2020年高考文科数学试题(全国3卷试卷版+解析版)
A． ( 1 ， 0) 4
B． ( 1 ， 0) 2
C． (1, 0)
8．点 (0, 1) 到直线 y k(x 1) 距离的最大值为 ( )
D． (2, 0)
A．1
B． 2
C． 3
9．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 ( )
D．2
A． 6 4 2
B． 4 4 2
C． 6 2 3
好”．根据所给数据，完成下面的 2 2 列联表，并根据列联表，判断是否有 95% 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与
该市当天的空气质量有关？
人次 400
人次 400
空气质量好
空气质量不好
附： K 2
n(ad bc)2
(a b)(c d )(a c)(b d )
P(K 2 k)
0.050
20．（12 分）已知函数 f (x) x3 kx k 2 ．
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）若 f (x) 有三个零点，求 k 的取值范围．
21．（12 分）已知椭圆 C :
x2 25
y2 m2
1(0
m 5) 的离心率为
15 ， A ， B 分别为 C 的左、右顶点． 4
（1）求 C 的方程；
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的一条渐近线为
y
2x ，则 C 的离心率为
．
15．设函数 f (x) ex ，若 f （1） e ，则 a
．
xa
4
16．已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．
17．（12 分）设等比数列{an} 满足 a1 a2 4 ， a3 a1 8 ． （1）求{an} 的通项公式；
(400 ， 600]
1（优 )
2
16
25
2（良 )
5
10
12
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19．（12 分）如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E ， F 分别在棱 DD1 ， BB1 上，且 2DE ED1 ， BF 2FB1 ．证
明：
（1）当 AB BC 时， EF AC ； （2）点 C1 在平面 AEF 内．
中，曲线
C
的参数方程为
x y
2 2
t t2, 3t t2
(t
为参数且
t
1)
，
C
与坐标轴交于
A
，
B
两点．
（1）求 | AB | ；
（2）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
设 a ， b ， c R ， a b c 0 ， abc 1 ． （1）证明： ab bc ca 0 ； （2）用 max{a ， b ， c} 表示 a ， b ， c 的最大值，证明： max{a ， b ， c} 3 4 ．
的单位：天）的
Logistic
模型：
I
(t)
1
K e0.23(t
53)
，其中 K
为最大确诊病例数．当 I (t*) 0.95K
时，标志着已
初步遏制疫情，则 t* 约为 ( )
(ln19 3)
A．60
B．63
C．66
5．已知 sin sin( ) 1 ，则 sin( ) ( )
3
6
D．69
A． 1 2
B． 3 3
C． 2 3
D． 2 2
6．在平面内， A ， B 是两个定点， C 是动点．若 ACBC 1，则点 C 的轨迹为 (
)
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．直线
7．设 O 为坐标原点，直线 x 2 与抛物线 C : y2 2 px( p 0) 交于 D ，E 两点，若 OD OE ，则 C 的焦点坐标为 ( )
（2）记 Sn 为数列{log3 an} 的前 n 项和．若 Sm Sm1 Sm3 ，求 m ．
18．（12 分）某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表
（单位：天） :
空气质量等级 锻炼人次
[0 ， 200]
(200 ， 400]
3．设一组样本数据 x1 ， x2 ， ， xn 的方差为 0.01，则数据10x1 ，10x2 ， ，10xn 的方差为 ( )
A．0.01
B．0.1
C．1
D．10
4． Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例
数
I
(t
)(t
2020 全国 3 卷高考文科数学试题（试卷版+解析版）
1．已知集合 A {1 ，2，3，5，7，11} ， B {x | 3 x 15} ，则 A B 中元素的个数为 (
)
A．2
B．3
C．4
D．5
2．若 z (1 i) 1 i ，则 z ( )
A．1 i
B．1 i
C． i
D． i
D． 4 2 3
10．设
a
log3
2
，b
log5
3，
c
2 3
，则 (
)
A． a c b
பைடு நூலகம்B． a b c
C． b c a
D．
cab
11．在 ABC 中， cos C 2 ， AC 4 ， BC 3 ，则 tan B ( ) 3
A． 5
B． 2 5
C． 4 5
D． 8 5
12．已知函数 f (x) sin x 1 ，则 ( ) sin x
A． f (x) 的最小值为 2
B． f (x) 的图象关于 y 轴对称
C． f (x) 的图象关于直线 x 对称
D． f (x) 的图象关于直线 x 对称 2
x y 0， 13．若 x ， y 满足约束条件 2x y 0，则 z 3x 2 y 的最大值为 ．
x 1，
14．设双曲线 C :
