湖南省茶陵县第三中学人教版高中数学必修二：2.3.1直线与平面垂直的判定课件
2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直， 那么它与平面垂直. （ ）
b a
α
探索新知： 过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的 纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触） 1.折痕AD与桌面垂直吗？ 2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
A
C
A
D
B
D折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
平面的垂线 A 直线的垂面
垂足
l l m, 任意 m .
直线和平面垂直的画法:
L
P
通常把直线画成和表示平面的平 行四边形的一边垂直。
深入理解“线面垂直定义”
判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）
1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平 面内所有的直线都垂直. （ ）
A
C
A
D
B
D
C
B
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面 垂直．
探索新知：
由刚才分析可以知道，直线与平面垂直的 判定需要哪几个条件？
(1) 平面有两条直线
(2) 相交
(3) 垂直
二、 直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直。
m
巩固练习
1、在正方体AC1中，求证：AC⊥平面D1DB
(1) ABCD是正方形,
AC BD,
D1D 平面AC,
A1 D1 B1 C1
AC D1D,
D1D DB D,
A
D
C
B
AC 平面D1DB.
n m n p l lm ln
m
一相交两垂直
l
m
P
n
线线垂直
线面垂直
a
b
例1.如图，已知a∥b、a⊥α. 求证：b⊥α.
n
证明: 在平面内作两条相交直线m,n. 因为直线a ,根据直线与平面垂直的定义知 a m, a n . （线面垂直 线线垂直） 又因为 b//a 所以 b m, b n. 又因为m ,n , m, n是两条相交直线, 线面垂直） 所以 b （线线垂直
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例
大桥的桥柱与水面垂直
大漠孤烟直
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
α 内过点B的直线⊥ AB所在直线 α 内不过点B的直线⊥ AB所在直线 α 内任意一条直线 ⊥ AB所在直线
A
B
α
B1 C1
C
一、直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一 条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直.其中直 线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.
b a
α
探索新知： 过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的 纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触） 1.折痕AD与桌面垂直吗？ 2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
A
C
A
D
B
D折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
平面的垂线 A 直线的垂面
垂足
l l m, 任意 m .
直线和平面垂直的画法:
L
P
通常把直线画成和表示平面的平 行四边形的一边垂直。
深入理解“线面垂直定义”
判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）
1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平 面内所有的直线都垂直. （ ）
A
C
A
D
B
D
C
B
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面 垂直．
探索新知：
由刚才分析可以知道，直线与平面垂直的 判定需要哪几个条件？
(1) 平面有两条直线
(2) 相交
(3) 垂直
二、 直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直。
m
巩固练习
1、在正方体AC1中，求证：AC⊥平面D1DB
(1) ABCD是正方形,
AC BD,
D1D 平面AC,
A1 D1 B1 C1
AC D1D,
D1D DB D,
A
D
C
B
AC 平面D1DB.
n m n p l lm ln
m
一相交两垂直
l
m
P
n
线线垂直
线面垂直
a
b
例1.如图，已知a∥b、a⊥α. 求证：b⊥α.
n
证明: 在平面内作两条相交直线m,n. 因为直线a ,根据直线与平面垂直的定义知 a m, a n . （线面垂直 线线垂直） 又因为 b//a 所以 b m, b n. 又因为m ,n , m, n是两条相交直线, 线面垂直） 所以 b （线线垂直
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例
大桥的桥柱与水面垂直
大漠孤烟直
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
α 内过点B的直线⊥ AB所在直线 α 内不过点B的直线⊥ AB所在直线 α 内任意一条直线 ⊥ AB所在直线
A
B
α
B1 C1
C
一、直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一 条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直.其中直 线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.
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人教A版必修二 2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件(36张)
合作 探究 释疑 难
直线与平面垂直的判定 【例 1】 如图，在三棱锥 S-ABC 中，∠ABC＝90°，D 是 AC 的中点，且 SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC.
