原子物理学第一章习题参考答案
第一章习题参考答案
速度为v 的非相对论的α粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明：α粒子的最大偏离角约为10-4
rad.
要点分析：碰撞应考虑入射粒子和电子方向改变，并不是像教材中的入射粒子与靶核的碰撞(靶核不动)，注意这里电子要动.
证明：设α粒子的质量为M α，碰撞前速度为V ，沿X 方向入射；碰撞后，速度为V'，沿θ方向散射.电子质量用m e 表示，碰撞前静止在坐标原点O 处，碰撞后以速度v 沿φ方向反冲.α粒子-电子系统在此过程中能量与动量均应守恒，有：
222212121v m V M V M e +'=αα
（1） ?θααcos cos v m V M V M e +'=
（2） ?θαsin sin 0v m V M e -'=
（3）
作运算：（2）×sinθ±(3)×cosθ，得
)sin(sin ?θθ
α+=V
M v m e （4）
)sin(sin ?θ?αα+='V
M V M
（5）
再将（4）、（5）二式与（1）式联立，消去Ｖ’与V ，
)(sin sin )(sin sin 222
2
2
22
2
?θθ?θ?ααα+++=V m M V M V M e
化简上式，得
θ??θα
222sin sin )(sin e
m M +
=+
（６）
若记
αμM m e
=
，可将（６）式改写为
θ?μ?θμ222sin sin )(sin +=+ （７）
视θ为φ的函数θ（φ），对（7）式求θ的极值，有
)](2sin 2sin [)]sin(2[sin ?θ?μ?θμθ?θ
++-=+-d d
令0=?θd d ，则sin2(θ+φ)-sin2φ=0
即2cos(θ+2φ)sinθ=0
（1）若sinθ=0则θ=0（极小）（8） （2）若cos(θ+2φ)=0则θ=90o-2φ（9） 将（9）式代入（7）式，有
θ?μ?μ2202)(90si n si n si n +=-
由此可得
183641
?=
=
=αμθM m e sin
θ≈10-4
弧度（极大）此题得证.
（1）动能为的α粒子被金核以90°散射时，它的瞄准距离（碰撞参数）为多大（2）如果金箔厚μm，则入射α粒子束以大于90°散射（称为背散射）的粒子数是全部入射粒子的百分之几
解：（1）依
2cot
2θa b =和E e Z Z a 02
214πε≡金的原子序数Z 2=79 )
(10752.2245cot 00.544
.1792cot 42211502m E e Z b o -?=?=?=θπε
答：散射角为90o所对所对应的瞄准距离为.
(2) 要点分析：第二问解的要点是注意将大于90°的散射全部积分出来.90°～180°范围的积分，关键要知道n ，问题不知道nA ，但可从密度与原子量关系找出注意推导出n 值.
A
N A N A V V V N V N n ρ
ρ==?==
)(1mol A A 总分子数，其他值从书中参考列表中找.
从书后物质密度表和原子量表中查出Z Au =79，A Au =197，ρAu =×104
kg/m 3
依：
θ
θπθ
d a ntN
N d si n 22
si n
16='
2
162422
θθ
θπππsi n si n d a nt N N d ?=')2(sin 22sin 2)2(22cos 2sin 2sin θθθθθθθd d d == θθθ
θππεππd E Z nt ??=24222
2
sin 162cos 2sin 2)
2(2)4e (
θθ
θ
ππεπ
πd E Z nt ??=2
3222
2sin 162cos
2)2(2)4e (
???=π
πθ
θ
θ
πε2
4
222
2sin 16)2
sin (2sin
4)(2π)4e (
d E
2Z nt
注意到：
A
N A N A V V V N V
N n ρρ==?==
)(1mol A A 总分子数
即单位体积内的粒子数为密度除以摩尔质量数乘以阿伏加德罗常数.
2
22)2(4 )4e nt(E Z ?ππε是常数其值为
5
-2215-2376
-10486.9)5.00792(4π)10(1.44197106.22101.88101.0?=????????
??===π
ππ
πθθ
θθθ23
2312sin )
2sin (22sin 2cos
d d I
最后结果为：dN’/N=×10
-5
说明大角度散射几率十分小.
