高中数学 平面方程式
高中数学必修《点直线平面之间的位置关系》知识点
高中数学必修《点直线平面之间的位置关系》知识点高中数学必修的《点直线平面之间的位置关系》是一个重要的几何知识点，主要涉及直线与平面、点与直线、点与平面之间的位置关系。
这个知识点对于理解几何图形的形状和性质具有重要作用，也为后续的三角函数、向量等知识打下基础。
下面将详细介绍该知识点的内容。
一、直线与平面的位置关系1.平面方程：平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为不能同时为0的实数，A、B、C为平面的法向量，D为常数项。
2.直线与平面的位置关系：(1)直线与平面相交：直线与平面相交可以有一个交点，也可以有无穷多个交点。
(2)直线含于平面：如果直线的所有点都在平面上，则直线被称为含于平面。
(3)直线与平面平行：如果直线与平面的交点集为空集，则直线与平面平行。
(4)直线与平面垂直：如果直线与平面的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。
二、点与直线的位置关系1.点与直线的距离：点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)。
2.点到线段的距离：点P到线段AB的距离：(1)如果P在AB的延长线上，则距离为AP或BP的长度。
(2)如果P在线段AB的两边，则距离为点P到线段AB所在直线的距离。
(3)如果P在线段AB上，则距离为0。
三、点与平面的位置关系1.点在平面上：点P(x0,y0,z0)在平面Ax+By+Cz+D=0上的充要条件是Ax0+By0+Cz0+D=0。
2.点到平面的距离：点P到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式为d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)。
3.点关于平面的对称点：点P(x0,y0,z0)关于平面Ax+By+Cz+D=0的对称点的坐标为：(x',y',z')=(x0-2*Ax0/（A^2+B^2+C^2）,y0-2*By0/（A^2+B^2+C^2）,z0-2*Cz0/（A^2+B^2+C^2）)。
高中数学平面解析几何知识点总结
平面解析几何一、直线与圆1.斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).3.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； < ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；4.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径r=2422F E D -+. 6.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: .若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内. 7.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d . 其中22B A CBb Aa d +++=.8.两圆位置关系的判定方法#设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .$二、圆锥曲线1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在y 轴上)； (2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在y 轴上)． 3．圆锥曲线的几何性质&(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，三者满足a 2=b 2+c 2，顶点为（a,0）,(0,b),焦点为（c,0）,离心率e=ac ，准线c a 2±=x (X 型). (2)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，三者满足a 2+b 2=c 2，顶点为（a,0）,焦点为（c,0）,离心率e=a c （e>1）,渐近线为x ab y ±=. 4.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x ab y ±=. (2)共轭双曲线： 12222=-b y ax 与1-2222=a x b y 渐近线一样. (3)等轴双曲线：若双曲线与12222=-by a x 中a=b ，（e=2,渐近线为y=x ±）. 5.抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.准线：x=2p ,离心率为e=1.（点到焦点的距离等于点到准线的距离）.。
