对数函数题型归纳大全非常完整

对数与对数函数题型归纳总结

知识梳理 1．对数的概念

如果a x ＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①a log aN ＝N ；②log a a b ＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c b

log c

a (a ，c 均大于0且不等于1，

b ＞0)．

利用换底公式推导下面的结论 ①a

b b a log 1

log =

．推广log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=． ②b m

n

b a n

a m log log =

，特例：log log n n a a b b = (3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：

①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a M

N ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．

3．函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，x 是自量，函数定义域是(0,)+∞．

注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：

x y 2log 2=，5

log 5

x

y =都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 4．对数函数的定义、图象与性质

结论1.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 结论 2.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫

1a ，－1，函数图象只在第一、四象限. 5.反函数

指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 例题分析

题型一 对数的运算

例题1： （1）计算：⎝ ⎛⎭

⎪⎫lg 14－lg 25÷100－

1

2＝_____；

(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618

log 64＝___

解析：

(1)原式＝(lg 2－2

－lg 52

)×1001

2＝lg ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.

(2)原式＝

1－2log 63＋（log 63）2＋log 66

3·log 6（6×3）

log 64

＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 6

4

＝2（1－log 63）2log 6

2＝log 66－log 63log 6

2

＝log 62log 6

2＝1.

例题2： 设x 、y 、z 为正数，且，则x 、y 、z 之间的关系式为 . 解析：设，由知，取以为底的对数可得

，所以

，，，所以，所以. 变式1： （1）若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于 (2)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝5

2，a b ＝b a ，则a ＝___，b ＝____ 解析： (1)由题意知lg 2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)， ∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x ＝3，x ＝log 23. (2)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝5

2，

∴t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ，∴b 2b ＝b b 2

，即2b ＝b 2，又a >b >1，得b ＝2，a ＝4. 变式2： 已知1a b >>．若log lo 5

2

g a b b a +=

，b a a b =，则a =______，b =____ 分析：进行对数运算常用的方法：（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2lg51+=

解析：设log ,1b a t t =>则，所以1

52

t t +=，解得2t =，所以2a b =， 于是由b a a b =，得2

2b b b b =，所以22b b =， 解得2,4b a ==．

题型二 对数函数的定义域

346x y z

==346x y z t ===0x >1t >t log 3log 4log 61t t t x y z ===1log 3t x =1log 4t y

=1

log 6t z =1111log 6log 3log 2log 422t t t t z x y -=-===111

2z x y

-=

例题3： 函数y =__________．

解析：要使()21log 1y x =-+有意义，则()21log 10x -+≥，即()2log 11x +≤，即012x <+≤，即11x -<≤，即函数()21log 1y x =-+的定义域为(]1,1-．

变式3： 函数256

()lg 3

x x f x x -+-的定义域为（ ）

A ．(2,3)

B ．(2,4]

C ．(2,3)(3,4]

D ．(1,3)(3,6]- 分析：求函数的定义域主要从三个方面考虑：（1）分式中的分母要求不等于0；（2）偶次根式的被开方数要求非负；（3）对数式的真数要求为正数． 解析：由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：

2564||0,03x x x x -+-≥>-，解得44,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为

(2,3)

(3,4]，故应选C ．

题型三 对数函数的值域 例题4： 求下列函数的值域：

（1）31log y x =-；（2）()212

log 23y x x =--．

解析：（1）∵31log 0x -≥∴33log 1log 3x ≤=

∴0x <<3，函数的定义域为(]0,3x ∈∵31log 0x -≥函数的值域为[)0,y ∈+∞． （2）∵2230x x -->∴3x >或1x -<所以函数的定义域为()

(),13,x ∈-∞-+∞

因为2230x x -->，即223x x --能取遍一切正实数，所以()212

log 23x x R --∈ 所以函数的值域为y R ∈． 题型四 对数函数的奇偶性

例题5： 若函数()f x 为奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则12f f ⎛⎫

⎛⎫= ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

（） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1

解析：()()2211log 11log 1022f f f f f ⎛

⎫⎛⎫⎛

⎫==-=-=-= ⎪ ⎪

⎪⎝⎭⎝

⎭⎝⎭，选C ．