《导数的几何意义》课件
合集下载
5.1.2导数的概念及其几何意义(上课课件)
/人A数学/ 选择性必修 第二册
返回导航 上页 下页
1.导数的几何意义就是切线的斜率，因此比较导数大小的问题可以用 数形结合思想来解决．
曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况， 由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
/人A数学/ 选择性必修 第二册
返回导航 上页 下页
4.(1)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运 输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务 Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方 案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( B )
/人A数学/ 选择性必修 第二册
返回导航 上页 下页
2．f(x)在x＝x0处的导数、曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况、点(x0，f(x0))处切 线的斜率与点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的关系如表所示．
f(x)在 x＝x0 处的导数
f′(x0)>0 f′(x0)<0 f′(x0)＝0
曲线f(x)在x ＝x0附近的 升降情况
/人A数学/ 选择性必修 第二册
返回导航 上页 下页
[刻画曲线h(t)在上述 三个时刻附近的变化情况． (1)当t＝t0时，曲线h(t)在t＝t0处的切线l0平行于t轴，h′(t0)＝0. 这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降． (2)当t＝t1时，曲线h(t)在t＝t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0. 这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．
/人A数学/ 选择性必修 第二册
返回导航 上页 下页
(2)已知函数f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)，它们在平面直角坐标系中的图象 如图所示，则f1′(x0)，f2′(x0)，f3′(x0)，f4′(x0)的大小关系是( A ) A.f1′(x0)＞f2′(x0)＞f3′(x0)＞f4′(x0) B.f1′(x0)＞f3′(x0)＞f2′(x0)＞f4′(x0) C.f4′(x0)＞f1′(x0)＞f3′(x0)＞f2′(x0) D.f1′(x0)＞f3′(x0)＞f4′(x0)＞f2′(x0)
导数的几何意义 课件
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
导数的几何意义
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
函数 y f (x) 在 x x0 处的瞬时变化率是:
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
我们称它为函数 y f (x) 在 x x0 处的导数，记
作 f (x) 或 y |xx0 ，即：
f (x) lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x
(3)取极限，得导数f
( x0
)
lim
x0
y x
.
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
观察动画你能得到什么结论？
切线的定义：
当点Pn 沿着曲线逼近 P 点
时，即 x 0 ，割线趋近于确 定的位置，这个确定位置上的直 线PT称为点P处的切线。
x x0
x0
x
以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限， 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的 导数的步骤是:
(1)求函数的增量y f (x0 x) f (x0 );
回 顾
(2)求平均变化率 y f (x 0 x) f (x0 ) ;
x
割线的斜率 x 0 切线的斜率
应用：
例1：已知 y x2 1 曲线，求过点ｐ
（1，2）的切线方程．
解求：曲线k在 l某ixm0点f (处x0 的x切x) 线f (方x0 ) 程①的求基出本P点步lixm的骤0 (1坐: 标x);2x1 (11)
1.1.3导数的几何意义课件共35张PPT
(3)设切点为(a，b)，则 y′|x＝a＝a2＝1， ∴a＝±1， 当 a＝1 时，b＝53，切点为1，53， 当 a＝－1 时，b＝1，切点为(－1,1)， ∴切线方程为 3x－3y＋2＝0 或 x－y＋2＝0. ………………………………………………………………………………12 分
[反思提升] (1)求“在某点处”的切线：该点必在曲线上且是切点，而求“过某 点”的切线该点不一定在曲线上，且该点不一定是切点． (2)求“过某点”的切线方程的步骤 ①设“过某点”的切线 l 与曲线相切的切点坐标为(x0，y0)． ②用“在点(x0，y0)处”的切线求法，写出切线 l 的方程． ③利用切线“过某点”，其坐标满足切线方程，求出 x0 与 y0. ④将(x0，y0)代入②中的切线 l 化简即求出“过某点”的切线方程． (3)求“过某点”的曲线的切线方程中，该点在曲线上时，所求点的切线中一定包 括“在该点”处曲线的切线.
∴曲线 y＝1x在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 y＝－x＋2. 曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线斜率为
f′(1)＝liΔmx→0 1＋ΔΔxx2－12＝liΔmx→0 2Δx＋ΔxΔx2＝liΔmx→0 (2＋Δx)＝2， ∴曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝ 2x－1. 两条切线方程 y＝－x＋2 和 y＝2x－1 与 x 轴所围成的图形如图 所示， ∴S＝12×1×2－12＝34，即三角形的面积为34.