平面方程在高中数学解题中的应用——由两道高考试题引发的思考与探究
解题过程中，如果我们的思维不局限于怎么解，结果是什么；而在纵深挖掘上，除了思考怎么解，再想想为什么这样解，还可以怎么解，为什么会有这样的问题，把问题的背景挖深、想透；在横向拓展上，思考还可以有什么样的问题，实现一题多解，多题一解，以期达到由点及面，解一题懂一类．由此实现教师个人专业素养的完善与提升．在教学实践中，依据不同时期，学生数学思维处于不同发展水平的特点，实施不同的教学方法与策略，以期有效培养学生的数学核心素养．以解析几何为例，在学生学习解析几何的初期，在教学实践中强化解析几何的核心思想，即用代数方法解决几何问题的基本思路，在解题教学中强调通性通法，强化代数运算、理清算理算法，培养学生数学运算、逻辑推理等数学核心素养．随着学习的深入，当学生对解析几何相关问题的处理方式已熟悉，并对相应的数学运算已经熟练掌握，甚至产生运算机械化的趋势时，解题教学可在运用代数法解决问题的同时，引导学生在相关条件的几何化上做积极的尝试，在知识的交汇点处寻求新生成．在回避复杂代数运算的同时，体会几何运动变化过程中的不变性，体会数学证明的简洁美，使学生的数学思维更贴近问题的本质，直面问题的本源，那是单纯的代数运算所无法获得的另一种成就感．在这样的引导过程中，培养学生多角度、多方向思考问题的能力，增强学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．在这样的教学实践中不断培养学生直观想象、数学抽象等核心素养，以期达到师生在数学核心素养层面的互相成就，共同成长．参考文献[1]卫小国，韩长峰．简约问题中的不凡伴生圆-探究2017年全国Ⅱ卷解析几何问题[J]．数学通讯：上半朋，2017（9）：25-26[2]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书（数学选修2-2）[M]．北京：人民教育出版社，2008（本文系2018年度福建省中青年教师教育科研项目（基础教育研究专项）《基于新高考的数学学科核心素养评价研究》（项目编号：JZ180231（福建教育学院资助））阶段性研究成果）平面方程在高中数学解题中的应用——由两道高考试题引发的思考与探究陈 言 福建省福州格致中学（350001）平面方程是“高观点”内容，在高考试题或日常习题中总能发现它的“踪影”，学习平面方程，可以从“高观点”角度分析试题与习题的背景，拓展解题思路，使问题的解决更加简便． 1 试题呈现 试题1 （2019年高考全国Ⅲ卷·理23）设x y z ，， ∈R ，且1x y z ++=． （1）求222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值； （2）若2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥成立，证明：3a ≤−或1a ≥−．试题2 （2018年高考江苏卷·21D ）若x y z ，，为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．这两道都是选考题，都涉及研究在给定线性方程条件下的最值问题，其中试题1还涉及对恒成立问题的考查，试题难度都不大，属于基础题，旨在考查柯西不等式或基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、分析问题和解决问题能力，试题1还考查解决恒成立问题的一般方法． 2 解法探究本文以试题1的第1问为例，解法如下．解法1 利用柯西不等式222222[(1)(1)(1)](111)x y z −++++++ 2[(1)(1)(1)]x y z ≥−++++ 2(1)4x y z =+++=，∴2224(1)(1)(1)3x y z −++++≥， 等号成立当且仅当111x y z −=+=+，又已知1x y z ++=， 故解得当53x =，13y =−，13z =−时等号成立， 所以222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值为43．解法2 利用基本不等式 由于2[(1)(1)(1)]x y z −++++ 222(1)(1)(1)x y z =−++++2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y y z z x +−++++++−2223[(1)(1)(1)]x y z ≤−++++又 1x y z ++=， ∴2224(1)(1)(1)3x y z −++++≥（以下同解法1）．解法3 利用向量的数量积设1(111)=，，z ，2(111)x y z =−++，，z ，则1||=z2||=z121112x y z ⋅=−++++=z z ．1212cos ⋅=<>，z z z z ，2≥，2224(1)(1)(1)3x y z −++++≥，当21λ=z z ，0λ>时取等号（以下同解法1）． 