第6章 马尔科夫预测方法-思考与练习
第6章 马尔科夫预测方法
思考与练习（参考答案）
1.设某市场销售甲、乙、丙三种牌号的同类型产品，购买该产品的顾客变动情况如下：过去买甲牌产品的顾客，在下一季度中有15%的转买乙牌产品，10%转买丙牌产品。原买乙牌产品的顾客，有30%转卖甲牌的，同时有10%转卖丙牌的。原买丙牌产品的顾客中有5%转买甲牌的，同时有15%转买乙牌的。问经营甲种产品的工厂在当前的市场条件下是否有利于扩大产品的销售？
解：状态转移概率矩阵为：
假设市场达到稳定状态时，甲、乙、丙市场占有率分别为 x 1、 x 2、x 3、，则：
所以，在当前的市场条件下，当甲种产品的市场占有率大于0.40时不利于扩大商品的销售；当甲种产品的市场占有率小于0.40时利于扩大商品的销售。
2.某产品每月的市场状态有畅销和滞销两种，三年来有如下记录，见下表。“1”
解：由题可得：畅销状态有 M 1 =20
滞销状态有 M 2=12
从畅销到畅销有 M 11=12 从畅销到滞销有 M 12=7 从滞销到畅销有 M 21=7 从滞销到滞销有 M 22=5
0.750.150.1P=0.30.60.10.050.150.8??
????
????
[][]1123123233120.750.150.10.30.60.10.050.150.0.40,0.27,0.3813x x x x x x x x x x x x ?????????=?
?????
?+=+===??
计算状态转移概率矩阵（在计算状态转移概率矩阵时最后一个数据不参加计算，因为它在之后转移到哪里尚不清楚）
一步转移概率矩阵为：
??
???
?=??????
12719
19P 7512
12 二步转移概率矩阵为：
=
??????=??????
2
(2)21271919P P 751212 3.某市三种主要牌号甲乙丙彩电的市场占有率分别为23%、18%、29%，其余市场
为其它各种品牌的彩电所占有。根据抽样调查，顾客对各类彩电的爱好变化为
0.50.10.150.250.10.50.20.20.150.050.50.30.20.20.20.4????????????
其中矩阵元素
ij
a 表示上月购买i 牌号彩电而下月购买 j 牌号彩电的概率；1,i =
2，3，4分别表示甲乙丙和其他牌号彩电。
1) 试建立该市各牌号彩电市场占有率的预测模型，并预测未来3个月各种牌号彩电市场占有率变化情况；
2）假定该市场彩电销售量为4.7万台，预测未来三个月各牌号彩电的销售量； 3）分析各牌号彩电市场占有率变化的平衡状态；
4）假定生产甲牌彩电的企业采取某种经营策略（例如广告宣传等），竭力保持了原有顾客爱好不向其它牌号转移，其余不变。分析彩电市场占有率的平衡状态。
解：（1）市场占有率初始向量为：P （0）=（0.23 0.18 0.29 0.3） 状态转移概率矩阵为：
则第K 期的市场占有率的预测模型为：
0.50.10.150.250.10.50.20.2P=0.150.050.50.30.20.20.20.4??
??????
??
??k k 0.50.10.150.250.10.50.20.2S =P(0)P =(0.230.180.290.3)0.150.050.50.30.20.20.20.4k
????
?
???????
未来一个月的各种牌号彩电的市场占有率为：
未来两个月的各种牌号彩电的市场占有率为：
()
2
220.50.10.150.250.10.50.20.2S =P(0)P =(0.230.180.29)0.150.050.50.30.20.20.20.4=0.2380.1910.2710.299????
?
???????
未来三个月的各种牌号彩电的市场占有率为：
()
3
330.50.10.150.250.10.50.20.2S =P(0)P =(0.230.180.29)0.150.050.50.30.20.20.20.4=0.2390.1930.2690.299????
?
???????
（2）市场未来三个月销售总量为4.7台，则每月销售 c=4.7/3
未
来一个
月，各牌号彩电的销售量分别为：0.371万台，0.294万台,0.432万台,0.471万台。
()
1
110.50.10.150.250.10.50.20.2S =P(0)P =(0.230.180.290.3)0.150.050.50.30.20.20.20.4=0.2370.1880.2760.301????
?
???????
未来两个月，各牌号彩电的销售量分别为：0.374万台,0.300万台,0.424万台,0.469万台。 未来三个月，各牌号彩电的销售量分别为：0.374万台,0.302万台,0.422万台,0.468万台。
[][]
12
34123
4123412340.50.10.150.250.10.50.20.20.150.050.50.30.20.20.20.40.2388,0.194,0.2687,0.2985
1
x x x x x x x x x x x x x x x x ???
???
??
??=?????????+++=??
==?==
（3）设市场达到稳定状态时甲、乙、丙、其他市场占有率分别为，x 1、 x 2、x 3、 x 4，则： 各牌号彩电市场占有率达到平衡时，各自的市场占有率分别为：23.88%,19.40%,26.87%,29.85%.
(4)假定生产甲牌号彩电的企业采取某种经营策略（例如广告宣传等），竭力保持了原有顾客爱好不向其他牌号转移，其余不变，则彩电市场的状态转移矩阵为：
10000.10.50.20.2P=0.150.050.50.30.2
0.2
0.2
0.4????
?
???
????
当市场达到平衡时，必然是甲垄断所有市场。
4.某高校教师队伍可分为助教、讲师、副教授、教授、流失及退休五个状态。1998年有助教150人，讲师280人，副教授130人，教授80人。根据历史资料分析，可得各类职称转移概率矩阵如下：
0.60.4
00000.60.2500.15000.550.210.240000.800.2000001P ??????=??????????