（2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x 6 上，且 | BP || BQ | ， BP BQ ，求 APQ 的面积．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系
xOy
精品解析：2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)(原卷版)
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
附： K 2 =
n(ad − bc)2
，
(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19.如图， 长方体 ABCD − A1B1C1D1 中，点 E ，F 分别在棱 DD1 ，BB1 上，且 2DE = ED1 ，BF = 2FB1 ．证
A 60
B. 63
C. 66
D. 69
5.已知
sin
+
sin
+
π 3
=1
，则
sin
+
π 6
=
（
）
1 A.
2
B. 3 3
2
C.
3
D. 2 2
6.在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若 AC BC=1，则点 C 的轨迹为（ ）
A. 圆
B. 椭圆
C. 抛物线
D. 直线
7.设 O 为坐标原点，直线 x = 2 与抛物线 C： y2 = 2 px( p 0) 交于 D ， E 两点，若 OD ⊥ OE ，则 C 的
23.设 a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用 max{a，b，c}表示 a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ 3 4 ．
x 1,
14.设双曲线 C： x2 a2
−
y2 b2
高考文科数学(3卷)：答案详细解析(最新,word版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（III 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（集合）已知集合{}1235711=，，，，，A ，{}315|=<<B x x ，则A ∩B 中元素的个数为 A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】∵{5,7,11}=A B ，∴A ∩B 中元素的个数为3. 【答案】B2．（复数）若)(11+=-z i i ，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i【解析】∵)(11+=-z i i ，∴1212--===-+i iz i i ，∴=z i . 【答案】D3．（概率统计）设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为 A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10【解析】原数据的方差20.01=s ，由方差的性质可知，新数据的方差为21001000.011=⨯=s .【答案】C4．（函数）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()1--=+t I K t e ，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95=I t K时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．69【解析】**0.23(53)()0.951--==+t K I t K e，化简得*0.23(53)19-=te ，两边取对数得，*0.23(53)In19-=t ，解得*In1935353660.230.23=+=+≈t . 【答案】C5．（三角函数）已知πsin sin 13θθ++=（），则πsin =6θ+（） A ．12B ．33C ．23D ．22【解析】∵π13sin sin cos 322θθθ+=+（）， ∴π3331sin sin sin 3cos 1322θθθθθθ⎫++==+=+=⎪⎪⎭（）， 31πcos sin 26θθθ+=+（）， π316θ+=（），故π3sin 63θ+==（）.【答案】B6．（解析几何）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若1⋅=AC BC ，则点C 的轨迹为 A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线【解析】以AB 所在直线为x 轴，中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设(,0)-A a ，(,0)B a ，(,)C x y ，则(,)=+AC x a y ，(,)=-BC x a y ，2221⋅=-+=AC BC x a y ，即2221+=+x y a ，故点C 的轨迹为圆.【答案】A7．（解析几何）设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：()220=>y px p 交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．(2,0)【解析】解法一：如图A7所示，由题意可知，(2,2)D p ，(2,2)-E p ，(2,2)=OD p ，(2,2)=-OE p ，⊥OD ⊥OE ，⊥⊥OD OE ， 即22220⨯-=p p ，解得1=p ，⊥C 的焦点坐标为1(,0)2. 