高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 第2课时 类比推理 苏教版选修1 -2
苏教版选修1-2高中数学合情推理与演绎推理--类比推理名师课件
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
猜想不等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c; (1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a=ba2=b2;等等。 (3) a＞ba2＞b2;等等。
1 2
BC
•
ha
SABC
同理有
pb SPAC , pc SPAB , hb SABC hc SABC 法 SPBC SPAC SPAB SABC ,
pa pb pc SPBC SPAC SPAB 1
ha hb hc
SABC
练习：(2005年全国)计算机中常用的十六 进位制是逢１６进１的计算制，采用数字 ０-９和字母Ａ-Ｆ共１６个计数符号，这 些符号与十进制的数的对应关系如下表；
一习: 1.什么叫推理?推理由哪几部分组成?
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的 思维过程称为推理;从结构上说,推理一般由前提 和结论两个部分组成; 前提是推理所依据的命题, 是已知的事实(或假设),结论是根据前提推得的 命题(即由已知推出的判断). 2.合情推理的主要形式有 归纳 和 类比 . 3.归纳推理是从 个别 事实中概括出 一般 结论 的一种推理模式.归纳推理的思维过程大致是:
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特 征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。即
观察、比较 联想、类推
猜想新结论
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发 明了锯 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇.
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0002页 0056页 0108页 0161页 0201页 0251页 0298页
第一章统计案例 1.2回归分析 2.1合情推理与演绎推理 第三章数系的扩充与复数的引入 3.2复数的四则运算 第四章 框图 4.2结构图
第一章统计案例
苏教版高三数学选修1-2电子课本 源自件【全册】2.1合情推理与演绎推理
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2.2直接证明与间接证明
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第三章数系的扩充与复数的引 入
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3.1数系的扩充
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3.2复数的四则运算
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3.3复数的几何意义
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第四章 框图
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4.1流程图
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1.1独立性检验
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1.2回归分析
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第二章推理与证明
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2020高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理讲义 2-2
2.1。
1 合情推理1．归纳推理（1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般的推理．（3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．2．类比推理（1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出一个明确的命题(猜想）．3．合情推理（1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程错误!→错误!→错误!→错误!归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”）（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )(2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )答案（1）×（2）×(3）√2．做一做（1)已知数列｛a n}中，a1＝1，a n＋1＝错误!(n∈N＊)，则可归纳猜想｛a n｝的通项公式为__________________．(2)数列5，9,17，33,x，…中的x等于________．(3）等差数列{a n｝中有2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2且n∈N＊）,类比以上结论,在等比数列{b n｝中类似的结论是__________．答案(1）a n＝错误!(n∈N＊) (2)65 （3)b错误!＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N＊）探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n｝的首项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解］当n＝1时，a1＝1，当n＝2时,a2＝错误!＝错误!，当n＝3时，a3＝错误!＝错误!，当n＝4时，a4＝错误!＝错误!,…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!。
高中数学 第2章 推理与证明 2.1.3 推理案例赏析课件 苏教版选修1-2.pptx
知识梳理
4
知识点一 合情推理与演绎推理的区别与联系
合情推理
演绎推理
根据已有的事实和正确的结 _根__据__已__有__的__事__实__和__正__确__的___
论(包括实验和实践的结果)， _结__论__(_包__括__定__义__、__公__理__、__定__ 定义
以及个人的经验和直觉等推 _理__等__)_，__按__照__严__格__的__逻__辑__法__
结论
进一步证明
_提__下__，__得__到__的__结__论__一__定__正__确__
区
别
具有猜测和发现结论，探 按照严格的逻辑法则推理，有利
——————————————
作用 索和提供思路的作用，利 于培养和提高逻辑证明的能力
——————————————
于创新数学结论、证明思路
2n＋1 解 由例 1 知，an＝n2＋1，
故 bn＝2nn2＋＋11－n2＋1 1＝n22＋n 1＝n＋2 n1≤1(当且仅当 n＝1 时等号成立).
故数列{bn}的最大项为a1＝1.
10 解答
反思与感悟
运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关 系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化.
12345
解析 28 答案
4.下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n个图形 中小等边三角形的个数为___n_2____.
解析 前4个图中小等边三角形的个数分别为1,4,9,16. 猜测：第n个图形中小等边三角形的个数为n2.
12345
解析 29 答案
5.在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，在立体几何中，给 出四面体性质的猜想.
