当0>x 时=)(x f19.)(x f 是定义在R 上的偶函数. 当0>x 时，4)(x x x f -=，则当0<x 时，=)(x f20.若奇函数()R x x f ∈,满足()12=f ，()()()22f x f x f +=+，则()=5f _______21.若()x f 是奇函数，且()()2+=x f x g ，()82=-g ，则()=2g22.（1）奇函数)(x f 在定义域[]2,2-内递减且满足)1()1(2m f m f -+-0<，m 取值范围 （2）奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，m 取值范围23.定义在R 上的偶函数)(x f ，在()0,∞-上单调递增，且满足()()125222++<-+-a a f a a f , 求实数a 的取值范围24.定义在[]1,1-上的奇函数)(x f 满足()()0>++n m n f m f ，解不等式()0121<-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x f ，求x 范围25.已知定义域为R 的函数()141++=x a x f 是奇函数．（1）求a 的值，并指出函数()x f 的单调性 （2）若对任意的R t ∈，不等式()()02222<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围．26.已知函数x q px x f 32)(2-+=是奇函数，且35)2(-=f . （1）求函数()x f 的解析式（2）判断函数()x f 在)1,0(上的单调性，并加以证明.27. 已知)(x f y =是定义在R 上的减函数，且函数满足()()022=-++x f x f ．若 （1）实数m 满足不等式()()0632>-++m f m f ，求m 的取值范围（2）实数m 满足不等式()()03222≤-+-m f m f ，求m 的取值范围28. 已知)(x f y =是定义在R 上的增函数，函数满足()()066=-++x f x f ．若实数y x ,满足不等式22(6)(836)0f x x f y y -+-+≤，求22y x +的取值范围()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()[]()[)()()()()()()()[]()()()(]()[]36,1628.,231,2,5,127.,32226.31,,2152.41,042.1,432.32,212.1,1122.421.2520.19.3201318012317.0316.115,311,14.,221,0133,00,3121132,31109.8.76.56,24.3.2.13,12,10,9,7,3:.14,11,8,5,4,1:124222⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∞--∞--+=-<-=⎪⎭⎫⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-+-=>+--=>--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞--∞-+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥⎪⎭⎫⎝⎛Y Y Y Y 增减奇偶x x x f k a x x x f x x f x x x x f x x x x f A C D D A B D。