高中文科数学一轮复习——函数专题
第二章 函数
第一节 对函数的进一步认识
A 组
1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4
x
的定义域为________．
解析：?
????
－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，?x ∈[－4,0)∪(0,1]
答案：[－4,0)∪(0,1]
2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，
其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1
f (3))的值等于________．
解析：由图象知f (3)＝1，f (1
f (3)
)＝f (1)＝2.答案：2
3．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝?
????
3x ，x ≤1，
－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________.
解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；
当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32.答案：log 32
4．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满
足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．
解析：如图．答案：1
5．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________.
解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3， 令x ＝－1得：－1＝b 3；
再令x ＝0与x ＝1得?
????
－1＝1＋b 1＋b 2＋b 3
3＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3，
解得b 1＝－1，b 2＝0. 答案：(－1,0，－1)
6．已知函数f (x )＝?????
1＋1
x (x >1)，
x 2
＋1 (－1≤x ≤1)，
2x ＋3 (x <－1).
(1)求f (1－
1
2－1
)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝3
2
， 求a .
解：f (x )为分段函数，应分段求解．
(1)∵1－1
2－1
＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3，
又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝3
2
.
(2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x
3x －1
；
若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤3
2
，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；
若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1.
∴f (3x －1)＝???
3x 3x －1
(x >2
3)，
9x 2
－6x ＋2 (0≤x ≤23
)，6x ＋1 (x <0).
(3)∵f (a )＝3
2
，∴a >1或－1≤a ≤1.
当a >1时，有1＋1a ＝3
2
，∴a ＝2；
当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±2
2
.
∴a ＝2或±2
2
.
B 组 1．(2010年广东江门质检)函数y ＝1
3x －2＋lg(2x －1)的定义域是________．
解析：由3x －2>0,2x －1>0，得x >23.答案：{x |x >2
3}
2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝????
?
－2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，
2x －1，(x >2)，
则f (f (f (3
2
)＋5))＝_.
解析：∵－1≤32≤2，∴f (3
2
)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3，
∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：7 3．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．
解析：∵对任意的x ∈(－1,1)，有－x ∈(－1,1)， 由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②
①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，
∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋1
3
lg(1－x )，(－1 答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋1 3 lg(1－x )，(－1 4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个． 解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数 5．设函数f (x )＝? ???? 2 (x ＞0) x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为 f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个． 解析：由题意得 ? ???? 16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ? ???? b ＝4 c ＝2， ∴f (x )＝? ???? 2 (x ＞0) x 2＋4x ＋2 (x ≤0). 由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个． 答案：? ???? 2 (x ＞0) x 2＋4x ＋2 (x ≤0) 3 6．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝1 2 ，g (x ) 的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________． 答案：2 (－1,3) 7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝? ???? x 2－4x ＋6，x ≥0 x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是 ________． 解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3， 解得x ＝1，x ＝3.故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3. 当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3 8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝? ???? log 2(4－x )， x ≤0， f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则 f (3)的值为________． 解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2.答案：－2 9．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________． 解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得 ????? 5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35，得????? a 1＝4a 2＝3 ，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤95 3)．答案：y ＝－ 3x ＋95(20≤x ≤95 3 ) 10．函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6. (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值． 解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1， (ⅰ)若a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合题意； (ⅱ)当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意． ②若1－a 2≠0，则g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数． 