2019年广东省湛江市高考数学一模试卷(理科)-解析版
2019年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＜-1或x＞10}，B={x|-2＜x＜3，x∈Z}，则（∁R A）∩B=（）A. B. C. 1， D. 0，1，2.下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是（）A. B. C. D.3.已知复数z满足=-2+i（i为虚数单位），则z=（）A. B. C. D.4.某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（）A. B. C. D.5.已知直线l：4x-3y+6=0和抛物线C：y2=4x，P为C上的一点，且P到直线l的距离与P到C的焦点距离相等，那么这样的点P有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个6.已知函数f（x）=sin2x+sin（2x+），将其图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度之后得到的函数为偶函数，则φ的最小值是（）A. B. C. D.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.B.C.D. 8.我们知道欧拉数e=27182818284…，它的近似值可以通开始过执行如图所示的程序框图计算．当输入i=50时，下列各式中用于计算e的近似值的是（）A.B.C.D.9.在正三角形ABC中，AB=2，=，=，且AD与BE相交于点O，则•=（）A. B. C. D.10.（2x-3y）n（n∈N*）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，则（3x-2y）n展开式中各项的二项式系数之和等于（）A. 16B. 32C. 64D. 12811.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．，若△ABC的面积为（a2+c2-b2），周长为6，则b的最小值是（）A. 2B.C. 3D.12.设函数f（x）=（a∈R），若曲线y=cos x+2上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sinα-3cosα=0，则sin2α=______．14.某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天．甲说：“你们的成绩都没有我高．”乙说：“我的成绩一定比丙高．”丙说：“你们的成绩都比我高．”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第______名．15.若双曲线E：-=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为E右支上一点，|PF1|=|F1F2|，∠PF1F2=30°，△PF1F2的面积为2，则a=______．16.已知空间直角坐标系中的四个点A（4，1，1），B（4，-2，-1），C（-2，-2，-1），D（-2，1，-1）．经过A，B，C，D四点的球记作球M．从球M内部任取一点P，则点P落在三棱锥A-BCD内部的概率是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a2=0，b2=1，且a3=b3，a4=b4．（1）求a n和b n；（2）求数列{nb n}的前n项和S n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，平面PAB⊥平面ABCD，点E为BC中点，点F满足=，AP=PB=AB=．（1）求证：PC∥平面DEF；（2）求二面角F-DE-B的余弦值．19.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900．（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为008，求样本中所有编号之和；（3）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．20.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点Q（，），椭圆上的动点P与其短轴两端点连线斜率乘积为-．（1）求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别为E的左、右焦点，直线l过点F1且与E相交于A，B两点，当•=2时，求△ABF2的面积．21.已知函数f（x）=（kx-1）e x-k（x-1）．（1）若f（x）在x=x0处的切线斜率与k无关求x0；（2）若∃x∈R，使得f（x）＜0成立，求整数k的最大值．22.在极坐标系中，直线l：ρcosθ=，P为直线l上一点，且点P在极轴上方．以OP为一边作正三角形OPQ（逆时针方向），且△OPQ面积为．（1）求Q点的极坐标；（2）求△OPQ外接圆的极坐标方程，并判断直线l与△OPQ外接圆的位置关系．23.已知函数f（x）=|x+1|-2|x-1|+a．（1）当a=0时，解不等式f（x）≥0；（2）若二次函数y=-x2+8x-14的图象在函数y=f（x）的图象下方，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：B={-1，0，1，2}，∁R A={x|-1≤x≤10}；∴（∁R A）∩B={-1，0，1，2}．故选：D．可解出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集、补集的运算．2.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x3-x，有f（-x）=-f（x），为奇函数，对于B，y=e|x|，有f（-x）=f（x），为偶函数，对于C，y=|lnx|，其定义域为（0，+∞），不关于原点对称，既不是奇函数，又不是偶函数；对于D，y=sinx，为正弦函数，是奇函数；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由=-2+i，得1+z=（1-z）（-2+i）=-2+i+2z-zi，∴z=．故选：A．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．4.【答案】D【解析】解：某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．基本事件总数n==20，他第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数m==4，∴他第1次、第2次两次均未命中的概率是p==．故选：D．基本事件总数n==20，他第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数m==4，由此能求出他第1次、第2次两次均未命中的概率．本题考查概率的求法，考查古典型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：抛物线C：y2=4x的焦点坐标（1，0），（1，0）到直线4x-3y+6=0的距离为：=2，与抛物线的焦点坐标到准线的距离相等，所以由题意可知：如图：直线PF与抛物线一定有两个交点．故选：C．求出抛物线的焦点坐标，求出焦点到直线4x-3y+6=0的距离，利用数形结合判断求解即可．本题求抛物线上的动点到两条定直线的距离之和的最小值．着重考查了点到直线的距离公式、抛物线的简单几何性质等知识，属于中档题6.【答案】B【解析】解：函数f（x）=sin2x+sin（2x+）=sin2x+sin2x+cos2x=sin（2x+），将其图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度之后，得到y=sin（2x+2φ+）的图象．∵得到的函数为偶函数，则2φ+=kπ+，k∈Z，故φ的最小值为，故选：B．利用两角和差的三角公式化简f（x）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g （x）的解析式，再根据三角函数的图象的对称性，求得φ的最小值．本题主要考查两角和差的三角公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：根据三视图知，该几何体是一正方体，截去一个三棱柱和一个三棱锥，如图粗线部分所示；结合图中数据，计算该几何体的体积是V=23-×2×1×2-××2×1×2=．故选：D．根据三视图知该几何体是一正方体，截去一个三棱柱和一个三棱锥剩余部分，结合图中数据求出它的体积．本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题，是基础题．8.【答案】B【解析】解：当n=49时，n＞50不成立，则n=50，此时m=49，k=51，此时e=（）50，当n=50时，n＞50不成立，则n=51，此时m=50，k=52，此时e=（）51，当n=51时，n＞50成立，程序终止，输出e=（）51，故e的近似值为（）51，故选：B．根据条件得到临界值，当n=49时，e的取值，然后验证当n=50，51时是否满足，从而确定此时对应的m和k的值即可得到结论．本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件利用模拟运算法，结合临界值n=49寻找对应规律是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】解：由题意，画图如下：设=，．∵=．∴可得方程组：，解得：．∴，．∴===．故选：B．本题主要是根据题意将用设成的基底向量表示出来，然后通过基底向量来进行向量之间的运算．本题主要考查基底向量的建立以及如何用基底向量来表示所求向量，如何表示是本题的难点，本题是一道较难的中档题．10.【答案】A【解析】解：∵（2x-3y）n（n∈N*）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，∴•2n-1•（-3）=-•22•（-3）n-2，检验可得，n=4，则（3x-2y）n展开式中各项的二项式系数之和等于2n=16，故选：A．由题意可得•2n-1•（-3）=-•22•（-3）n-2，检验可得，n=4，从而求得（3x-2y）n展开式中各项的二项式系数之和2n的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为（a2+c2-b2），则S△ABC =acsinB=（a2+c2-b2），∴sinB==cosB，∴tanB=，∵0＜B＜π∴B=，∵a+b+c=6，∴a+c=6-b∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac≥（a+c）2-32=（a+c）2=（6-b）2，当且仅当a=c时取等号，∴b2+4b-12≥0，即（b-2）（b+6）≥0，解得b≥2，故b的最小值为2，故选：A．先根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出B=，再根据余弦定理结合基本不等式即可求出b的最小值本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．12.【答案】A【解析】解：由题意，根据曲线y=cosx+2∈[1，3]上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））=y0，即y0∈[1，3]，下面证明f（y0）=y0，假设f（y0）=C＞y0，则f（f（y0））=f（C）＞f（y0））=C＞y0，不足满f（f（y0））=y0，同理f（y0）=C＜y0，不足满f（f（y0））=y0，∴f（y0）=y0，那么函数f（x）=∈[1，3]，即函数f（x）=x在x∈[1，3]有解；∴lnx+x-a=x2即lnx+x-x2=a；x∈[1，3]令h（x）=lnx+x-x2，则h′（x）=+1-2x，令h′（x）=0，可得x=1或x=（舍）当x∈（0，1]时，h′（x）＞0，h（x）在x∈（0，1]单调递增；当x∈[1，3]时，h′（x）＜0，h（x）在x∈[1，3]单调递减；∴ln3-6≤h（x）≤0；即ln3-6≤a≤0；故选：A．根据曲线y=cosx+2∈[1，3]上存在点（x0，y0），即y0∈[1，3]，使得f（f（y0））=y0，那么函数f（x）=∈[1，3]，即函数f（x）=x在x∈[1，3]有解；平方化简即可求解；本题主要考查了函数恒成立问题的求解，讨论以及转化思想的应用以及导函数单调性的应用．