导数几何意义应用问题的解题策略： (1)导数几何意义的应用问题往往涉及解析几何的相关知识，如直线斜率与方 程以及直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可 以求切点，切点的坐标是常设的未知量． (3)一定要区分曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线与过点 P(x0，f(x0))的切线 的不同，前者 P 为切点，后者 P 不一定为切点．
导数的概念及几何意义 PPT课件
思考？
观察函数y=f(x)的图象，平均变化率 y f (x0 x) f (x0 ) 表示什么？
x
x
瞬时变化率
f '(x0)xlim0 yxxlim0
f (x0
x) f (x0) x
表示什么？
我们容易发现，平均变化率
y f (x0 x) f (x0)
x
x
表示割线P0P的斜率
如图，在曲线y=f(x）任取一点P（x,f(x))，如果当点P（x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时， 割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的 。
数学上常用简单的对象刻画复杂的 对象。例如，用有理数3.1416近似 代替无理数π，这里，我们用曲线上 某点处的切线近似代替这一点附近 的曲线，这是微积分中重要的思想 方法——以直代曲。
例1.如图，是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数 h ( t )＝一 4.9t2十4.8t十11的图象。根据图象，请描述、比较曲线 h(t )在t=t0 ,t1,t2，附近的变化情况．
解析：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切 线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个小刻 附近的变化情况。 （1）当t=t0时，曲线h(x)在t=t0处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)=0.这时，在t=t0附近 曲线比较平坦，几乎没有升降。 （2）当t=t1时，曲线h(x)在t=t1处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t1附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递 减。 （3）当t=t2时，曲线h(x)在t=t2处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t2附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近单调递 减。 可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2 的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近 比在t=t2附近下降得缓慢。
观察函数y=f(x)的图象，平均变化率 y f (x0 x) f (x0 ) 表示什么？
x
x
瞬时变化率
f '(x0)xlim0 yxxlim0
f (x0
x) f (x0) x
表示什么？
我们容易发现，平均变化率
y f (x0 x) f (x0)
x
x
表示割线P0P的斜率
如图，在曲线y=f(x）任取一点P（x,f(x))，如果当点P（x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时， 割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的 。
数学上常用简单的对象刻画复杂的 对象。例如，用有理数3.1416近似 代替无理数π，这里，我们用曲线上 某点处的切线近似代替这一点附近 的曲线，这是微积分中重要的思想 方法——以直代曲。
例1.如图，是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数 h ( t )＝一 4.9t2十4.8t十11的图象。根据图象，请描述、比较曲线 h(t )在t=t0 ,t1,t2，附近的变化情况．
解析：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切 线斜率，刻画曲线h(t)在上述三个小刻 附近的变化情况。 （1）当t=t0时，曲线h(x)在t=t0处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)=0.这时，在t=t0附近 曲线比较平坦，几乎没有升降。 （2）当t=t1时，曲线h(x)在t=t1处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t1附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递 减。 （3）当t=t2时，曲线h(x)在t=t2处的切线 l0平行于t轴，h’(t0)<0.这时，在t=t2附近 曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近单调递 减。 可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2 的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近 比在t=t2附近下降得缓慢。
导数的几何意义课件人教新课标B版
函数(简称导数)
y=f (x)的导数有时也记作y
f 'x y' lim f x x f x
x0
x
小结
函数 f (x)在x=x0处的导数 f (x0) f (x0)几何意义： (1)函数y f x在 x x0 处的导数 f x0 的几何意义 是；曲线 y f x在 x x0 处的切线的斜率。 (2)若 f (x0)>0.函数 f (x)在 x=x0附近单调递增. (3)若 f (x0)<0.函数 f (x)在 x=x0附近单调递减.
根据导数的含义,血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化 率就是函数 f (t)在此时刻的导数.由于不知道函数c=f (t) 的解析式,因而无法直接计算出函数 f (t)在此时刻的导 数.但根据函数 c=f (t)的图象,由导数的几何意义知,函 数f(t)在此时刻的导数就是对应点处切线的斜率.
