线性代数整理汇总

一

例1确定五阶行列式中项的符号.

解由于项的行下标和列下标均不是按自然顺序排列，因此它的符号由它的行下标和列

下标的逆序数之和来确定，而行下标的逆序数，列下标的逆序数，故

的符号为正.

当然此题也可也先将调换顺序，使其行下标或列下标成自然顺序，如变为

，则其符号由列下标的逆序数确定，由于，故的符号也即的符号为正.

例2写出5阶行列式中所有带负号且含有因子的项.

解使项的行下标保持自然顺序，由于因子的元素的列下标分别为1,3，还剩下三个列下标2,4,5来排，故5阶行列式中含有因子的项只能为

或

或或

或或

经验证可知：列下标排列的逆序数为奇数的为：，，，故符合条件的项为，及.

例3证明：若在一个n阶行列式中等于零的元素的个数大于，则该行列式为零.

证由于n阶行列式中共有个元素，若等于零的元素的个数大于,则不等于零的元素的个数小于n，而n阶行列式中的每一项都是n个不同元素的乘积，所以必为零，从而该行列式的值也为零.

例4计算下列n阶行列式

⑴；⑵

解⑴由定义，n阶行列式等于其所有不在同一行不在同一列的n个元素的乘积的代数和，共有n!项，而D1中由于零元较多，不为零的项显然只有一项：，又，故

⑵由定义，D1中不为零的项也只有一项：而，故

.

例5已知

，

求f (x)中x3的系数.

解由行列式的定义，f (x)是一个三次多项式，显然含x3的项共有两项，即主对角线上四个元素的乘积x3和对应于的项，故f (x)中x3的系数为（－2）+1=－1.

例6计算下列行列式：

⑴⑵

解⑴此行列式刚好只有n个非零元素，故D1中不等于零的项只有一项

，又，故

⑵由行列式的定义，此行列式的非零项只有两项和，故

习题

1、填空题：

⑴排列2 1 7 9 8 6 3 5 4的逆序数为________（答案：18）

⑵若排列3 9 7 2 i1 5 j 4为偶排列，则i=________，j=_________.（答案：6，8）

⑶在6阶行列式中的项带的符号应为________，带的符号应为_________.（答案：正号，正号）

⑷5阶行列式中包含并带正号的所有项为____________________________（答案

）

2、设

求 f (x)中x3的系数.（答案：只有四个元素相乘才能出现x3项，而

，故x3 的系数为－1）.

二

例1计算行列式

解

例2计算行列式.

解

例3证明

证:左

右

例4计算行列式其中.

解将D n的第二列乘以加到第一列，将D n的第三列乘以加到第一列，…，得

例5计算n阶行列式.

解将D n的第一行加到D n的下面各行，得

.

例6计算n阶行列式.

解将D n的第二行乘以(－１)后分别加到D n的第一行，第三行，…第n行，得：

例7计算n阶行列式.

解将行列式D n的第二列，第三列，…第n列均加到第一列，得：

习题

1、计算下列行列式：

⑴；⑵；

⑶；⑷.

（答案：⑴；⑵2.94×107；⑶1；⑷－8 ）2、计算下列n阶行列式：

⑴；⑵.

（答案：⑴；⑵

3、证明下列各式

⑴；

⑵；

⑶.

三

例题

例1计算行列式

的代数余子式A24和A32.

解，

.

例2设,

求D的第四行各元素的代数余子式之和A41+A42+A43+A44.

解构造新的行列式

，

将行列式D1按第四行展开可得

D1=1×A41+1×A42+1×A43+1×A44

= A41+A42+A43+A44.

又显然D1的第二行与第四行相同，故D1=0，从而

A41+A42+A43+A44=0.

注意：要求行列式某行或某列的代数余子式之和时，常可采用例2中的方法构造新的行列式D1，这只要将D的某行（列）全部换成1即得D1，通过计算新行列式D1的值，即可知某行（列）的代数余子式之和，这种方法通常要比直接计算各代数余子式再相加的方法简便一些.

例3求行列式

的第二行各元素的余子式之和M21+M22+M23+M24.

解法一：

M21+M22+M23+M24

解法二：构造新行列式

将D1按第二行展开，可得

D1=－1×(－1)2+1M21+1×(－1)2+2M22+(－1)×(－1)2+3M23+1×(－1)2+4M24

= M21+M22+M23+M24.

又

故M21+M22+M23+M24=－112.

比较两种方法，显然方法二计算简便些.

例4计算四阶行列式

解

例5证明

，

其中

证当n=1时，，结论成立，

当n=2时，，结论仍成立.

假设n=k时结论成立，即，对于n=k+1，将D k+1按最后一列拆开，有

所以n=k+1时，结论亦成立，由数学归纳法知原命题得证.

例6计算n阶行列式

解将D n按第一列展开，得

由此递推得

例7计算n阶行列式（）

. 解将D n按第一列展开，得