2018届崇明区高三一模数学word版(附解析)

上海市崇明区2018届高三一模数学试卷

2017.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 已知集合{1,2,5}A =，{2,}B a =，若{1,2,3,5}A

B =，则a = 2. 抛物线24y x =的焦点坐标是

3. 不等式01

x x <+的解是 4. 若复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z =

5. 在代数式721()x x

+的展开式中，一次项的系数是 （用数字作答） 6. 若函数2sin()13y x π

ω=-+（0ω>）的最小正周期是π，则ω=

7. 若函数()a f x x =的反函数的图像经过点11(,)24，则a =

8. 将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为327cm π，则该 几何体的侧面积为 3cm

9. 已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()2x f x ax =-，且(2)2f =，则a =

10. 若无穷等比数列{}n a 的各项和为n S ，首项11a =，公比为32

a -

，且l i m n n S a →∞=，则a = 11. 从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法（用数字作答）

12. 在ABC ∆中，BC 边上的中垂线分别交BC 、AC 于点D 、E ，

若6A E B C ⋅=，||2AB =，则AC =

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 展开式为ad bc -的行列式是（ ） A. a b d c B. a c b d C. a d b c D. b a d c 14. 设,a b R ∈，若a b >，则（ ） A.

11a b < B. lg lg a b > C. sin sin a b > D. 22a b >

15. 已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“4652S S S +>” 的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

16. 直线2x =与双曲线2

2:14

x C y -=的渐近线交于A 、B 两点，设P 为双曲线上任一点， 若OP aOA bOB =+（,a b R ∈，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）

A. 221a b +≥

B. ||1ab ≥

C. ||1a b +≥

D. ||2a b -≥

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1A C 与底面ABCD 所成的角为60°.

（1）求四棱锥1A ABCD -的体积；

（2）求异面直线1A B 与11B D 所成角的大小.

18. 已知2()cos 2cos 1f x x x x =+-.

（1）求()f x 的最大值及该函数取得最大值时x 的值；

（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 所对的边，若a =b =，且()2

A f =，求边c 的值.

19. 2016年崇明区政府投资8千万启动休闲体育新乡村旅游项目，规划从2017年起，在今后的若干年后，每年继续投资2千万元用于此项目，2016年该项目的净收入为5百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长50%，记2016年为第1年，()f n 为第1年至此后第n （*n N ∈）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入－累计投入，单位：千万元），且当()f n 为正值时，认为该项目赢利.

（1）试求()f n 的表达式；

（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.

20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆2

22:1x C y a

+=（0a >，1a ≠）的两个焦点分别是1F 、 2F ，直线:l y kx m =+（,k m R ∈）与椭圆交于A 、B 两点.

（1）若M 为椭圆短轴上的一个顶点，且12MF F ∆是直角三角形，求a 的值；

（2）若1k =，且OAB ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，求a 与m 满足的关系；

（3）若2a =，且14OA OB k k ⋅=-，求证：OAB ∆的面积为定值.

21. 若存在常数k （0k >），使得对定义域D 内的任意1x 、2x （12x x ≠），都有

1212|()()|||f x f x k x x -≤-成立，

则称函数()f x 在其定义域D 是“k -利普希兹条件函数”.

（1）若函数()f x =14x ≤≤）是“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的取值范围；

（2）判断函数2()log f x x =是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；

（3）若()y f x =（x R ∈）是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数1x 、2x ，都有12|()()|1f x f x -≤.

参考答案

一. 填空题

1. 3

2. (1,0)

3. (1,0)-

4. 1i -

5. 21

6. 2

7. 12

8. 18π 9. 98- 10. 2 11. 780 12. 4

二. 选择题

13. B 14.D 15. C 16. C

三. 解答题

17.（1）3；（2）arccos 14

. 18.（1）6x k π

π=+，k ∈Z ，max ()2f x =；（2）2或4.

19.（1）() 1.527n f n n =--；（2）8n =，即从2023年开始盈利.

20.（1或（2）222(1)2m a a +=；（3）定值为1，略. 21.（1）1(,)2+∞；（2）不是；（3）略.