由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立， ∴????? 1－a 2 >0，Δ≤0，∴????? －1 11 ≤a ≤1. (2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2 ＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a 2≠0且－2,1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根． ∴????? 1－a 2<0， －2＋1＝3(1－a ) a 2－1 ，－2＝6 1－a 2， Δ＝[3(1－a )]2 －24(1－a 2 )>0 ∴????? a <－1或a >1， a ＝2， a ＝±2. a <－5 11 或a >1∴a ＝2. 11．已知f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，并且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1，求当x ∈[2k －1,2k ＋1](k ∈Z )时、f (x )的解析式． 解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1,2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1.∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1. 又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )， ∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1,2k ＋1]，k ∈Z . 12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数) (1)写出g (x )，h (x )的解析式； (2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？ 解：(1)g (x )＝20003x (0 216－x (0 (2)f (x )＝??? 2000 3x (0 216－x (87≤x <216，x ∈N * ). (3)分别为86、130或87、129. 第二节 函数的单调性 A 组 1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1 ①f (x )＝1 x ②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1) 解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1 在(0，＋∞)上为减函数．答案：① 2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0 解析：∵0 2]时，g (x )为减函数． 由0≤log a x ≤ 1 2 a ≤x ≤1.答案：[a ，1](或(a ，1)) 3．函数y ＝x －4＋15－3x 的值域是________． 解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π 3 )，∴1≤y ≤2. 答案：[1,2] 4．已知函数f (x )＝|e x ＋a e x |(a ∈R )在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围__． 解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋a e 0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时， f (x )＝|e x |＝e x 符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －a e x ≥0在x ∈[0,1]上恒成 立．只需满足a ≤(e 2x )min 成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1. 答案：－1≤a ≤1 5．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________． ①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝???? ? 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1) 解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x ) ＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数； ∵f (x )＝????? 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1.∴f (x )＝???? ? 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1) 是有下确界的函数．答案： ①③④ 6．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x ) (2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围. 解：(1)x ∈R ，f (x )4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4， ①当Δ≤0即－255≤m ≤25 5 时，则必需 ??? m 2 ≤0－25 5≤m ≤25 5 － 25 5 ≤m ≤0. ②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1 2 ≥1，则 x 1≤0. ????? m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0 m ≥2. 若m 2≤0，则x 2≤0， ????? m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0 －1≤m <－25 5 .综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2. B 组 1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________． ①y ＝－1 x ②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x | 解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④ 2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0. ∴????? a 2≤2，4－2a ＋3a >0， ∴－40)在(3 4 ，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__． 解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0 16 . 答案：(0，9 16 ] 4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 <0，则下列结论正确的是________． ①f (3) 解析：由已知f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 <0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝ f (－2)，即f (3) 5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝???? ? a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0) 满足对任意x 1≠x 2，都有 f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2 <0成立，则a 的取值范围是________． 解析：由题意知，f (x )为减函数，所以???? ? 0 a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0 4 . 6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图 所示的折 线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(3,0)，定义函数 g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________． 解析：g (x )＝? ???? 2x (x －1) (0≤x <1)， (－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)， 当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时， 在x ＝2取得最大值1.