要求分析三年后的教师结构及三年内为保持编制不变应进多少研究生充实教师队伍。
解：由题可得目前状态为：P （0）=（150 280 130 80 0）
根据历史资料，
一年后人员分布：P （1）= P （0）·P = （90 228 142 91 89）
要保持640人的总编制，流失89人，故第一年应进89位研究生。
P ’(1) = (90+89 228 142 91 0)
0.60.40
0000.60.2500.15000.550.210.240000.800.2000001????????=????????P
第二年P（2）= P’（1）·P = (107 208 135 103 87)
要保持640人的总编制，流失87人，故第二年应进87位研究生。
P’(2) = (107+87 208 135 103 0) 第三年P(3) = P’(2)· P = (117 202 126 111 84)
要保持640人的总编制，流失84人，故第三年应进84位研究生。在第三年年底，人员结构为：P’(3) = (201 202 126 111 0)
Markov链预测法
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：贵州民族学院 参赛队员(打印并签名) ：1. 龚道杰 2. 张凤 3. 姚肖伟 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2009 年 7 月 25 日 年凝冻日数的Markov链预测法 4# 【摘要】 本文根据所给数据，利用Markov链建立了预测年凝冻日数的模型，分别从整体和局部两个角度进行分析。
首先，我们直接以年凝冻日数为依据，对其进行K-均值聚类分析，划分 状态。用频率估计概率的方法，估算出一步转移概率矩阵，1/6 5/65/3328/33P ??=?? ??，然后建立Markov 链模型()1/6 5/6()(0)(0)5/3328/33n n P n P P P ??=?=??? ?? 。以2008年作为初始状态，估计出 2009 年凝冻日数所处状态为 (1)(0)P P P =?()0.1520.848=。按K-均值标准可知，即2009年凝冻的天数在 15天以内的可能性为84.8%，在15天以上的可能性为15.2%。 由于上述模型选取的是以年为单位的数据，只能估计出2009年的凝冻日 数所处区间。为提高精度，我们选取2000-2008年的具体凝冻天数和日期，记每一天只存在两种状态，出现雨凇为状态1，否则为状态0。然后由相邻两年间的状态转移变化，得出一步转移概率矩阵i P ，1,2,...,8i =。由这8个一步转移概率矩阵，根据一步转移矩阵P 的n 次方与n 步转移概率矩阵()n P 之差的范数和达到最小的准则，选出优化后的一步转移概率矩阵 0.95000.0500*0.78890.2111P ??=???? ,再次建立Markov 链模型。以2008年为初始状态，预测2009年的概率分布为 []*(2009)(2008)0.91060.0894P P P =?= ，由频率稳定于概率，知2009年凝冻天数的估计值为14天。 关键词： Markov 链 转移概率矩阵 频率估计概率 1. 问题提出 1.1背景知识 凝冻是指冬季出现的温度低于0℃有过冷却降水或固体降水和结冰现象发生的天气现象，即气象台所说的出现雨凇的天气。雨凇的形成与气温，降水量，湿度等因素有关，超冷却的降水碰到温度等于或低于零摄氏度的物体表面使所形成玻璃状的透明或无光泽的表面粗糙并覆盖层，就叫做雨凇。其造成的危害巨大，高压线塔的倒塌，电力瘫痪，交通瘫痪，农作物的冻亡等。因而对出现雨凇天气的预测显得尤为重要。
基于马尔可夫链的市场占有率的预测
市场占有率问题 摘要 本文通过对马尔可夫过程理论中用于分析随机过程方法的研究,提出了将转移概率矩阵法应用于企业产品的市场占有率分析当中,认为该理论的无后效性和稳定性特点能够帮助企业在纵向和横向资讯不够充分的情况下克服预测的误差和决策的盲目性,并给出了均衡状态下的市场占有率模型,以期通过不同方案的模拟分析,帮助企业优化决策. 关键词马尔科夫链转移概率矩阵 一、问题重述 1.1背景分析 现代市场信息复杂多变，一个企业在激烈的市场竞争环境下要生存和发展就必须对其产品进行市场预测，从而减少企业参与市场竞争的盲目性，提高科学性。然而，市场对某产品的需求受多种因素的影响，其特性是它在市场流通领域中所处的状态。这些状态的出现是一个随机现象，具有随机性。为此，利用随机过程理论的马尔可夫（Markov）模型来分析产品在市场上的状态分布，进行市场预测，从而科学地组织生产，减少盲目性，以提高企业的市场竞争力和其产品的市场占有率。 1.2问题重述 预测A、B、C三个厂家生产的某种抗病毒药在未来的市场占有情况 二、问题分析 第一步进行市场调查．主要调查以下两件事： （1）目前的市场占有情况．若购买该药的总共1000家对象（购买力相当的医院、药店等）中，买A、B、C三药厂的各有400家、300家、300家，那么A、B、C 三药厂目前的市场占有份额分别为：40%、30%、30%．称（0.4，0.3，0.3）为目前市场的占有分布或称初始分布． （2）查清使用对象的流动情况．流动情况的调查可通过发放信息调查表来了解顾客以往的资料或将来的购买意向，也可从下一时期的订货单得出．若从定货单得表1-0．
表（1-5） 顾客订货情况表 下季度订货情况 合计 来 自 A B C A 160 120 120 400 B 180 90 30 300 C 180 30 90 300 合计 520 240 240 1000 第二步 建立数学模型． 假定在未来的时期内，顾客相同间隔时间的流动情况不因时期的不同而发生变化，以1、2、3分别表示顾客买A 、B 、C 三厂家的药这三个状态，以季度为模型的步长（即转移一步所需的时间），那么根据表（1-5），我们可以得模型的转移概率矩阵： ? ???? ??=?????? ? ? ??=????? ??=3.01.06.01.03.06.03.03.04.03009030030 3001803003030090300180400120400120400160333231232221131211p p p p p p p p p P 矩阵中的第一行（0.4，0.3，0.3）表示目前是A 厂的顾客下季度有40%仍买A 厂的药，转为买B 厂和C 厂的各有30%．同样，第二行、第三行分别表示目前是B 厂和C 厂的顾客下季度的流向． 由P 我们可以计算任意的k 步转移矩阵，如三步转移矩阵： ???? ? ? ?=????? ? ?==252.0244 .0504.0244.0252.0504 .0252.0252.0496.03.01 .06.01.03.06 .03.03.04.03 3 ) 3(P P 从这个矩阵的各行可知三个季度以后各厂家顾客的流动情况．如从第二行（0.504， 0.252，0.244）知，B 厂的顾客三个季度后有50.4%转向买A 厂的药，25.2%仍买B 厂的，24.4%转向买C 厂的药． 三、模型假设 1、购买3种类型产品的顾客总人数基本不变； 2、市场情况相对正常稳定，没有出现新的市场竞争； 3、没有其他促销活动吸引顾客。 四、模型的建立与求解 4.1模型背景 在考虑市场占有率过程中影响占有率的大量随机性因素后，可以认为这一过程充