解法二：4=DE p 44==+OD OE p⊥OD ⊥OE ，⊥222+=OD OE DE ，即2(44)16+=p p ，解得1=p ，⊥C 的焦点坐标为1(,0)2.图A7【答案】B8．（解析几何）点(0)1-，到直线()1=+y k x 距离的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．2【解析】解法一：点(0)1-，到直线()1=+y k x 的距离211+=+k d k ，则有222222(1)122=12111+++==+≤+++k k k kd k k k ，故2≤d . 解法二：已知点()01-，A ，直线()1=+yk x 过定点()10-，B ，由几何性质可知，当直线()1=+y k x 垂直直线AB 时，点()01-，A 到直线()1=+y k x 距离最大，最大值为线段AB 的长度，即max 2=d 【答案】B9．（立体几何）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．642+B ．442+C ．623+D ．423+【解析】由三视图可知，该几何体为一个四面体，如图A8所示. 其表面积(2332226234=⨯+⨯=+S图A9【答案】C10．（函数）设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则 A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b【解析】∵233332log 3=log 93==c ，33log 2log 8==a a <c .∵233552log 5log 253===c 355log 3log 27==b c <b .故a <c <b.【答案】A11．（三角函数）在ABC ∆中，2cos 3C =，4=AC ，3=BC ，则tan B = A 5B ．25C ．45D ．85【解析】解法一：由余弦定理得，2222cos 9=+-⋅⋅=AB AC BC AC BC C ，即3=AB ，∴22299161cos 22339+-+-===⋅⨯⨯AB BC AC B AB BC ， ∵(0,π)∈B ，∴245sin 1cos =-=B B ，sin tan 45cos ==BB B. 解法二：3=AB ，所以△ABC 是以B 为顶角的等腰三角形.过B 作BD ⊥AC ，易得tan 25=B 22tan2tan 451tan 2==-BB B . 【答案】C12．（三角函数）已知函数1()sin sin f x x x=+，则 A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线π=x 对称D ．f (x )的图像关于直线π2=x 对称 【解析】A ：1sin 1(sin 0)-≤≤≠x x ，当1sin 0-≤<x ，()0<f x ，故A 错误.B ：1()sin ()sin -=--=-f x x f x x，f (x )为奇函数，故B 错误. C ：1(2π)sin ()()sin -=--=-≠f x x f x f x x，故C 错误.D ：11(π)sin(π)sin ()sin(π)sin -=-+=+=-f x x x f x x x，故D 正确.【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷3,参考版解析)
2020年高考新课标Ⅲ卷文数试题参考解析注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð=（A ）{48}，（B ）{026}，， （C ）{02610}，，， （D ）{0246810}，，，，， 【答案】C 【解析】试题分析：依据补集的定义，从集合}10,8,6,4,2,0{=A 中去掉集合}8,4{=B ，剩下的四个元素为10,6,2,0，故}10,6,2,0{=B C A ，故应选答案C 。
（2）若43i z =+，则||zz = （A ）1 （B ）1-（C ）43+i 55 （D ）43i 55- 【答案】D 【解析】试题分析：因i z 34+=，则其共轭复数为i z 34-=，其模为534|34|||22=+=+=i z ，故i z z 5354||-=，应选答案D 。
（3）已知向量BA →=（12，BC →=12），则∠ABC =（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120°【答案】A（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（A）各月的平均最低气温都在0℃以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】试题分析：从题设中提供的信息及图中标注的数据可以看出：深色的图案是一年十二个月中各月份的平均最低气温，稍微浅一点颜色的图案是一年十二个月中中各月份的平均最高气温，故结合所提供的四个选项，0只有7、8两个月份，故应选答案可以确定D是不正确的，因为从图中可以看出：平均最高气温高于20CD。
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷(全国Ⅲ卷)(含解析)
2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（全国Ⅲ卷）（含解析）
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。回答选择 题时 , 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。
x2 y2 14. 设双曲线 C : a2 b2 1 a 0, b 0 的一条渐近线为 y
2x , 则 C 的离心率
为 ______.