答案：1 7．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1,1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________． 解析：∵cos x ∈[－1,1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2,0]．答案：[－2,0] 8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________． 解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为 ? ???? 1≤x ≤9，1≤x 2 ≤9，∴x ∈[1,3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0,1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13.答案：13 9．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，1 2)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间 为__________． 解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，1 2)时，μ∈(0,1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0 μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－1 2 .∴f (x ) 的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－1 2) 10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 1 2 x ＋1的单调性． 解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 1 2x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那 么原函数y ＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 1 2x 在x ∈(0，＋∞)内是减 函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(1 2，＋∞)上是增函 数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0 2.由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )] 的单调性： 函数 单调性 (0， 2 2 ) ( 2 2 ，＋∞) u ＝log 12x f (u )＝2u 2－2u ＋1 y ＝2(lo g 12x )2－2log 1 2 x ＋1 故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(2 2，＋∞)上单调递增． 11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1 x 2)＝f (x 1)－f (x 2)， 且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1 x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0， 所以f (x 1 x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1) 所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (9 3)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. 由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， 由f (|x |) x ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三 个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1.若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由． 解：∵f (x )在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 3 1＋a ＋b 1 ＝1.即a ＋b ＝2. 设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋b x 2恒成立． 由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b ) x 1x 2 ＞0恒成立． 又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1. 设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b ) x 3x 4 ＜0恒成立． ∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1.由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1.∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件． 第三节 函数的性质 A 组 1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________． 解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2) 2．(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________． 解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)?f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0.答案：0 3．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________． 解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25) 答案：f (－25) 4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1) 3 ) 的x 取值范围是________． 解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|) 3 )，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<13，解得13 ) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________． 解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2.答案：－2 6．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1,4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4,9]上的解析式． 解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)， 又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0. (2)当x ∈[1,4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)． (3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x .∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15.当6 ∴f (x )＝? ???? －3x ＋15， 4≤x ≤6 2(x －7)2 －5， 6 1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________． ①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2) ④f (x ＋3)是奇函数 解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④ 2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋3 2 )，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1) ＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________. 