1-3试问的α粒子与金核对心碰撞时的最小距离是多少若把金核改为7Li 核，则结果如何 要点分析：计算简单，重点考虑结果给我们什么启示，影响靶核大小估计的因素.
解：对心碰撞时
???
???+=
2csc 12θa r m ，?=180θ时，
()a a
r m =?+=
90csc 12
离金核最小距离
fm
56.505.444
.179240221=??===E e Z Z a r m πε
若金核改为7Li 核，m< E e Z Z a 02214πε= 中，应 把E 理解为质心系能E C L C E M m M V M m mM E +=+= 221 离7 Li 核最小距离。 结果说明： 靶原子序数越小，入射粒子能量越大，越容易估算准核的半径.反之易反. 1-4 ⑴ 假定金核半径为，试问入射质子需要多少能量才能在对头碰撞时刚好到达金核的表面⑵若金核改为铝时质子在对头碰撞时刚好到达铝核的表面，那么入射质子的能量应为多少设铝核的半径为. 要点分析：注意对头碰撞时，应考虑靶核质量大小，靶核很重时，m< 79 A Au =196；13 A Al =27 解：⑴若入射粒子的质量与原子核的质量满足m< 近距离为 ??? ???+= 2csc 12θa r m ，?=180θ时， ()a a r m =?+= 90csc 12 即m m r Z Z e E r e Z Z 2 10202 2144πεπε=∴= 即： 179 1.44fmMeV 16.25MeV 7.0fm E ?=? = ⑵若金核改为铝核，m< E e Z Z a 02 214πε= 中，应 把E 理解为质心系能E C L C E M m M V M m mM E +=+=221M M m e Z Z E e Z Z a C c +?==∴02 21022144πεπε m c r a ≈ E= 说明靶核越轻、Z 越小，入射粒子达到靶核表面需要能量越小. 1-5动能为的窄质子束垂直地射在质量厚度为cm 2 的金箔上，记数器的记录以60°角散射的质子.计数器圆形输入孔的面积为1.5cm 2 ，离金箔散射区的距离为10cm ，输入孔对着且垂直于射到它上面的质子，试问：散射到计数器输入孔的质子数与入射到金箔的质子数之比为多少（质量厚度ρm 定义为单位面积的质量ρm=ρt，则ρ=ρm/t 其中ρ为质量密度，t 为靶厚）. 要点分析：没给直接给nt.设置的难点是给出了质量厚度，计算时需把它转换成原子体密度n 和厚度t.需推导其关系. 解：输入圆孔相对于金箔的立体角为 2 22105.1105.1-?=== Ωr s d A Au =197 θ=60o 注意密度为单位体积的质量 m V ρ= ，单位体积内的粒子数为 1A A m n N N V A A ρ = = A N A n ρ= A m N tA n ρ= A m N A nt ρ= 依公式 2sin 16'42 θ α Ω =d ntN dN 6 4 221523 42109.8)21(105.116)1044.179(10022.61975.12sin 16'---?=???????=Ω=θαd nt N dN 1-6一束α粒子垂直射至一重金属箔上，试求α粒子被金属箔散射后，散射角大于60°的α粒子与散射角大于90°的粒子数之比. 要点分析：此题无难点，只是简单积分运算. 解：依据散射公式 2 2162 16'4242θ θ θπαθαsi n si n si n d ntN d ntN dN =Ω= ?=?= ?2 12 12 12) 2(4 1622 216'32 42 θθθθθ θθ θ παθθθπαsin sin sin sin d ntN d tN n dN 因为 23 2sin 1212sin )2sin (180 602180 60 3=? ???? ?????-=?θθθ d 同理算出 21 2sin 1212sin )2sin (180 902180 90 3=? ?????????-=?θθθ d 可知31/23/2 ''9060==>>dN dN 补：求积分式 ?2 12 24 θ θθ θθπsin sin d 的积分结果 解：积分式的积分结果 ? ? ?==2 1 2 1 2 1 2sin 2 cos 2sin 222sin sin 22sin sin 24 4 4 θθθθθθ θ θ θ θ πθ θθπθ θθπd d d = 2 1212121 2sin 142sin 12182sin )2(sin 242sin 2cos 42233θθθθθθθθθπθπθθπθθθπ??????????