15. 设函数 f x
ex ，若 f 1
e ，则 a=____.
xa
4
16. 已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的切球表面积
为
.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21
A. f ( x) 的最小值为 2
B.
f ( x) 的图像关于 y 轴对称
C. f ( x) 的图像关于直线 x 对称 D.
f ( x) 的图像关于直线 x 对称 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 若 x， y 满足约束条件
xy0 2x y 0 ，则 z=3x+2y 的最大值为 _____. x1
的中点值为代表）；
（ 3） 若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空 气质量等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成 下面的 2 2 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握认为一天中到 该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷3文科数学试题解析(word版)
C.
D.
，
，
即
，
时，标志着已初步遏 ，
得
，
即
，
得
．
故选：B．
6.在平面内， ， 是两个定点， 是动点，若
A. 圆
B. 椭圆
C. 抛物线
【答案】A
【解析】在平面内， ， 是两个定点， 是动点，
不妨设
，
，设
，
因为
，
，则点 的轨迹为( ) D. 直线
所以
，
解得
，
所以点 的轨迹为圆．
故选：A．
7.设 为坐标原点，直线 与抛物线 ：
则
．
故选：C．
12.已知函数
，则( )
A.
的最小值为
B.
的图象关于 轴对称
C.
的图象关于直线 对称
D.
的图象关于直线
对称
【答案】D 【解析】由
可得函数的定义域为
，故定义域关于原点对称；
设
，则
，
，由双勾函数的图象和性质得，
或
，故 A 错误；
又有
，故
义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称；故 B 错误；
所以
平面
，
而
平面
，
． 是长方体，
所以
，
因为
是长方体，且
，
所以
是正方形，
所以
，
又
．
所以 平面
，
又因为点 ， 分别在棱 ， 上，
所以
平面
，
所以
．
（2）点 在平面 内．
【答案】见解析
【解析】取 上靠近 的三等分点 ，连接 ， ， ．
2020年全国3卷 文科数学真题(pdf版含解析)
2020年全国3卷文科数学真题（解析版）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【详解】由题得，{5,7,11}A B ⋂=，所以A ∩B 中元素的个数为3.故选：B考点：集合的运算2.若()11+=-z i i ，则z =（）A.1–iB.1+iC.–iD.i【答案】D 【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i =.故选：D 考点：复数的运算3.设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（）A.0.01B.0.1C.1D.10【答案】C【详解】因为数据(1,2,,)i ax b i n +=L ，的方差是数据(1,2,,)i x i n =L ，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.01=1⨯故选：C考点：方差的性质4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A.60B.63C.66D.69【答案】C 【详解】()()0.23531t KI t e--=+ ，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()0.235319t e *-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈.故选：C.考点：对数的运算5.已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A.12B.33C.23D.22【答案】B【详解】由题意可得：13sin sin cos 122θθθ++=，则：3sin 122θθ+=，1sin cos 223θθ+=，从而有：sin coscos sin 663ππθθ+=，即3sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：B.6.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（）A.圆 B.椭圆C.抛物线D.直线【答案】A【详解】设()20AB a a =>，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：()(),0,,0A a B a -，设(),C x y ，可得：()(),,,AC x a y BC x a y →→=+=-，从而：()()2AC BC x a x a y →→⋅=+-+，结合题意可得：()()21x a x a y +-+=，整理可得：2221x y a +=+，即点C 的轨迹是以AB 为半径的圆.故选：A.考点：轨迹方程7.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（）A.（14，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）【答案】B【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.考点：抛物线8.点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（）A.1B.C.D.2【答案】B【详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.考点：直线的定点与点线距9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+4B.C.D.4+2【答案】C【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△由勾股定理得：AB AD DB ===∴ADB △是等边三角形∴211sin 60222ADB S AB AD =⋅⋅︒=⋅=△∴表面积：632=⨯++.故选：C.考点：三棱锥表面积计算10.设a =log 32，b =log 53，c =23，则（）A.a <c <bB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b【答案】A 【详解】因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==，所以a c b <<.故选：A考点：对数大小比较11.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）A.B.C.D.【答案】C【详解】设,,AB c BC a CA b===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 299a cb B B B ac +-==∴==∴=故选：C考点：余弦定理与解三角形12.