高中数学选修1-2第二章课后习题解答
高中数学高中数学新课程标准数学选修1—2第二章课后习题解答第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理 练习（P30）1、由12341a a a a ====，猜想1na=.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积，的体积， 则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=××. 4、略. 练习（P33）1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，p 是非零常数，则{}n a 是等比数列；是等比数列； …………………………大前提…………………………大前提又因为0cq ¹，则q 是非零常数，则11n n nna cq q a cq ++==；……………………小前提……………………小前提 所以，通项公式为(0)n n a cq cq =¹的数列{}n a 是等比数列.……………………结论……………………结论 3、由A D B D >，得到ACD BCD Ð>Ð的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是因为这个推理的大前提是“在同一“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中. 4、略.习题2.1A 组（P35） 1、2(1)n -（n 是质数，且5n ³）是24的倍数.2、21n a n =+()n N *Î. 3、2F V E +=+. 4、当6n £时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *Î.5、212111(2)n n A A A n p++³-（2n >，且n N *Î）. 6、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *Î）.7、如图，作DE ∥AB 交BC 于E . 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形所以四边形ABED 是平行四边形是平行四边形.. 因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等. . DEBAC（第7题）又因为四边形ABED 是平行四边形是平行四边形. .所以所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等， 又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的. 又因为△DEC 是等腰三角形是等腰三角形, , 所以DEC C Ð=Ð 因为平行线的同位角相等因为平行线的同位角相等 又因为DEC Ð与B Ð是平行线AB 和DE 的同位角的同位角, , 所以DEC B Ð=Ð 因为等于同角的两个角是相等的，因为等于同角的两个角是相等的， 又因为DEC C Ð=Ð，DEC B Ð=Ð, 所以B C Ð=Ð习题2.1B 组（P35） 1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2．2直接证明与间接证明 练习（P42）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2q q q q q q q -=+-=，所以，命题得证. 2、要证67225+>+，只需证22(67)(225)+>+， 即证1324213410+>+，即证42210>，只需要22(42)(210)>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，原命题得证.3、因为、因为222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b a a a a -=-+==， 又因为又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab a a a a a a a a a a +-=+-=×22222222sin (1cos )sinsin161616sin tan cos cos aa aa a a aa-===，从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P43）1、假设B Ð不是锐角，则90B г°. 因此9090180C B Ð+г°+°=°. 这与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以，假设不成立. 从而，B Ð一定是锐角.2、假设2，3，5成等差数列，则2325=+.所以22(23)(25)=+，化简得5210=，从而225(210)=，即2540=， 这是不可能的. 所以，假设不成立. 从而，2，3，5不可能成等差数列. 说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点.习题2.2A 组（P44） 1、因为、因为(1tan )(1tan )2A B ++=展开得展开得1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ① 假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B += 所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B p <+<，从而2A B p+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -¹.①式变形得①式变形得 tan tan 11tan tan A BA B +=-，即tan()1A B +=. 又因为0A B p <+<，所以4A B p+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明. 2、因为PD ^平面ABC ，所以PD AB ^. 因为AC BC =，所以ABC D 是等腰三角形. 因此ABC D 底边上的中线CD 也是底边上的高，也是底边上的高， 因而CD AB ^ 所以AB ^平面PDC . 因此AB PC ^.3、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b ac =+.假设2B p<不成立，即2B p³，则B 是ABC D 的最大内角，的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边），从而从而 11112a c b b b +>+=. 这与211b a c =+矛盾.所以，假设不成立，因此，2B p<.