13.【答案】【解析】解：由sinα-3cosα=0，得tanα=3，则sin2α==．故答案为：．由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．14.【答案】2【解析】解：若甲说的不对，乙，丙说的正确，则甲不是最高的，乙的成绩比丙高，则乙最高，丙若正确，则丙最低，满足条件，此时三人成绩从高到底为乙，甲，丙，若乙说的不对，甲丙说的正确，则甲最高，乙最小，丙第二，此时丙错误，不满足条件．若丙说的不对，甲乙说的正确，则甲最高，乙第二，丙最低，此时丙也正确，不满足条件．故三人成绩从高到底为乙，甲，丙，则甲排第2位，故答案为：2分别讨论三人中一人说的不对，另外2人正确，然后进行验证是否满足条件即可．本题主要考查合情推理的应用，利用三人中恰有一人说得不对，分别进行讨论是解决本题的关键．15.【答案】+1-【解析】解：∵|PF1|=|F1F2|=2c，∠PF1F2=30°，△PF1F2的面积为2，可得解得c=，P （-2，），代入双曲线方程可得：，（0＜a＜），解得a=．故答案为：．根据双曲线的定义结合已知条件|PF1|=2c，求出c，转化求解P的坐标，代入双曲线方程，求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，双曲线的定义以及三角形的面积的转化，建立方程是解决本题的关键．16.【答案】【解析】解：依题意：BCD三点在平行于xoy坐标面的平面上，且满足[[（4+2）2+（-2-1）1+（-1+1）2]=[（4+2）2+（-2+2）2+（-1+1）2]+[（-2+2）2+（-2-1）2+（-1+1）2]，即BD2=BC2+CD2，∴△BCD是以C为直角顶点的直角三角形，∴BD中点E（1，，-1）到△BCD三顶点的距离相等，又BCD三点在竖坐标皆为-1，故三点在平行于xoy坐标面的平面内，所以球心在过E且垂直于xoy坐标面的直线上，设球心F坐标为（1，-，z），则DF=AF，即=，得z=0，所以球的半径r=，所以，球的体积V===，三棱锥A-BCD是以直角三角形BCD为底，高为2的三棱锥，其体积V1===6，点P落在三棱锥A-BCD内部的概率是：P===．故填：．由A，B，C，D四点的坐标知，BCD三点在平行于xoy坐标面的平面上，且三角形BCD是以C 为直角顶点的直角三角形，故球心在过BD中点且垂直于xoy坐标面的直线上，设出球心坐标，即可求出球心，然后求出三棱锥的体积及球的体积，可得．本题的突破口为发现三角形BCD是直角三角形，且在平行于xoy坐标面的平面上，进而分析得到球心位置，并设出球心，本题属于难题．17.【答案】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，∵a2=0，b2=1，且a3=b3，a4=b4．∴a1+d=0，b1q=1，a1+2d=b1q2，a1+3d=b1q3，联立解得：a1=-2，d=2，b1=，q=2，∴a n=-2+2（n-1）=2n-4，b n=2n-2．（2）数列{nb n}的前n项和S n=+2+3×2+4×22+……+n•2n-2，∴2S n=1+2×2+3×22+……+（n-1）•2n-2+n•2n-1，∴-S n=+1+2+22+……+2n-2-n•2n-1=-n•2n-1，化为：S n=（n-1）•2n-1+．【解析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a2=0，b2=1，且a3=b3，a4=b4．a1+d=0，b1q=1，a1+2d=b1q2，a1+3d=b1q3，联立解得：a1，d，b1，q，利用通项公式即可得出．（2）利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】证明：（1）连结AC，交DE于点G，连结GF，底面ABCD为菱形，且E为BC中点，∴==，∵F为AP上一点，且满足=，∴GF∥PC，又GF⊂平面DEF，PC⊄平面DEF，∴PC∥平面DEF．解：（2）取AB的中点为O，连结DO，PO，∵底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°，∴DO⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABCD，∴DO⊥平面PAB，∵AP=PB=AB，∴PO⊥AB，以OP，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则F（，-，0），B（0，1，0），D（0，0，），E（0，，），∴=（0，，），=（，，-），设平面DEF的一个法向量=（x，y，z），则，取z=，得=（5，1，），平面DEB的一个法向量=（1，0，0），设二面角F-DE-B的平面角为θ，则cosθ===，∴二面角F-DE-B的余弦值为．【解析】（1）连结AC，交DE于点G，连结GF，推导出GF∥PC，由此能证明PC∥平面DEF．（2）取AB的中点为O，连结DO，PO，以OP，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F-DE-B的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）根据题意读出的编号依次是：512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重复），687，858，554，876，647，547，332，将有效编号从小到大排列，得：332，512，547，647，687，770，805，858，876，∴中位数为：．（2）由题意知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，故样本编号之和即为该数列的前10项之和，∴样本中所有编号之和为：S10=10×=4130．（3）记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，…，x8，2个B题目成绩分别为y1，y2，由题意知，=8×4=32，=16，=2×1=2，∴样本平均数为：==7.2，样本方差为：=．=．．= 3.56，∴用样本估计900名考生选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．【解析】（1）根据题意读出的编号，将有效编号从小到大排列，由此能求出中位数．（2）按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，由上能求出样本编号之和即．（3）记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，…，x8，2个B题目成绩分别为y1，y2，由题意知，=8×4=32，=16，=2×1=2，由此能用样本估计900名考生选做题得分的平均数，方差．本题考查中位数、平均数、言状工样本编号、概率的求法，考查系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：（1）设B1（0，b），B2（0，-b），P（x，y），则+=1（a＞b＞0），由•=•==-=-，∴a2=2b2，①又Q在E上+=1，②，由①②解得a2=2，b2=1，∴椭圆E的方程为+y2=1．（2）设直线l的方程为x=my-1，代入到+y2=1可得（m2+2）y2-2my-1=0，③设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=，y1y2=-，④∴•=（x1-1，y1）（x2-1，y2）=（my1-2，y1）（my2-2，y2）=（m2+1）y1y2-2m（y1+y2）+4，⑤，把④代入⑤得•==2，解得m=±1，由对称性，不妨取m=1，则③变为3y2-2y-1=0，解得y1=-，y2=1则△ABF2的面积S=×2（y1-y2）=1+=．【解析】（1）根据椭圆上的动点P与其短轴两端点连线斜率乘积为-，以及过点Q （，），即可得到a2=2b2，+=1，解得即可，（2）设直线l的方程为x=my-1，代入到+y2=1可得（m2+2）y2-2my-1=0，根据韦达定理和向量的运算即可求出m的值，求出三角形的面积即可．本题考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵f（x）=（kx-1）e x-k（x-1），∴f′（x）=（kx+k-1）e x-k=k[（x+1）e x-1]-e x，由已知得，，令g（x）=（x+1）e x-1，则g′（x）=（x+2）e x，当x∈（-∞，-2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∵x＜-2，∴x+1＜-1，则（x+1）e x-1＜0，因此g（x）＜0；当x∈（-2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（0）=0，∴g（x）有唯一零点，故x0=0；（2）f（x）＜0，即（kx-1）e x-k（x-1）＜0，∴k（xe x-x+1）＜e x，当x≥0时，∵e x-1≥0，∴x（e x-1）+1＞0，当x＜0时，∵e x-1＜0，∴x（e x-1）+1＞0，∴x（e x-1）+1＞0，则k（xe x-x+1）＜e x⇔k＜．设h（x）=，则k＜h（x）max．又h′（x）=，令φ（x）=2-e x-x，则φ′（x）=-e x-1＜0，φ（x）在R上单调递减，又φ（0）＞0，φ（1）＜0，∴∃x0∈（0，1），使得φ（x0）=0，即，当x∈（-∞，x0）时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）max===．令t=x0-2（-2＜t＜-1），则y=t+∈（，），则h（x）max∈（1，2），故整数k的最大值为1．【解析】（1）由已知求得f′（x）=k[（x+1）e x-1]-e x，得到，令g（x）=（x+1）e x-1，利用导数研究其单调性，结合函数零点的判定可得g（x）有唯一零点，且x0=0；（2）由f（x）＜0，即（kx-1）e x-k（x-1）＜0，得到k（xe x-x+1）＜e x，即k＜，h（x）=，利用导数求其最大值的取值范围，可得整数k的最大值为1．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，属难题．22.【答案】解：（1）直线l：ρcosθ=，以OP为一边作正三角形OPQ（逆时针方向），设P（，θ），由且△OPQ面积为．则：，由于△OPQ为正三角形，所以：OQ的极角为且|PO|=|OQ|=2，所以：Q（2，）．（2）由于△OPQ为正三角形，得到其外接圆的直径，设M（ρ，θ）为△OPQ外接圆上任意一点．在Rt△OMR中，cos（）=，所以：M（ρ，θ）满足．故：△OPQ的外接圆方程，直线l：x=，：△OPQ的外接圆直角坐标方程为．圆心到直线的距离d=，即为半径，故直线与圆相外切．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）当a=0时，不等式f（x）≥0化为：|x+1|-2|x-1|≥0，移项得|x+1|≥2|x-1|，平方分解因式得（3x-1）（x-3）≤0，解得≤x≤3．解集为{x|≤x≤3}．（2）化简得f（x）=，，＜，＞，根据题意，只需要考虑x＞1时，两函数的图象位置关系，当x＞1时，f（x）=-x+3+a，由y=-x2+8x-14得y′=-2x+8，设二次函数与直线y=-x+3+a的切点为（x0，y0），则-2x0+8=-1，解得x0=，所以y0=，代入f（x）=-x+3+a，解得a=，所以a的取值范围是a＞．【解析】（1）a=0时，将不等式移项平方分解因式可解得；（2）根据题意，只需要考虑x＞1时，两函数的图象位置关系，利用抛物线的切线与抛物线的位置关系做．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
湛江市2019年普通高考测试(一)理科数学卷
51 ∩ 50 ∩
50
n＞i？ 是 输出 e 结束
50 ∩ 49 ∩
49
2. 下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是 A. y=x3-x B. y=e|x| C. y= lnx D. y=sinx
OO OO OO OO OO D =D C ，A E = 1 OO EC ，且 AD 与 BE 相交于点 O，则O A· O B= 9. 在正三角形 ABC 中，AB=2，B 2 A. - 4 5 B. - 3 4 C. - 2 3 D. - 1 2
2 2 已知椭圆 E： x2 + y 2 =1 （ a>b>0）过点 Q 姨 2 ， 姨 3 a b 2 2
▲
名.