例题2讲授
y
解：y x2在区间2,2 x
上的平均变化率为：
4 3
(2 x)2 (2)2 4x (x)2
x
x
4 x 令x 趋于零。知
2 1
-2 -1 O 1 2
L
x
函数 y x2在 x0 2 处的导 数为数。曲线y x2在 (2, 4)
处的切线为 l ，如右图
l
导函数的概念
当x=x0时，f (x0)是一个确定的数. 当x变化时, f (x)便是一个函数,称它为f (x)的导
比在 t4 的上升快
函数y=f(x)在x=x0处的导数 f (x0)的几何意义；
(1)函数 y f x在 x x0处的导数 f x0 的几何意义是；
曲线
y 在f x 处x 的x0 切线的斜率。
(2)若 f (x0)>0.所以,在 x x0 附近曲线上升,即函数 f (x)在 x x0 附近单调递增.
y=f (x)的导数有时也记作y
f 'x y' lim f x x f x
x0
x
小结
函数 f (x)在x=x0处的导数 f (x0) f (x0)几何意义： (1)函数y f x在 x x0 处的导数 f x0 的几何意义 是；曲线 y f x在 x x0 处的切线的斜率。 (2)若 f (x0)>0.函数 f (x)在 x=x0附近单调递增. (3)若 f (x0)<0.函数 f (x)在 x=x0附近单调递减.
根据导数的含义,血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化 率就是函数 f (t)在此时刻的导数.由于不知道函数c=f (t) 的解析式,因而无法直接计算出函数 f (t)在此时刻的导 数.但根据函数 c=f (t)的图象,由导数的几何意义知,函 数f(t)在此时刻的导数就是对应点处切线的斜率.
例题2讲授
y
解：y x2在区间2,2 x
上的平均变化率为：
4 3
(2 x)2 (2)2 4x (x)2
x
x
4 x 令x 趋于零。知
2 1
-2 -1 O 1 2
L
x
函数 y x2在 x0 2 处的导 数为数。曲线y x2在 (2, 4)
处的切线为 l ，如右图
l
导函数的概念
当x=x0时，f (x0)是一个确定的数. 当x变化时, f (x)便是一个函数,称它为f (x)的导
比在 t4 的上升快
函数y=f(x)在x=x0处的导数 f (x0)的几何意义；
(1)函数 y f x在 x x0处的导数 f x0 的几何意义是；
曲线
y 在f x 处x 的x0 切线的斜率。
(2)若 f (x0)>0.所以,在 x x0 附近曲线上升,即函数 f (x)在 x x0 附近单调递增.
导数的几何意义课件
y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 )
例3、某物体的运动方程为s(t)=5t2 （位移单位：m，时间单位：s） 求它在 t＝2s 时的速度.
解: ∆ 因为 2 s = 5 ( 从 而
+ ∆ t)
2
∆s =20+5∆t ∆t
− 5 × 2
2
= 20 ∆ t + 5 ∆ t
2
所以
∆s s′(2) = lim = lim (20 + 5∆t ) = 20 ∆t →0 ∆t ∆t →0
2
∆f 1 = 4 + 2∆x + × ∆x 2 从而 ∆x 3
所 以 点P处的切线的斜率是4. 点P处的的切线方程
8 y − = 4 × (x − 2) 3
∆f 1 f ′(2) = lim = lim (4 + 2∆x + × ∆x 2 ) = 4 ∆x →0 ∆x ∆x →0 3
即直线
16 y = 4x − 3
(2) 当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率 h′(t1)<0. 所以,在t=t1附近曲线下降,
即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3) 当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率 h′(t2)<0. 所以,在t=t2附近曲线下降,
即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 与t2相比,曲线在t1附近下降得缓慢些.
9 练习1、求曲线 y = 在点M(3,3)处的 x
切线的斜率及倾斜角． 斜率为-1,倾斜角为135°
1 2 1 练习2、判断曲线 y = 2 x 在（1，-）处 2
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
1 有,切y =x− 2
例3、某物体的运动方程为s(t)=5t2 （位移单位：m，时间单位：s） 求它在 t＝2s 时的速度.
解: ∆ 因为 2 s = 5 ( 从 而
+ ∆ t)
2
∆s =20+5∆t ∆t
− 5 × 2
2
= 20 ∆ t + 5 ∆ t
2
所以
∆s s′(2) = lim = lim (20 + 5∆t ) = 20 ∆t →0 ∆t ∆t →0
2
∆f 1 = 4 + 2∆x + × ∆x 2 从而 ∆x 3
所 以 点P处的切线的斜率是4. 点P处的的切线方程
8 y − = 4 × (x − 2) 3
∆f 1 f ′(2) = lim = lim (4 + 2∆x + × ∆x 2 ) = 4 ∆x →0 ∆x ∆x →0 3
即直线
16 y = 4x − 3
(2) 当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率 h′(t1)<0. 所以,在t=t1附近曲线下降,
即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3) 当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率 h′(t2)<0. 所以,在t=t2附近曲线下降,
即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 与t2相比,曲线在t1附近下降得缓慢些.