[证明] (1)因为 SA＝SC，D 是 AC 的中点， 所以 SD⊥AC.在 Rt△ABC 中，AD＝BD， 由已知 SA＝SB， 所以△ADS≌△BDS， 所以 SD⊥BD.又 AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面 ABC， 所以 SD⊥平面 ABC. (2)因为 AB＝BC，D 为 AC 的中点， 所以 BD⊥AC.由(1)知 SD⊥BD. 又因为 SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面 SAC，所以 BD⊥平面 SAC.
在本例正方体中，若 E 为棱 AB 的中点，求直线 B1E 与平面 BB1D1D 所成角的正切值．
[解] 连接 AC 交 BD 于点 O，过 E 作 EO1∥AC 交 BD 于点 O1， 易证 AC⊥平面 BB1D1D，
∴EO1⊥平面 BB1D1D， ∴B1O1 是 B1E 在平面 BB1D1D 内的射影， ∴∠EB1O1 为 B1E 与平面 BB1D1D 所成的角． 设正方体的棱长为 a， ∵E 是 AB 的中点，EO1∥AC， ∴O1 是 BO 的中点，
斜线 与平面 α相交，但不和平面 α垂直，图中 直线 PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点 A
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足 射影 和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图
中斜线 PA 在平面 α 上的射影为 AO
对应图形
直线与 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．
平面所 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直
【人教版】高中数学必修二：《直线与平面垂直的判定》ppt课件
2020/6/26
1
回顾复习：
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，
我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
垂足
平面 的垂线
l
直线 l 的垂面
P
2020/6/26
2
生活中的线面垂直现象：
旗杆与底面垂直
2020/6/26
3
回顾复习： 二、直线与平面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则 该直线与此平面垂直．
（1）利用定义；垂直于平面内任意一条直线
（2）利用判定定理．
线线垂直
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
2020/6/26
8
P 斜线
斜足 A
O
范围：0，90
射影
2020/6/26
6
例题讲解：
(课本例2).如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中, 求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
D1
C1
A1
D
B1
O
C
A
B
2020/6/26
7
知识小结
．直线与平面垂直的概念
2. 线面角的概念及范围 范围：0，90 3．直线与平面垂直的判定
la
l
l b a
b
l
b
Aa
a b A
作用：
记忆：线线垂直，则线面垂直
判定直线与平面垂直．
(2)a ,b a b
a （3） b 2020/6/26 ， a
b
4
思考题:
例：如图，点P 是平行四边形
ABCD 所在平面外一点，O 是
1
回顾复习：
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，
我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
垂足
平面 的垂线
l
直线 l 的垂面
P
2020/6/26
2
生活中的线面垂直现象：
旗杆与底面垂直
2020/6/26
3
回顾复习： 二、直线与平面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则 该直线与此平面垂直．
（1）利用定义；垂直于平面内任意一条直线
（2）利用判定定理．
线线垂直
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
2020/6/26
8
P 斜线
斜足 A
O
范围：0，90
射影
2020/6/26
6
例题讲解：
(课本例2).如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中, 求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
D1
C1
A1
D
B1
O
C
A
B
2020/6/26
7
知识小结
．直线与平面垂直的概念
2. 线面角的概念及范围 范围：0，90 3．直线与平面垂直的判定
la
l
l b a
b
l
b
Aa
a b A
作用：
记忆：线线垂直，则线面垂直
判定直线与平面垂直．
(2)a ,b a b
a （3） b 2020/6/26 ， a
b
4
思考题:
例：如图，点P 是平行四边形
ABCD 所在平面外一点，O 是
人教A版高中数学必修二课件2.3.1直线与平面垂直的判定(共27张PPT)
解：作CC1⊥平面α于点C1，连接AC1、BC1、DC1，则
∠CAC1＝30°，∠CBC1＝45°，∠CDC1为CD与α所成的 角．
设 CC1＝ a，则 AC＝ 2a， BC＝ 2a. 因此，在 Rt△ ABC 中， AB＝ 6a， AC· BC 2 所以 CD＝ ＝ a. AB 3 CC1 3 在 Rt△ CC1 D 中，sin∠ CDC1＝ ＝ ，∴∠ CDC1 ＝ 60° . CD 2 即 CD 与平面 α 所成的角为 60° .
