原子物理学第三次作业答案 (7)

第一章 量子力学前的原子物理学§1．1 原子的外部和内部特性“原子”的原始慨念：组成物质的最基本单元 (最小，不可再分离：atom －希腊文) 提出者：古希腊哲学家－德膜克利特（～B.C. 400）古代中国人： 金，木，水，火，土 (五行说)； 古代云南彝族： 铜，木，水，火，土。

问题：不可再分离？原子→电子、原子核；原子核→质子，中子；质子，中子→ 基本粒子（中微子、光子、介子、超子，…）； 基本粒子→夸克→弦，…说明：人们对“最基本单元”的认识是无止境的。

意义： 闪烁着人类认识世界的哲学光芒，但是，不具备科学的“实证”特征。

“实证”（有实验证据）：多大？多重？内部结构特性？ 1.1.1 原子的外部特性19世纪初：掌握了原子的外部特性：多大？多重？ (i) 摩尔（Mol ）定义（1971年国际计量会议）：一个系统物质的数量，该系统中包含的基本单元数与0.012 kg C 126的原子数相同。

说明： 1，“基本单元”可以是原子、分子或带电粒子等；2，0.012 kgC 126的原子数=6.022×1023，或N A （阿伏伽德罗常数）=6.022×1023/Mol 。

(ii) 原子的相对质量（原子量，A ）定义（1971年国际计量会议）：1摩尔某种物质的质量[M(A)]和1摩尔C 126的质量[M(C 126)]的1/12的比值，是这种物质的原子量（A ）。

(iii) 原子的绝对质量（原子质量，m A ） 已知： N A ，A按定义：A=M(A)/[M(C 126)/12], M(A)= A M(C 126)/12= A （g ）则： m A =A （g ）/ N A ＝A ×1.661×10－24（g ）＝A ×1.661×10－27（kg ）例：C 126，A ＝12.0000,一个C 126原子的重量：12×1.661×10－27(kg)=19.93×10－27(kg)；H 11， A ＝1.0078,一个H 11原子的重量：1.0078×1.661×10－27(kg)=1.674×10－27(kg)；（vi ）原子的尺寸已知： N A ，A ，ρ（g/cm 3）； 则： 一个摩尔的原子所占的体积：V mol ＝A(g)/ρ；另一方面，设r A 为原子半径，一个原子的体积(球体)＝（4πr A 3/3）； 一个摩尔的原子所占的体积：V mol ＝N A （4πr A 3/3）所以，r A = (3A/4πρ N A )1/3 ～10－8cm ~ 10－10m=1 A例：H (H 11) , A ＝1.0078, ρ =0.09（g/cm 3）r H ～1.6×10－8 (cm) ＝1.6 A 量子力学计算值： r H ＝a =0.53 A 1.1.2 原子的内部特性19世纪末－20世纪初：基本掌握了原子的内部特性：原子由带正电的原子核和带负电的电子组成，整体呈电中型；电子绕着原子核做圆周运动。

做出如上认识的三个著名实验：（一） 汤姆逊（英国，Thomson ，1897）的阴极射线实验装置原图：轴线管壁发光（忽略“阴极射线”的重量）加偏转电场E 后，射线向上偏转：说明带负电，受力＝qE加偏转磁场B 后，射线向下偏转：说明带负电，受力＝qVB电场和磁场力平衡时，qE=qVB → V=E/B ；撤去电场，阴极射线受罗伦滋力作用，在磁场内做半径为R 的圆周运动；在磁场外做直线运动并偏离轴线。

由偏转角θ 测量出R ；由 mV 2/R=qVB → q/m=V/RB= E/RB 2结果： 1，阴极射线是一种带负电的粒子流； 2，求出了阴极射线的荷质比，此值和发出阴极射线的材料无关；3，Thomson 认为，阴极射线是一种比原子小的粒子（电子）流，阴极射线的荷质比就是电子的荷质比。

意义： 发现了电子，并由此发现获得1905年度的诺贝尔物理学奖。

问题： 物体带电量是否存在一个最小数值？q min= e (electron) = ?,（二）密里根（美国，Milikan, 1910）的油滴实验装置原图：装置原理图：基本思想：带电油滴在电场力QE和重力Mg作用下处于静止状态，Q＝Mg/E；油滴带电量如果是某个最小电量q min = e的倍数，即：Q＝N e（N为整数），则平衡电场E＝Mg/Ne 应该是一系列分离的数值，反之亦然；由这些分离的数值可求出油滴的最小带电量q min，即电子电量e。

实验结果：1，油滴带电量确实是一系列分离数值，即，物体带电量是“量子化”的；2，物体带电量的最小值q min = e＝1.6×10－19 C； m e=9.1*10-31 kg。

意义：从实验上证实了油滴带电量的“量子化”，测量出了电子电量。

密里根由此获得1915年度的诺贝尔物理学奖。

（三） 卢瑟福（新西兰，Rutherford,1909）的α粒子散射实验背景：1， 汤姆逊（剑桥大学卡文的许实验室主任）的“面包葡萄干”原子模型（西瓜子模型）：在原子尺度r 0～10－10M 内，原子的正电部分均匀分布（面粉），电子就如葡萄干，崁嵌在正电核（面粉）中。

