算法设计与分析 第七章符号串

计算机算法设计与分析 13
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KMP模式匹配算法

int next[MaxStrLen]; //已算好的模式的next值 int KMP_StrMatch(SString S, SString P)｛ int i = 1, j = 1, m = 0; while(i <= S[0] && j <= P[0]) if (j = 0 || S[i] = P[j])｛i++; j++;｝ else j = next[j]; //失配时从next[j]重新比较 if(j > P[0]) m = i – j + 1; return(m); ｝
第七章
字符串
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字符串的概念
字符串是由零个或多个字符组成的有限 序列集合，通常我们把字符串简称为串。 在高级语言中一般都是用引号（“）或 单引号（’）括起来，例如，串a1a2…an,， 我们一般记为“a1a2…an,”或‘a1a2…an,’。

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函数dist(c)的计算

滑动多远？ 向右滑动next(k)，即比较 pnext(k)和pj。 pk 中哪个元素和 pnext(k) –1 j相比较呢？ 下一步拿 若这时有p p 1… p k = p ，则 next(j+1) = + 1；
next(k) j

若这时有pnext(k) pj，则再重复以上的做法，直 至k = 1。

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BM串匹配算法

int BM_string_Matching(char *s,char *p){ int i, j, m, n; 从左至右循环匹配模式 初始化 P m=p[0]; n=s[0]; i=m; while(i<=n){ j = m; k = i; 从右至左循环比较每个符号 while(j>0 && p[j] == s[k]){ 若 j=0 ，则匹配成功，否则 将模式右移dist[s[k]]。 j--; k--;} if(j==0) return(i-m+1); else i+=dist[s[k]]; }

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Boyer-Moore算法
s1 …… si …… sn
p p1 … pj1 … p m j … pm

移到si+m–j再来比较
令si = c。如果在pj和pm之间没有符号c的话，即 pj = c且是j最大的，就可以将模式右移m – j个 元素，再与模式P来进行比较。 如果符号c是模式中没有的符号，就可以将模 式右移m 个元素后，再与模式P来进行比较。
sБайду номын сангаас ……
s … si …… p 1 … p k … p j … pm
sn
显然应有：si–k+1…si–1 = p1…pk–1。
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滑动的距离只取决于模式
模式滑动距离只取决于模式本身，与正文无关。 设函数next[j]为当模式中第j个字符与正文中相 应字符“失配”时，在模式中需重新和正文中 该字符进行比较的字符的位置。

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简单的模式匹配算法

int StrMatch(SString S, SString P)｛ i = 1； j = 1； while(i <= S[0] && j <= P[0])｛ if (S[i] == P[j])｛i++; j++;｝ else {i = i – j + 2； j = 1} ｝ if(j > P[0]) return i – P[0]； return 0; ｝
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串的几个概念
1、长度：串s中字符的个数，记为length(s) 。 长度为0的串称为空串。 2、子串：串中的连续字符序列。而包含子串 的串称为主串。定义空串是任意串的子串。 3、位置：字符的位置是它在串中的序号；子 串的位置是它的首字符的位置。 4、串相等：两个串相等当且仅当它们完全一 致，即长度和对应位置上的字符都相同。
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简单的模式匹配算法的评估
在回朔深度不大的情况下，模式匹配算 法的时间复杂度为O(m+n) 在最坏情况下的时间复杂度为O(n*m)。

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KMP算法
KMP算法是D. Knuth与V. Pratt和J. Morris同时 发现的，故称为Knuth_Morris_Pratt算法。 其思想是：每当匹配过程中出现字符不等时， 不是简单地从正文的下一个字符(即i+1)开始重 新比较，而是利用已经得到的“部分匹配”的 结果将模式串向右“滑动”尽可能远的一段距 离后，再进行比较。 KMP算法的时间复杂度为O(n+m)。

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一个模式的next(j)
j ： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 模式 ： a b a a b a a a b next[j] ： 0 1 1 2 2 3 4 5 2 第二趟： 第四趟： 第五趟： 第六趟： 第七趟： 第八趟： 4; 5; 6; 7; 8; 2;next[1] k = 2 3 4 5 。 第三趟： =1; 3; k = 1 。 初始化： = 0; k = 0； 第一趟：jj= k = 0 ； 至此循环结 ∵ ∵ P[1] = P[3] P[5] ∵P[2] k P[1] P[3] P[4] P[2] k= =00 P[4] P[2] P[8] P[5] // P[6] P[7] // k k= =1 1 束，求出了 ∴ = = 1 ∴ {++k; ++j; next[j] = k;} next[5] 2。所有元素的 ∴k {++k; k {++k; = next[2] next[k] next[k] ++j; ++j;next[j] = next[j] 0 next[2] = =k;} k;} =1 next(j)。 即， k = = 4; next(4) 。 即， 即， k k= =1; 2; 3; 4; 5; 1;jjj= =2; 5; 6; 7; 8; 3;next(2) next(5) next(6) next(7) next(8) next(3)=1 =2 =3 =1 4 5 。 。 。 2; 9; next(9) = 2