线和两相交直线所在的平面．
互动探究
1．在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平 面SAC的位置关系为________．
解析：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC.
又由例题知SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD. 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
故BD⊥平面SAC.
答案：垂直
和平面所成角问题的关键．要找射影就要寻找过斜线上
一点与平面垂直的垂线．没有垂线的，还要在斜线上取
点作平面的垂线，垂足和斜足连线(有时也可以是两垂足) 就是斜线在平面内的射影，但要注意斜线上点的选取以 及垂足的位置要与问题中已知量有关，才便于计算．
跟踪训练
3．如图，Rt△ABC的斜边AB在
平面α内，AC和BC与α所成的角分别是30°，45°，CD是 斜边AB上的高，求CD与平面α所成的角．
高中数学课件
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2． 3
直线、平面垂直的判定及其性质
2．3.1 直线与平面垂直的判定
学习导航
学习目标
重点难点 重点：对直线与平面垂直的判定定理的理解及应用．
难点：对直线与平面垂直的判定及线面角的求法．
【人教版】高中数学必修二：《直线与平面垂直的性质》ppt课件
第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与平面垂直的性质
2020/6/26
1
复习引入
判定定理
如果一条直 线垂直于一个 平面内的两条 相交直线，那 么此直线垂直 于这个平面。
2020/6/26
直线与平面 垂直的判定
定义法
如果一条直 线垂直于一个 平面内的任何 一条直线，那 么此直线垂直 于这个平面。
推论
如果一条 直线垂直于一 个平面，那么 它的平行线也 会垂直于这个 平面。
2
1、定义 a 都有l a l
2、判定定理 l m
ln
l
（m,
n
）
m I n P
3、推论 a //b, a b
思考：在空间，过一点，有几条直线与已
知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线
垂直？
2020/6/26
a ，b a // b 6
例2.已知l ，l ，求证a// .
证明：设l =A，l =B
在内过点A取两条直线a和b l =A l与a确定一个平面 l
B l 且B
b
a
与 相交，设 =c
A
l l a，同理l c
在平面中：l a，l c a//c 又a ，c a //，同理b//
证明：(反证法)
假设a与b不平行 b ，
a
设求b =O过点O作b//
a ，b
α
则过一点O有两条直线b与b
这与过一点有且只有一条直线
与已知平面垂直矛盾
可见假设不成立
a//b 2020/6/26
b’ b O
5
线面垂直的性质定理： 垂直于同一平面的两直线互相平行。
图形语言：
直线与平面垂直的性质
2020/6/26
1
复习引入
判定定理
如果一条直 线垂直于一个 平面内的两条 相交直线，那 么此直线垂直 于这个平面。
2020/6/26
直线与平面 垂直的判定
定义法
如果一条直 线垂直于一个 平面内的任何 一条直线，那 么此直线垂直 于这个平面。
推论
如果一条 直线垂直于一 个平面，那么 它的平行线也 会垂直于这个 平面。
2
1、定义 a 都有l a l
2、判定定理 l m
ln
l
（m,
n
）
m I n P
3、推论 a //b, a b
思考：在空间，过一点，有几条直线与已
知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线
垂直？
2020/6/26
a ，b a // b 6
例2.已知l ，l ，求证a// .