（ a ， b > 0）的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 ， F2 ， P 为 E 右 支 上 一 点 ， 15. 若 双 曲 线 E ： x2 - y 2 = 1 a b PF1 = F1F2 ，∠PF1F2=30°，△PF1F2 的面积为 2，则 a= ▲ . 16. 已知空间直角坐标系中的四个点 A （ 4，1，1），B （ 4，-2，-1），C （ -2，-2，-1），D （ -2，1，-1）. 经过 A，B，C，D 四点的球记作球 M. 从球 M 内部任取一点 P， 则点 P 落在三棱锥 A-BCD 内部的概率是 ▲ . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （ 一）必考题：共 60 分. 17.（ 12 分） 在等差数列 △ an △ 和等比数列 △ bn △ 中，a2=0，b2=1，且 a3=b3，a4=b4. （ 1）求 an 和 bn； 2）求数列 △ nbn △ 的前 n 项和 Sn. （ 12 分） 18.（ 如图， 在四棱锥 P-ABCD 中， 底面 ABCD 为菱形，且 ∠DAB=60°，平面 PAB⊥平面 ABCD，点 E 为 BC 中点，点 F 22 22 F =1 F A ，AP=PB= 姨 2 AB= 姨 2 ． 满足P 2 2 （ 1）求证：PC∥平面 DEF； （ 2）求二面角 F-DE-B 的余弦值． 19.（ 12 分） 在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分 10 分的选做题，学生可以从 A，B 两 道题目中任选一题作答. 某校有 900 名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该 选做题的得分情况， 计划从 900 名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为 10 的样本，为 此将 900 名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为 001~900. （ 1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字 5 为起点，从左向右 依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端. 写出样本编号的中位数； 05 26 93 70 60 07 97 10 88 23 51 26 87 85 85 26 99 61 65 53 14 65 52 68 75 22 35 85 15 13 09 98 42 99 64 54 87 66 47 54 58 37 78 80 70 87 59 36 22 41 92 03 51 59 77 61 71 62 99 15 73 32 08 11 12 42 10 50 67 42 26 78 63 06 55 59 56 78 06 83 06 51 29 16 93 44 95 92 63 16 32 17 55 85 74 13 08 27 01 50 52 91 05 70 74 58 05 77 09 51 29 56 24 29 48 94 44 67 16 94 15 29 39 39 43
广东湛江2019高三高考测试(一)-数学理
广东湛江2019高三高考测试（一）-数学理数学〔理科〕【一】填空题〔40分〕1、集合A ＝{1，2，3，4}，集合B ＝{2，3，4，5，6}，那么A ∪B ＝ A 、{1，2，3，4} C 、{1，2，3，4，5，6} C 、{2，3，4，5，6} D 、{3，4}2、复数z 满足z ＋1＝2＋i 〔i 为虚数单位〕，那么z 〔1－i 〕＝ A 、2 B 、0 C 、1＋i D 、i3、假设5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-，那么0a ＝A 、1B 、32C 、－1D 、－324、在△ABC 中，∠A ＝3π，AB ＝2，且△ABC，那么边AC 的长为 A 、1 BC 、2D 、15、在等比数列{na }中，23a a +＝1，45a a +＝2，那么89a a +等于A 、B 、4C 、8D 、166、f 〔x 〕是定义在R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有f 〔x ＋4〕＝f 〔x 〕， 假设f 〔－1〕＝2，那么f 〔2018〕等于A 、2018B 、2C 、2018D 、－2 7、函数2()lg()n n f x x a x b =-+，其中,n n a b 的值由如图的程序框图产生，运行该程序所得的函数中，定义域为R 的有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 ＞a ，那么a ＜3”；命题q ：“设M 为平面内任意一点，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件是存在角α，使 22sin cos MB MA MC αα=+⋅”，那么 A 、p q ∧为真命题B 、p q ∨为假命题 C 、p q ⌝∧为假命题D 、p q ⌝∨为真命题【二】填空题〔30分〕〔一〕必做题9、点P 是圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上任意一点，那么点P 在第一象限的概率为＿＿＿＿ 10、某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：由最小二乘法求得回归方程为y＝0.67x ＋54.9，现发明表中有一个数据模糊不清，请推断该点数据的值为＿＿＿＿ 11、设变量x ，y 满足约束条件4200x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，那么其目标函数z ＝mx ＋y 仅在点〔3,1〕处取得最大值，那么m 的取值范围是＿＿＿12、某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积为3，那么正视图中的x ＝＿＿＿＿13、点A 是抛物线C 1：y 2＝2px 〔p ＞0〕与双曲线C 2：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的交点，假设点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，那么双曲线的离心率等于＿＿＿＿ 〔二〕选做题14、在极坐标系中，直线sin ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为＿＿＿＿15、如图圆上的劣弧CBD 所对的弦长CD，弦AB 是线段CD 的垂直平分线，AB ＝2，那么线段AC 的长度为＿＿＿＿ 【三】解答题〔80分〕 16、〔本小题总分值12分〕函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图。
广东省湛江市2019届高三高考模拟测试(二)理科数学试卷及解析
…………○……名：___________班级：____…………○……广东省湛江市2019届高三高考模拟测试（二）理科数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.若复数z 满足2z −z̅=3+12i ，其中i 为虚数单位，z̅是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A. 一 B. 二C. 三D. 四2.已知全集U=Z,A ={1,2,3,4}, B ={x |(x +1)(x −3)>0,x ∈Z }，则集合A ∩(C U B )的子集个数为（ ） A. 2B. 4C. 8D. 163.已知实数m 是给定的常数，函数f(x)=mx 3−x 2−2mx −1的图象不可能是( )A. B. C. D.4.平行四边形ABCD 中，∠BAD =120∘,|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2,|AD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=3, BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,CF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A. 3B. 32C. −3D. −325.设F 1,F 2分别为离心率e=√5的双曲线C:x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的左、右焦点，A 1,A 2分别为双曲线C 的左、右顶点，以F 1,F 2为直径的圆交双曲线的渐近线l 于M,N 两点，若四边形MA 2NA 1的面积为4，则b =（ ）A. 2B. 2√2C. 4D. 4√26.现有甲班A,B,C,D 四名学生，乙班E,F,G 三名学生，从这7名学生中选4名学生参加某项活动，则甲、乙两班每班至少有1人，且A 必须参加的方法有（ ） A. 10种B. 15种C. 18种D. 19种答案第2页，总16页……装……※※不※※要※※在※……装……7.在ΔABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且acosB =(4c −b )cosA ，则cos2A =（ ）A. −78B. −18C. 78D. 188.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为a ，当a ∈[2,2019]时，符合条件的a 共有（ ） A. 133个B. 134个C. 135个D. 136个9.已知α,β,γ是三个不同的平面，m,n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若m//α,n ⊂α，则m//n ；②若α∩β=m,m//n ，且n ⊄α,n ⊄β，则n//α,n//β； ③若n ⊥α,m ⊂β,α//β，则m ⊥n ；④ α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n ⊂γ，则m ⊥n .其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 410.把函数y=f (x )的图像向左平移2π3个单位长度，再把所得的图像上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数g (x )的图像，并且g (x )的图像如图所示，则f (x )的表达式可以为（ ）A. f (x )=2sin (x +π6)B. f (x )=sin (4x +π6)C. f (x )=sin (4x −π6)D. f (x )=2sin (4x −π6)11.已知直线l 不过坐标原点O ，且与椭圆C:x 24+y 23=1相交于不同的两点A,B,ΔOAB 的面积为√3，则|OA |2+|OB |2的值是（ ） A. 4B. 7C. 3D. 不能确定12.已知函数f (x )=1−22x +1，当x≥0时，不等式f (ax 2+x )+f (1−e x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (−∞,1]B. (0,1]C. (−∞,12] D. (0,12]…………装……:___________姓名：__…………装……第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.已知函数f (x )=e x cosx +x 5，则曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程是_______．14.若实数x,y 满足不等式组{2x +y −4≤0,x −y +m ≥0,y ≥0,，且z =x −2y 的最小为0，则实数m =______．15.设a∈(0,π2),β∈(0,π2)，且sinβcosβ=1+cos2α2cosα+sin2α，则tan (α+2β+π4)=______．16.圆锥Ω的底面半径为2，其侧面展开图是圆心角大小为180∘的扇形.正四棱柱ABCD−A ′B ′C ′D ′的上底面的顶点A ′,B ′,C ′,D ′均在圆锥Ω的侧面上，棱柱下底面在圆锥Ω的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为_____．三、解答题（题型注释）17.S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S n =−12n 2+212n . （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n=1a2n a 2n+2,T n=b 1+b 2+⋯+b n ，求T n .18.三棱锥A −BCD 中，底面ΔBCD 是等腰直角三角形，BC =BD =2,AB =√2，且AB ⊥CD,O为CD 中点，如图.（1）求证：平面ABO ⊥平面BCD ；（2）若二面角A −CD−B 的大小为π3，求AD 与平面ABC 所成角的正弦值. 19.某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：答案第4页，总16页参考公式：回归直线的方程是：ŷ=b̂x+â，其中，b̂=∑(x i−x̅)(y i−y̅)ni=1∑(x i−x̅)2ni=1=∑x i y i−nx̅y̅ni=1∑x i2−nx̅2ni=1,â=y̅−b̂x̅.（1）据题中数据，求月支出y（千元）关于月收入x（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；（2）从这6个家庭中随机抽取3个，记月支出超过6千家庭个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望. 20.已知动圆P过定点F(12,0)，且和直线x=−12相切，动圆圆心P形成的轨迹是曲线C，过点Q(4,−2)的直线与曲线C交于A,B两个不同的点.（1）求曲线C的方程；（2）在曲线C上是否存在定点N，使得以AB为直径的圆恒过点N？若存在，求出N点坐标；若不存在，说明理由.21.已知正实数a，函数g(x)=2a3x3−12(a+2)x2+x(x>0),f(x)=ax2−(a+2)x+ lnx+2.（1）讨论函数g(x)的单调性；（2）若f(x)<0在x∈[12,1]内有解，求a的取值范围.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，点M(0,1)，直线l:{x=2ty=1+t（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为7ρ2+ρ2cos2θ=24. （1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于点A,B，求1|MA|+1|MB|的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x−1|,g(x)=|2x+3|.（1）解不等式f(x)−g(x)≥2；（2）若2f(x)≤g(x)+m对于任意x∈R恒成立，求实数m的最小值，并求当m取最小值时x的范围.参数答案1.A【解析】1.利用复数的运算法则、共轭复数的定义和几何意义即可得出． 设z=a +bi,则2a +2bi −(a −bi )=3+12i 即a +3bi =3+12i,故{a =33b =12解a=3,b=4,z =3+4i ，则复数z 在复平面内对应的点在第一象限故选：A 2.C【解析】2.先求B.再求C U B ，求得A ∩(C U B )则子集个数可求由题C U B ={x |(x +1)(x −3)≤0,x ∈Z }={x |−1≤x ≤3,x ∈Z }=={−1,0,1,2,3}, 则集合A ∩(C UB )={1,2,3},故其子集个数为23=8故选：C 3.D【解析】3.