2007年江苏高考数学压轴题的巧思妙解
江苏省2007年高三数学第三轮数学专题预测及解析大全七大专题
专题一三角函数与平面向量一、考纲要求知识要求：三角函数（1）能灵活运用三角函数的有关公式，对三角函数进行变形与化简（2）理解和掌握三角函数的图像及性质（3）能用正弦定理、余弦定理解三角形问题平面向量（1）能灵活运用平面向量的数量积解决有关问题（2）理解和掌握平面向量的几何运算、坐标运算（3）理解和掌握平面向量的平行和垂直关系能力要求：培养观察能力、化归能力、运算能力以及灵活运用的实践能力和创新意识二．考点解读高考中，三角函数主要考查学生的运算能力、灵活运用能力，在客观题中，突出考察基本公式所涉及的运算、三角函数的图像基本性质，尤其是对角的范围及角之间的特殊联系较为注重。
解答题中以中等难度题为主，涉及解三角形、向量及简单运算。
三角函数部分，公式较多，易混淆，在运用过程中，要观察三角函数中函数名称的差异、角的差异、关系式的差异，确定三角函数变形化简方向。
平面向量的考察侧重平面向量的数量积以及平面向量的平行、垂直关系的坐标运算。
向量是数学中的重要概念，并和数一样，也能运算。
但同时，平面向量的工具性不容忽视。
以向量的平行、垂直、所成角为载体，与三角、解析几何、不等式等知识点的综合是我们值得注意的方向。
关于三角向量命题方向：（1）三角函数、平面向量有关知识的运算；（2）三角函数的图像变换；（3）向量与三角的综合运用及解三角形。
（4）与其它知识的结合，尤其是CB AP D E 与解析几何的结合。
小题大都以考察基本公式、基本性质为主，解答题以基础题为主，中档题可能有所涉及，压轴题可能性不大。
三．考题预测预测题1、已知函数sin()cos(),1212y x x ππ=--则下列判断正确的是（ ）A ．此函数的最小正周期为2π,其图象的一个对称中心是(,0)12πB ．此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是(,0)12πC ．此函数的最小正周期为2π,其图象的一个对称中心是(,0)6πD ．此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是(,0)6π 参考答案：12cos(12sin(ππ--=x x y =)62sin(21π-x ， 所以ππ==22T ，对称中心是(,0)12π。
2007年江苏高考情况分析及思考doc - 新课程数学
2007年江苏高考情况分析及思考淮安市教研室冯建国一、07年高考试题的基本情况：1、试卷情况07年高考试题（江苏卷）阅卷工作已经结束，从抽样统计数据来看，选择题50分得分约39.4分，得分率78.8%，填空题30分得分约17.4分左右，得分率58%，其中第13、16题得分率较低，选择、填空题的总体得分率为71.1%；解答题共70分得23.1分，得分率33%，其中第17题12分得8.5分，得分率71%；第18题12分得5.8分，得分率48%；第19题14分得5.4分，得分率38.6%；第20题16分得2.3分，得分率14.4%；第21题16分得1.09分，得分率6.8%。
全省均分79.94分，淮安市均分76.52分，在全省十三大市中名列第九名。
和06年比较，试题继续体现了“求新，出彩，不出错”的原则，稳定压倒一切，虽不是像06年与05年的姊妹题，但更加注意了基础题和常规题的比例，覆盖面较宽，题型基本上为常见题型，使学生即使做不出，也感到较熟悉，强化了在考查能力的同时注重“学什么，考什么”的命题思路，其结果是选择、填空题的得分率明显上升（比去年上升10个以上百分点）。
但由于解答题题量少，解答题的分值大，并坚持多题把关，从第18题起，得分率直线下降，尤其是后两题确实起到了把关的作用。
今年第17题考概率，第19题考解析几何，应当引起重视，从第20题、第21题来看，对函数性质的讨论、数列递推公式的运用依然是高考题命制的重点、难点、热点。
用南京师范大学涂荣豹教授的话来说，今年的试卷优点很多缺点也不少，优点主要有（1）试题在很大程度上源于课本，但略高于课本。
（2）试题难度适中层次合理。
从统计情况看，这部分拿满分的人多。
（3）试题侧重基础，关注能力要求，突出对数学思想方法的考查，小题无创新，大题体现不同层次。
（4）区分度高。
第21这道题得10分以上的全省有500人左右，有15人得满分，20题得10分以上的全省有5000人左右，从这两道题的区分度来看，层次明朗，为高校选拔人才提供了平台，也基本实现了命题者的命题意图。
2007年高考数学试题及参考答案(江苏卷)
A. into B. on C. over D. up
29. On average, a successful lawyer has to talk to several ______ a day.
A. which B. that C. what D. whether
39. —______?