思考与探究1 以上三种解法均源于教材，均是利用高中数学知识和方法解决问题，但从“源于教材、高于教材、活于教材”这一要求出发，从“高观点”的角度来分析试题，不难发现这是两道带有“高观点”背景的数学试题．我们知道，在空间解析几何中，平面α的一般式方程是220(Ax By Cz D A B +++=++20)C ≠，若点000()P x y z ，，为平面α外一点，则点P 到该平面α的距离d =．根据空间解析几何的上述知识，从数形结合的角度来审视这两道试题，就能发现题干中分别给出的条件1x y z ++=和226x y z ++=都可以看成是平面方程，而222(1)(1)(1)x y z −++++和222x y z ++可以分别看成是点(111)−−，，到平面1x y z ++=距离的平方，以及点(000)，，到平面226x y z ++=距离的平方，于是可以采用下列解法．解法4 利用平面方程设()P x y z ，，是方程1()x y z x y z ++=∈R ，，所表示的平面上任意一点，点(111)Q −−，，，则2||(PQ x =−2221)(1)(1)y z ++++，||PQ 的最小值就是定点Q 到平面1x y z ++=的距离，由距离公式得：min ||PQ==． ∴222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值为43．试题1的第（2）问同样可以利用平面方程证明如下：证明 设点()P x y z ，，是平面1x y z ++=上的动点，点Q (21)a ，，， 2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥， 2min 1||3PQ ∴≥，又min ||PQ =， 22min (2)1||33a PQ +∴=≥，2(2)1a +≥．解得3a ≤−或1a ≥−．思考与探究2 观察试题1与试题2中的几个平方和式子，联想到圆的标准方程222()()x a y b r −+−=左边的式子也是平方和形式，它们结构相同，仅是项数不同，运用类比推理可以得到球面方程2()x a −222()()y b z c r +−+−=，这时方程的左边也是三个平方和式子，由此获得启发并加深了对问题背景的认识．还是以试题1为例，若设222(1)(1)(1)x y z −++++2r =，则问题的几何意义就是当平面1x y z ++=与球面2222(1)(1)(1)x y z r −++++=有公共点时球心到平面的距离d r ≤，经计算不难得到答案．解法5 利用平面方程与球面方程设球面方程2222(1)(1)(1)x y z r −++++=， 球心到平面1x y z ++=的距离为d ， 由问题的几何意义可知d r ≤．r d ∴≥=， 222(1)(1)(1)x y z ∴−++++的最小值为43． 评注 解法1至解法3突出逻辑思维和数学运算，但不关注问题的背景知识，解法4和解法5则通过观察，发现问题的几何特征，并借助图形，形成解决问题的思路．笔者注意到多数以“高考试题汇编”为名的书籍中，这两道试题的解答几乎都采用解法1，解法2少见，其它解法未见．造成解法单一的主要原因是人们在解题中没有深入挖掘试题的背景知识，没有把握问题的本质，没有整合知识间的联系，因此就无法进行发散思维和创新思维．基于这一分析，笔者建议教师在日常解题教学中，应加强对审题能力的培养，认真研究试题背景，领悟试题内涵，还应学习掌握一些“高观点”知识和方法，通过一题多解和一题多变，提高分析与解决问题的能力．3 空间平面方程在解题中的应用举例 3.1 不等式证明问题例1 已知实数a b c d ，，，满足3a b c d +++=，2a 2222365b c d +++=，求证：12a ≤≤．分析 本题是湘教版教科书选修4-5不等式选讲第5章习题13第6题，解题的思路是先构造两组数，再运用柯西不等式进行证明．但若能挖掘习题的几何背景，利用平面方程和球面方程知识，从数形结合的角度去寻找证明思路，则可以培养学生直观想象与数学建模等核心素养．解 由已知得3b c d a ++=−， 22222365b c d a ++=−，3a =−，球面方程2222x y z r ++=，其中225r a =−．则所构造平面与球面有公共点)， 故球心到平面的距离d r ≤．|3|a r ∴−≤，222(3)5a r a −≤=−， 化简的2320a a −+≤， ∴12a ≤≤．3.2 球与几何体切接问题例2（2015年高考全国Ⅱ卷·理9改编）已知A B ，是球O 的球面上两点，90AOB ∠= ，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC −体积的最大值为36，则三棱锥O ABC −内切球的表面积为 ．分析 本题以球为背景，构造出一个动态的三棱锥模型，需要通过直观想象和逻辑推理来确定使三棱锥体积最大时顶点C 的位置，再通过数学运算得出球O 的半径以及三棱锥内切球的半径和表面积．