令m=0,排除D,对函数求导，确定其极值点的正负即可判断. 当m=0,C 符合题意，当m ≠0，f ′(x )=3mx 2−2x −2m,∆=4+24m 2>0,设3mx 2−2x −2m =0的两根为x 1，x 2,则x 1x 2=−23<0,则两个极值点x 1，x 2异号，则D 不合题意，故选:D. 4.B【解析】4.将AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 分别表示为向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 及AD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的和，利用数量积的定义求值即可 由题AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ , AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +1AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑答案第6页，总16页则AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2）（AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +13AD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ）= 32故选：B 5.A【解析】5. 由e=√得渐近线方程与圆的方程x 2+y 2=c 2联立得M 坐标，利用四边形面积得a,c 的方程求解即可得b 由题e=√5=c a,∴b a=2,故渐近线方程为y =2x, 以F 1,F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2，联立{x 2+y 2=c 2y =2x，得y=±√5,由双曲线与圆的对称性知四边形MA2NA 1为平行四边形，不妨设y M=5,MA 2NA 1的面积S=2a ×√5=4,得ac=√5,又√5=ca ，得a=1,c=√5,b =2故选：A 6.D【解析】6.分情况讨论甲乙两个班的人数求解即可 由题按甲乙班参加人数分情况讨论如下： 若甲班1人，乙班3人，共1种方法； 若甲班2人，乙班2人，共C 31C 32=9种方法；若甲班3人，乙班1人，共C 32C 31=9种方法；故甲、乙两班每班至少有1人，且A 必须参加的方法有1+9+9=19种 故选：D 7.A【解析】7.根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A∵acosB ＝（4c ﹣b ）cosA ． ∴sinAcosB ＝4sinCcosA ﹣sinBcosA即sinAcosB+sinBcosA ＝4cosAsinC∴sinC ＝4cosAsinC ∵0＜C ＜π，sinC ≠0．∴1＝4cosA ，即cosA =14，则cos2A =2cos 2A −1=−78故选：A ． 8.C【解析】8.由题设a=3m+2=5n+3,m,n ∈N ∗,得3m=5n+1，对m 讨论求解即可 由题设a=3m+2=5n+3,m,n ∈N ∗,则3m=5n+1当m=5k,n 不存在； 当m=5k+1，n 不存在 当m=5k+2,n=3k+1，满足题意 当m=5k+3,n 不存在； 当m=5k+4,n 不存在； 故2≤a=15k+8≤2019,解−615≤k ≤201115,k ∈Z,则k=0,1,2…134,共135个故选：C 9.C【解析】9.利用线面关系逐项分析即可 对①若m//α,n⊂α，则m//n 或m,n 异面，故错误；对②，由线面平行的判定定理知：若α∩β=m,m//n ，且n ⊄α,n ⊄β，则n//α,n//β，正确对③，若n⊥α,α//β，则m ⊥β，m ⊂β,则m ⊥n ，正确对④，设α⋂γ=a,β⋂γ=b,在面γ内任取点O,作OA ⊥a, OB ⊥b,由α⊥γ,β⊥γ，得OA ⊥α, OB ⊥β,故OA ⊥m, OB ⊥m,则m ⊥γ，又n ⊂γ，则m ⊥n ，正确综上真命题的个数是3个 故选：C 10.B答案第8页，总16页【解析】10.根据条件先求出φ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可． ∵g （0）＝2sin φ＝1，即sin φ=12，∴φ=5π6+2kπ,或φ=π6+2kπ,k ∈Z （舍去）则g （x ）＝2sin （ωx +5π6），又7π12ω+5π6=2kπ,k ∈Z,∴ω=(2k −56)×127,当k=1,ω=2 即g （x ）＝2sin （2x +5π6），把函数g （x ）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的12，得到y ＝2sin （4x +5π6），再把纵坐标缩短到到原来的12，得到y ＝sin （4x +5π6），再把所得曲线向右平移2π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，即g （x ）＝sin[4（x -2π3）+5π6]＝sin [4x −8π3+5π6]=sin (4x −11π6)=sin (4x +π6)故选：B ． 11.B【解析】11.k 不存在时, 设直线x=t>0,得A,B 坐标进而得|OA |2+|OB |2=7；k 存在时，设直线方程y =kx +m,与椭圆联立，由面积公式结合韦达定理化简得3+4k 2=2m 2，进而得|OA |2+|OB |2的值即可由题直线斜率k 不存在时，设直线x=t>0，则A(t,√3−34t 2), B(t,−√3−34t 2),S=t√3−34t 2=√3,解t=√2, 则|OA |2+|OB |2=7k 存在时，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，y=kx +m, 与椭圆C:x 24+y 23=1联立得(3+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−3)=0,∆=48(4k2+3−m 2),x 1+x 2=−8km 3+4k2,x 1x 2=4(m 2−3)3+4k2,|AB |=√1+k 2×4√3√4k 2+3−m 23+4k2，点O 到直线l 的距离d=√1+k ∴S ∆AOB =12×√1+k 2×√3√4k 2+3−m 23+4k 2√1+k 2=2√3|m |√4k 2+3−m 23+4k =√3，得3+4k 2=2m 2，即k 2=2m 2−34①又x 124+y 123=1,x 224+y 223=1, |OA |2+|OB |2=14(x 12+x 22)+6=14[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+6=8k 2m 2−6m 2+18+24k2(3+4k 2)2+6=8k 2m 2−6m 2+18+24k24m4+6 将①代入得|OA |2+|OB |2=7故选：B 12.C【解析】12.由题判断f (x )为奇函数且单调递增，转化f (ax 2+x )+f (1−e x )≤0为f (ax 2+x )<f (e x −1)恒成立，利用单调性得ax 2+x <e x −1,分离a 求导求范围即可易知f (x )=1−22x +1单调递增，f (x )=1−22x +1=2x −12x +1，则f (−x )=2−x −12−x +1=1−2x 2x +1=− f (x )，故f (x )为奇函数，当x≥0时，不等式f (ax 2+x )+f (1−e x )≤0恒成立等价为f (ax 2+x )≤−f (1−e x )即f (ax 2+x )≤f (e x −1)恒成立，故ax 2+x ≤e x −1在x ≥0时恒成立当x=0时，0≤0恒成立，a ∈R当x>0时，a ≤e x −1−x x 2,设g (x )=e x −1−x x 2,则g ′(x )=x+2+e x (x−2)x3 设h (x )= x +2+e x (x −2),ℎ′(x )=e x (x −1)+1,ℎ′′(x )=xe x >0,则ℎ′(x )单增，又ℎ′(1)=0，则当0<x<1,ℎ′(x )<0, 当x>1,ℎ′(x )>0,故h (x )≥h (1)=0，即g ′(x )≥0，故g (x )单调递增，当x →0,g (x )→12,故a ≤12，综上a ≤12故选：C 13.y =x +1【解析】13.求导，x=0代入求k ，点斜式求切线方程即可f ′(x )=e x (cosx −sinx )+5x 4,则f ′(0)=1，又f (0)=1故切线方程为y=x+1 故答案为y=x+1答案第10页，总16页………装…………○…………订……请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※………装…………○…………订……14.−45【解析】14.画出可行域，由z 的几何意义确定其最小值，列m 的方程求解即可 画出可行域如图阴影部分所示： 当z=x −2y 过A 时取得最小值，联立{2x +y −4=0x −y +m =0得A (4−m 3,4+2m 3),则4−m 3+2×4+2m3=0，解m=−45故答案为−4515.−1【解析】15.sinβcosβ=1+cos2α2cosα+sin2α=2cos 2α2cosα+2sinαcosα=cosα1+sinα=cos 2α2−sin 2α2(sin α2+cos α2)2=cos α2−sin α2sin α2+cos α2=1−tan α21+tanα2=tan (π−α)……○…………装学校:___________姓……○…………装故tan β=tan (π4−α2)又a∈(0,π2),π4−α2∈(0,π4)，∴β=π4−α2，故2β=π2−α，则tan (α+2β+π4)=则tan (3π4)=−1故答案为−116.64√327【解析】16.设圆锥的母线长为l ，由侧面展开图求得l =4,进而得圆锥高为2√3，设正四棱柱ABCD −A ′B ′C ′D ′的底面边长为2a,高为h,进而得2−√2a2=23，正四棱柱体积V=4a 2ℎ=4a 2(2√3−√6a),设函数f (a )=4a 2(2√3−√6a)，求导求其最值即可设圆锥的母线长为l,圆锥底面周长为2π×2=4π=π×l,∴l =4,∴圆锥高为√42−22=2√3设正四棱柱ABCD −A ′B ′C ′D ′的底面边长为2a,高为h,则2−√2a2=23,得2√3−√6a =ℎ, 正四棱柱体积V=4a 2ℎ=4a 2(2√3−√6a),设f (a )=4a 2(2√3−√6a),f ′(a )=4a(4√3−3√6a),令f ′(a )=0得a=2√23,当0<a <2√23,f ′(a )>0;a >2√23,f ′(a )<0,故f (a )的最大值为f (2√23)=64√327故答案为64√32717.（1）a n =−n +11（2）T n =−118−14n−18【解析】17. （1）当n≥2时，a n =s n −s n−1=−n +11，检验n =1成立即可求解；（2）由b n =答案第12页，总16页1a 2n +a 2n+2=12(12n−11−12n−9)裂项相消求和即可 （1）当n ≥2时，a n =s n −s n−1=−12n 2+212n +12(n −1)2 −212(n −1)=−n +11当n=1时，满足上式，∴a n =−n +11（2）由a n =−n +11可得b n=1a2n +a 2n+2=1(2n−11)(2n−9)=12(12n−11−12n−9)∴T n =12[(1−9−1−7)+(1−7−1−5)+⋯+(12n−11−12n−9)]=12(1−9−12n −9) =−118−14n −1818.（1）见证明；（2）√427【解析】18. （1）证明CD⊥平面ABO ，即可证明平面ABO ⊥平面BCD （2）证明∠AOB 为二面角A −CD −B 的平面角，得∠AOB=π3，进而得ΔABO 为等边三角形，以B 为原点，建立空间直角坐标系，求平面ABC的法向量n⃑⃑ ，利用向量的线面角公式求解即可 （1）证明：ΔBCD 是等腰直角三角形，BC=BD =2,O 为CD 中点，∴BO ⊥CD∵AB ⊥CD,AB ∩BO =B,∴CD ⊥平面ABO ∵CD ⊂平面BCD,∴平面ABO ⊥平面BCD（2）∵CD ⊥平面ABO,∴CD ⊥AO∴∠AOB 为二面角A −CD −B 的平面角，∴∠AOB =π3∵BO =√2,∴AB =BO,∴ΔABO 为等边三角形，以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B (0,0,0),C (2,0,0), A (12,12,√62),D (0,2,0)BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,12,√62),BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0), AD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−12,32,−√62) 设平面ABC 的法向量n ⃑⃑ =(x,y,z )，则{BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑⃑ =0,BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑⃑ =0, 即{12x +12y +√62z =02x =0…………○……号：___________…………○……取n⃑⃑ =(0,√6,−1) 设AD 与平面ABC 所成角为θ，则sinθ=|cos⟨n ⃑ ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩|=3√62+√6212×√1+9+6×√7=√427故AD 平面ABC 所成角的正弦值为√427.19.（1）y ̂=−0.2x −0.6（2）见解析【解析】19.（1）先求x ̅，y ̅,再利用公式求b ̂，a ̂即可；（2）由超几何分布列分布列求期望即可 （1）x̅=20+30+35+40+48+556=38,y ̅=4+5+6+8+8+116=7 b ̂= (20×4+30×5+35×6+40×8+48×8+55×11)−6×38×7202+302+352+402+482+552−6×382≈0.2 â=y ̅−bx ̅=7−0.2×38=−0.6 所以月支出y 关于x 月收入的线性回归方程是：y ̂=−0.2x −0.6 （2）ξ的可能取值为0,1,2,3P (ξ=0)=C 33⋅C 30C 63=120, P (ξ=1)=C 32⋅C 31C 63=920,P (ξ=2)=C 31⋅C 32C 63=920, P (ξ=3)=C 30⋅C 33C 63.故ξ的分布列为：数学期望E (ξ)=0×120+1×920+2×920+3×120=1.5.20.（1）y 2=2x （2）见解析答案第14页，总16页【解析】20.（1）由抛物线定义确定P的轨迹方程，（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线的方程为l AB:x=n(y+2)+ 4，代入抛物线方程，整理得y2−2ny−4n−8=0,设存在定点N(x0,y0)，由K NA⋅K NB=−1，代入韦达定理整理得(2y0−4)n+y02−4=0，利用{2y−4=0,y2−4=0,即可得y0=2,x0=2（1）设动圆圆心P到直线x=−12的距离为d，根据题意，d=|PF|∴动点P形成的轨迹是以F(12,0)为焦点，以直线x=−12为准线的抛物线，∴抛物线方程为y2=2x.