Matlab学习系列34. 马尔可夫预测
33. 马尔可夫预测 马尔可夫预测，是一种预测事件发生的概率的方法。它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。 马尔可夫预测法的基本要求是状态转移概率矩阵必须具有一定的稳定性。因此，必须具有足够的统计数据，才能保证预测的精度与准确性。换句话说，马尔可夫预测模型必须建立在大量的统计数据的基础之上。 （一）经典马尔可夫模型 一、几个概念 状态：指某一事件在某个时刻（或时期）出现的某种结果； 状态转移：事件的发展，从一种状态转变为另一种状态； 马尔可夫过程：在事件的发展过程中，若每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。 状态转移概率：在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。由状态i E 转为状态j E 的状态转移概率 ()(|)i j j i ij P E E P E E p →== 状态转移概率矩阵：假定某一个事件的发展过程有n 个可能的状
态，即1,,n E E ，则矩阵 1111n n nn p p P p p ????=?????? 其中，ij p 为从状态i E 转为状态j E 的状态转移概率，称为状态转移概率矩阵。 状态转移矩阵满足： (i) 01, ,1,,ij p i j n ≤≤= (ii) 1 1n ij j p ==∑ 二、状态转移矩阵的计算 即求出从每个状态转移到其它任何一个状态的状态转移概率ij p ，一般采用频率近似概率的思想进行计算。 例1某地区农业收成变化的三个状态，即E1“丰收”、E2“平收”和E3“欠收”。下表给出了该地区1960~1999年期间农业收成的状态变化情况（部分）。 计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵。 datas=xlsread('Agriculture.xlsx');
随机过程与马尔可夫链习题答案
信息论与编码课程习题1——预备知识 概率论与马尔可夫链 1、某同学下周一上午是否上课，取决于当天情绪及天气情况，且当天是否下雨与心情好坏没有关系。若下雨且心情好，则50%的可能会上课；若不下雨且心情好，则有10%的可能性不上课；若不下雨且心情不好则有40%的可能性上课；若下雨且心情不好，则有90%的可能不会上课。假设当天下雨的概率为30%，该同学当天心情好的概率为20%，试计算该同学周一上课的可能性是多大？ 分析： 天气情况用随机变量X 表示，“0”表示下雨，“1”表示不下雨；心情好坏用Y 表示，“0”表示心情好用“0”表示，心情不好用“1”表示；是否上课用随机变量Z 表示，“0”表示上课，“1”表示不上课。由题意可知 已知[]5.00,0|0====Y X Z P ，[]5.00,0|1====Y X Z P []1.00,1|1====Y X Z P ，[]9.00,1|0====Y X Z P []4.01,1|0====Y X Z P ，[]6.01,1|1====Y X Z P []9.01,0|1====Y X Z P ，[]1.01,0|0====Y X Z P []3.00==X P ，[]7.01==X P []2.00==Y P ，[]8.01==Y P 即题目实际上给出了八个个条件概率和四个概率 [][][][]0,0|00|000===?==?===X Y Z P X Y P X P Z P [][][]0,1|00|10===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,0|01|01===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,1|01|11===?==?=+X Y Z P X Y P X P 由于X ，Y 相互独立，则有 [][][][]0,0|0000===?=?===X Y Z P Y P X P Z P [][][]0,1|010===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,0|001===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,1|011===?=?=+X Y Z P Y P X P []5.02.03.00??==Z P 1.08.03.0??+9.02.07.0??+1.08.07.0??+ =? 注意：全概率公式的应用 2、已知随机变量X 和Y 的联合分布律如又表所示， 且()Y X Y X g Z +==2 11,，()Y X Y X g Z /,22==，求： 1）1Z 的分布律与数学期望
马尔科夫预测