已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（）A.f (x )的最小值为2B.f (x )的图像关于y 轴对称C.f (x )的图像关于直线x π=对称D.f (x )的图像关于直线2x π=对称【答案】D【详解】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称；11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x ππ-=--≠-=+=Q 故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对故选：D考点：函数的对称性二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ，所以max 31227z =⨯+⨯=.故答案为：7.考点：线性规划14.设双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线为y 2x ，则C 的离心率为_________．【答案】3【详解】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y =，所以2b a =，2213c b e a a==+=.3考点：双曲线的渐近线与离心率15.设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a =_________．【答案】1【详解】由函数的解析式可得：()()()()()221x xx e x a e e x a f x x a x a +-+-'==++，则：()()()()12211111e a aef a a ⨯+-'==++，据此可得：()241aee a =+，整理可得：2210a a -+=，解得：1a =.故答案为：1.考点：导数的运算16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】23【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于AM ==122S =⨯⨯=△ABC ，设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：2r =，其体积：3433V r π==.故答案为：3.考点：圆锥的内切球三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=．（1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13-=n n a ；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=，整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =，18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）72（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，P (K 2≥k )0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：人次400≤人次400>空气质量不好3337空气质量好228()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．证明：（1）当AB BC =时，EF AC ⊥；（2）点1C 在平面AEF 内．【详解】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -,所以1BB ⊥平面ABCD ∴1AC BB ⊥,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC -=,所以四边形ABCD 为正方形AC BD ∴⊥因为11,BB BD B BB BD =⊂I 、平面11BB D D ,因此AC ⊥平面11BB D D ,因为EF ⊂平面11BB D D ,所以AC EF ⊥；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC =,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC =,所以11,//,ED MC ED MC =所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC ∴因为//,=,MF DA MF DA 所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF ∴∴因此1C 在平面AEF 内20.已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．【详解】（1）由题，'2()3f x x k =-，当0k ≤时，'()0f x ≥恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0k >时，令'()0f x =，得x ='()0f x <，得x <<令'()0f x >，得x <x >()f x在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增.（2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即22203203k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得4027k <<，当4027k <<>，且20f k =>，所以()f x在上有唯一一个零点，同理1k --<32(1)(1)0f k k k --=--+<，所以()f x在(1,k --上有唯一一个零点，又()f x在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知k 的取值范围为4(0,27.21.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为4，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【详解】（1） 222:1(05)25x y C m m +=<<∴5a =，b m =，根据离心率4c e a ====，解得54m =或54m =-(舍)，∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2） 点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又 90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=，∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y+=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：222311110555125211d ⨯-⨯+===+，根据两点间距离公式可得：()()2265205AQ =++-=，∴APQ 面积为：1555252⨯=；②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -(6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：()2283111405185185811d ⨯--⨯+=+，根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ =++-=∴APQ 面积为：1518522185=，综上所述，APQ 面积为：52.