证明：设l =A，l =B
在内过点A取两条直线a和b l =A l与a确定一个平面 l
B l 且B
b
a
与 相交，设 =c
A
l l a，同理l c
在平面中：l a，l c a//c 又a ，c a //，同理b//
证明：(反证法)
假设a与b不平行 b ，
a
设求b =O过点O作b//
a ，b
α
则过一点O有两条直线b与b
这与过一点有且只有一条直线
与已知平面垂直矛盾
可见假设不成立
a//b 2020/6/26
b’ b O
5
线面垂直的性质定理： 垂直于同一平面的两直线互相平行。
图形语言：
人教版高中数学必修2 2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件(共49张PPT)
平面垂直的判定定理知，直线垂直于平面，所以直线与第三边垂直．]
梦 境
3．矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝ 2，PA⊥平面 ABCD，PA＝1，则 PC 与平面 ABCD 所成的角是________．
30°[如图所示，∵PA⊥平面 ABCD， ∴AC 为 PC 在平面 ABCD 上的射影． ∴∠PCA 为 PC 与平面 ABCD 所成的角．
的射影，图中斜线 PA 在平面 α 上的射影为_A_O_
梦 境
直线与平 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．
面所成的 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是_直__角_____；一条直
角
线和平面平行或在平面内，它们所成的角是_0_°__的__角___
取值范围
[0°，90°]
梦 境
定的平面；
梦 境
④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；
⑤过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
梦 境
(1)B (2)D (3)C [(1)A 项，α∥β 且 m⊂α，则 m∥β，故 A 不正确； B 项，n⊥β，则 n 垂直 β 内的任意一条直线，又 m∥n.可知 m 也垂直于 平面 β 内的任意一条直线，所以 m⊥β，故正确； C 项，D 项，由 m⊥n，n⊂β 或 m⊥n，n∥β，可得 m 与 β 的关系可以是 m⊂β，或 m∥β 或 m 与 β 相交，故不正确； 选 B.
(2)直线 a⊥直线 b，b⊥平面 β，则 a 与 β 的关系是( )
A．a⊥β
B．a∥β
C．a⊂β
D．a⊂β 或 a∥β
(3)下列说法中，正确的有( )
高中数学必修二：2.3.1直线、平面垂直的判定课件
半平面叫做二面角的面．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.1
问题 4 如何用字母来记作二面角？
答 如图，棱为 AB，面分别为 α，β 的二面角记作二面角
本
α—AB—β.有时为了方便，也可在 α，β 内(棱以外的半平面部
课 时
分)分别取点 P，Q，将这个二面角记作二面角 P—AB—Q.如
栏 目
果棱记作 l，那么这个二面角记作二面角 α—l—β 或 P—l—Q.
本 课
射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．
时
栏
目
开
关
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少
度，就说这个二面角是多少度．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.1
小结 关于二面角的平面角有以下几点要引起重视：
本
(1)在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥l”，“OB⊥l”；
开 关
b 所成的角；平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，
叫做这条直线和这个平面所成的角．它们的共同特征都是平面
角，都是由两条直线组成的图形，角的范围不超过 90°.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.1
问题 3 在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交
所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？ 答 修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水
课
(2)∠AOB 的大小与点 O 在 l 上的位置无关；
时
栏
(3)二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，平
目 开
面角是直角时叫直二面角．
关
(4)二面角的平面角的范围是：[0°，180°]．
人教A版高中数学必修二课件2-3-1直线与平面垂直的判定(共55张PPT)
[点评] 要证“线面垂直”可找“线线垂直”，而要证“线 线垂直”也可找“线面垂直”，它们之间可以相互转化这是立 体几何证明垂直关系时常用的转化方法．证法2用的是计算 证明方法．在立体几何的垂直关系证明中有时通过勾股定 理计算证明很方便.
[例5] 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中， AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2， AB＝2，BC＝6.
(2)如图，GM⊥BF，所以∠BGM＝∠CFB， BM＝BG·tan∠BGM＝BG·tan∠CFB
因为AE綊BM，所以ABME为平行四边形， 从而AB∥EM. 又AB⊥平面BCC1B1， 所以EM⊥平面BCC1B1.
[例6] 过一点和已知平面垂直的直线只有一条． [解析] 已知：平面α与一点P. 求证：过点P与α垂直的直线只有一条． 证明：不论点P在α内或在α外，设PA⊥α，垂足为P(或 A)． 如果除直线PA外，过点P还有一条直线PB⊥α，设PA 与PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有 两条直线PA，PB垂直于直线a，这是不可能的．∴过点P与 α垂直的直线只有一条．
求证：BD⊥平面PAC.