— She’s our history teacher.
A. What’s she B. Where does the woman work
C. Who is she D. How is the woman
A. easy enough B. enough C. easily enough D. enough easily
36. Two thousand dollars ______ enough for the car.
A. being B. were C. are D. is
37. They have learned about ______ in recent years.
33. If she wants to stay thin, she must make a ______ in her diet.
A. change B. turn C. run D. go
34. ______ the War of Independence, the United States was an English colony.
36. When Lily came home at 5 p.m. yesterday, her mother ______ dinner in the kitchen.
高考卷 07 普通高等学校招生全国统一考试 数学(江苏卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）参考公式：n次独立重复试验恰有k次发生的概率为：()(1)k k n kn nP k C p p-=-一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，恰有．．一项．．是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为2π的是A．sin2xy=B．sin2y x=C．cos4xy=D．cos4y x=2．已知全集U Z=，2{1,0,1,2},{|}A B x x x=-==，则UA C B为A．{1,2}-B．{1,0}-C．{0,1}D．{1,2}3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为20x y-=，则它的离心率为A B C D．24．已知两条直线,m n，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m nαα⊥⇒⊥②//,,//m n m nαβαβ⊂⊂⇒③//,////m n m nαα⇒④//,//,m n m nαβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③5．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是 A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ--C ．[,0]3π-D ．[,0]6π- 6．设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有A ．132()()()323f f f <<B ．231()()()323f f f <<C ．213()()()332f f f <<D ．321()()()233f f f <<7．若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为A ．3B ．6C ．9D ．12 8．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是 A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为 A ．3 B ．52 C ．2 D ．3210．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 A ．2 B ．1 C ．12 D ．14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2007年高考数学试题及参考答案(江苏卷)
版式设计的概念：也称“编排设计”、“版面设计”。
是二维的平面设计，是指在有限的空间内将各类有效的视觉元素根据特定的内容需要进行主动、有机的编排组合。
版式设计的设计元素：图形（图片）、标题字、正文和色彩版式设计涉及范围：涉及包装、广告、报纸、书籍、产品手册、宣传单、公关赠品、网页设计、展板设计、多媒体界面等各类平面设计。
第一章平面设计历史发展第一个时期20世纪初立体主义特点：主张不模仿客观对象，重视艺术的自我表现．对具体对象分析\重构和综合处理的特征。
表现为对版面构成的分析组合和对理性规律的探索。
作用：对现代主义影响很大。
未来主义特点：主张对工业化极端膜拜和高度的无政府主义，反对任何传统艺术形式。