解析：f (x )＝－f (x ＋3 2 )?f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所 以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0.答案：0 3．(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________. 解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0.答案：0 4．(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________． 解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0.从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1,0)时，f (x )<0；x ∈(0,1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)． 5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________． 解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2.∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1.答案：1 6．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2) ＝－1 f (x ) ，若当2 解析：由f (x ＋2)＝－1 f (x ) ，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009.5)＝f (502×4＋1.5)＝f (1.5)＝f (－ 2.5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009.5)＝f (2.5)＝52.答案：5 2 7．(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________． 解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1 解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1.答案：－1 9．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________. 解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0.由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8. 答案：-8 10．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式． 解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0.当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)． ∴f (x )＝? ???? －x lg(2－x ) (x <0)， －x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )． 11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如 果x ∈R ＋ ，f (x )<0，并且f (1)＝－12 ，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值． 解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称． ∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0.∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． (2)法一：设x ，y ∈R ＋ ，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )． ∵x ∈R ＋ ，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y ) f (6)为最小值．∵f (1)＝－1 2 ，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴ 所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3. 法二：设x 1 －x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0.即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最 小值．∵f (1)＝－1 2 ，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x ) 在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3. 12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )． (1)求证：f (x )是周期函数； (2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－1 2 在[0,2010]上的所有x 的 个数． 解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． (2)当0≤x ≤1时，f (x )＝1 2 x ， 设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－1 2 x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝1 2 x (－1≤x ≤1) 又设1 2 (x －2)， 又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝1 2 (x －2)，∴f (x ) ＝－1 2(x －2)(1 ?? 1 2x (－1≤x ≤1)－1 2 (x －2) (1 由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－1 2 的所有x ＝4n － 1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2010，则14≤n ≤5023 4，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0,2010] 上共有502个x 使f (x )＝－1 2 . 高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 选修4－5不等式选讲 1．两个实数大小关系的基本事实 a>b?________；a＝b?________；a 5．基本不等式 (1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b 2________ab ，当且仅当________时，等号成 立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ， ①如果它们的和S 是定值，则当且仅当________时，它们的积P 取得最________值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当________时，它们的和S 取得最________值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3________3 abc ，当且仅当________时，等号 成立． 即三个正数的算术平均____________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广 对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均__________它们的几何平均，即 a 1＋a 2＋…＋a n n ________n a 1a 2…a n ， 当且仅当________________时，等号成立． 7．柯西不等式 (1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2 n )≥(a 1b 1 ＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道a >b ?a －b >0，a b ，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法 由a >b >0?a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明________即可，这 种方法称为求商比较法． 