9 练习1、求曲线 y = 在点M(3,3)处的 x
切线的斜率及倾斜角． 斜率为-1,倾斜角为135°
1 2 1 练习2、判断曲线 y = 2 x 在（1，-）处 2
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
1 有,切y =x− 2
1.1.3导数的几何意义课件人教新课标B版(2)
2x y 1 0
是切点
小结：曲线上某点在 (x0 , y0 ) 处的切线方程求法：
(1)求f ' (x）; (2)求k切 f ' (x0）； (3)切线方程 y f (x0 ) f ' (x0 )( x x0 );
练习：教材12页练习B第1题
变式：求过点（1，0）的切线方程
4x y 4 0 或 y 0
l2 是否为曲线在点 C处的切线?
不是
(3) 你能不能类比圆的割线和切线的动态关系， 寻求一般曲线的切线？
x0
x0 Δx
k割线
f (x0 Δx) f (x0 ) Δx
k 切线
lim Δy lim f (x0 Δx) f (x0 )
Δx0 Δx Δx0
Δx
f ' (x0 )
k切 f ' (x0 )
函数和（差）的求导法则？
[ f (x) g(x)]' f ' (x) g ' (x) [ f (x) g(x)]' f ' (x) g ' (x)
如何求曲线的切线？
(1)初中时，我们怎样定义圆的切线和割线？
2个 1个
（2）l1 是否为曲线在点A 处的切线? 不是 l2 是否为曲线在点 B处的切线? 是
1．我们是怎样一步步抽象出导数的概念的？ 2.基本初等函数导数公式？函数和（差）的求导法则？
一、1．说我教们是材怎样一步步抽象出导数的概念的？
平均变化率
瞬时变化率
导数
平均变化
率： Δy f (x0Δx
瞬时变化率：
lim
Δx0
Δy Δx
lim
Δx0
f
( x0
5.1导数的概念及其几何意义课件(人教版)
x
x
第二步，求极限 lim y， x0 x
若 lim 存y 在，则 x0 x
f
(
x0
)
lim
x0
y x
.
导数的概念
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原 油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为 y f (x) x2 7x 15 (0 ≤ x ≤8). 计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它 们的意义. 追问1 这个实际问题与导数有什么关系？ 答案 导数是瞬时变化率的数学表达.
导数的概念
例1 设 f (x) 1，求 f (1). x
分析：
因为
f
(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 ) ,
所以 f (1) lim y lim f (1 x) f (1) .
x x0
x0
x
为了便于计算，我们可以先求出 y ，再对它取极限. x
导数的概念
t 0
t
抛物线的切线斜率
f (x) x2
割线斜率 ——平均变化率
k f (1 x) f (1) x 2 x
切线斜率 ——瞬时变化率
lim f (1 x) f (1) 2
x0
x
答案 都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.
导数的概念
问题2 一般地，对于函数 y＝f (x)，你能用“平均变化率”逼近 “瞬时变化率”的思想方法研究其在某点 (如 x ＝ x0）处 的瞬时变化率吗？
所以 v(2) lim y lim(t 2) 2.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
h
l0
l1
O
t0
t1
t2
t
l2
图1.1 3
解 我们用曲线 h x 在t0 , t1 , t2 处的切线 , 刻画曲 线ht 在上述三个时刻附近的 变化情况 .
h
1当t t0时,曲线 ht 在
t0处的切线 l0平行于 x 轴. 所以, 在t t0附近曲线比 较平坦 , 几乎没有升降 .
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。
函数在点 x0 处的导数 f ( x0 )、导函数 f ( x) 、导数 之 间的区别与联系。 1）函数在一点 x0 处的导数f ( x0 ) ，就是在该点的函 数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是 一个常数，不是变数。 2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数在点 x0 处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f ( x) 在 x0 处的函数值，这也是 求函数在点 x x0 处的导数 的方法之一。
cm g/ m l
1 .1 1 .0 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1
0 0
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7 0 .8
0 .9
1 .0
1 .1
t m in
解 血管中某一时刻药物浓 度的瞬时变化率 , 就是 药物浓度 f t 在此时刻的导数 .从图象上看 ,它表示
2
t0
t1
t2
t
单调递减 . 从图1.1 3可见, 直线l1的倾斜程度小于直线 l2的倾斜 程度, 这说明曲线 ht 在t1附近比在 t2附近下降得缓慢 .