第6章 马尔可夫预测 马尔可夫预测方法不需要大量历史资料，而只需对近期状况作详细分析。它可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测等等，还可用来分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考。 6.1 马尔可夫预测的基本原理 马尔可夫（A.A.Markov ）是俄国数学家。二十世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状态有关，而与事物的过去状态无关。具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程。设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济和社会行为都可用这一类过程来描述或近似，故其应用范围非常广泛。 6.1.1 马尔可夫链 为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态），可以用一组随时间进程而变化的变量来描述。如果系统在任何时刻上的状态是随机的，则变化过程就是一个随机过程。 设有参数集(,)T ?-∞+∞，如果对任意的t T ∈，总有一随机变量t X 与之对应，则称 {,}t X t T ∈为一随机过程。 如若T 为离散集（不妨设012{,,,...,,...}n T t t t t =），同时t X 的取值也是离散的，则称 {,}t X t T ∈为离散型随机过程。 设有一离散型随机过程，它所有可能处于的状态的集合为{1,2,,}S N =L ，称其为状态空间。系统只能在时刻012,,,...t t t 改变它的状态。为简便计，以下将n t X 等简记为n X 。 一般地说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。在实际情况中，也有具有这样性质的随机系统：系统在每一时刻（或每一步）上的状态，仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。这个性质称为无后效性，即所谓马尔可夫假设。具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。用数学语言来描述就是： 马尔可夫链 如果对任一1n >，任意的S j i i i n ∈-,,,,121Λ恒有 {}{}11221111,,,n n n n n n P X j X i X i X i P X j X i ----=======L (6.1.1) 则称离散型随机过程{,}t X t T ∈为马尔可夫链。 例如，在荷花池中有N 张荷叶，编号为1,2,...,N 。假设有一只青蛙随机地从这张荷叶上跳到另一张荷叶上。青蛙的运动可看作一随机过程。在时刻n t ，青蛙所在的那张荷叶，称为青蛙所处的状态。那么，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态()N i i ,,2,1Λ=有关，与它以前在哪张荷叶上无关。此过程就是一个马尔可夫链。 由于系统状态的变化是随机的，因此，必须用概率描述状态转移的各种可能性的大小。 6.1.2 状态转移矩阵 马尔可夫链是一种描述动态随机现象的数学模型，它建立在系统“状态”和“状态转移”的概念之上。所谓系统，就是我们所研究的事物对象；所谓状态，是表示系统的一组记号。当确定了这组记号的值时，也就确定了系统的行为，并说系统处于某一状态。系统状态常表示为向量，故称之为状态向量。例如，已知某月A 、B 、C 三种牌号洗衣粉的市场占有率分别是0.3、0.4、0.3，则可用向量()0.3,0.4,0.3P =来描述该月市场洗衣粉销售的状况。
预测与决策试卷及答案解析
经济预测与决策 考试形式：闭卷考试时量：150分钟总分：100分 一．单选题1*15=15分 1.经济预测的第一步是（）A A.确定预测目的，制定计划 B.搜集审核资料 C.建立预测模型 D.评价预测成果 2.对一年以上五年以下的经济发展前景的预测称为（）B A.长期经济预测 B.中期经济预测 C.短期经济预测 D.近期经济预测 3.（）回归模型中，因变量与自变量的关系是呈直线型的。C A.多元 B.非线性 C.线性 D.虚拟变量
4.以下哪种检验方法的零假设为：B1=B2=…=Bm=0？B A.r检验 B.F检验 C.t检验 D.DW检验 5.以数年为周期，涨落相间的波浪式起伏变动称为（）D A.长期趋势 B.季节变动 C.不规则变动 D.循环变动 6. 一组数据中出现次数最多的变量值，称为（）A A.众数 B.中位数 C.算术平均数 D.调和平均数 7. 通过一组专家共同开会讨论，进行信息交流和相互启发，从而诱发专家们发挥其创造性思维，促进他们产生“思维共振”，达到相互补充并产生“组合效应”的预测方法为（）A A.头脑风暴法 B.德尔菲法
C.PERT预测法 D.趋势判断预测法 8.（）起源于英国生物学家高尔登对人类身高的研究。B A.定性预测法 B.回归分析法 C.马尔科夫预测法 D.判别分析预测法 9.抽样调查的特点不包括（）D A.经济性 B.时效性 C.适应性 D.全面性 10.下图是哪种多项式增长曲线（）B A.常数多项式 B.一次多项式 C.二次多项式
D.三次多项式 11.根据历年各月的历史资料，逐期计算环比加以平均，求出季节指数进行预测的方法称为（）C A.平均数趋势整理法 B.趋势比率法 C.环比法 D.温特斯法 12.经济决策按照目标的性质和行动时间的不同，分为（）D A.宏观经济决策和微观经济决策 B.高层、中层和基层决策 C.定性决策和定量决策 D.战术决策和战略决策 13.（）是从最好情况出发，带有一定冒险性质，反映了决策者冒进乐观的态度。B A.最大最小决策准则 B.最大最大决策准则 C.最小最小后悔值决策准则 D.等概率决策准则 14.如果某企业规模小，技术装备不良，担负不起较大的经济风险，则该企业应采用（）A
灰色预测马尔科夫
姓名：徐茂森 学号：200841004047 班级：统计2班 日期：2011年1月9日
基于灰色——马尔科夫模型的粮食产量预测 ——以山东省潍坊市粮食产量为例 【摘要】：本文基于灰色预测GM （1,1) 模型基础上，结合马尔科夫链，针对传统预测方法精确度不高的问题，研究山东省粮食产量变化来预测未来粮食产量。理论分析和实证计算表明，此种方法精确度更高，更加准确的预测未来的发展。 【关键词】：灰色预测模型，马尔可夫链，粮食产量 一、引言 我国是一个粮食大国，粮食关系到民生。对于我们这个具有13亿人口的大国来 说，粮食的作用更加重要。如今存在很多预测方法能够预测粮食的产量，都有一定的优点和缺点。灰度---马尔科夫模型是同时运用灰度预测模型和马尔科夫模型对问题进行分析预测。灰度预测模型通常是研究宏观规律，马尔科夫模型而是研究围观波动。恰当的运用这两种模型综合分析问题，会是预测精度明显提高。 二、理论分析及模型建立 2.1、 灰色模型GM （1，1）的基本思想 2.1.1、灰色预测 灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间的发展趋势的相私或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列具有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。 灰色预测使用灰色模型GM （1，1）来进行定量的分析。 2.1.2、GM （1，1）模型的建立 令(0)X 为GM （1，1）建模序列 (0) X =（(0)x （1），( 0)x （2），…，(0)x （n ）） (1) X 为(0)X 的1-AGO 序列