习题2.2B 组（P44） 1、因为、因为 1tan 12tan aa-=+，所以12tan 0a +=，从而2sin cos 0a a +=.另一方面，要证另一方面，要证3sin 24cos2a a =-， 只要证226sin cos 4(cos sin )a a a a =-- 即证即证 222sin 3sin cos 2cos 0a a a a --=，即证即证 (2s i n c o s )(s i n 2c o s a a a a+-= 由2sin cos 0a a +=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0a a a a +-=，于是命题得证.说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.2、由已知条件得、由已知条件得2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ②要证2a cx y +=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy +=由①②，得由①②，得22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2x y a b b c a b b a c b c a b a c b c=++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证.第二章 复习参考题A 组（P46）1、图略，共有(1)1n n -+（n N *Î）个圆圈.2、333n 个（n N *Î）.3、因为2(2)(1)4f f ==，所以(1)2f =，(3)(2)(1)8f f f ==，(4)(3)(1)16f f f ==………… 猜想()2n f n =.4、如图，设O 是四面体A BCD -内任意一点，连结AO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于A ¢，B ¢，C ¢，D ¢，则，则1O A O B O C O D A A B B C C D D ¢¢¢¢+++=¢¢¢¢ 用“体积法”证明：用“体积法”证明： O A O B O C O DA AB BC CD D¢¢¢¢+++¢¢¢¢ O B C D O C D AO D A B OA B C A B C D BC D A CD AB D A B CV VV V V VVV --------=+++1A B C D A B C DVV --==5、要证、要证(1tan )(1tan )2A B ++= 只需证只需证 1tan tan tan tan 2A B A B +++=即证即证t a n t a n 1t a n t a A B A B +=- 由54A B p +=，得tan()1A B +=. ①又因为2A B k p p +¹+，所以tan tan 11tan tan A BA B+=-，变形即得①式.所以，命题得证. 第二章 复习参考题B 组（P47）1、（1）25条线段，16部分；部分； （2）2n 条线段；条线段；（3）222n n ++部分. 2、因为90BSC Ð=°，所以BSC D 是直角三角形.A BCDA'B'D'C'（第4题）在Rt BSC D 中，有222BC SB SC =+.类似地，得类似地，得 222AC SA SC =+，222AB SB SA =+ 在ABC D 中，根据余弦定理得中，根据余弦定理得2222cos 02AB AC BC SA A AB AC AB AC+-==>××2222cos 02AB BC AC SB B AB BCAB BC+-==>×× 2222cos 02BC AC AB SC C BC ACBC AC +-==>×× 因此，,,A B C 均为锐角，从而ABC D 是锐角三角形. 3、要证、要证cos 44cos 43b a -= 因为因为 cos 44cos 4cos(22)4cos(22)b a b a -=´-´ 2212sin 24(12sin 2)b a =--´-222218s i n c o s 4(18s i n c o s )b b a a =--´-222218s i n (1s i n )4[18s i n (1s i n )]bb a a=---´-- 只需证只需证 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]3b b a a ---´--= 由已知条件，得由已知条件，得 sincos sin2q q a +=，2sin sin cos b q q =，代入上式的左端，得代入上式的左端，得 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]b b a a ---´-- 2238sin cos (1sin cos )32sin (1sin )q q q q a a =---+-2238sin cos 8sin cos 2(12sin cos )(32sin cos )q q q q q q q q =--+++-222238s i n c o s 8s i nc o s 68s i n c o s 8s i nc o sq q q q q q q q =--++-+ 3= 因此，cos 44cos 43b a -=。
高中数学第二章推理与证明2.1.3推理案例赏析学案苏教选修1_2
33－ 23＝3×２2＋3×2＋ 1；
43－ 33＝3×３2＋3×3＋ 1；
…；
(
n＋
1)
3
－
n3 ＝ 3×
n2
＋3×
n＋
1.
2
将以上各等式两边分别相加，得 ( n＋ 1) 3－ 13＝3×(1 2＋ 22＋…＋ n2) ＋3×(1 ＋ 2＋ 3＋…＋ n) ＋ n，
即
1 2＋ 2 2 ＋ 3 2＋…＋
体 A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由． 考点 类比推理的应用
题点 平面几何与立体几何之间的类比 解 类比 AB⊥ AC， AD⊥ BC，可以猜想在四面体 A－ BCD中， AB， AC， AD两两垂直， AE⊥平面 BCD，
11 11 则 AE2＝AB2＋ AC2＋AD2.
4 项，则这个数列
的一个通项公式为 ________．
答案 an＝ 3n－1( n∈ N*) 解析 a1＝ 1＝ 30，a2＝ 3＝ 31， a3＝9＝ 32， a4＝ 27＝ 33，…， 由此猜想 an＝ 3n－1( n∈ N*) ．
类型二 类比推理的应用
例 2 通过计算可得下列等式：
3
3
2
2 － 1 ＝3×１＋3×1＋ 1；
题：
(1) 第 6 行的 6 个数依次为 ________、________、________、________、________、________；
(2) a2＝________， a3＝ ________， a4＝________， a5＝ ________；
(3) an＋1＝ an＋ ________.