若用高中数学知识和方法解答，则可以在求出球O 的半径R 之后运用等体积法求出三棱锥的内切球半径，若从“高观点”的角度分析问题，则本题可以用平面方程解答如下：解 如图1所示，当点C 位于垂直于平面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC −的体积最大，设球O 的半径为R ，此时23111326O ABC C AOB V V R R R −−==××== 36，故6R =，现以O 为坐标原点，分别以OA OB OC，，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则平面ABC 的方程是6x y z ++=，设三棱锥内切球的球心为000()O x y z ′，，，内切球半径为r ，则O ′000x y z r ===． 0006x y z ++≤，0063x ∴−，从而03r x ==， 三棱锥O ABC −内切球的表面积为：2244π(3(48πS r =π==−．图1 图23.3 空间的平行与垂直问题例3 （2019年高考天津卷·理17改编）如图2，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AEBC ==．若平面BDF ⊥平面 BDE ，求线段CF 的长．分析 本题经过改编后，平面BDF 与平面BDE 成垂直关系，若采用高中的常规方法来解答，其解题思路是先根据条件建立空间直角坐标系，然后求出平面BDE 的法向量，再设点F 的坐标并用点F 的坐标表示平面BDF 的法向量，最后通过两个法向量数量积的计算得出答案．现尝试利用平面方程解答，平面的点法式方程是000)()()A x x B y y C z z −+−+−=（ 0，其中000()M x y z ，，是平面上的点，()A B C =，，n 是该平面的法向量．解 依题意，建立以A 为原点，分别以AB AD，，AE的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图2），可得(000)A ，，，(100)B ，，，(120)C ，，， (010)D ，，，(002)E ，，．(110)BD −，，，先求出平面BDE 的法向量(221)=，，n ， 设平面BDF 的法向量为()x y z =，，m ， 由00BD ⋅=⋅=，，m m n 得0220x y x y z −+= ++= ，， 令1x =，得(114)=−，，m ， A BC O ••••又点B 在平面BDF 内，故平面BDF 的点法式方程是： 1(1)1(0)4(0)0x y z ⋅−+⋅−−⋅−=， 化简得410()x y z +−−=∗，将(12)F h ，，的坐标代入方程（*）得12h =， 故12CF =． 3.4 点共面或线在面内的判定问题例4 （2019年高考北京卷·理16）如图3，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PAAD CD ===，3BC =．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （Ⅰ）略；（Ⅱ）略；（Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．图3分析 本题第3问若用高中的数学知识和方法解答，则是先求出平面AEF 的一个法向量m ，再由计算得0AG ⋅=m ，最后作出“直线AG 在平面AEF 内”的判断．若从“高观点”的角度分析，则是先建立空间直角坐标系，再求出平面AEF 的方程以及点G 的坐标，最后通过检验点G 的坐标是否满足平面AEF 的方程做出判断．解 以点A 为坐标原点，平面ABCD 内与AD 垂直的直线为x 轴，AD AP ，方向为y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz −（如图3），易知：(00A ，， 0)，(210)B −，，，(020)D ，，，(002)P ，，，(011)E ，，，(000)A ，，，(210)B −，，，(020)D ，，，(002)P ，，，(0E ，11)，，由13PF PC =可得点F 的坐标为224()333F ，，，由23PG PB =可得422()333G −，，，平面AEF 的一个法向量为：(111)=−，，n ，则平面AEF 的方程为0x y z +−=，由于点G 的坐标满足0x y z +−=，且点A 在平面AEF 内，故直线AG 在平面AEF 内．3.5 实际应用问题例5 在空间直角坐标系中，已知(2800)A ，，，平面ABC 的法向量是(113)=−，，n ，一质点自点(111)P ，，沿着方向(122)=，，a 做等速直线运动，进过5秒后到达平面ABC ，然后立即又沿着方向(221)=−−，，b 以同样的速度等速直线前进，求再经过多少秒质点到达平面YOZ ．分析 本题以实际问题为背景，考查学生对物体运动方程、平面方程、向量、空间直角坐标系等相关知识的综合运用能力，考查数学建模与数学运算等核心素养．若质点沿规定的方向作直线运动，则其直线方程可以用参数形式表示，而质点的运动速度可以由质点到达平面ABC 所用的时间计算得到．