高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n，已知a1030, a2050 . （ 1）求通项a n； （ 2）若S n242 ，求 n ； （ 3）若b n a n20 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中，S n为前n项和，已知S77, S1575 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）若b n S n，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ，记 b n 1 ， a n . 1 2a n 1 a n （1）求证 : 数列{ b n}为等差数列； （2）求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中， a n 0 ， a1 1 ，且当 n 2 时，a n 2S n S n 1 0 . 2 （ 1）求证数列1 为等差数列；S n （ 2）求数列a n的通项 a n； （ 3）当n 2时，设b n n 1 a n，求证： 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中，a18, a4 2 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设S n| a1 | | a2 || a n |，求 S n； 1 (n N *) ， T n b1 b2 b n (n N *) ，是否存在最大的整数m 使得对任（ 3）设b n n(12 a n ) 意 n N * ，均有T n m m 的值，若不存在，请说明理由. 成立，若存在，求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列，且a13, a39 . （ 1）求{ a n}的通项公式； （ 2）证明： 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设b n a n，则 n 为何值时， { b n } 的项取得最小值，最小值为多少？n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式； （ 2）记c n a n b n，求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . （1）求数列{ a n}的通项公式a n； （2）数列{ a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n，设a n是S n与 2 的等差中项，数列{ b n} 中， b1 1，点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式 2017年暑假高中文科数学专题训练(学生版) 第一部分 三角函数类 【专题1---三角函数部分】 1.已知函数()log (1)30,1a y x a a =-+>≠的图像恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则2 sin sin 2αα- 的值等于 . 2.已知tan()3πα-+=,求22sin()3cos() 322sin ()4cos ()cos(2)2sin()22 π πααππααπαπα--+++--+---+-+; 3. 设2sin 24,sin 85,2(sin 47sin 66sin 24sin 43)a b c ===-o o o o o o o ,则( ) A.a b c >> B.b c a >> C.c b a >> D.b a c >> 4.已知1sin cos 2αα= +，且(0,)2πα∈，则 cos 2sin()4 α πα-的值为 ; 5.若02 π α<<，02π β- <<，1cos()43πα+= ，cos()423πβ-= ，则cos()2 β α+=( ) A B ． C D ． 6. 已知函数()cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为( ) A ．|,3x k x k k Z π πππ?? + ≤≤+∈???? B ．|22,3x k x k k Z π πππ?? + ≤≤+∈??? ? C ．5|,6 6x k x k k Z π πππ??+ ≤≤+ ∈???? D ．5|22,66x k x k k Z ππππ?? +≤≤+∈???? 7.已知ABC ? 中，4,30a b A ==∠=o ，则B ∠等于( ) A ．30o B ．30o 或150o C ．60o D ．60o 或120o 8.已知函数11 ()(sin cos )|sin cos |22 f x x x x x = +--,则()f x 的值域是( ) (A) [1,1]- (B) [2- (C) [1,2- (D) [1,2 -- 9. 若函数())sin(3)f x x a x a =---是奇函数，则a 等于（ ） A ．()k k Z π∈ B ．()6 k k Z π π+ ∈ C ．()3 k k Z π π+ ∈ D. ()3 k k Z π π- ∈ 第十二章 推理证明、算法初步、复数 第1讲 归纳与类比一、选择题 1．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为 ( )． A ．76 B ．80 C ．86 D ．92解析 由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.故选B.答案 B 2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )．A ．289 B ．1 024C ．1 225 D ．1 378解析 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 函数、基本初等函数 1．指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型 2．对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； （2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．知道指数函数 x a y=与对数函数x y a log = 互为反函数（a＞0，a≠1）。 4.幂函数 （1）了解幂函数的概念 （2）结合函数y=x, ,y=x2, y=x3,y=x21,y=x 1 的图象，了解它们的变化情况 二．【命题走向】 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考察是： 1．题型有两个选择题和一个解答题； 2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大 三．【要点精讲】 水寨中学2013届高三文科数学专题复习-选择填空题 选择题的解法： 解选择题的主要方法有： 1.直接法 2.图解法 3.排除法 4.特殊值法 5.推理分析法 6.验证法. 一、直接法 直接法就是通过推理或演算，直接从选择支中选取正确答案的方法。 例1：曲线311y x =+在点P （1,12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ） A.-9 B.-3 C.9 D.15 二、图解法 据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出 正确判断的方法叫图解法或数形结合法 图解法体现了数形结合的思想。它是将函数、方程、不等式，甚至某些“式 子”以图形表示后,再设法解决的基本方法。其思维形象直观、生动活泼。 图解法，不但要求我们能建立起由“数”到“形”的联想，同时还必须自觉 地将“形”转化到“数”。 例2：函数2ln 2(0)()21(0)x x x x f x x x ?-+>=?+≤? 的零点的个数（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 三、排除法：也称筛选法(或淘汰法)，结合估算、特例、逻辑分析等手段否定三 个选项，从而得到正确的选项． 例3：过抛物线y 2＝4x 的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P 和Q ，那么线段 PQ 中点的轨迹方程是______。 A. y 2＝2x －1 B. y 2＝2x －2 C. y 2＝－2x ＋1 D. y 2＝－2x ＋2 ()()22 013()A 10 B 01 C 1 D 33 6b a x x b ax a a a a <<+->-<<<<<<<<例4：设，若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则 ．．．． 四、特殊化法 用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各 个选项进行检验，从而作出正确判断,常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊 函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。 §1.2命题及其关系、充分条件与必要条件 1．命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及相互关系 3．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 4．充分条件与必要条件 (1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题．