2, 卢瑟福是汤姆逊的研究生，熟悉“面包葡萄干”原子模型。

3, 1908年，卢瑟福由于对铀元素放射性的研究，获得诺贝尔化学奖。

发现铀放射性由三个部分组成：（1）α射线（H e 核：H e ++粒子流）；（2）β射线（－e ：电子流）；（3）γ射线（电磁辐射：光子流）。

其中，α粒子的速度达C/10000, 是高能粒子，可以作为“炮弹”轰击并研究其他粒子。

卢瑟福设想1：如果“葡萄面包干”模型正确，α粒子被原子的散射只能是小角度的散射（θ小）。

（Why?）1, α粒子的动量大，电子对α粒子的动量无影响（－e: 无斥力；m e : M α/ m e ～4M p / m e =4×1836），只需考虑“面粉”的影响； 2， α粒子受力：20041)(r ZeQ r r F out απε=> (库仑定律)；r r ZeQ r r F in 300041)(απε=<=(高斯定律)。

10－10M αF α装置原图：实验结果：发现大角度散射，甚至背向散射（θ＝180o ）的α粒子。

结果说明：汤姆逊的“葡萄面包干”原子模型是错误的。

卢瑟福设想2： 如果原子的正电部分集中于一个非常小的空间区域r n 中，r n << r 0，当r → r n ，2041r ZeQ F ααπε=将很大，可以解释α粒子的大角度散射和背向散射。

由实验结果结合的α粒子散射公式，可知这个“非常小的空间区域”的尺度r n ～10－14M ，在此区域内集中了原子的正电部分和绝大部分原子质量，Rutherford 将此区域称为“原子核”。

意义：发现原子核在此基础上，Rutherford 提出原子的核式模型：原子中，正电部分集中在 “原子核”中，电子绕核作圆周运动－－原子的行星运动模型。

F n = F c ，即：α220241rZe r V m e e πε=。

“伽里略发现了宇宙，卢瑟福发现了原子！” 原子核式模型的困境：（1） 原子的不稳定性；根据经典电动力学，带电粒子做加速运动将向外辐射能量。

电子在动能耗尽后，将落入原子核中，导致原子的湮灭。

（2） 不能解释原子的线状光谱的特性。

按“核式模型”，电子的辐射频率f e ＝V e /2πr ；V e 的连续变化导致电子的辐射频率是连续的。

和实验观察不符合。

原子光谱和太阳光谱的比较困境意味着旧的理论体系出现了问题，新的理论体系即将诞生。

§1.2 玻尔（Bohr ，丹麦，1913）的氢原子理论 1.2.1 玻尔氢原子理论的三个要点（1） 定态假设：定态：原子中的一些特殊的状态，处于定态的原子，电子绕核做圆周运动而不辐射能量（解决原子的稳定问题）；（2） 定态条件（量子化条件）：氢原子的角动量必须满足：L ＝nh/2π＝n ℏ (n>=1的整数)；h (普朗克常数)＝6.63×10－34（JS ）(3)定态跃迁：原子从一个定态跃迁到另一个定态时，以光子形式辐射或吸收能量。

说明： A ，光子是爱因斯坦于1905为解释光电效应提出。

光子能量满足：E ＝h ν，式中，ν: 光波的频率；B ，辐射过程：E 2－E 1＝h ν；吸收过程：E 1+ h ν=E 2；C ，定态↔非定态；非定态↔非定态的跃迁是不存在的。

1.2.2 由玻尔理论求定态能量和轨道半径 E n =?；r n =?(A) 电子绕核运动的向心力由核电荷（+e ）和电子电荷（－e ）间的库仑力提供；220241r e r V m e e πε=（1）⇒e k E(电子动能)＝221e e V m ＝r e 204121πε; r =22041ee V m e πε (1，)E k (原子的动能)＝pk E (氢核动能)＋ek E (电子动能)～ek E （核不动！）E p (原子的势能)＝=-=⎰⎰∞∞-dr r e dr F rre 22041πεre 2041πε-;E(原子的总能)＝E k ＋E p =re 204121πε-;（负值！）（2）(B) L(原子的角动量)＝L e +L N ～L e （核不动！） ＝m e r 2ω＝m e rV e (V e ＝r ω)＝n ℏ (定态条件)(n>=1整数)（3）联立（1，），（2），（3）得：) E 2> E 1h ν= E 2－E 1E 1+h ν= E 2－222041)4(21n e m E e πε-=＝E n （定态能量是分离值） (4)22204em n r e πε=＝r n（定态轨道半径是分离值） (5)问题及作业：1，证明：在pk E (氢核动能)≠0（核在动！）的条件下，用μ＝pe p e M m M m +（折合质量，M p : 质子质量）代替（4），（5）式中的m e ，可得氢原子的定态能量和轨道半径满足：222041)4(21n e E n πεμ-= (4，)r n ＝22204en μπε(5，)提示：氢核不动的条件下，才有E k (原子的动能)＝E k (电子动能)。

但是，氢核不动是不合理的(因为有反作用力！)。

为计算E k (原子的动能)＝E k (氢核动能)＋E k (电子动能)，以原子的不动点r c (质心)基点。

L(原子角动量)＝I p ωN ＋I e ωe =M p r c 2ω+ m e (r-r c )2ω＝r 2ωμ ＝n ℏ (定态条件)；(ωN = ωe = ω: why?)（用质心公式：r c ＝pe e M m rm +）E k (原子的动能)＝pk E ＋ek E ＝221NP V M ＋221e e V m ＝21μ（r ω）2（V p = r c ω; V e = (r-r c )ω） E p (原子的势能)＝ re 2041πε-＝－μ（r ω）2，（由 220241r e r V M c p p πε=关系得到）-e m e2， 对类氢粒子（核外只有一个电子的带电粒子），如：H e （Z ＝2）一次电离后→H e ＋；L i（Z ＝3）二次电离后→ L i ＋＋；B e （Z ＝4）三次电离后→ B e ＋＋＋。