（2）根据题意，设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线的方程为l AB:x=n(y+2)+4，代入抛物线方程，整理得y2−2ny−4n−8=0,Δ=4n2+16(n+2)=4(n2+4n+8)>0,y 1+y2=2n,y1y2=−4n−8若设抛物线上存在定点N，使得以AB为直径的圆恒过点N，设N(x0,y0)，则y02=2x0K NA=y1−y0x1−x0=y1−y0y122−y022=2y1+y0，同理可得K NB=2y2+y0K NA⋅K NB=2y1+y0⋅2y2+y0=4y1y2+(y1+y2)y0+y0=4−4n−8+2ny0+y0=−1∴(2y0−4)n+y02−4=0,∴{2y0−4=0,y02−4=0,解得y0=2,x0=2,∴在曲线C上存在定点N(2,2)，使得以AB为直径的圆恒过点N.21.（1）见解析；（2）a>1【解析】21.（1）g′(x)=2ax2−(a+2)x+1令g′(x)=0，解得x1=12,x2=1a,讨论1a与12的大小关系确定g′(x)的符号变化求单调性即可；（2）f(x)<0在x∈[12,1]内有解，则f(x)min<0,f′(x)=2ax2−(a+2)x+1x =g′(x)x(x>0)，由（1）的讨论确定f′(x)的正负变化确定其最小值即可求解g′(x)=2ax2−(a+2)x+1令g′(x)=0，解得x1=12,x2=1a当1a <12时，即a >2时在(0,1a ),(12,+∞)上，函数g (x )单调递增，在(1a ,12)上，函数g (x )单调递减； 当1a =12时，即a =2时，函数g (x )在定义域(0,+∞)上单调递增；当1a>12时，即0<a <2时，在(0,12),(1a ,+∞)上，函数g (x )单调递增，在(12,1a)上，函数g (x )单调递减. 综上所述，当a >2时，在(0,1a ),(1a ,+∞)上，函数g (x )单调递增；在(1a ,12)上，函数g (x )单调递减；当a=2时，函数g (x )在定义域(0,+∞)上单调递增；当0<a <2时，在(0,12),(1a,+∞)上，函数g (x )单调递增，在(12,1a)上，函数g (x )单调递减. （2）若f (x )<0在x ∈[12,1]内有解，则f (x )min <0,f ′(x )=2ax −(a +2)+1x=2ax 2−(a+2)x+1x=g ′(x )x(x >0)由（1）可知，当1a≤12，即a ≥2时，∵x ∈[12,1],∴f ′(x )≥0，函数f (x )在[12,1]上单调递增，f (x )min =f (12)=a 4−a+22+ln 12+2<0，解得；a >4(1−ln2),∴a ≥2当12<1a<1，即1<a<2时，∵x ∈[12,1]∴在x ∈[1a,1]时，f ′(x )≤0，函数在上单调递减，在x ∈[1a,1]时，f ′(x )≥0，函数f (x )在[1a,1]上单调递增， ∴f (x )min =f (1a)=1a−a+2a+ln 1a+2 =−1a+1+ln 1a令1a =t ∈(12,1),ℎ(t )=−t +1+lnt (12<t <1), ℎ′(t )=−1+1t >0，函数ℎ(t )在(12,1)上单调递增.∴ℎ(t )<ℎ(1)=0恒成立，∴1<a <2当1a ≥1，即0<a ≤1时，∵x ∈[12,1],∴f ′(x )≤0，函数f (x )在[12,1]上单调递减， f (x )min =f (1)=0,f (x )min <0不成立，综上所述：a >1.22.（1）y 24+x 23=1（2）43【解析】22.（1）利用极坐标与普通的互化求解即可；（2）将直线l 的参数方程化为标准形式为：{x =5y =1+5（t 为参数），与椭圆联立，利用t 的几何意义求解1|MA |+1|MB |即可答案第16页，总16页（1）∵7ρ2+ρ2cos2θ=24∴7ρ2+ρ2(2cos 2θ−1)=24又∵ρ2=x 2+y 2,x =ρcosθ∴曲线C 的直角坐标方程为：y 24+x 23=1（2）将直线l 的参数方程化为标准形式为：{x =√5y =1+5（t 为参数），代入曲线C 方程，得19t 2+6√5t −45=0.∆>0恒成立∴t 1+t 2=−6√519,t 1t 2=−4519∴1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|= |t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=4323.（1）{x |−2≤x ≤−43}（2）x≤−32【解析】23.（1）零点分段去绝对值化简f (x )−g (x )解不等式即可；（2）2f (x )<g (x )+m 恒成立，即|2x −2|−|2x +3|≤m 恒成立，即m ≥(|2x −2|−|2x +3|)max ，由绝对值三角不等式求(|2x −2|−|2x +3|)max 即可求解 （1）f (x )−g (x )=|x −1|−|2x +3|当x ≤−32时，不等式化为x +4≥2，解得x ≥−2，可得−2≤x ≤−32；当−32<x <1时，不等式化为−3x −2≥2，解得x ≤−43，可得−32<x ≤−43；当x≥1时，不等式化为−x −4≥2，解得x ≤−6，可得x ∈∅.综上可得，原不等式的解集为{x |−2≤x ≤−43}.（2）若2f (x )<g (x )+m 恒成立，则|2x −2|−|2x +3|≤m 恒成立，∴m ≥(|2x −2|−|2x +3|)max又∵|2x −2|−|2x +3|≤|(2x −2)−(2x +3)|=5∴m 最小值为5.此时{(2x −2)(2x +3)≥0,(2x −2)2≥(2x +3)2,∴{x ≥1或x ≤−32x ≤−14,解得x ≤−32.。
广东省湛江第一中学高一下学期第一次大考数学(理)试题
湛江一中2019-2019学年度第二学期“第一次大考 ” 高一级 数学科试卷（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．22sin y x =的值域是（ ） A ．[]2,2-B ．[]0,2C ．[]2,0-D ．R2 要得到2sin(2)3y x π=-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( ) A ．向左平移23π个单位 B ．向右平移23π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位3．已知a r ，b r 满足：||3a =r ，||2b =r ，||4a b +=r r ，则||a b -=r r( )A ．3B ．5C ．3D ．10 4 已知2tan()5αβ+=, 1tan()44πβ-=, 则tan()4πα+的值为 ( )A ．16B ．2213C ．322D ．13185已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，已知060,3,A a b x ∠===，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围是( )A ．()3,2B ．(1,3)C ． (1,2)D ．(3,3) 6下列关于向量的命题正确的是（ ） A 若|a |=|b |，则a =bB 若|a |=|b |，则|a |∥|b |C 若a =b ，b =c ，则a =cD 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c7 在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=1,点P 在AM 上且满足=2,则·(+)等于 ( ) A.-B.-C.D.8 ABC ∆的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+u r ,(,)q b a c a =--r,若//p q u r r,则角C 的大小为( )A6π B 3π C 2πD 23π 9 设,l m 表示不同直线，,αβ表示不同平面，则下列结论中正确的是( )A ．若//,,l l m α⊥ 则m α⊥B ．若//,,l l m m αβ⊥⊂，则αβ⊥C ．若//,//,l l m α 则//m αD ．若//,//,//,,l l m m αβαβ⊄则//m β 10 在三角形ABC 中，B=3π, AC=3, 则AB+2 BC 的最大值是 ( )A ．23B ．25C ．3D ．2711 如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．11DB D P ⊥ B ．平面1AD P ⊥平面11A DB []C ．1APD ∠的最大值为90o D ．1AP PD +的最小值为26+12 设向量a k (cos ,sin cos )(0,1,2,,12)666k k k k πππ=+=L ，则11k =∑(a k ·a k+1)的值为（ ）（其中∑表示求和）A ．63B ．12C ．0D ．93（第11题图）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 已知ABCD 为平行四边形，A(-1,2)，B (0,0)，Ｃ(1,7)，则Ｄ点坐标为 14 斧头的形状叫楔形，在《算数书》中又称之为“郓（）都”或“壍（）堵”：其上底是一矩形，下底是一线段．有一斧头：上厚为三，下厚为六，高为五及袤（）为二，问此斧头的体积为几何？意思就是说有一斧头形的几何体，上底为矩形，下底为一线段，上底的长为3，下底线段长为6，上下底间的距离（高）为5，上底矩形的宽为2，则此几何体的体积是___________________( 第14题图 )15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .16 设1,2,0,OA OB OA OB OP OA OB λμ==⋅==+， 且1λμ+=， 则OA 在OP 上的投影的取值范围是___________________三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知函数()2sin()cos f x x x π=-. （1）求()f x 的最小正周期；（5分）（2）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. （5分） （第15题图）18 （本小题满分12分）已知如图：平行四边形ABCD 中，6BC =，正方形ADEF所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点． （１）求证：GH ∥平面CDE ；（6分）（２）若2,CD DB ==F-ABCD 的体积．（6分） 19 （本小题满分12分）在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .[] (1)求角A 的大小；（6分） (2)求函数y ＝2sin 2B ＋(cos B 23-π)的值域．（6分）20 （本小题满分12分）已知函数()()2cos2,f x x g x a x ==-（1）当a =0时，令h(x)=f(x)+g(x),求h(x)的最值；（6分） (2) 当()()f x g x ≥对[],x n m ∈恒成立时，m n -的最大值为53π，求a 的值。
2019学年广东湛江一中高二上大考一数学(理)试卷【含答案及解析】
2019学年广东湛江一中高二上大考一数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 是任意实数，，且，则下列结论正确的是（）A. B. ___________________________________C. ______________D.2. 在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A. 1B. 4C. 2_____________________________________D.3. 下列函数中，最小值为的是（）A. B.C. D.4. 中，，，，则的形状一定为（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形5. 已知数列{a n }满足若a 1 ＝，则a 2014 的值为（）A． B．C． D．6. 某船开始看见灯塔在南偏东方向，后来船沿南偏东的方向航行后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（）A． ______________ B .___________________________________C． _________________________________ D .7. 数列满足，，，，是首项为1，公比为2的等比数列，那么等于（）A． _________________________________ B．C． D．8. 设是等差数列的前项和，若，则等于（）A．1 B．－1C．2 D．9. 已知是等差数列的前项和，且，给出下列四个命题：① ；② ；③使的最大值为12；④数列中的最大项为，其中正确命题的个数是（）A ．4_______________________________________________________B ．3________________________________________________C ．2 __________________________________________D ． 110. 已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（）A. B.C. D.11. 若实数满足，且的最大值等于，则实数等于（）A．____________________________________________ B．____________________________________________________C．_________________________________________ D．12. 己知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．___________ B．_____________________________________ C． D．二、填空题13. 已知实数满足，则的最大值为____________________ .14. 中，角所对的边分别为，已知，则____________________ .15. 已知数列 , 则其前项的和等于______________ .16. 给出下列命题：① 是的内角，且，则 ;② 是等比数列，则也为等比数列；③在数列中,如果前项和，则此数列是一个公差为的等差数列；④ 是所在平面上一定点，动点P满足：，，则直线一定通过的内心；则上述命题中正确的有_____________________________________ （填上所有正确命题的序号）．三、解答题17. 已知等差数列的前项和为，且，．（ I ）求的通项公式；（ II ）若数列满足：，求的前项和．18. 已知函数 .（ I ）求的最小正周期和最大值；（ II ）求在上的单调递增区间．19. 已知不等式的解集为．（ I ）求 , 的值；（ II ）解不等式 .20. 假设我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用H （万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式：（当时表示无隔热层），若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（ I ）求的值和的表达式；（ II ）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用最小，并求出最小值.21. 在中,内角对应的边长分别为 ,已知 ,, ．（ I ）求角；（ II ）若 ,求的取值范围．22. 已知数列的前项和是 , .（ I ）求数列的通项公式；（ II ）若数列满足，求数列的前项和；（ III ）若数列满足（为非零常数），确定的取值范围,使时，都有 .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2019年广东省湛江市高考数学一模试卷和答案(理科)