0 当j=1时 next[j] = max {k |1<k<j且p1…pk–1= pj–k+1…pj–1} 1 当不存在相应的k时
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一个模式的next(j)
j ： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 模式 ： a b a a b a a a b next[j] ： 0 1 1 2 2 3 4 5 2
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滑动距离函数dist(c)
为此，对给定的模式P=p1p2……pm，定义 从正文字母集C到正整数的函数： dist:C{1, 2, ……, m} 为： m cP, 或c= pm且c pj(0<j<m) dist(c) = m – j 否则 (j=max{c= pj, 0<j<m)
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next(j)的计算
int next[MaxStrLen]; 初始化 void get_next(SString P) { 若 pk = pj，则next(j+1)=k +1。 循环逐个计算元素 j的next(j) j = 1; next[1] = 0; k = 0； k, j都加了1。 注意此处的 while(j <= P[0]) if (k == 0‖P[k] 若 =p P[j]) k pj，则比较pnext(k)和pj {++k; ++j; next[j] = k;}//next(j+1)=k +1 else k = next[k]; }

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能向右滑动多远？
于是得到这样的结果： s1 …… si ……
1 k j
p1…p pj– …p k–1 p … p =… pk+1 … p j–1。
m
sn
而由前次的比较应有： 当si pj，就将模式向右移动。假设 si–k+1…si–1 = p pjk …p –和 k+1s i相比较： j–1。

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Boyer-Moore算法
Boyer-Moore串匹配算法(简称BM算法)。 其思想是在匹配过程中，一旦发现在正 文中出现模式中没有的字符时就可以将 模式、正文大幅度地“滑过”一段距离。 同时考虑到多数不匹配的情形是发生在 最后的若干个字符，采用从左到右的方 式扫描将浪费很多时间，因此改自右到 左的方式扫描模式和正文，

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滑动不会造成遗漏

引理 7.1： 正文S和模式P比较时，若si≠pj，则 S没有以si–k0+1(next[j]<k0<i)开头的子串匹配P。 证明：当next[j]=0或1时，结论显然成立。 当next[j]>1时，假设结论不成立，即存在这样 的k0，那么有p1 p2 …pk0–1= si–k0+1si–k0+2 …si–1。 从而有， p1 p2 …pk0–1= pj–k0+1pj–k0+2 …pj–1 (7.3) 由假设有next[j]<k0<i。 这与next[j]是满足(7.3) 式的最大值相矛盾；所以结论成立。

初始化： =0 。 为1。 依次以此类推可得其余元素的 next(j)。 没有相应的 k =next[1] 2，下次从第二个元素开始比较。 k， next(j)
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滑动不会造成遗漏
KMP算法不再是将正文依次和模式中的 元素逐个地进行匹配，而是当出现“失 配”时从模式的第k(k=next(j))个元素开 始重新比较，这样会不会遗漏掉可以匹 配的子串呢？ 不会的。因为滑动的距离next(j)被定义为 满足p1…pk–1= pj–k+1…pj–1的最大的k。
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next(j)的计算
⑵ 如果pk pj，显然next(j+1) next(j)。 这实际是在将 p1… p p 与 p … p p 相匹配 p1 … pk–1 pk pk … p p …… – 1 k –k’+1 j – 1 j j j–k+1 j–k+1 j 时，出现了pj与pk失佩。 p1 … pk–1 pk pk p j
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next(j)的计算



如何来计算模式P的next(j)? 首先，我们由定义可知next(1) = 0； 其次，显然有next(2) = 1； 现在我们来考虑next(j+1)。 由next(j)=k可知模式中有：p1…pk–1= pj–k+1…pj–1。 现在存在两种情况： pk = pj或者pk pj。 ⑴如果pk = pj，于是p1… pk–1pk= pj–k+1… pj–1pj。 从而有 next(j+1) = next(j) +1。

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串的匹配

给定长度为n的串T = t1t2……tn (T称为正 文)，以及另一个串P = p1p2……pm (P称为 模式)，查找模式P在正文T中首次出现或 所有出现的位置的过程称为模式匹配。
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简单的串模式匹配算法
将模式P看成关键字，从正文T的第1个元 素开始， 逐个与 T中的P[0]个元素比较； 如果这个长度为P[0]的子串与模式P相等， 则匹配成功；否则，又从T的第2个元素 开始进行同样的比较。 如此继续T[0] – P[0] + 1步。