提出反对严谨正规的排版方式，提倡自由组合。
作用：被国际主义风格主流设计界否定，90年代在西方平面设计界得到重新重视与应用。
达达主义特点：强调自我、反理性。
表现出强烈的虚无主义。
随机性和偶然性、荒诞与杂乱。
在于用照片和各种印刷品进行拼贴组合再设计，以及版面编排上的无规律化、自由化、相互矛盾化。
作用：对设计家们革命性的大胆尝试与突破产生了巨大的影响。
超现实主义特点：认为社会的表象是虚伪的，认为无计划的、无设计的下意识或潜在的思想动机更真实．用写实的手法来描绘、拼合荒诞的梦境或虚无的幻觉。
作用：对人类意识形态和精神领域方面的探索和观念表现上有创造性的启迪作用。
装饰主义第二个时期 (现代主义设计时期)20世纪二三十年代特点：理性主义。
提出“功能决定形式”。
主张“少则多”。
反对装饰的繁琐，提倡简洁的几何形式。
贡献：1．创造了无装饰线脚的新字体体系。
2．对简洁的几何抽象图形进行了探索设计。
3．将摄影作为平面设计插图的形式进行了研究。
4．将数学和几何学应用于平面的设计分割．为骨骼法的创造奠定了基础。
俄国构成主义特点：版面编排常以抽象的、几何的形式构成，同时也带有未来主义、达达主义自由拼合，无序的特点。
但在整体上更讲究理性的规律。
2007年江苏高考数学试卷及答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数 学参考公式：n 次独立重复试验恰有k 次发生的概率为：()(1)k kn k n n P k C p p -=-一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为2π的是 A ．x y =sin2B ．y=sin2xC ．cos4x y = D ．y=cos4x2．已知全集U=Z ，A=｛-1，0，1，2｝，B=｛x ︱x 2=x ｝，则A ∩C U B 为A ．｛-1，2｝B ．｛-1，0｝C ．｛0，1｝D ．｛1，2｝3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x －2y=0，则它的离心率为A2．24．已知两条直线,m n ，两个平面α，β，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是A ．①、③B ．②、④C ．①、④D ．②、③ 5．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π- D ．[,0]6π-6．设函数f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x ≥1时，f （x ）=3x－1，则有A ．132()()()323f f f <<B ．231()()()323f f f <<C ．213()()()332f f f <<D ．321()()()233f f f <<7．若对于任意实数x ，有x 3=a 0+a 1（x －2）+a 2（x －2）2+a 3（x －2）3，则a 2的值为A ．3B ．6C ．9D ．128．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使f （x ）<0的x 的取值范围是 A ．（-1，0） B ．（0，1） C ．（-∞，0） D ．（-∞，0）∪（1，+∞） 9．已知二次函数f （x ）=ax 2+bx+c 的导数为f ′（x ），f ′（0）>0，对于任意实数x 都有f （x ）≥0，则(1)'(0)f f 的最小值为A ． 3B ．52C ．2D ．3210．在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域A=｛（x ，y ）︱x+y ≤1且x ≥0，y ≥0｝，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 A ．2 B ．1 C ．12D ．14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
由一道2007年高考压轴题引发的思考
分析 第（ ） Ｉ 问虽然很简单， 但题目 还是提示
考生可用熟悉的数学归纳法证明， 压轴题中的这一 问明显是送分的（ 当然不允许使用二项式定理展开 放缩求证， 那太简单 ． 但压轴题中的送分题， ） 往往
数学高考题有的只有一个设问、 有的有多个设 问． 一个设问情况下， 通常有以下几种设问方式： “ 或、 非” 考查学生的逻辑思维能力）“ 是、 且、 式（ 、类 比推广” 考查学生的合理推理能力）“ 式（ 、是否” 式
立， 没有关系． 每个小题的附加条件各不相同， 或设 问方向并列 ． 在前面小题没有解题思路的情况下，
在 －
－ ４
—
２’ ５
完全可以跳步作答， 自己会的做完再说 ． 先将 解答 这类题须慎重， 应避免误用前面小题的结论来解答
后面的小题 ．
第（） ３ 问的解答既不需要使用前面（ ）（ ） １ ，２ 问