(×) (2)“sin 45°＝1”是真命题．(×) (3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是三角形的内角和不是180°. (×) (4)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．(√) (5)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件．(×) (6)若α∈(0,2π)，则“sin α＝－1”的充要条件是“α＝3 2 π”．(√) 2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是() A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C ．若|a |≠|b |，则a ≠－b D ．若|a |＝|b |，则a ＝－b 答案 D 解析 命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题为“若|a |＝|b |，则a ＝－b ”，故选D. 3．命题“若α＝π 4，则tan α＝1”的逆否命题是 ( ) A ．若α≠π 4，则tan α≠1 B ．若α＝π 4 ，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π 4 D ．若tan α≠1，则α＝π 4 答案 C 解析 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π 4”，故选C. 4．(2013·福建)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ?B ”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a ＝3时A ＝{1,3}，显然A ?B . 但A ?B 时，a ＝2或3.所以A 正确． 5．(2012·天津)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由条件推结论和结论推条件后再判断． 若φ＝0，则f (x )＝cos x 是偶函数， 但是若f (x )＝cos(x ＋φ) (x ∈R)是偶函数， 则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的充分而不必要条件． 题型一 四种命题及真假判断 例1 (1)下面是关于复数z ＝2 －1＋i 的四个命题： p 1：|z |＝2， p 2：z 2＝2i ， p 3：z 的共轭复数为1＋i ， 2012届高三数学第一轮复习计划 (文科) 一. 背景分析 近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体 现了变知识立意为能力立意这一举措。更加注重考查考生进入高校学习所需的基 本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。 2012年山东数学试卷充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学 数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。做到了总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新，兼顾了数学基础、思想方法、思维、应 用和潜能等多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽题材，选材多样化，宽角度、多视点地考查数学素养，多层次地考查思想能力，充分体现出山东卷的特色： 1 试题题型平稳突出对主干知识的考查重视对新增内容的考查 2 充分考虑文、理科考生的思维水平与不同的学习要求，体现出良好的层次性 3 重视对数学思想方法的考查 4 深化能力立意，考查考生的学习潜能 5 重视基础，以教材为本 6 重视应用题设计，考查考生数学应用意识 二、教学计划与要求 新课已授完，高三将进入全面复习阶段，全年复习分两轮进行。 第一轮为系统复习（第一学期），此轮要求突出知识结构，扎实打好基础知识，全面落实考点，要做到每个知识点，方法点，能力点无一遗漏。在此基础上，注意各部分知识点在各自发展过程中的纵向联系，以及各个部分之间的横向联 系，理清脉络，抓住知识主干，构建知识网络。在教学中重点抓好各中通性、通 法以及常规方法的复习，是学生形成一些最基本的数学意识，掌握一些最基本的数学方法。同时有意识进行一定的综合训练，先小综合再大综合，逐步提高学生解题能力。 三、具体方法措施 1. 认真学习《考试说明》，研究高考试题,提高复习课的效率。 《考试说明》是命题的依据，复习的依据. 高考试题是《考试说明》的具体体现。只有研究近年来的考试试题，才能加深对《考试说明》的理解，找到我 们与命题专家在认识《考试说明》上的差距。并力求在复习中缩小这一差距，更好地指导我们的复习。 2．高质量备课， 参考网上的课件资料，结合我校学生实际，高度重视基础知识，基本技能和基本方法的复习。充分发挥全组老师的集体智慧，确保每节课件都是高质量的。 统一教案、统一课件。 3．高效率的上好每节课， 重视“通性、通法”的落实。要把复习的重点放在教材中典型例题、习题上； 放在体现通性、通法的例题、习题上；放在各部分知识网络之间的内在联系上抓 好课堂教学质量，定出实施方法和评价方案。 4．狠抓作业批改、讲评，教材作业、练习课内完成，课外作业认真批改、 讲评。一题多思多解，提炼思想方法，提升学生解题能力。 5．认真落实月考，考前作好指导复习，试卷讲评起到补缺长智的作用。 第3节 分段函数 【基础知识】 1.在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 2．分段函数是一个函数，而不是几个函数； 3．分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集. 【规律技巧】 1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值． 2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则． 3.研究分段函数的性质，需把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则． 4. 含绝对值的函数是分段函数另一类表现形式. 【典例讲解】 例1、设函数f (x )＝????? 2－x ，x ∈ －∞，1 ，x 2，x ∈[1，＋∞ ，若f (x )>4，则x 的取值范围是______． 【方法技巧】求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 【变式探究】已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________． 例2已知实数0≠a ，函数()? ??≥--<+=1,21,2x a x x a x x f ，若()()a f a f +=-11，则a 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 例3在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是 A. 32人 B. 35人 C. 40人 D. 45 人 【答案】B 【针对训练】 1、作出函数||()x f x x x =+ 的图象. 【答案】见解析 2、已知函数1,1(),1 x e x f x x x ?-≤=?>?，那么(2)f 的值是（ ） A ．0 B ． C ．21e - D ．2 【答案】D 3、设函数()?????≥-<+=0 ,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______ 【答案】a ≤ 4、设函数246,0()6,0 x x x f x x x ?-+≥=?+的解集是（ ） A. 欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数 高中数学（文科）高考一轮复习 习题集（含答案） 目录 第一章集合 (1) 第一节集合的含义、表示及基本关系 (1) 第二节集合的基本运算 (3) 第二章函数 (5) 第一节对函数的进一步认识 (5) 第二节函数的单调性 (9) 第三节函数的性质 (13) 第三章指数函数和对数函数 (16) 第一节指数函数 (16) 第二节对数函数 (20) 第三节幂函数与二次函数的性质 (24) 第四节函数的图象特征 (28) 第四章函数的应用 (32) 第五章三角函数 (33) 第一节角的概念的推广及弧度制 (33) 第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式 (39) 第三节正弦函数与余弦函数的图象及性质 (42) 第四节函数 ()s i n() f x A x w j =+ 的图象 (45) 第六章三角恒等变换 (50) 第一节同角三角函数的基本关系 (50) 第二节两角和与差及二倍角的三角函数 (53) 第七章解三角形 (56) 第一节正弦定理与余弦定理 (56) 第二节正弦定理、余弦定理的应用 (59) 第八章数列 (60) 第九章平面向量 (62) 第十章算法 (65) 第一节程序框图 (65) 第二节程序语句 (69) 第十一章概率 (73) 第一节古典概型 (73) 第二节概率的应用 (75) 第三节几何概型 (79) 第十二章导数 (83) 第十三章不等式 (85) 第十四章立体几何 (88) 第一节简单几何体 (88) 第二节空间图形的基本关系与公理 (92) 第三节平行关系 (96) 第四节垂直关系 (100) 第五节简单几何体的面积与体积 (104) 第十五章解析几何 (108) 第一节直线的倾斜角、斜率与方程 (108) 第二节点与直线、直线与直线的位置关系 (111) 第三节圆的标准方程与一般方程 (114) 第四节直线与圆、圆与圆的位置关系 (117) 第五节空间直角坐标系 (121) 第十六章圆锥曲线 (123) 专题一 函数的概念、图象与性质[小题提速练] [明晰考情] 1.