-=? ?????????-==??d d 结果： 2 12 1 2sin 142sin sin 224θθθθ θπθθ θπ????????? ?-=?d 还有另外一种求解方法. 1-7单能的窄α粒子束垂直地射到质量厚度为cm 2 的钽箔上，这时以散射角θ0>20?散射的相对粒子数（散射粒子数与入射数之比）为×10-3 .试计算：散射角θ=60°角相对应的微分 散射截面Ωd d σ . 要点分析：重点考虑质量厚度与nt 关系. 解：ρm =cm 2 2 102.0->?='? N N d θ A Ta =181；Z Ta =73；θ=60o A N A n ρ = A m N tA n ρ= A m N A nt ρ= 依微分截面公式 21642θ ασsin 1 = Ωd d 知该题重点要求出a 2 /16。 由公式 3 4 18020 223418020210 4.32sin sin 216106.0221812.02sin 16'-?=????=Ω=??θθθπθαd a d nt N dN 3180 2022 214 18020 223 104.32sin 1)4(161065.62sin sin 216106.0221812.0-?=????? ?????-???=?????θπθθθπa d a 3 2 21 104.3(-22.13))4(16106.65-?=?-???πa 所以26 2102.3316-?=a 27 4 264 210456.1260sin 1 1033.22sin 116--?=??==Ωθασd d 1-8(1)质量为m1的入射粒子被质量为m2（m2< 子在实验室坐标系中的最大可能偏转角θ由下式决定. 12 sin m m = θ（2）假如粒子在原来静 止的氢核上散射，试问：它在实验室坐标系中最大的散射角为多大 要点分析：同第一题结果类似. 证明： 22212121 2121v m V m V m +'=（1） ?θcos cos 211v m V m V m +'=（2） ?θsin sin 021v m V m -'=（3） 作运算：（2）×sinθ±(3)×cosθ，得 )sin(sin 12?θθ +=V m v m （4） )sin(sin 11?θ? +='V m V m （5） 再将（4）、（5）二式与（1）式联立，消去Ｖ’与v ，得 )(sin sin )(sin sin 22222 1222 12 1?θθ?θ?+++=V m m V m V m 化简上式，得 θ??θ21 2 22sin sin )(sin m m + =+ （６） 若记 12 m m = μ，可将（６）式改写为 θ?μ?θμ2 22sin sin )(sin +=+ （７） 视θ为φ的函数θ(φ)，对(7)式求θ的极值，有 )](2sin 2sin [)]sin(2[sin ?θ?μ?θμθ?θ ++-=+-d d 令0=?θd d ，则 sin2(θ+φ)-sin2φ=0，即2cos(θ+2φ)sinθ=0 (1)若sinθ=0，则θ=0（极小）（8） (2)若cos(θ+2φ)=0 则θ=90o-2φ（9）将(9)式代入(7)式，有 )(sin sin )(90sin 222θ?μ?μ+=-? 由此可得 12 sin m m ==μθ 若m 2=m 1 则有?=== =90,1sin 1 2 θμθm m 此题得证. 1-9动能为的窄质子束垂直地射到质量厚度（ρt）为cm2的金箔上，若金箔中含有百分之三十的银，试求散射角大于30°的相对质子数为多少 要点分析：此题靶为一个复合材料靶，比例按照质量比计算.关键找出靶的厚度t.然后计算出金原子数和银原子数，即可积分计算. 从书后表可知： Z Au =79，A Au =197，ρAu =×104 kg/m 3 ；Z Ag =47，A Ag =108，ρAg =×104 kg/m 3 . 解：先求金箔的厚度t ρt=ρAu +ρAg )t=cm 2 （此种处理科学否）是原子数之比，还是质量之比还是 μm 0.916101.050.3101.8880.7101.50.30.7101.54 42 2=??+???=+?=--m t Ag Au ρρ 这种金箔中所含金原子数与银原子数分别为 A Au Au N A t ρ和 A Ag Ag N A t ρ 再计算质子被金原子与银原子散射到θ>30°范围内的相对数目.被金原子散射的相对数目 为： ? ? ??? ???? ???? ?