已 ＞， 知ａ ０数列｛ ｝ ａ 满足ａ二 ， ＝ ， ａａ ｉ ＋ ＋ ａ １ ９－ Ｉ 已知数列Ｉ ，－（ ） ２－ ． ａ｝ ｎ极限存在且大于零， 求
Ａ ｌ ａ（ Ａ用 ａ 二ｉ 将 ｍ 表示） （ ） ｂ 二 。 Ａ ｎ ；Ｉ 设 。 ａ 一 ， ＝
ｂ １２ ’ 证明： ，＝ ，， ． ‘ ｂ， ｎ Ａ ｂ＋ ） （ｎ Ａ
问之间的层次关系的角度 ， 可分为以下几种设问方
其实， 只要考生想到这一点， 自觉地使用“ 借步作
答” 法尝试， 就相对容易成功 ． 证明 （ 略． Ｉ 当ｎ ６ｍ－ｎ 由（Ｉ ） （ ） ３ ， Ｉ 时， ）
万方数据
・文 习 参 考
・
－ 滋＇ （７ ９ ） ＋？ ７ ０ 第期 ２ 年 ０
（２ ｎ）…ｎ） （３ ・（３ ， ｎ） ｎ ３ ＜ ＋ ・＋ ・ ＋ ・ ３ １ ｎ ｎ
公开阅读20052007年江苏高考数学试卷
2012年全国高考模拟参考部分2005—2007年江苏高考数学试卷的比较分析与思考翟荣俊江苏省2007年高考数学试题“淡而有味，不落俗套，小题适中，大题偏难”。
试题紧扣教材和《考试说明》，坚持重点内容重点考，特别是《考试说明》中的C级要求在试题中得到较好的体现。
在“知识的交叉处命题”有新的突破，且没有片面追求知识及基本思想、方法的覆盖面，试卷很好的反映了高中新课程的理念，试卷注重常规数学思想方法以及通性、通法的考查，如换元法、待定系数法、化归法、分类讨论思想、函数方程思想等，试卷注重认识能力的考查，对审题能力和思维灵活性的要求较高，运算量适中。
试题注重创新意识，不少题目较新，就连编排顺序也有新意，没有照搬前几年试题的格式，不落俗套。
与2006年试卷相比较最明显的变化在于两点，一是在难度上有所下降，主要体现在小题部分，选择题未出现很难的问题，有利于考生进入状态；二是在考查的知识层面上，今年加大了对高中数学主干知识——函数内容的考查，2006年在前面80分的小题部分几乎未出现函数问题，这是很反常的情况，今年得以调整，这也有利于高中数学的实际教学把握。
下面就近三年的高考试卷情况作一些分析和思考。
一、整体情况对照分析1、选择题部分：数，不等式，二项式定理，立体几何，解析几何等内容，其中最后三道对一部分考生来讲，有一定的难度，第9题涉及跨知识点的结合（导数与不等式），第10题主要考查线性规划的灵活变换运用。
整个选择题起点较基础，没有出现偏题、怪题，总体比较适中、平稳，对于大多数考生是可以顺利完成的。
选择题与去年最大的变化是函数部分。
2006年的50分选择中未出现函数的选择题，整张试卷在小题部分对函数的考察明显偏少，而2007年对函数的考察加大了分值，但又不苛求难度和技巧，这种命题有利于高中教师对整个高中数学体系的把握。
2007年高考第11题到第16题是填空题，每个小题5分共30分。
第11题直接用两角和与差的三角公式展开整理就可以得到结果；第12题是一道常规的排列组合问题也较容易（2006年的一道排列组合试题，是相同元素的排列与组合，是中学不研究的问题，命题超纲）；第14题是立体几何中的点到面的距离问题，思维量不大，但计算有些麻烦；第15题是圆锥曲线与三角问题想结合的研究背景，在变化中寻求不变量，本题采用特殊位置分析可以使本题很容易解决，第16题是一道构建函数模型的问题，能紧扣教材，联系三角函数，问题情境新但是考生也并不是不可以下手。
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2007 第 15 期 数 学 通 讯
45
世界各地数学奥林匹克试题摘编
记 y = cx4 - 2 cx3 + 2 cx2 - cx + 1 ,则方 程 (3) 无实数根等价于函数 y = cx 4 - 2 cx 3 + 2 cx 2 - cx + 1 的图象与 x 轴无交点.
考虑 y′= 4 cx 3 - 6 cx 2 + 4 cx - c = c (2 x - 1) (2 x2 - 2 x + 1) .
∴ f ( x) = bx2 + cx = - cx ( x - 1) ,所
以 f ( x ) = 0 可化为
- cx ( x - 1) = 0
(1)
由 a = 1 得 g ( x) = x3 - cx2 + cx = x ·
( x2 - cx + c)
∴ g ( f ( x ) ) = f ( x ) ·[ f 2 ( x ) - c f ( x )
令
y′= 0
,得
x
=
1 2
.
①当 c > 0 时 :
x
(-
∞,
1 2
)
1 2
(
1 2
,+
∞)
y′
-
0
+
y
γ
极小值
η
依题意知 , Q ( x ) = ( x - a5 ) ( x - b5 ) ( x c5 ) = x3 - ( a5 + b5 + c5 ) x2 + ( a5 b5 + a5 c5 + b5 c5 ) x - a5 b5 c5 = x3 - S 5 x2 + T5 x + 1. 这里 S 5 = a5 + b5 + c5 , T5 = a5 b5 + b5 c5 + c5 a5 .
