第7章质点动力学习题解答080714汇总

n x0 v0
这里 A 为振幅，为初相位，n 为固有频率。振动周期 T = 2 /n。
(2) 单自由度系统的有阻尼自由振动
粘性阻尼力 Fc cv ，其中比例常数 c 为阻尼系数，负号表示阻力与速度的方向相反。
振动微分方程：
x 2nx n2x 0 ，
其中 n = c / 2m. 特征方程为
2 2n n2 0 .
，tan
2n n2
2
.
在极端条件下，即无阻尼 n 0，且 =n，
稳态振动的振幅将成为无限大，这种现象称为共振。
解题要领：
1） 分清三种振动：自由振动、有阻尼振动和受迫振动，一般情况是它们的组合. 2） 将静平衡位置选为坐标原点，则在振动微分方程中不出现常力，这样，形式上可不考
虑常力对振动的影响. 3） 阻尼对系统的运动有决定性影响，振动只发生于小阻尼情形. 三、非惯性参考系中的质点运动
1 非惯性系中质点相对运动动力学方程
mar F Fe FC Fe 为牵连惯性力， FC 为科里奥利力。几种特殊情况。
(1) 动参考系相对定参考系作平移： mar F Fe ；
(2) 动参考系相对定参考系作匀速直线平移： mar F ； (3) 质点相对动参考系作匀速直线运动： F Fe FC 0 ，此情形为相对平衡；
FR Fi mgk 由质点运动微分方程 mr FR ，写出投影式
mx F ， my 0 ， mz mg
初始条件为
z
A
v
F k Oj
ii
M y
B
x
题 7-1 图
x y 0 ， z 0.3 ；
t 0
t 0
t 0
x z 0 ， y v
t 0
t 0
t 0
解得质点的速度方程为
x F t ， y v ， z gt m
第七章 质点动力学
本章要点
一、质点运动的动力学建模
1 动力学基本定律：牛顿三定律. 2 质点运动微分方程
矢量形式
d2 r
m dt2
n
Fi
i 1
；
形式直角坐标
m
d2 dt
x
2
n i 1
Fxi，
m
d2 dt
y
2
n i 1
Fy
，
i
m
d2 dt
z
2
n i 1
Fzi
；
自然坐标形式
m
d2 dt
s
2
n i 1
(4) 质点相对动参考系保持静止： F Fe 0 ，此情形为相对静止。
2 地球自转产生的影响 地球的自传角速度 =7.29×10-5 rad /s 是非惯性参照系，科氏惯性力不为零。科氏惯性力 本身虽然很小，但由于长时间的作用，累积起来的效果就可以成为观察到的自然现象。下落
物体偏东和上抛物体偏西现象的直接解释是由于科氏惯性力作用的结果。
3
第七章 质点动力学 习题解答
7-1 质量为 40 g 的小球 M 以初速度 v =8 j (m/s)从点 A(0, 0, 0.3m)抛出后，受到沿 i 方向恒
定的电磁力作用，其大小 F = 0.8 kN，如图所示。求小球 M 到达 xy 平面点 B 时，点 B 的坐标
和小球的速度。
解：取小球 M 为研究对象，小球所受到的主动力为
其中 n2
k m
,
2n c , m
h H . 其通解由两部分组成： m
x x1(t) x2 (t) 式中 x1 对应于齐次方程的通解。在小阻尼(n < n )的情形下很快衰减，x2 为由于激振力的
作用产生的特解，它有如下形式解：
x2 bsin(t )
其中 b
h (n2 2 )2 4n22
质点的运动方程为
x F t2 ， y vt ， z g t2 0.3
1 2 n .
振动微分方程解的一般形式是
x ent (C1 C2t) ，
式中积分常数 C1 和 C2 由初始条件确定。不再具有振动的特点。 (3) 单自由度系统的有阻尼受迫振动
粘性阻尼力 Fc cxi ，简谐激振力 F = Hsinti. 质点运动微分方程为
2
x 2nx n2x hsin t
3） 在 3 维空间，质点运动微分方程有 3 个投影式，只能够解 3 个未知量。
2 单自由度系统的线性振动
(1)
单自由度系统的自由振动的微分方程：x n2x
0 ，在初始条件：x t 0
x0 ,
x t 0
v0
下
的解为
x Asin(nt )
其中
1
n
k, m
A
x02
v02 n2
,
arctan
(ii) 大阻尼情形： n n ，特征根为
1 n n2 n2 , 2 n n2 n2
振动微分方程解的一般形式是
x ent C1e
n 2 n2 t
C2e
， n
2
2 n
t
其中积分常数 C1 和 C2 由初始条件确定。这时不再有振动的特征。
(iii) 临界阻尼情形： n n 时，特征根为
特征方程的根有以下三种情况
(i)小阻尼情形： n n ，特征根为
1 n i n2 n2 , 2 n i n2 n2 ，
振动微分方程解的一般形式是
x Aent sin(0t ) ，
式中0 n2 n2 ，而 A, 是由初始条件确定的积分常数。准周期为
T 2 2 .
0Hale Waihona Puke Baidu
n2 n2
解题要领
1） 解题步骤：(1) 根据题意选取某质点为研究对象；(2) 分析作用在质点上的主动力和约束 反力；(3) 根据质点的运动特征，建立适当的坐标系。（4）选择适当的形式建立运动微分方程， 第二类问题还要确定初始条件；(4)求解运动微分方程。 2） 最好将要建立运动微分方程的“一般状态”下速度投影的正向为坐标轴方向，要特别注 意当阻力与速度的奇次方成正比时在轴上的投影，注意各力在坐标轴上投影的正负号。
Fti ,
m v2
n
Fn i ,
i 1
n
0 Fbi . i 1
式中 Ft , Fn 和 Fb 分别是作用于质点的各力 Fi 在切线、主法线和副法线上的投影；为运动轨迹
在该点处的曲率半径；v 是质点的速度。 二、质点运动的动力学分析
1 质点动力学的两类基本问题 质点动力学基本问题可分为两类：一类是已知质点的运动，求作用于质点的力；另一类
是已知作用于质点的力，求质点的运动。
求解质点动力学第一类基本问题只需求两次导数得到质点的加速度，代入到质点运动方
程中，得到一代数方程组，即可求解。求解质点动力学第二类基本问题在数学上归结为求解
微分方程的定解问题。还要根据已知的初始条件确定积分常数。此外，有些质点动力学问题
是第一类和第二类问题的综合。