反思与感悟 (1) 解答类比推理的应用题的关键在于弄清原题解题的方法，
选修1-2数学目录
选修1-2数学目录第一章：逻辑初步1.1 逻辑的基本概念1.1.1 命题及其形式1.1.2 逻辑联结词1.1.3 命题的真假判断1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件的定义1.2.2 充要条件的判定1.3 简单的逻辑推断1.3.1 合取消去律与析取引入律1.3.2 德摩根定律1.3.3 逆否命题及其等价性第二章：推理与证明2.1 合情推理2.1.1 类比推理2.1.2 归纳推理2.2 演绎推理2.2.1 三段论2.2.2 基本推理形式2.3 数学证明方法2.3.1 直接证明法2.3.2 反证法第三章：命题与量词3.1 命题的否定3.1.1 命题的否定的定义与性质3.1.2 命题的否定的应用3.2 量词及其性质3.2.1 全称量词与存在量词3.2.2 量词的否定第四章：基本不等式4.1 不等式的性质4.1.1 不等式的基本性质4.1.2 不等式的变形4.2 基本不等式4.2.1 算术平均值与几何平均值不等式4.2.2 柯西不等式第五章：不等式的解法5.1 一元一次不等式的解法5.1.1 一元一次不等式的解法步骤5.1.2 应用举例5.2 一元二次不等式的解法5.2.1 一元二次不等式的解法步骤5.2.2 应用举例5.3 高次不等式的解法5.3.1 高次不等式的解法概述5.3.2 应用举例第六章：圆的方程6.1 圆的标准方程6.1.1 圆的标准方程形式6.1.2 圆心与半径的确定6.2 圆的一般方程6.2.1 圆的一般方程形式6.2.2 圆的一般方程与标准方程的转换第七章：直线与圆7.1 直线的方程7.1.1 直线的点斜式方程7.1.2 直线的斜截式方程7.1.3 直线的截距式方程7.2 直线与圆的位置关系7.2.1 直线与圆的交点7.2.2 直线与圆的位置关系判定第八章：空间向量8.1 空间向量的概念与性质8.1.1 空间向量的定义8.1.2 空间向量的基本性质8.2 空间向量的运算8.2.1 空间向量的加法与减法8.2.2 空间向量的数乘8.3 空间向量的应用8.3.1 空间向量在几何问题中的应用8.3.2 空间向量在物理问题中的应用以上即为选修1-2数学的目录概览，每个章节的具体内容需要根据实际教学要求与教材内容进行详细展开与讲解。
2021_2021学年高中数学第二章推理与证明2.1.1第2课时类比推理课件苏教版选修1_2
解析 答案
反思与感悟 等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一 些规律，如下表所示的局部结论(其中d，q分别是公差和公比，m，n，p， r∈N*)：
梳理 (1)类比推理的定义 根据 两个 (或 两类 )对象之间在某些方面的相似 或一样，推演出它们在其 他方面也 相似 或 一样 ，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法. (2)类比推理的思维过程大致如图
观察、比较 → 联想、类推 →猜测新的结论
(3)特征：由特殊 到 特殊 的推理.
知识点二 合情推理
解析 等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1＋a2＋… ＋a9＝2×9.
12345
解析 答案
5切.三圆角的形半的径面，积利为用S类＝比12 (推a＋理b可＋以c)r得，到a，四b面，体c为的三体角积形为的_13_边(_S_长1_＋_，_S_2r＋为__S三_3_＋角__S形_4)_r内__ _(_S_1_，__S_2_，__S_3_，__S__4_为__四__个__面__的__面__积__，__r_为__内__切__球__的__半__. 径) 解析 △ABC的内心为O，连结OA，OB，OC，将△ABC分割为三个小
定义 通项公式
性质
等差数列 an－an－1＝d(n≥2)
an＝a1＋(n－1)d 若m＋n＝p＋r， 则am＋an＝ap＋ar
等比数列 an÷an－1＝q(n≥2)
an＝a1qn－1 若m＋n＝p＋r， 则am·an＝ap·ar
跟踪训练 1 若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列 bn＝a1＋a2＋n …＋an (n∈N*)也是等差数列；类比上述性质，相应地：假设数列{cn}(n∈N*)是 等比数列，且cn>0，那么有数列dnn ＝c1c_2_c_3_…__cn________(n∈N*)也是等比数 列解.析 数列{an}(n∈N*)是等差数列， 则有数列 bn＝a1＋a2＋n …＋an(n∈N*)也是等差数列.
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反思与感悟 (1)类比推理的基本原则是根据可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手.由平
面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论.
(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆
与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：
解答
(3)在等和数列{an}中，如果a1＝a，a2＝b，求它的前n项和Sn.