2019年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞10}，B＝{x|﹣2＜x＜3，x∈Z}，则（∁R A）∩B＝（）A．{﹣1，2}B．{﹣2，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是（）A．y＝x3﹣x B．y＝e|x|C．y＝|lnx|D．y＝sin x3．（5分）已知复数z满足＝﹣2+i（i为虚数单位），则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i4．（5分）某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知直线l：4x﹣3y+6＝0和抛物线C：y2＝4x，P为C上的一点，且P到直线l 的距离与P到C的焦点距离相等，那么这样的点P有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个6．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+sin（2x+），将其图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度之后得到的函数为偶函数，则φ的最小值是（）A．B．C．D．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．8．（5分）我们知道欧拉数e＝27182818284…，它的近似值可以通开始过执行如图所示的程序框图计算．当输入i＝50时，下列各式中用于计算e的近似值的是（）A．（）52B．（）51C．（）50D．（）499．（5分）在正三角形ABC中，AB＝2，＝，＝，且AD与BE相交于点O，则•＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．（5分）（2x﹣3y）n（n∈N*）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，则（3x﹣2y）n展开式中各项的二项式系数之和等于（）A．16B．32C．64D．12811．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．，若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），周长为6，则b的最小值是（）A．2B．C．3D．12．（5分）设函数f（x）＝（a∈R），若曲线y＝cos x+2上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））＝y0，则a的取值范围是（）A．[ln3﹣6，0]B．[ln3﹣6，ln2﹣2]C．[2ln2﹣12，0]D．[2ln2﹣12，ln2﹣2]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知sinα﹣3cosα＝0，则sin2α＝．14．（5分）某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天．甲说：“你们的成绩都没有我高．”乙说：“我的成绩一定比丙高．”丙说：“你们的成绩都比我高．”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第名．15．（5分）若双曲线E：﹣＝1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为E右支上一点，|PF1|＝|F1F2|，∠PF1F2＝30°，△PF1F2的面积为2，则a＝．16．（5分）已知空间直角坐标系中的四个点A（4，1，1），B（4，﹣2，﹣1），C（﹣2，﹣2，﹣1），D（﹣2，1，﹣1）．经过A，B，C，D四点的球记作球M．从球M内部任取一点P，则点P落在三棱锥A﹣BCD内部的概率是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a2＝0，b2＝1，且a3＝b3，a4＝b4．（1）求a n和b n；（2）求数列{nb n}的前n项和S n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，平面P AB⊥平面ABCD，点E为BC中点，点F满足＝，AP＝PB＝AB＝．（1）求证：PC∥平面DEF；（2）求二面角F﹣DE﹣B的余弦值．19．（12分）在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900．（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为008，求样本中所有编号之和；（3）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A 题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．20．（12分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）过点Q（，），椭圆上的动点P 与其短轴两端点连线斜率乘积为﹣．（1）求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别为E的左、右焦点，直线l过点F1且与E相交于A，B两点，当•＝2时，求△ABF2的面积．21．（12分）已知函数f（x）＝（kx﹣1）e x﹣k（x﹣1）．（1）若f（x）在x＝x0处的切线斜率与k无关求x0；（2）若∃x∈R，使得f（x）＜0成立，求整数k的最大值．(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在极坐标系中，直线l：ρcosθ＝，P为直线l上一点，且点P在极轴上方．以OP为一边作正三角形OPQ（逆时针方向），且△OPQ面积为．（1）求Q点的极坐标；（2）求△OPQ外接圆的极坐标方程，并判断直线l与△OPQ外接圆的位置关系．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣1|+a．（1）当a＝0时，解不等式f（x）≥0；（2）若二次函数y＝﹣x2+8x﹣14的图象在函数y＝f（x）的图象下方，求a的取值范围．2019年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞10}，B＝{x|﹣2＜x＜3，x∈Z}，则（∁R A）∩B＝（）A．{﹣1，2}B．{﹣2，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：B＝{﹣1，0，1，2}，∁R A＝{x|﹣1≤x≤10}；∴（∁R A）∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．2．（5分）下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是（）A．y＝x3﹣x B．y＝e|x|C．y＝|lnx|D．y＝sin x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x3﹣x，有f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，对于B，y＝e|x|，有f（﹣x）＝f（x），为偶函数，对于C，y＝|lnx|，其定义域为（0，+∞），不关于原点对称，既不是奇函数，又不是偶函数；对于D，y＝sin x，为正弦函数，是奇函数；故选：C．3．（5分）已知复数z满足＝﹣2+i（i为虚数单位），则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【解答】解：由＝﹣2+i，得1+z＝（1﹣z）（﹣2+i）＝﹣2+i+2z﹣zi，∴z＝．故选：A．4．（5分）某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．基本事件总数n＝＝20，他第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数m＝＝4，∴他第1次、第2次两次均未命中的概率是p＝＝．故选：D．5．（5分）已知直线l：4x﹣3y+6＝0和抛物线C：y2＝4x，P为C上的一点，且P到直线l 的距离与P到C的焦点距离相等，那么这样的点P有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点坐标（1，0），（1，0）到直线4x﹣3y+6＝0的距离为：＝2，与抛物线的焦点坐标到准线的距离相等，所以由题意可知：如图：直线PF与抛物线一定有两个交点．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+sin（2x+），将其图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度之后得到的函数为偶函数，则φ的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝sin2x+sin（2x+）＝sin2x+sin2x+cos2x＝sin（2x+），将其图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度之后，得到y＝sin（2x+2φ+）的图象．∵得到的函数为偶函数，则2φ+＝kπ+，k∈Z，故φ的最小值为，故选：B．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：根据三视图知，该几何体是一正方体，截去一个三棱柱和一个三棱锥，如图粗线部分所示；结合图中数据，计算该几何体的体积是V＝23﹣×2×1×2﹣××2×1×2＝．故选：D．8．（5分）我们知道欧拉数e＝27182818284…，它的近似值可以通开始过执行如图所示的程序框图计算．当输入i＝50时，下列各式中用于计算e的近似值的是（）A．（）52B．（）51C．（）50D．（）49【解答】解：当n＝49时，n＞50不成立，则n＝50，此时m＝49，k＝51，此时e＝（）50，当n＝50时，n＞50不成立，则n＝51，此时m＝50，k＝52，此时e＝（）51，当n＝51时，n＞50成立，程序终止，输出e＝（）51，故e的近似值为（）51，故选：B．9．（5分）在正三角形ABC中，AB＝2，＝，＝，且AD与BE相交于点O，则•＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由题意，画图如下：设＝，．∵＝．∴可得方程组：，解得：．∴，．∴＝＝＝．故选：B．10．（5分）（2x﹣3y）n（n∈N*）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，则（3x﹣2y）n展开式中各项的二项式系数之和等于（）A．16B．32C．64D．128【解答】解：∵（2x﹣3y）n（n∈N*）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，∴•2n﹣1•（﹣3）＝﹣•22•（﹣3）n﹣2，检验可得，n＝4，则（3x﹣2y）n展开式中各项的二项式系数之和等于2n＝16，故选：A．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．，若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），周长为6，则b的最小值是（）A．2B．C．3D．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），则S△ABC＝ac sin B＝（a2+c2﹣b2），∴sin B＝＝cos B，∴tan B＝，∵0＜B＜π∴B＝，∵a+b+c＝6，∴a+c＝6﹣b∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac≥（a+c）2﹣32＝（a+c）2＝（6﹣b）2，当且仅当a＝c时取等号，∴b2+4b﹣12≥0，即（b﹣2）（b+6）≥0，解得b≥2，故b的最小值为2，故选：A．12．（5分）设函数f（x）＝（a∈R），若曲线y＝cos x+2上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））＝y0，则a的取值范围是（）A．[ln3﹣6，0]B．[ln3﹣6，ln2﹣2]C．[2ln2﹣12，0]D．[2ln2﹣12，ln2﹣2]【解答】解：由题意，根据曲线y＝cos x+2∈[1，3]上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））＝y0，即y0∈[1，3]，下面证明f（y0）＝y0，假设f（y0）＝C＞y0，则f（f（y0））＝f（C）＞f（y0））＝C＞y0，不足满f（f（y0））＝y0，同理f（y0）＝C＜y0，不足满f（f（y0））＝y0，∴f（y0）＝y0，那么函数f（x）＝∈[1，3]，即函数f（x）＝x在x∈[1，3]有解；∴lnx+x﹣a＝x2即lnx+x﹣x2＝a；x∈[1，3]令h（x）＝lnx+x﹣x2，则h′（x）＝+1﹣2x，令h′（x）＝0，可得x＝1或x＝（舍）当x∈（0，1]时，h′（x）＞0，h（x）在x∈（0，1]单调递增；当x∈[1，3]时，h′（x）＜0，h（x）在x∈[1，3]单调递减；∴ln3﹣6≤h（x）≤0；即ln3﹣6≤a≤0；故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知sinα﹣3cosα＝0，则sin2α＝．【解答】解：由sinα﹣3cosα＝0，得tanα＝3，则sin2α＝＝．故答案为：．14．（5分）某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天．甲说：“你们的成绩都没有我高．”乙说：“我的成绩一定比丙高．”丙说：“你们的成绩都比我高．”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第2名．【解答】解：若甲说的不对，乙，丙说的正确，则甲不是最高的，乙的成绩比丙高，则乙最高，丙若正确，则丙最低，满足条件，此时三人成绩从高到底为乙，甲，丙，若乙说的不对，甲丙说的正确，则甲最高，乙最小，丙第二，此时丙错误，不满足条件．若丙说的不对，甲乙说的正确，则甲最高，乙第二，丙最低，此时丙也正确，不满足条件．故三人成绩从高到底为乙，甲，丙，则甲排第2位，故答案为：215．（5分）若双曲线E：﹣＝1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为E右支上一点，|PF1|＝|F1F2|，∠PF1F2＝30°，△PF1F2的面积为2，则a＝+1﹣．【解答】解：∵|PF1|＝|F1F2|＝2c，∠PF1F2＝30°，△PF1F2的面积为2，可得解得c＝，P（﹣2，），代入双曲线方程可得：，（0＜a＜），解得a＝．故答案为：．16．（5分）已知空间直角坐标系中的四个点A（4，1，1），B（4，﹣2，﹣1），C（﹣2，﹣2，﹣1），D（﹣2，1，﹣1）．经过A，B，C，D四点的球记作球M．从球M内部任取一点P，则点P落在三棱锥A﹣BCD内部的概率是．【解答】解：依题意：BCD三点在平行于xoy坐标面的平面上，且满足[[（4+2）2+（﹣2﹣1）1+（﹣1+1）2]＝[（4+2）2+（﹣2+2）2+（﹣1+1）2]+[（﹣2+2）2+（﹣2﹣1）2+（﹣1+1）2]，即BD2＝BC2+CD2，∴△BCD是以C为直角顶点的直角三角形，∴BD中点E（1，，﹣1）到△BCD三顶点的距离相等，又BCD三点在竖坐标皆为﹣1，故三点在平行于xoy坐标面的平面内，所以球心在过E且垂直于xoy坐标面的直线上，设球心F坐标为（1，﹣，z），则DF ＝AF，即＝，得z＝0，所以球的半径r＝，所以，球的体积V＝＝＝，三棱锥A﹣BCD是以直角三角形BCD为底，高为2的三棱锥，其体积V1＝＝＝6，点P落在三棱锥A﹣BCD内部的概率是：P＝＝＝．