[解析] ∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴BD⊥PA. ∵∠BAD和∠ABC都是Rt∠，
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°. ∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC， 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点 E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1，
∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO 又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1 ∵BO∩BB1＝B， ∴AC⊥平面BB1O. 又∵EF是△ABC的中位线 ∴EF∥AC ∴EF⊥平面BB1O
人教版2017高中数学(必修二)2.3.1 直线与平面垂直的判定PPT课件
重难聚焦
典例透析
理解直线与平面垂直的判定定理 剖析:(1)在判定定理的条件中,“平面内两条相交直线”是关键性 词语,此处强调相交. (2)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直,只需要在该平面内 找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线是否与已 知直线有交点,这是无关紧要的. (3)判定定理是由线线垂直推导出线面垂直,其最终仍归结为证明 线线垂直,即证明线与平面内的两条相交直线垂直. (4)判定线面垂直的方法有: ①利用线面垂直的定义:一条直线垂直于平面内的任意一条直线, 则该直线垂直于这个平面; ②利用线面垂直的判定定理.
证明:因为AB是☉O的直径,所以BC⊥AC. 因为PA⊥BC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC. 因为AE⊂平面PAC,所以BC⊥AE. 因为PC⊥AE,且PC∩BC=C, 所以AE⊥平面PBC.
目标导航
重难聚焦
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
反思利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤 是:(1)在这个平面内找出两条直线,使它和已知直线垂直;(2)确定这 个平面内的这两条直线是相交直线;(3)根据判定定理得出结论.
目标导航
重难聚焦
典例透析
知识拓展过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直,过一点有且仅 有一个平面与已知直线垂直.
目标导航
重难聚焦
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
证明直线与平面垂直
【例1】 如图,已知PA⊥BC,AB是☉O的直径,C是☉O上不同于A,B 的任意一点,过点A作AE⊥PC于点E.求证:AE⊥平面PBC.
目标导航
重难聚焦
典例透析
题型一
高中数学人教A版必修二 2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件(47张)
又 DE⊂平面 CDD1C1，∴DE⊥BC.
在三角形 CDE 中，CD＝2a，CE＝DE＝ 2a，则有 CE2＋DE2＝CD2，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥EC. 又 BC∩EC＝C，∴DE⊥平面 BCE.
题型三 证线线垂直
例 3 如图所示，已知 PA⊥平面 ABC，AB 是⊙O 的直径， C 是⊙O 上的任一点．求证：PC⊥BC.
思考题 3 如图，已知，α∩β＝l，PA⊥α于 A，PB⊥ β于 B，求证：AB⊥l.
【思路分析】 注意直线 AB 在平面 ABP 内，证明 l⊥平面 ABP 即可．
【证明】
Pl⊂A⊥αα⇒PA⊥l
Pl⊂B⊥ββ⇒PB⊥l⇒l⊥平面ABP ⇒AB⊥l.
PA∩PB＝P
AB⊂面ABP
题型四 直线与平面所成的角
探究 4 准确理解直线与平面所成的角等相应的概念，是解 决概念题的关键．
思考题 4 (1)若 l 是平面 α 的斜线，n 是平面 α 的垂线， 如果 l 与 n 所成的角为 φ，那么 l 与平面 α 所成的角 θ 为________．
π 【答案】 2 －φ
π (2)若直线 l 与平面 α 所成的角为 3 ，直线 a 在平面 α 内且与
⇒∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角
在Rt△A1BO中，A1B＝
2a，
OB＝
2 2a
⇒s∠inB∠AB1OA为1O锐＝角AO1BB＝12⇒∠BA1O＝30°
⇒A1B 与平面 A1B1CD 所成的角为 30°.
探究 5 (1)运用定义求直线与平面所成的角的步骤是： ①作(或找)出斜线在平面上的射影； ②证明某平面角就是斜线与平面所成的角； ③将这个角放在由垂线段、斜线段、射影所组成的直角三角 形中计算； ④答案． (2)记忆口诀：作—证—求—答．
在三角形 CDE 中，CD＝2a，CE＝DE＝ 2a，则有 CE2＋DE2＝CD2，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥EC. 又 BC∩EC＝C，∴DE⊥平面 BCE.
题型三 证线线垂直
例 3 如图所示，已知 PA⊥平面 ABC，AB 是⊙O 的直径， C 是⊙O 上的任一点．求证：PC⊥BC.