马尔科夫预测法
马尔科夫预测案例 一、 市场占有率的预测 例1：在北京地区销售鲜牛奶主要由三个厂家提供。分别用1，2，3表示。去年12月份对2000名消费者进行调查。购买厂家1，2和3产品的消费者分别为800，600和600。同时得到转移频率矩阵为： 3202402403601806036060180N ?? ?= ? ??? 其中第一行表示，在12月份购买厂家1产品的800个消费者中，有320名消费 者继续购买厂家1的 产品。转向购买厂家2和3产品的消费者都是240人。N 的第二行与第三行的含义同第一行。 （1） 试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测。 （2） 试求均衡状态时，各厂家的市场占有率。 解：（1）用800，600和600分别除以2000，得到去年12月份各厂家的市场占有率，即初始分布0(0.4,0.3,0.3)p =。 用800，600和600分别去除矩阵N 的第一行、第二行和第三行的各元素，得状态转移矩阵： 0.40.30.30.60.30.10.60.10.3P ?? ?= ? ??? 于是，第k 月的绝对分布，或第 月的市场占有率为： 00()(1,2,3,,7)k k P p P k p P =?= 1k =时，()()10.40.30.30.40.30.30.60.30.10.520.240.240.60.10.3p ?? ? == ? ??? 2k =时，()()()220.40.30.30.520.240.240.4960.2520.252p P P === 3 k =时, ()()()330.40.30.30.4960.2520.2520.50080.24960.2496p P P === 类似的可以计算出4p ，5p ，6p 和7p 。
马尔科夫预测法在股票价格预测中的应用
马尔科夫预测法在股票价格预测中的应用 文章通过介绍马尔科夫预测法的基本原理，并且把马尔科夫预测法应用到股票价格的预测中，运用马尔科夫预测法关键是获得初始状态向量和状态转移概率矩阵，通过实证分析的验证，马尔科夫预测法在短期的股票价格预测中还是可以取得一定的效果的。 【关键词】马尔科夫预测法初始状态向量状态转移概率矩阵 一、引言 随着市场经济的发展，人们的收入不断提高，手中的闲散资金不断增多，投资成为现代人保证闲散资金得到保值增值的重要手段，而投资股票又是众多投资手段中最重要的一种手段。要想运用股票来达到资产的保值增值，就需要对所要购买的股票的价格趋势进行预测，才能通过投资股票获得收益。股票的价格波动受到多种随机因素的影响，股票价格变动过程可以看作为一个随机过程。对股票价格的精确预测从理论上来看是根本不可能的事情，因为股票的价格波动受到多种因素的共同作用，没有哪一种理论能够考虑到任何所有可能的因素。但是在短期内对股票价格做一个某种程度上的预测确实可以做到的。如果我们把股票价格波动视为一种随机过程，在众多随机过程中马尔科夫过程是一种比较简单的随机过程。本文将马尔科夫预测法运用到股票价格的短期预测中。并且通过验证可以发现马尔科夫预测法在短期内的预测效果在一定程度上是符合股票价格波动的合理区间。 二、马尔科夫预测法的基本原理
马尔科夫预测法是以俄国数学家马尔科夫名字命名的一种数学方法，马尔科夫预测法是应用概率论中马尔科夫链的理论和方法来研究随机事件变化并借此分析预测对象所处状态。它的核心思想是，如果把事件的整个随机过程分成不同的状态集，那么事件当前所处的状态是受上一个状态影响的。也就是利用事件上一状态来预测下一状态。 所谓状态就是指预测对象在某个时间出现的某种结果。在对股票价格趋势预测中我们通常对股票所处的状态有两种划分：一种是按照预测对象现阶段本身所处状态来进行划分。例如，对个股每日收盘价与前日的收盘价进行比较，可划分为三种状态：上涨、持平、下跌；另一种是根据实际情况进行人为地划分，例如，可以将一段时期内股票的价格划分为若干区域，每一价格仅落入一个区域内，则每一个区域可为一种状态。本文运用第二种方法，通过构造马尔科夫链来进行预测。 运用马尔科夫预测法进行预测，主要是构建马尔科夫链，即找出初始状态的概率向量和构建状态转移矩阵来预测对象未来某一时间所处的状态。假设条件：（1）状态转移一步转移，即都是相邻两个时期的状态转移。（2）测测期间状态的个数保持不变。（3）无后效性，即状态的转移仅与它前一期的状态和取值有关，而与前一期以前所处的状态和取值无关。用Pij（k）表示预测对象由状态Si经过k次转移，转移至状态sj的概率。k步转移概率矩阵为P（k） 三、多种状态下的股价预测 以深证云南白药2014年10月8日至2014年11月10日收盘价数据
基于绝对分布的马尔可夫链预测方法
基于绝对分布的马尔可夫链预测方法 对于一列相依的随机变量，用步长为一的马尔可夫链模型和初始分布推算出未来时段的绝对分布来做预测分析，即为传统的马尔可夫链预测方法之一，可称之为“基于绝对分布的马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“ADMCP法”。其具体方法步骤如下: (1)计算指标值序列均值x，均方差s，建立指标值的分级标准(相当于确定马尔可夫链的状态空间)，可根据资料序列的长短及具体间题的要求进行。例如，可以样本均方差为标准(也可以用有序聚类的方法建立分级标准等)将指标值分级，即按4.2.1中指出的方法确定马尔可夫链的状态空间E=[1, 2，一，m]; (2)按(1)所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态; (3)对(2)所得的结果进行统计计算，可得步长为一的马尔可夫链的转移概率矩阵 ，它决定了指标值状态转移过程的概率法则; (4)“马氏性”检验(应用工作者使用该方法时，一般都不做这一步，本文加上这一步意在完善"ADMCP法，’); (5)若以第1时段作为基期，该时段的指标值属于状态i，则可认为初始分布为 这里P(0)是一个单位行向量，它的第i个分量为1，其余分量全为0。