故填：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a2＝0，b2＝1，且a3＝b3，a4＝b4．（1）求a n和b n；（2）求数列{nb n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，∵a2＝0，b2＝1，且a3＝b3，a4＝b4．∴a1+d＝0，b1q＝1，a1+2d＝b1q2，a1+3d＝b1q3，联立解得：a1＝﹣2，d＝2，b1＝，q＝2，∴a n＝﹣2+2（n﹣1）＝2n﹣4，b n＝2n﹣2．（2）数列{nb n}的前n项和S n＝+2+3×2+4×22+……+n•2n﹣2，∴2S n＝1+2×2+3×22+……+（n﹣1）•2n﹣2+n•2n﹣1，∴﹣S n＝+1+2+22+……+2n﹣2﹣n•2n﹣1＝﹣n•2n﹣1，化为：S n＝（n﹣1）•2n﹣1+．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，平面P AB⊥平面ABCD，点E为BC中点，点F满足＝，AP＝PB＝AB＝．（1）求证：PC∥平面DEF；（2）求二面角F﹣DE﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连结AC，交DE于点G，连结GF，底面ABCD为菱形，且E为BC中点，∴＝＝，∵F为AP上一点，且满足＝，∴GF∥PC，又GF⊂平面DEF，PC⊄平面DEF，∴PC∥平面DEF．解：（2）取AB的中点为O，连结DO，PO，∵底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，∴DO⊥AB，∵平面P AB⊥平面ABCD，∴DO⊥平面P AB，∵AP＝PB＝AB，∴PO⊥AB，以OP，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则F（，﹣，0），B（0，1，0），D（0，0，），E（0，），∴＝（0，），＝（，﹣），设平面DEF的一个法向量＝（x，y，z），则，取z＝，得＝（5，1，），平面DEB的一个法向量＝（1，0，0），设二面角F﹣DE﹣B的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角F﹣DE﹣B的余弦值为．19．（12分）在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900．（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为008，求样本中所有编号之和；（3）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A 题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．【解答】解：（1）根据题意读出的编号依次是：512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重复），687，858，554，876，647，547，332，将有效编号从小到大排列，得：332，512，547，647，687，770，805，858，876，∴中位数为：．（2）由题意知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，故样本编号之和即为该数列的前10项之和，∴样本中所有编号之和为：S10＝10×＝4130．（3）记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，…，x8，2个B题目成绩分别为y1，y2，由题意知，＝8×4＝32，＝16，＝2×1＝2，∴样本平均数为：＝＝7.2，样本方差为：＝＝＝ 3.56，∴用样本估计900名考生选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．20．（12分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）过点Q（，），椭圆上的动点P 与其短轴两端点连线斜率乘积为﹣．（1）求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别为E的左、右焦点，直线l过点F1且与E相交于A，B两点，当•＝2时，求△ABF2的面积．【解答】解：（1）设B1（0，b），B2（0，﹣b），P（x，y），则+＝1（a＞b＞0），由•＝•＝＝﹣＝﹣，∴a2＝2b2，①又Q在E上+＝1，②，由①②解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆E的方程为+y2＝1．（2）设直线l的方程为x＝my﹣1，代入到+y2＝1可得（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，③设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2＝，y1y2＝﹣，④∴•＝（x1﹣1，y1）（x2﹣1，y2）＝（my1﹣2，y1）（my2﹣2，y2）＝（m2+1）y1y2﹣2m（y1+y2）+4，⑤，把④代入⑤得•＝＝2，解得m＝±1，由对称性，不妨取m＝1，则③变为3y2﹣2y﹣1＝0，解得y1＝﹣，y2＝1则△ABF2的面积S＝×2（y1﹣y2）＝1+＝．21．（12分）已知函数f（x）＝（kx﹣1）e x﹣k（x﹣1）．（1）若f（x）在x＝x0处的切线斜率与k无关求x0；（2）若∃x∈R，使得f（x）＜0成立，求整数k的最大值．【解答】解：（1）∵f（x）＝（kx﹣1）e x﹣k（x﹣1），∴f′（x）＝（kx+k﹣1）e x﹣k＝k[（x+1）e x﹣1]﹣e x，由已知得，，令g（x）＝（x+1）e x﹣1，则g′（x）＝（x+2）e x，当x∈（﹣∞，﹣2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∵x＜﹣2，∴x+1＜﹣1，则（x+1）e x﹣1＜0，因此g（x）＜0；当x∈（﹣2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（0）＝0，∴g（x）有唯一零点，故x0＝0；（2）f（x）＜0，即（kx﹣1）e x﹣k（x﹣1）＜0，∴k（xe x﹣x+1）＜e x，当x≥0时，∵e x﹣1≥0，∴x（e x﹣1）+1＞0，当x＜0时，∵e x﹣1＜0，∴x（e x﹣1）+1＞0，∴x（e x﹣1）+1＞0，则k（xe x﹣x+1）＜e x⇔k＜．设h（x）＝，则k＜h（x）max．又h′（x）＝，令φ（x）＝2﹣e x﹣x，则φ′（x）＝﹣e x﹣1＜0，φ（x）在R上单调递减，又φ（0）＞0，φ（1）＜0，∴∃x0∈（0，1），使得φ（x0）＝0，即，当x∈（﹣∞，x0）时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）max＝＝＝．令t＝x0﹣2（﹣2＜t＜﹣1），则y＝t+∈（），则h（x）max∈（1，2），故整数k的最大值为1．(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在极坐标系中，直线l：ρcosθ＝，P为直线l上一点，且点P在极轴上方．以OP为一边作正三角形OPQ（逆时针方向），且△OPQ面积为．（1）求Q点的极坐标；（2）求△OPQ外接圆的极坐标方程，并判断直线l与△OPQ外接圆的位置关系．【解答】解：（1）直线l：ρcosθ＝，以OP为一边作正三角形OPQ（逆时针方向），设P（，θ），由且△OPQ面积为．则：，由于△OPQ为正三角形，所以：OQ的极角为且|PO|＝|OQ|＝2，所以：Q（2，）．（2）由于△OPQ为正三角形，得到其外接圆的直径，设M（ρ，θ）为△OPQ外接圆上任意一点．在Rt△OMR中，cos（）＝，所以：M（ρ，θ）满足．故：△OPQ的外接圆方程，直线l：x＝，：△OPQ的外接圆直角坐标方程为．圆心到直线的距离d＝，即为半径，故直线与圆相外切．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣1|+a．（1）当a＝0时，解不等式f（x）≥0；（2）若二次函数y＝﹣x2+8x﹣14的图象在函数y＝f（x）的图象下方，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝0时，不等式f（x）≥0化为：|x+1|﹣2|x﹣1|≥0，移项得|x+1|≥2|x﹣1|，平方分解因式得（3x﹣1）（x﹣3）≤0，解得≤x≤3．解集为{x|≤x≤3}．（2）化简得f（x）＝，根据题意，只需要考虑x＞1时，两函数的图象位置关系，当x＞1时，f（x）＝﹣x+3+a，由y＝﹣x2+8x﹣14得y′＝﹣2x+8，设二次函数与直线y＝﹣x+3+a的切点为（x0，y0），则﹣2x0+8＝﹣1，解得x0＝，所以y0＝，代入f（x）＝﹣x+3+a，解得a＝，所以a的取值范围是a＞．。
广东省湛江市第一中学2018-2019学年高二上学期第一次大考试题数学(理)(含答案)
湛江一中2018-2019学年度第一学期“第一次大考”高二级理科数学试卷考试时间：120分钟 满分：150一. 选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.） 1．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n 2＋1D ．a n ＝n (n ＋1)22.已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b 成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).则第7个三角形数是( )A.27B.28C.29D.304.在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶3∶2 B ．3∶2∶1 C ．1∶2∶3D ．2∶3∶15. 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤0，x ＋y≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A.0B.3C.4D.56．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2bcos C ，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形{}{}157.3717.1941.4119.,3432,,,.7483759D C B A b b a b b a n n T S n T S n b a n n n n n n ）的值为（则都有若对任意自然数项和分别为的前设等差数列+++--=8. 已知函数),(1)(22R b R a b b ax x x f ∈∈+-++-=，对任意实数x 都有)-1()1(x f x f =+成立，若当[]1,1-∈x 时，0)(>x f 恒成立，则b 的取值范围是( )A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定9.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若161116117a a a b b b π⋅⋅=-++=,则3948tan 1b b a a +-⋅的值是（ ）A. B.22 C . 22- D.310．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是( ) A ．5，－112 B ．7，－112C ．7,5D ．7，－511．不等式x 2＋2x <a b ＋16ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－4，2)B ．(－2，0)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)12.记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①无实根，且②有实根 B ．方程①无实根，且②无实根 C ．方程①有实根，且②有实根 D ．方程①有实根，且②无实根二．填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.）13．在等差数列{}n a 中，91110a a +=，则数列{}n a 的前19项之和是___________．14．给出平面区域如图阴影部分所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为________．15．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===∆且的一个三等分点为中在，则B cos =16．已知a >b ，不等式ax 2＋2x ＋b ≥0对一切实数x 恒成立．又存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋b ＝0成立，则a 2＋b 2a －b的最小值为三．解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤（共70分）17. （本题10分）如图所示，在四边形ABCD 中， D ∠=2B ∠，且1AD =，3CD =，cos B =（Ⅰ）求△ACD 的面积；（Ⅱ）若BC =AB 的长．18.（本题12分）已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N *)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .19．（本题12分）如图，四棱锥S ABCD -中，M 是SB 的中点,//AB CD ，BC CD ⊥，且2AB BC ==，1CD SD ==，又SD ⊥面SAB .(1) 证明:CD SD ⊥; (2) 证明://CM 面SAD ; (3) 求四棱锥S ABCD -的体积.SABCDMABCD20．（本题12分）已知2()cos cos 222x x xf x =+. （Ⅰ）若()1f α=，求cos(2)3πα+的值；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足A c C a b cos cos )2(=-，求)(B f 的取值范围．21. （本题12分） 解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ).22. （本题12分）数列{}n a 的通项n a 是关于x 的不等式2x x n x -<的解集中正整数的个数，111（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）求证：对2n ≥且*n N ∈恒有7()112f n ≤<．湛江一中2018-2019学年度第一学期“第一次大考”高二级理科数学普通卷（A ）答案一. 选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）二．填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13．95 14． 35 15．1867 16．三．解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤（共70分）17.解：（Ⅰ）311cos 22cos cos 2-=-==B B D ……………………………………………….…………2分因为()0,D π∠∈，所以sin 3D =，……………………………………………………………………………3分所以△ACD的面积1sin 2S AD CD D =⋅⋅⋅=…………………………………………………..………5分 （Ⅱ）在△ACD 中，12cos 2222=⋅⋅-+=D DC AD DC AD AC ， 所以AC =．…………………………………………………………………………………….....