命题角度：以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题.2.题目难度：中档难度. 考点一 函数及其表示 要点重组 (1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合；探求抽象函数的定义域要把握一个原则：f (g (x ))中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同. (2)对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则. 1.函数y ＝lg (1－x 2)2x 2－3x －2的定义域为( ) A.(－∞，1] B.[－1，1] C.????－1，－12∪????－1 2，1 D.? ???－1，－12∪????－1 2，1 答案 C 解析 函数有意义，则? ???? 1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0， 即????? －1 ∴a ＝1 4，∴f ????1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)， 得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解. 综上，f ????1a ＝6. 故选C. 3.若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是__________. 答案 [0，1) 解析 由? ???? 0≤2x ≤2， x －1≠0，得0≤x ＜1， ∴函数g (x )的定义域为[0，1). 4.函数f (x )＝2a x －2 017 a x ＋1(a ＞0且a ≠1)的值域为______. 答案 (－2 017，2) 解析 f (x )＝2a x －2 017a x ＋1＝2(a x ＋1)－2 019 a x ＋1 ＝2－2 019 a x ＋1 ， 因为a x ＞0，所以a x ＋1＞1， 所以0＜2 019a x ＋1＜2 019，所以－2 017＜2－2 019 a x ＋1＜2， 故函数f (x )的值域为(－2 017，2). 考点二 函数的图象及应用 方法技巧 (1)函数图象的判断方法 ①找特殊点；②看性质：根据函数性质判断图象的位置，对称性，变化趋势等；③看变换：看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到. (2)利用图象可确定函数的性质、方程与不等式的解等问题. 5. 函数f (x )＝??? ?2 1＋e x －1·sin x 的图象大致形状为( ) 高三文科数学导数专题复习 1.已知函数)(,3 ,sin )(x f x x b ax x f 时当π =+=取得极小值 33 -π . （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件： （1）直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点； （2）对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”. 试证明：直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”. 2. 设函数3 221()231,0 1.3 f x x ax a x a =- +-+<< （1）求函数)(x f 的极大值； （2）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围． 3.如图所示，A 、B 为函数)11(32 ≤≤-=x x y 图象上两点，且AB//x 轴，点M （1，m ）（m>3）是△ABC 边AC 的中点. （1）设点B 的横坐标为t ，△ABC 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式)(t f S =； （2）求函数)(t f S =的最大值，并求出相应的点C 的坐标. 4. 已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. （I ）求)(x f 、)(x g 的表达式； （II ）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (III ）当1->b 时,若21 2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围 5. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2x =处有极值，曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线32y x =--，试求函数()f x 的极大值与极小值的差。 6.函数x a x x f - =2)(的定义域为]1,0(（a 为实数）. （1）当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域； （2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围； （3）求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值. 7.设x=0是函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设]2,2[,,)1()(,0212 2-∈++-=>+ξξ问是否存在x e a a x g a ，使得|1|)()(21≤-ξξg f 成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. 8. 设函数()2ln q f x px x x =- -，且()2p f e qe e =--，其中e 是自然对数的底数. （1）求p 与q 的关系； （2017高考文科数学）2016-4-30 讲义一数列 一、高考趋势 1、考纲要求 （1）．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)． （2）．了解数列是自变量为正整数的一类函数． （3）．理解等差数列的概念． （4）．掌握等差数列的通项公式及前n项和公式． （5）．了解等差数列及一次函数的关系． （6）．理解等比数列的概念． （7）．掌握等比数列的通项公式及前n项和公式． （8）．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． （9）．了解等比数列及指数函数的关系． 2、命题规律 数列一般在全国文科卷中平均考查分值为12分。考察形式一般有两种，第一种是选择题+填空题的形式，第二种是解答题的形式。并且全国文科卷解答题第一题是数列和三角函数二选一。因此数列题在高考中属于“要尽量全部做对且拿到满分”的“高期待值”题。 二、基础知识+典型例题 1、等差数列的概念及运算 （1）．等差数列的定义 如果一个数列从第二项开始每一项及前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． （2）．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则它的通项公式是 1(1)n a a n d =+-. ）（*∈N n （3）．等差中项 如果2 a b A += ，那么A 叫做a 及b 的等差中项． （4）．等差数列的前n 项和 等差数列{a n }的前n 项和公式：11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-=+ =）（*∈N n （5）．等差数列的判定通常有两种方法： ① 第一种是利用定义，a n －a n －1＝d (常数) (n ≥2)， ② 第二种是利用等差中项，即2a n ＝a n ＋1＋a n －1 (n ≥2)． a 1，d . 如果再给出第三个条件就可以完成a n ，a 1，d ，n ，S n 的“知三 求二”问题．这体现了用方程的思想解决问题． 考点一：等差数列通项公式及前n 项和公式 例1、 （15全国卷一）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A 、 172 B 、19 2 C 、10 D 、12 一轮函数（第二章） 函数的单调性 1．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(00． ∴????? a 2≤2，4－2a ＋3a >0， ∴－40)在(3 4 ，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__． 解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0(完整)高考文科数学导数专题复习
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