1) 求 d 的值 ; 2) 若 a = 0 ,求 c 的取值范围 ; 3) 若 a = 1 , f (1) = 0 ,求 c 的取值范围. 原参考答案
1) d = 0 解答略. 2) c ∈[ 0 ,4) . 解答略. 3) 由 d = 0 , f (1) = 0 得 b = - c , f ( x ) = bx2 + cx = - cx ( x - 1) . g ( f ( x ) ) = f ( x ) ·[ f 2 ( x ) - c f ( x ) +
题目 已知 a , b , c , d 是不全为零的实 数 ,函数 f ( x ) = bx2 + cx + d , g ( x ) = ax 3 + bx2 + cx + d. 方程 f ( x) = 0 有实数根 , 且 f ( x ) = 0 的实数根都是 g ( f ( x ) ) = 0 的根 ; 反之 , g ( f ( x ) ) = 0 的实数根都是 f ( x ) = 0 的根
徐学文
(华中师范大学数学与统计学学院 ,湖北 430079)
中图分类号 : O12 - 44 文献标识码 : A 文章编号 : 0488 - 7395 (2007) 15 - 0045 - 03
本文中| A | 表示集合 A 的元素个数. 1 设 P ( x) = x3 - 3 x + 1. 求一个多项式 Q ( x ) , 使得 Q ( x) 的根是 P( x) 的根的 5 次幂.
+ c ] = - c2 x ( x - 1) ( cx 4 - 2 cx 3 + 2 cx 2 - cx
+ 1) .
∴ g ( f ( x ) ) = 0 可化为 - c2 x ( x - 1)
( cx4 - 2 cx3 + 2 cx2 - cx + 1) = 0
(2)
收稿日期 :2007 - 06 - 26
c]. 由 f ( x) = 0 可以推得 g ( f ( x) ) = 0 ,知
方程 f ( x ) = 0 的根一定是方程 g ( f ( x ) ) = 0 的根.
当 c = 0 时 ,符合题意. 当 c ≠0 时 , b ≠0 ,方程 f ( x ) = 0 的根不 是 f 2 ( x) - c f ( x) + c = 0 的根. 因此 ,根据 题意方程 f 2 ( x ) - c f ( x ) + c = 0 应无实数 根. 那么当 ( - c) 2 - 4 c < 0 即 0 < c < 4 时 , f 2 ( x ) - c f ( x ) + c > 0 符合题意. 当 ( - c) 2 - 4 c ≥0 时即 c < 0 或 c ≥4 时 ,由 方 程 f 2 ( x ) - c f ( x) + c = 0 可 得
,解得
c
>
16 3
.
矛盾
,舍去.
c2 - 4 c <
当 c ≥4 时 ,只需 - c2 + 2 c c2 - 4 c <
0
,解得
4
≤c
<
16 3
.
综上所述 , 所求 c 的取值范围为 [ 0 ,
16 3
)
.
原参考答案的解决初等而巧妙. 本文试
图利用导数知识给出一个通解通法.
由 f (1) = 0 得 b = - c ,
解 设 a , b , c 是 P ( x ) 的根. 由根与系数的 关系 ,有
a+ b+ c=0, ab + bc + ca = - 3 , abc = 1.
显然方程 (1) 的根都是方程 (2) 的根 ,依 题意方程 (2) 的根应都是方程 (1) 的根. 故要 求方程
cx4 - 2 cx3 + 2 cx2 - cx + 1 = 0 (3) 无实数根 (因 x = 0 或 x = 1 显然不是方程 (3) 的实数根) .
f ( x) = -
cx2 + cx = c ±
c2 2
-
4c
,即
cx2
-
cx + c ±
c2 2
-
4c
=
0.
此方程应无实数根.
所以有
( - c) 2 - 4 c·c +
c2 2
-
4c
<0
且 ( - c) 2 - 4 c·c -
c2 2
-
4c
< 0.
当 c < 0 时 ,只需 - c2 - 2 c
0
44
数 学 通 讯 2007 年第 15 期
2007 年江苏高考数学压轴题的巧思妙解
卞 祖 英 沈 友 桂
(江苏省兴化市楚水实验学校 225700)
中图分类号 : O12 - 44 文献标识码 : A 文章编号 : 0488 - 7395 (2007) 15 - 0044 - 02