于是第l+1时段的绝对分布为 第l+1时段的预测状态j满足: ;为预测第l+k时段的状态，则可 得到所预测的状态j满足: (6)可进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。 4.3.2叠加马尔可夫链预测方法 对于一列相依的随机变量，利用各阶(各种步长)马尔可夫链求得的绝对分布叠加来做预测分析，也是传统的马尔可夫链预测方法之一，可称之为“叠加马尔可夫链预测方法”不妨记其为“SPMCP 法’，。其具体方法步骤如下: (1)计算指标值序列均值x，均方差s，建立指标值的分级标准(相当于确定马尔可夫链的状态空间)，可根据资料序列的长短及具体问题的要求进行; (2)按“(1)"所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态: (3)对“(2)”所得的结果进行统计，可得不同滞时(步长)的马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了指标值状态转移过程的概率法则; (4)“马氏性”检验(应用工作者使用该方法时，一般也不做这一步，本文加上这一步同样意在完善，"SPMCP法”): (5)分别以前面若干时段的指标值为初始状态，结合其相应的各阶转移概率矩阵即可预测出该时段指标值的状态概率 (6)将同一状态的各预测概率求和作为指标值处于该状态的预测概率，即 ,所对应的i即为该时段指标值的预测状态。待该时段的指标值确定之后，将其加入到原序列之中，再重复步骤"(1)一(6)"，可进行下时段指标值状态的预测。
实验7 马尔科夫预测
实验7：马尔柯夫预测 7.1实验目的 1、了解状态及状态转移的概念，理解马尔科夫链定义和性质，能根据具体实例和研究目的划分状态； 2、掌握用Excel 软件计算一步转移概率矩阵的全过程； 3、掌握利用Excel 软件进行马尔科夫链、市场占有率、马尔科夫稳态的相关预测。 7.2实验原理 7.2.1 马尔柯夫预测的基本原理 马尔可夫预测法是马尔科夫过程和马尔科夫链在经济预测领域的一种应用，这种方法通过对事物状态划分、研究各状态的初始概率和状态之间转移概率来预测事物未来状态变化趋势，以预测事物的未来。 7.2.1．1马尔可夫链 若时间和状态参数都是离散的马尔科夫过程，且具有无后效性，这一随机过程为马尔可夫链。无后效性可具体表述为如果把随机变量序列{}(),Y t t T ∈的时间参数s t 作为“现在”，那么s t t >表示“将来”，s t t <表示“过去”，那么，系统在当前的情况()s Y t 已知的条件下，()Y t “将来”下一时刻所处的的情况与“过去”的情况无关，随机过程的这一特性称为无后效性。 7.2.1．2状态及状态转移 1、状态是指客观事物可能出现或存在的状况。在实际根据研究的不同事物、不同的预测目的，有不同的预测状态划分。 （1）预测对象本身有明显的界限，依状态界限划分。如机器运行情况可以分为“有故障”和“无故障”两种状态，天气有晴、阴、雨三种状态。（2）研究者根据预测事物的实际情况好预测目的自主划分。如：公司产量按获利多少人为的分为畅销、一般销售、滞销状态。这种划分的数量界限依产品不同而不同。 2、状态转移是指所研究的系统的状态随时间的推移而转移，及系统由某一时期所处的状态转移到另一时期所处的状态。发生这种转移的可能性用概率描述，称为状态转移概率 7.2.2状态转移概率矩阵及计算原理 1、概念：状态转移概率指假如预测对象可能有E 1，E 2，…，E n 共n 种状态，
马尔科夫预测
第 6 章马尔可夫预测 马尔可夫预测方法不需要大量历史资料，而只需对近期状况作详细分析。它可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测等等，还可用来分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考。 6.1 马尔可夫预测的基本原理 马尔可夫（A.A.Markov ）是俄国数学家。二十世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状态有关，而与事物的过去状态无关。具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程。设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济和社会行为都可用这一类过程来描述或近似，故其应用范围非常广泛。 6.1.1 马尔可夫链 为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态），可以用一组随时间进程而变化的变量来描述。如果系统在任何时刻上的状态是随机的，则变化过程就是一个随机过程。 设有参数集T （ , ），如果对任意的t T ，总有一随机变量X t 与之对应，则称{X t ,t T} 为一随机过程。 如若T 为离散集（不妨设T {t0,t1,t2,...,t n,...} ），同时X t的取值也是离散的，则称{X t ,t T} 为离散型随机过程。 设有一离散型随机过程，它所有可能处于的状态的集合为S {1,2,L ,N} ，称其为状态空间。系统只能在时刻 t0,t1,t2,...改变它的状态。为简便计，以下将X t n等简记为X n。 一般地说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。在实际情况中，也有具有这样性质的随机系统：系统在每一时刻（或每一步）上的状态，仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。这个性质称为无后效性，即所谓马尔可夫假设。具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。用数学语言来描述就是： 马尔可夫链如果对任一n 1，任意的i1,i2, ,i n 1, j S恒有 P X n j X1 i1,X2 i2,L ,X n 1 i n 1 P X n j X n 1 i n 1 （6.1.1）则称离散型随机过程{X t ,t T} 为马尔可夫链。 