思考题 3 如图，已知，α∩β＝l，PA⊥α于 A，PB⊥ β于 B，求证：AB⊥l.
【思路分析】 注意直线 AB 在平面 ABP 内，证明 l⊥平面 ABP 即可．
【证明】
Pl⊂A⊥αα⇒PA⊥l
Pl⊂B⊥ββ⇒PB⊥l⇒l⊥平面ABP ⇒AB⊥l.
PA∩PB＝P
AB⊂面ABP
题型四 直线与平面所成的角
探究 4 准确理解直线与平面所成的角等相应的概念，是解 决概念题的关键．
思考题 4 (1)若 l 是平面 α 的斜线，n 是平面 α 的垂线， 如果 l 与 n 所成的角为 φ，那么 l 与平面 α 所成的角 θ 为________．
π 【答案】 2 －φ
π (2)若直线 l 与平面 α 所成的角为 3 ，直线 a 在平面 α 内且与
⇒∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角
在Rt△A1BO中，A1B＝
2a，
OB＝
2 2a
⇒s∠inB∠AB1OA为1O锐＝角AO1BB＝12⇒∠BA1O＝30°
⇒A1B 与平面 A1B1CD 所成的角为 30°.
探究 5 (1)运用定义求直线与平面所成的角的步骤是： ①作(或找)出斜线在平面上的射影； ②证明某平面角就是斜线与平面所成的角； ③将这个角放在由垂线段、斜线段、射影所组成的直角三角 形中计算； ④答案． (2)记忆口诀：作—证—求—答．
【人教A版】高中数学必修二：2.3《直线、平面垂直的判定及其性质》ppt课件.pptx
2.3.1直线与平面垂直的判定
日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面 的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直 的印象.
问题1：如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与 这个平面垂直？举例说明.
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管 影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就是 说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.
问题2：能否找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系？ 如图，长方体 ABCD—A′B′C′D′中，棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的 平面 ABCD，它们之间具有什么位置关系？
棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面 ABCD，它们之间互相平行.
问题 4：如图,请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起做一个实验：过△ ABC 的顶点 A 翻折纸片，得折痕 AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC 与桌面接触）. (1)折痕 AD 与桌面垂直吗？ (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面 α 垂直？
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在的平面 α 垂直. 如图.
又∵OA 平面 PAO，∴BC⊥OA.
同理,可证 AB⊥OC.∴O 是△ ABC 的垂心. ∴OB⊥AC.可证 PO⊥AC. ∴AC⊥平面 PBO.
又 PB 平面 PBO，∴PB⊥AC.
例 2、如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.
解：连接 BC1 交 B1C 于点 O，连接 A1O. 设正方体的棱长为 a， 因为 A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以 A1B1⊥平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥BC1. 又因为 BC1⊥B1C，所以 BC1⊥平面 A1B1CD. 所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影，∠BA1O 为直线 A1B 与平面 A1B1CD
日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面 的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直 的印象.
问题1：如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与 这个平面垂直？举例说明.
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管 影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就是 说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.
问题2：能否找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系？ 如图，长方体 ABCD—A′B′C′D′中，棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的 平面 ABCD，它们之间具有什么位置关系？
棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面 ABCD，它们之间互相平行.
问题 4：如图,请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起做一个实验：过△ ABC 的顶点 A 翻折纸片，得折痕 AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC 与桌面接触）. (1)折痕 AD 与桌面垂直吗？ (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面 α 垂直？
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在的平面 α 垂直. 如图.
又∵OA 平面 PAO，∴BC⊥OA.
同理,可证 AB⊥OC.∴O 是△ ABC 的垂心. ∴OB⊥AC.可证 PO⊥AC. ∴AC⊥平面 PBO.
又 PB 平面 PBO，∴PB⊥AC.
例 2、如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.
解：连接 BC1 交 B1C 于点 O，连接 A1O. 设正方体的棱长为 a， 因为 A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以 A1B1⊥平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥BC1. 又因为 BC1⊥B1C，所以 BC1⊥平面 A1B1CD. 所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影，∠BA1O 为直线 A1B 与平面 A1B1CD