-=='=??1803022 22 2 1 u u 42 18030Au Au 2sin 121244.1Z Z 2sin d sin 216d θπρθθθπαηA A A N A t nt N N 式中，N 为入射质子总数，dN Au ’为被金原子散射到θ>30°范围内的质子数.同理可得质子被银原子散射的相对数目为： ? ? ??? ?? ?? ???? ?-=='=??1803022 23 2 1 42 18030Ag Ag 2sin 121244.1Z Z 2sin d sin 216d θπρθθθπαηA Ag Ag N A t nt N N 被散射的相对质子总数为 ????? ???? ?-?+?=+=--2180sin 1 230sin 14)1044.1(4)1044.1(2222 523 21 22 522 2 1 E Z Z N A t E Z Z N A t A Ag Ag A Au Au Ag Au πρπρηηη 将已知数据代入： N A =×1023 ，E=，t=μm，Z Au =79，A Au =197，ρAu =×103 kg/m 3 ，Z Ag =47，A Ag =108，ρAg =×103 kg/m 3 η≈×10 -5 结果讨论：此题是一个公式活用问题.只要稍作变换，很容易解决.我们需要这样灵活运用能力. 1-10由加速器产生的能量为、束流为的质子束，垂直地射到厚为μm 的金箔上，试求5min 内被金箔散射到下列角间隔内的质子数.金的密度（ρ=×104kg/m3）[1]59°～61°；[2]θ>θ0=60°[3]θ<θ0=10° 要点分析：解决粒子流强度和入射粒子数的关系. 注意：第三问，因卢瑟福公式不适用于小角(如0o)散射，故可先计算质子被散射到大角度范围内的粒子数，再用总入射粒子数去减，即为所得. 解：设j 为单位时间内入射的粒子数，I 为粒子流强度，因I=je ，j=I/e ，时间T=5min 内单位面积上入射的质子的总数为N 个： 912 19 5.010560 9.36101.60217710IT N jT e --???====?? 再由卢瑟福公式，单位时间内，被一个靶原子沿θ方向，射到dΩ立体角内的质子数为： 2164 2θ αsi n A d N N d Ω =' 单位时间内，被所有靶原子沿θ方向，射到dΩ立体角内的质子数为 2 sin 162 sin 164242θ αθαΩ =Ω ='d ntN nAt A d N N d 2 2 24 4 4 2sin 16sin 16sin 16sin 2 2 2 a d a d a d dn N nAt jT nt jTnt A πθθθ θ θ ΩΩ=== 式中，n 为单位体积的粒子数，它与密度的关系为： A N A n ρ = 所以，上式可写为 2224 4 4 2sin 16sin 16sin 16sin 2 2 2 A a d a d a d dn N nAt jT nt jT N t A A ρ πθθθ θ θ ΩΩ===[1] ()2 2 21 1 12 1 224 42 224236123032sin 2sin 1616sin sin 2 2 1416sin 2791.441.8810 6.021011.21.5109.361010196104sin A A A a d a d dn jT N t jT N t A A a N Ttj A θθθθ θθθθρ πθθρ πθθ θ θ ρπθ--==?????? =?-?? ????? ????????? ????????=-?????????????????6125999 25.71910(0.228) 1.310θ? ???????????=-??-=? [2]仍然像上式一样积分，积分区间为60°-180°，然后用总数减去所积值.即θ>θ0=60°的值. 2 118099 9102260115.71910 5.71910 5.719103 1.715110sin sin 22θθθθ ? ? ????????-??=-??=??=????????????? [3]由于0°的值为无穷大，无法计算，所以将作以变换.仍然像上式一样积分，积分区间为10°-180°，然后用总数减去所积值，即θ<θ0=10°的值. 2 118099 9112210115.71910 5.71910 5.7191032.16 1.8410sin sin 22θθθθ ? ? ????????-??=-??=??=????????????? 总数为××1011 =×1012 (个)