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点.（1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴==；（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.[选修4-5：不等式选讲]23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c．【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++= ，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c .2020年全国3卷文科数学真题（原卷版）一、选择题：（每小题5分，共60分）1已知集合A ＝{1，2，3，5，7，11}，B ＝{x|3<x<15}，则A ∩B 中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.52.若(1)1z i i +=-，则z ＝（）A.1－iB.1＋iC.－iD.i3.设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（）A.0.01B.0.lC.1D.104.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：()0.23(53)1t K I t e--=+，其中K 为最大确诊病例数。
2020年高考数学全国卷3-文科(附详解)
三!解答题"共6&分$解答应写出文字说明!证明过程或演算步
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2020年全国卷三文科数学高考试题(详细解析版)
1．已知集合 A 1，2，3，5，7，11 ， B x | 3 x 15 ，则 A∩B 中元素的个数为
A．2 C．4 答案：B
B．3 D．5
解析：由交集的定义可知 A∩B={5，7，11} ，故选 B
2．若 z (1 i) 1 i ，则 z=
A．1–i
B．1+i
C．–i
D．i
答案：C
解析：因为 z (1 i) 1 i ，所以 z 1 i (1 i)2 2i i ，故选 C 1 i (1 i)(1 i) 2
3．设一组样本数据 x1，x2，…，xn 的方差为 0.01，则数据 10x1，10x2，…，10xn 的方差为
B．f(x)的图像关于 y 轴对称 D．f(x)的图像关于直线 x 对称
2
解析：对于A，因为当 sin x 0 时， f (x) 0 ，故A错误.
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对于B，因为函数
f
(x)
的定义域为 {x
|
x
kπ, k
Z} ，又因为
f
(x)
sin(x)
1 sin( x)
f
(x)
，
故函数是奇函数，故B错误;
绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
全国卷三文科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
2020全国3卷高考文数试题答案解析
则： ，据此可得： ，
整理可得： ，解得： .
故答案为： .
【拓展】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
16.已知圆锥 底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【解析】因为 ，所以 .
故选：D
3.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ）
A. 0.01B. 0.1C. 1D. 10
【答案】C
根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
【解析】因为数据 的方差是数据 的方差的 倍，
所以所求数据方差为
2020全国3卷高考文数试题
1.已知集合 ， ，则A∩B中元素的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
采用列举法列举出 中元素的即可.
【解析】由题意， ，故 中元素的个数为3.
故选：B
2.若 ，则z=（ ）
A. 1–iB. 1+iC. –iD.i
【答案】D
先利用除法运算求得 ，再利用共轭复数的概念得到 即可.
故选：C
4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ）（ln19≈3）
A. 60B. 63C. 66D. 69
【答案】C
根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.
【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
2020年全国III卷文科数学高考试题及解析
2020年普通高等学校招生全国Ⅲ卷统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}|315B x x =<<，则A B 中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5解析：这是求A 和B 两个集合的交集，A 集合中的元素在（3，15）中的有5、7和11三个，所以正确答案为B，特别注意B 的不等式不包含等号，也即A 中的3不能包含进去。
点评：集合一般比较简单2.若)1z i i +=-，则z =（）A.1i- B.1i + C.i - D.i 解析：1(1)(1)21(1)(1)2i i i i z i i i i ----====-++-所以z=i点评：这个是一个复数的化简，共轭复数的概念，还是基题，送分题。
3．设一组样本数据12,,...,n x x x 的方差为0.01，则数据12n 10,10,...,10x x x 的方差为A．0.01B．0.1C．1D．10解析：设第一组数的平均值为x 则222121()()...()0.01n S x x x x x x =-+-++-=则10x1,10x2,....10xn 的平均值为10x22212222222(1010)(1010)...(1010)10(110()....10011n S x x x x x x x x x x S =-+-++-==-+-+=点评：考查统计方差的概念，特别要清楚，方差是不用开方的，而标准差是要开方的，4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t KI t e --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（）（其中In19≈3）A.60B.63C.66D.69解析：代入解方程即可以0.23(53)()0.951t KI t Ke --==+0.23(53)1110.9519t e ---==两边同取以19为底的对数ln190.23(53)t -=--解得t=66点评：本题结合时事，实际是取对数的形式，解指数方程，要求对对数和指数之间的转换非常熟练。