例 3 如图 1 .1 4 , 它 表示人体血管中药 物浓度 c f t (单 位 : mg / ml ) 随时间 t 单位 : min 变化的 函数图象.根据图象, 估计 t 0.2,0.4,0.6. 0.8 min 时, 血管中药 物浓度的瞬时变化 率 精确到0.1 .
继续观察图 1.1 2或动画演示, 可以发现, 在点 P附近, PP2比PP 1更贴近曲线 f x , PP 3 比 PP2 更贴近曲线 f x 过点P的切线 PT 最贴近点P附近的曲线 f x .因此 , 在点 P 附近,曲线 f x 就可以用过点P的切线 PT近似代替.
y
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是
O
P
P3
T
T
P4 P
x
O
x
什么?
3
4
图1.1 2
我们发现,当点Pn 趋近于点P时, 割线 PPn 趋近于确 定的位置, 这个确定位置的直线PT 称为过点P的 切线 tan gent line .值得关注的问题是 , 割线PPn的 斜率与切线PT的斜率k有什么关系呢?
图1.1 4
f 0.8 1.4. 下表给出了药物浓度瞬 时变化率的估计值 , 验证 一下, 这些值是否正确 .
'
曲线 f t 在此点处的切线的斜率 . 如图1.1 4,画出曲线上某点处的切 线, 利用网格 估计这条切线的斜率 , 可以得到此刻药物浓度 瞬 时变化率的近似值 . 作t 0.8处的切线 ,它的斜率约为 1.4, 所以
此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不用？
f xn f x0 容易知道 , 割线 PP . n的斜率是 k n xn x0 当点 Pn无限趋近于点 P时, k n无限趋近于切线 PT 的斜率.因此, 函数 f x 在x x0处的导数就是切 线PT的斜率 k .即 f x0 x f x0 k lim f ' x0 . x 0 x
(简称导数 ). y f x 的导函数有时也记作 f x x f x ' ' ' y , 即 f x y lim . x 0 x
归纳:求切线方程的步骤 （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
药物浓度的瞬时变化率 f t 0.4 0 0.7 1.4
'
t
0.2 0.4
0.6
0.8
从求函数 f x 在 x x0 处导数的过程可以 看到,当 x x0 时, f ' x0 是一个确定的数 .这 样,当 x 变化时, f ' x 便是 x 的一个函数, 我 们称它为f x 的导函数 (derivative function)
O
l0
l1
l 2当t t1时,曲线ht 在t1 图1.1 3 处的切线 l1的斜率 h`t1 0.所以, 在t t1附近曲线下 降, 即函数 ht 在t t1附近单调递减 . 3当t t2时,曲线 ht 在t2处的切线 l2的斜率 h`t2 0. 所以, 在t t2附近曲线下降 , 即函数 ht 在t t1附近也
1.1.3 义
导数的几何意
我们知道, 导数 f x0 表示函数 f x
'
在 x x0 处的瞬时变化率, 反映了函 么, 导数 f x0 的几何意义是什么呢 ?
'
数 f x 在 x x0 附近的变化情况 .那
y
观 察 如图 1 .1 2 ,当点 Pn xn , f xn 沿着曲线 P x0 , f x0 f x 趋近于点
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
[(1 x)2 1] (12 1) 2x x 2 y |x1 lim lim 2 x 0 x 0 x x
y 2 2( x 1) 2x y 0
例 2 如图1.1 3, 它表 示跳水运动中高度随 时间变化的函数 h t 4.9 t 2 6.5 t 10 的 图象 . 根 据图象, 请描 述、比较曲线 ht 在t0 , t1 , t2附近的变化情况 .
数学上常用简单的对象 刻画复杂的对象.例 如 , 用有理数3.1416 近似代替无理数 . 这里, 我们用曲线上某点处的 切线 近似代替 这 点 附近的曲线, 这是微积分中重要的思 想方法 以直代曲 .
例1: （1）求函数y=3x2在点处(1,3)的导数.
3x 2 3 12 3( x 2 12 ) y |x 1 lim lim lim3( x 1) 6 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1