例如，在荷花池中有N 张荷叶，编号为1,2,..., N 。假设有一只青蛙随机地从这张荷叶上跳到另一张荷叶上。青蛙的运动可看作一随机过程。在时刻t n ，青蛙所在的那张荷叶，称为青蛙所处的状态。那么，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态i i 1,2, ,N 有关，与它以前在哪张荷叶上无关。此过程就是一个马尔可夫链。 由于系统状态的变化是随机的，因此，必须用概率描述状态转移的各种可能性的大小。 6.1.2 状态转移矩阵 马尔可夫链是一种描述动态随机现象的数学模型，它建立在系统“状态”和“状态转移”的概念之上。所谓系统，就是我们所研究的事物对象；所谓状态，是表示系统的一组记号。当确定了这组记号的值时，也就确定了系统的行为，并说系统处于某一状态。系统状态常表示为向量，故称之为状态向量。例如，已知某月 A 、B 、C 三种牌号洗衣粉的市场占有率分别是0.3、0.4、 0.3，则可用向量P 0.3,0.4,0.3 来描述该月市场洗衣粉销售的状况。
马尔可夫链预测方法及其一类应用【开题报告】
开题报告 数学与应用数学 马尔可夫链预测方法及其一类应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义 概率论自1654年创立以来, 已由最初的博弈分析问题发展成为现今的方法论综合性学科. 而其中随机过程已经是现代概率论发展的必然性. 在这其中, 马尔可夫在1906年的"大数定理关于相依变量的扩展"（Extension de la loi de grands bombers etc）论文中首次创立的马尔可夫链已经成为了概率论的重中之重. 马尔可夫是世界上著名的数学家、社会学家. 他所研究的范围非常的广泛, 涉及到概率论、数论、数的集合、函数逼近论、数理统计、微分方程等方面. 马尔可夫在1906~1912年间, 他提出并研究了一种能用数学分析方法研究自然过程的一般图示, 后人把这种图示以他的姓氏命名为马尔可夫链(Markov Chain). 在当时, 马尔可夫开创性地采用了一种对无后效性的随机过程的研究范式, 即在已知当前状态的情况下, 过程的未来状态与其过去状态无关, 这就是现在大家非常熟悉了解的马尔可夫过程. 在现实生活当中, 有许多过程都能被看作成马尔可夫过程. 如软件可靠性测试、传染病受感染的人数、农村剩余劳动力流动趋势预测、液体中微粒所作的布朗运动、产品市场占有率及利润率的变动等等. 也正是由于马尔可夫链在生活中所具有的普遍存在性, 马尔可夫链理论才被广泛应用于近代的物理学, 生物学, 地质学, 计算机科学, 公共事业, 教育管理、经济管理、以及企业人员管理、桥梁建筑等各个领域. 马尔可夫链运用数学模型对定性问题进行预测提供了一种思路, 丰富了预测的内容. 其大体上可以分为以下几个步骤: 首先, 把现象看作成为一个系统, 并对该系统进行科学的划分. 根据系统的实际和需要划分出多个状态, 系统所划分出来的各个状态就是要预测的内容. 其次, 对现象各种状态的状态概率进行统计测定, 也就是判定出系统当前处于什么状态. 然后, 对各系统未来发展的每次转移概率进行预测, 就是要确定出系统是如何转移的. 最后, 根据系统当前的各种状态和转移概率矩阵, 推测出系统经过若干次转移后, 到达
马尔可夫链预测股票例1
1、对单支股票走势、收益的预侧 现以上海A股精伦电子的股价时间序列为例(原始资料如表1)，应用马尔可夫链对股价分别进行中短期和长期预测分析，这里不妨将时间序列的单位以天记。 表1:上海A股精伦电子2002年6月13日一7月17日23个交易日的收盘价格资料 将表1中这23个收盘价格划分成4个价格区间(由低到高每区间1.5个价格单位)，得到区间状态为: S1：(26.00以下)、S2：(26.00--27.50)、S3：(27.50--28.00)、S4：(28.00及以上)。则到达个区间的频数分别为5, 3, 9, 6。综合这些资料于是得到这23个交易日的收盘价格状态转移情况如表2， 由此得到各状态之间的转移概率和转移概率矩阵: 表1知，第23个交易日的收盘价格是27.53(即为k状态区间)，所以用马尔可夫链进行预测时初始状态向量，P(0) =( 0,0,1,0)，第24, 25日的收盘价格状态向量分别为即
P(1)=P(0)P=(0,0.125,0.625,0.25); P(2)=P(1)P=(0.042,0.078,0.451,0.323) 预测这两日的收盘价格处于k状态区间的概率最大，与实际情况27.21和27.39一致. 随着交易日的增加，即n足够大时，只要状态转移概率不变(即稳定条件)，则状态向量趋向于一个和初始状态无关的值，并稳定下来.按马尔可夫系统平稳定条件，可得一个线性方程组: 解得的数值即为较长时间后股价处于各区间的平稳分布。对照资料可以看出，由上述公式计算出的各收盘价格状态区间基本上是准确的。 2、用马氏链对沪市的走势进行预铡及相应分析 我们利用沪市1998年1月5日至2001年11月2日的上证综合指数每周收盘资料，将上证指数划分为六个区间，即六种状态:区间1(1000点一1300点);区间2 (1300点一1600点);区间3 (1600点一1800点):区间4 (1800点~2000点);区间 5 (2000点~2200点);区间6 (2200点以上)。即可得到上证综合指数以周为单位的转移概率矩阵 因为11月2日上证综合指数周收盘为1691点，处于状态3，所以在对沪市进行预测时，初始状态向量P(0)=(0,0,1,0,0,0)，然后按上例中的马尔可夫方法进行中短期和长期预测分析。通过对比可以发现，马尔可夫链对整个证券市场的预测结果是比较准确的，而且长期预测所得的结论与股票价格根本上是由股票内在投资价值决定的这一基本原理也是惊人的一致。
经济预测与决策名词解释
名词解释 预测：是指对研究对象的未来状况进行估计和推测，即有过去和现在推测未来，由已知推测未知。 连贯性原则：是指事物过去和现在的发展变化规律在未发生质变的情况下，可以延续到未来。 类推性原则：是指事物的结构或规律具有相似性，有些事件可能是另一事件发生的先兆，因而可由已知事件的发展规律类推未知事件的未来。 预测精度：是指预测结果与实际情况的符合程度，是衡量预测方法是否适用于预测对象的一个重要指标。 定性预测：是指预测者根据一定的理论知识和经验，在对研究对象的发展进行调查和分析的基础上，对其发展趋势做出判断的方法。 专家预测法：是利用专家的知识经验，并结合有关背景统计资料进行预测的一类定性预测方法 主观概率：是指在一定条件下，个人对某一事件在未来发生或不发生的可能性所作的估计。 时间序列：是指各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间顺序排列起来的统计数据 马尔科夫链：是指具有无后效性的时间序列。所谓无后效性是指序列将来处于什么状态只与它现在所处的状态有关，而与它过去处于什么状态无关。