解 当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈N*，则
2k－2 Sn＝S2k－1＝S2k－2＋a2k－1＝ 2 (a＋b)＋a
n－1
n＋1 n－1
＝ 2 (a＋b)＋a＝ 2 a＋ 2 b；
当n为偶数时，令n＝2k，k∈N*，则
Sn＝S2k＝k(a＋b)＝n2(a＋b).
题型探究
类型一 数列中的类比推理 例1 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－
T8 S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为TnT，4 则 T_4T_T，1_82__，__TT，1162成等比数列.
解析 答案
反思与感悟 已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也 有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d，q分别是公差和公比，m，n， p，r∈N*)：
解析 数列{an}(n∈N*)是等差数列， 则有数列 bn＝a1＋a2＋n …＋an(n∈N*)也是等差数列. 类比猜想：若数列{cn}(n∈N*)是各项均为正数的等比数列， 则当 dn＝n c1c2c3…cn(n∈N*)时，数列{dn}也是等比数列.
解析 答案
类型二 几何中的类比推理 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度， 由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出 空间中四面体性质的猜想.
定义 通项公式
性质
等差数列 an－an－1＝d(n≥2)
an＝a1＋(n－1)d 若m＋n＝p＋r， 则am＋an＝ap＋ar
等比数列 an÷an－1＝q(n≥2)
an＝a1qn－1 若m＋n＝p＋r，
则am·an＝ap·ar
跟踪训练 1 若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列 bn＝a1＋a2＋n …＋an (n∈N*)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{cn}(n∈N*)是 等比数列，且cn>0，则有数列dn＝n c_1_c_2c_3_…__c_n______(n∈N*)也是等比数列.
第2章 2.1.1 合情推理
第2课时 类比推理
学习目标 1.了解类比推理的含义、特征，能利用类比进行简单的推 理. 2.能正确区别归纳推理与类比推理的不同点，了解合情推 理的合理性.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 类比推理
思考 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1) 火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季 节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等. 由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在.他们使用了什么样的推理？ 答案 类比推理.
解答
类型三 合情推理的应用
例3 我们已经学过了等差数列，思考一下有没有等和数列呢？ (1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义； 解 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等和数列. (2)探索等和数列{an}的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明； 解 由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2， 所以an＋2＝an. 所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等.
所以它的前 n 项和 Sn＝nn2＋2a＋1ab＋，n－n2为1b偶，数n为. 奇数，
解答
反思与感悟 定义类比应用问题是常考查的题型，通过对某种概念的定 义及性质的理解，类比出其他相似概念的定义和性质，很好地考查学生 类比应用的能力，其解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性.
跟踪训练3 定义“等积数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它 前一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做 该数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝2，公积为6，求这个数 列的前n项和Sn. 解 由定义，得 an＝23， ，nn为 为奇 偶数 数， .
平面图形 空间图形
点
直线
直线
平面
边长
面积
面积
体积
三角形
四面体
线线角
面面角
跟踪训练2 在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边 所成的角分别为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则 在立体几何中，给出类比猜想.
解 在长方形ABCD中， cos2α＋cos2β＝ac2＋bc2＝a2＋c2 b2＝cc22＝1. 于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的 三 条 棱 所 成 的 角 分 别 为 α ， β ， γ ， 则 cos2α ＋ cos2β＋cos2γ＝1.
梳理 (1)合情推理的含义
合
情已有的事实 推 正确的结论理 实验和实践的是结果
根
据 经验
、
归纳推理 类比推理 、
，以及个人的
和直觉等推测某些结果的推理过程.
和
都是数学活动中常用的合情推理.
(从2)具合体情问推题理出的发过→程观察、分析、比较、联想 → 归纳、类比 → 提出猜想
[思考辨析 判断正误] 1.由合情推理得出的结论一定是正确的.(× ) 2.合情推理必须有前提有结论.(√ ) 3.类比推理不能猜想.(× )
梳理 (1)类比推理的定义
根据两个 两(或类
)对象之间在某相些似方面相的同
或
，
推演出它们相在似其他相方同面也
或
，像这样的推理通常
称为类比推理，简称类比法.
(2)类比观推察理、的比思较维→过程联大想致、如类图推 →猜测新的结论
特殊 特殊
(3)特征：由
到
的推理.
知识点二 合情推理
思考1 归纳推理与类比推理有何区别与联系？ 答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到 个别的推理或是由特殊到特殊的推理. 联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假. 思考2 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？ 答案 不一定正确.