………………7分在△ABC 中，12cos 2222=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC …………………………………….………9分把已知条件代入并化简得：042=-AB AB 因为0AB ≠，所以4AB = …………………10分 18. 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，…………………………………1分当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，…………………………………………………………………2分则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1(n ≥2). ……………4分故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列.故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n(n ∈N *).………………………………………………………………………………………5分. (2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.………………………………………………………………………………………………………6分所以b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝n ＋1，……………………………………………………………7分因为1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，………………………………………………………9分 所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2（2n ＋2）.……………………12分 19. （1）证明：由SD ⊥面SAB .，AB SAB ⊂面 所以S ⊥………………………………………………………………………………………………………………………1分又//AB CD …………………………………………………………………………………………………………………………2分 所以C ⊥ (3)分（2）取SA 中点N，连结,N D N M………………………………………………………………………..…………4分 则//NM AB ，且12MN AB DC ==，//AB CD 所以N是平行四边形…………………………………………………………………………………..…..…………5分//ND MC ，……………………………………………………………………………………………………………..…………6分且,ND SAD MC SAD ⊂⊄面面 所以//CM 面SAD ;………………………………………………………………………………………………..…………7分（3）::3:2S ABCD S ABD ABCD ABD V V S S --∆∆==………………………………………………………..…………8分 过D 作DH AB ⊥，交于H ，由题得22125BD AD ==+=……………………..…………9分 在,Rt DSA Rt DSB ∆∆中，22512SA SB ==-=……………………………….…………..…………10分所以133S ABD D SAB ABS V V DS S --∆==⋅⋅=……………………..………………………………………….……11分 所以3323S A V -=⋅-……………………..……………………………………………….……………….……12分(注：其他解法按步骤相应给分) 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）=)(x f 2s s 222x x xco co ⋅+21cos 21sin 23++=x x ， ………………………………………………2分 21)6sin(++=πx ．………………………………………………………3分由()1f α= ，得1sin()162πα++=，∴1sin()62πα+=．……………………4分∴21)6(sin 21)6(2cos )32cos(2=+-=+=+πππx x x ． ………………………5分（Ⅱ）由A c C a b cos cos )2(=-及正弦定理得：A C C AB cos sin cos )sin sin 2(⋅=⋅-．………………………………………………6分∴A C C A C B cos sin cos sin cos sin 2⋅=-，B C A C B sin )sin(cos sin 2=+=．……………………………………………8分∵0sin ≠B ，且ABC ∆是锐角三角形，∴21cos =C ，3π=C ． ∴32π=+B A ，A B -=32π． ………………………………………………10分 ∵20π<<A ， ∴26ππ<<B ． ∴3263πππ<+<B ．∴1)6sin(23≤+<πB ．………………………………………………………11分 ∵21)6sin()(++=πB B f ，∴)(B f 的取值范围是]23,213(+． ………………………………………12分 21. 解关于x 的不等式ax2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R).解：原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0. ……………………………………………………………….……..1分(1) 当a ＞0时，原不等式可以化为a(x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0，等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0.(2) 当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2＜x ＜1a ；……………………………………...3分当a ＝12时，原不等式的解集是∅；………………………………………………………………….……….……..5分当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜2.………………………………………….……..7分(2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2，即原不等式的解集是{x|x ＞2}.…………………………………………………………………..…………….……..9分 (3)当a ＜0时，原不等式可以化为a(x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0，由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜1a 或x ＞2.…………………………………………..….……..11分 综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜1a 或x ＞2；当a ＝0时，不等式的解集为{x|x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2＜x ＜1a ； 当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1a ＜x ＜2.……..12分22. 解：（1）2x x nx -<等价于(1)0x x n --<，解得(0,1)x n ∈+其中有正整数n 个，于是n a n = …………………………………………..….……...….……..….…….2分 （2）1()22nn n n b n ==⋅ 21211112()()222n n n S b b b n =+++=⨯+⨯++⨯……23111111()2()()2222n n S n +=⨯+⨯++⨯… ………………………………..….……...….……..….….3分 两式相减得231111111111()()()()1()()22222222n n n n n S n n ++=++++-⨯=--⨯…….4分故11112()()=2(2)()222n n n n S n n -=--⨯-+ …………………………..….……...….……..….….6分（3 1111n nn<+++= ………………………………..….……...….……..…...….……..….……...….……...8分 由111111()1212n n n f n a a a n n n n n=+++=+++++++++…… 知11111(+1)++2322122f n n n n n n =+++++++… 于是111111(1)()021********f n f n n n n n n n +-=+->+-=++++++.….……...10分故(1)()f n f n +>()f n ∴当2n ≥且*n N ∈时为增函数7()(2)12f n f ∴≥=综上可知7()112f n ≤< ……………………………..….……...….……..…...….……..….……...….……..12分。
2019年全国高考广东省数学(理)试卷及答案【精校版】
2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。
10．曲线25+=-xe y 在点)3,0(处的切线方程为 。
〔精品〕2019年广东省高考数学一模试卷及解析(理科)
5 次都没有通过，则
需重新报名） ，其中前 2 次参加科目二考试免费，若前 2 次都没有通过，则以后每次参加
科目二考试都需交 200 元的补考费， 某驾校对以往 2000 个学员第 1 次参加科目二考试的
通过情况进行了统计，得到如表：
考试情况
男学员
女学员
第 1 次考科目二人数
1200
800
第 1 次通过科目二人数
6．（ 5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A ．3π
B ．4π
C． 6π
D． 8π
7．（ 5 分）执行如图的程序框图，依次输入
x1＝17， x2＝ 19， x3＝ 20， x4＝ 21， x5＝23，则
输出的 S 值及其统计意义分别是（
）
A ．S＝ 4，即 5 个数据的方差为 4 B ． S＝ 4，即 5 个数据的标准差为 4 C． S＝ 20，即 5 个数据的方差为 20 D ．S＝ 20，即 5 个数据的标准差为 20
20．（ 12 分）随着小汽车的普及， “驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人 报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目
二为场地考试．在一次报名中，每个学员有
5 次参加科目二考试的机会（这 5 次考试机
会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若
D． ＝﹣ 12 ﹣3
对于 A：
＝
整理上式，可得：
＝
，
16 ﹣ 12 ﹣ 3 ＝ ，
这与题干中条件相符合，
故选： A．
9．（ 5 分）设数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，且 a1＝ 2， an+an+1＝ 2n（ n∈N *），则 S13＝（
2019年广东省湛江市中学高二数学理联考试卷含解析
2019年广东省湛江市中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于（）A B C D参考答案：C2. “m>0，n>0”是“曲线mx2—ny2=1为双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A当时，曲线，可化为，表示焦点在x轴上的双曲线，充分性成立．若曲线为双曲线，则或，必要性不成立，即“”是“曲线为双曲线”的充分不必要条件．3. 定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数至少有三个零点，则的取值范围是( )A． B． C． D．参考答案：B4. “可导函数y=f（x）在一点的导数值是0”是“函数y=f（x）在这点取极值”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数极值的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：函数y=f（x）在一点的导数值是0，则函数y=f（x）在这点不一定取极值，比如函数f（x）=x3，满足f'（0）=0，但x=0不是极值．若函数y=f（x）在这点取极值，则根据极值的定义可知，y=f（x）在一点的导数值是0成立，∴“函数y=f（x）在一点的导数值是0”是“函数y=f（x）在这点取极值”必要不充分条件．故选：A．5. 设为常数，点的坐标分别是，动点与连线的斜率之积为定值，若点的轨迹是离心率为的双曲线（去掉双曲线的两个顶点），则的值为A．2 B．－2 C．3 D．参考答案：A略6. 下列命题中的假命题是( )A. B. C. D.参考答案：A7. 已知命题,命题的充分不必要条件”，则下列结论正确的是（）A．命题“”是真命题 B. 命题“（”是真命题C. 命题“”是真命题D. 命题“”是假命题参考答案：D略8. 已知是两条不同的直线, 是两个不同的平面,给出下列命题：①若,,则；②若,,且,则；③若,,则；④若,,且,则．其中正确命题的序号是（）A．①④ B．②④C．②③ D．①③参考答案：C9.已知，用数学归纳法证明时．假设当时命题成立，证明当时命题也成立，需要用到的与之间的关系式是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】分别根据已知列出和，即可得两者之间的关系式.【详解】由题得，当时，，当时，，则有，故选C.10. 若三点A（﹣1，0），B（2，3），C（0，m）共线，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1D．2参考答案：A【考点】三点共线．【分析】由三点A（﹣1，0），B（2，3），C（0，m）共线，可得，即（1，m）=λ?（3，3），由此求得m的值．【解答】解：∵三点A（﹣1，0），B（2，3），C（0，m）共线，∴，∴（1，m）=λ?（3，3）=（3λ，3λ），解得 m=1，故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]则b－a的最小值为_______参考答案：2/3略12. 已知f（x）为奇函数，当x≤0时，，则曲线y＝f（x）在点（1，-4）处的切线方程为_______.参考答案：【分析】由题意，根据函数的奇偶性，求得，再根据导数的几何意义，即可求解曲线在点处的切线方程，得到答案.【详解】由题意，设，则，则.又由函数是奇函数，所以，即，则，所以，且，由直线的点斜式方程可知，所以.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求得在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义的应用，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13. 某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，过点作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于，，……”②解：设的斜率为，……点，，……据此，请你写出直线的斜率为▲．（用表示）参考答案：14. 在△的边上有个点，边上有个点，加上点共个点，以这个点为顶点的三角形有个.参考答案：解析：15. 在等腰Rt ABC中，在线段斜边AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率是。