决策：是指管理部门和企业为了达到某种特定的目标，在调查、预测和对经济发展、管理活动等规律认识的基础上，运用科学的方法，对若干个可行方案进行分析、比较、判断，从中选出一个令人满意的方案并予以实施的过程 确定型决策：是指在决策系统及所处环境条件下，决策者根据已掌握的科学知识和技术手段，对不可控制因素能够完全作出科学、正确的判断。 风险型决策：是指决策者根据各种不同自然状态可能发生的概率及各方案的条件收益值所进行的决策 1、线性趋势预测 2、一次指数平滑法 3、时间序列具有线性发展趋势，要求采用二次移动平均法 4、趋势比率法进行季度预测 5、马尔科夫预测 6、转导法（第二章补充） 7、点面联想法 8、损益表分析 9、决策树（二阶段决策）
课上练习题_离散时间马尔科夫链 423
1、4.23 Trials are performed in sequence. If the last two trials were successes, then the next trial is a success with probability 0.8; otherwise the next trial is a success with probability 0.5. In the long run, what proportion of trials are successes? 2、4.32 Each of two switches is either on or off during a day. On day n, each switch will independently be on with probability [1+#of on switches during day n-1]/4. For instance, if both switches are on during day n-1, then each will independently be on during day n with probability3/4. What fraction of days are both switches on? What fractions are both off?
3、Let ri denote the long-run proportion of time a given irreducible Markov chain is in state i. Explain why ri is also the proportion of transitions that are into state i as well as being the proportion of transition that are from state i. 4、4.44 Suppose that a population consists of a fixed number, say, m, of genes in any generation. Each gene is one of two possible genetic types. If any generation has exactly i (of its m) genes being type 1, then the next generation will have j type 1 genes with probability j m j m i m m i j m- ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? . Let Xn denote the number of type 1 genes in the nth generation, and assume that X0 = i. (a) Find E[Xn] (b) What is the probability that eventually all the genes will be type 1?
第五章 风险与风险管理-马尔科夫分析法(MARKOVANALYSIS)
2015年注册会计师资格考试内部资料 公司战略与风险管理 第五章 风险与风险管理 知识点：马尔科夫分析法（MARKOVANALYSIS）● 详细描述： 通常用于对那些存在多种状态（包括各种降级使用状态）的可维修复杂系统进行分析。 （一）适用范围 适用于对复杂系统中不确定性事件及其状态改变的定量分析。 （二）实施步骤 【案例】 分析一种仅存在三种状态的复杂系统。 功能 —— 状态S1 降级 —— 状态S2 故障 —— 状态S3 每天，系统都会存在于这三种状态中的某一种。 马尔科夫矩阵说明了系统明天处于状态Si的概率 （i可以是1、2或3） 表5－13 马尔科夫矩阵 Pi表示系统处于状态i （i可以是1、2或3）的概率： P1＝0.95P1＋0.30P2＋0.20P3 （1） P2＝0.04P1＋0.65P2＋0.60P3 （2） P3＝0.01P1＋0.05P2＋0.20P3 （3） 这三个方程并非独立的，无法解出三个未知数。因此，下列方程必须使 今天状态S1（功能）S2（降级）S3（故障）明天状态S1（P1） 0.950.30.2S2（P2） 0.040.650.6S3（P3）0.010.050.2
用，而上述方程中有一个方程可以弃用。 1＝P1＋P2＋P3 （4） 解联立方程组，得到： 状态1的概率P1＝0.85 状态2的概率P2＝0.13 状态3的概率P3＝0.02 （三）主要优点和局限性 【主要优点】能够计算出具有维修能力和多重降级状态的系统的概率。 【局限性】 （1）无论是故障还是维修，都假设状态变化的概率是固定的； （2）所有事项在统计上具有独立性，因此未来的状态独立于一切过去的状态，除非两个状态紧密相连； （3）需要了解状态变化的各种概率； （4）有关矩阵运算的知识比较复杂，非专业人士很难看懂。 例题：