解 质点由点(111)P ，，沿着方向(122)=，，a 做等速直线运动，经过5秒后质点的坐标是(15110v v ++，， 110)v +，其中v 表示质点沿a 方向运动的速度，此时质点到达平面ABC ，由已知得平面ABC 的点法式方程是(28)30x y z −−+=，化简得328x y z −+=，故有(15)(110)3(110)28v v v +−+++=，解得1v =，质点的运动轨迹与平面ABC 的交点是(61111)Q ，，，质点再沿着方向(221)=−−，，b 以同样的速度等速直线前进，轨迹方程为6211211x t y t z t =−=+ =− ，，，其中参数t 表示时间，令0x =， 得3t =，故再经过3秒质点到达平面YOZ ．4 教学启示空间平面方程还有许多其它运用，如求空间的角和距离、研究动态几何问题等，限于篇幅不在此赘述．从以上所列举的若干例子中可以看出，空间平面方程为我们研究和解决高中数学中的某些问题提供了新的思路和方法．比如在解证某些不等式问题时，借助平面方程，建立数与形之间的联系，使问题变得简明、形象，同时还能够由直观感知，获得解题思路，通过逻辑推理和数学运算获得结论，并作出几何解释．在解证某些立体几何问题时，运用平面方程，可以帮助我们正确判断空间点、线、面之间的位置关系，可以方便快捷地解决空间点、线、面之间的度量问题，可以化“定性”研究为“定量”分析，优化解题方案，降低解题难度．平面方程还为解决实际问题提供更多、更好的思路．根据2017年版数学课程标准的介绍，数学选修课程E 类中包括了大学数学先修课程，该课程有三个专题，其中的一个专题是“解析几何与线性代数”，平面方程是空间解析几何中的“高观点”内容．笔者认为应当为学生的发展适当开设一些“高观点”课程，指导学生学会运用“高观点”的思想方法，从“高观点”的角度研究问题，这样能使学生看清问题的背景，理解问题的本质，使问题的解决更加简便．教师也可以在日常教学中利用研究性学习活动，渗透“高观点”的数学知识和方法，化解学习难点、突破解题瓶颈，引领学生将数学思维向更高、更深的层次发展．（本文系福州市教育科学研究“十三五”规划2018年度课题“基于新课标学习主题，培养数学核心素养的实践研究”（课题立项编号：FZ2018ZX006）的阶段性研究成果）例谈核心素养理念下的“一题多解”连信榕 福建省福州时代中学（350007）高中数学课程标准定义数学核心素养为：具有数学基本特征思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现．笔者认为，一个具备数学核心素养的人能够独立思考，敢于创新，善于批判，是一个能够用数学的眼光对待生活、丰富生活的人．而高中数学教学更是肩负着培养提升学生综合素质的使命．进行有效的一题多解训练，不但能够带出多种数学知识与方法，而且能通过不同方法之间的比较，让学生感悟知识的内涵，方法的通用性与局限性，对提高学生的思维能力有极大的帮助．本文从两个经典例题出发，进行多角度思考与挖掘，渗透数学思想方法，进而达到培养提升学生的数学核心素养的目的． 案例1 已知圆的方程为222x y +=，点P 在直线122yx =−上运动，过点P 作圆的两条切线，切点为M N ，，试问：直线MN 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．解法1 如图1，连接OM ON ，，因为90OMP ONP ∠=∠=，所以O M P N ，，，四点共圆． 因为点P 在直线122yx =−上运动， 设(2)2aP a −，，则以OP 为直径的圆为： 2222(2)2()[(1)]244aa a ax y +−−+−−=①，又因为直线MN 为圆①与圆222x y +=的公共弦，联立两圆得直线MN 方程2(4)40ax a y +−−=，从而过定点1(1)2−，．解法1将所求直线理解为两圆的公共弦，一切的出发点源自含参数的动点P ，通过运算，得到含参数的直线，从而找到定点．该法运用了转化与化归的数学思想方法，锻炼了学生逻辑推理与数学运算等数学核心素养． 解法2 如图2，以点P 为圆心，以PM 长为半径作圆，因为点P 在直线122y x =−上运动，设(2a P a ，2)−，该圆方程为2222()[(2)](2)22a a x a y a −+−−=+− 2−①．又因为直线MN 为圆①与圆222x y +=的公共弦，联立两圆得直线MN 方程：2(4)40ax a y +−−=，从而过定点1(1)2−，． 解法2与解法1思维类似，让学生感悟构造不同的圆，得到统一的结果．这不正是数学的发散思维的体现，不正是一题多解的魅力所在吗？图3解法3 如图3，设11()M x y ，，22()N x y ，， 则过M 点的切线方程为：112x x y y +=， 又因为点P 在直线122y x =−上运动， 设(2)2a P a −，，且点P 在切线上，代入有11(2)22a x a y +−=， 同理可得22(222a x a y +−=），所以过M N ，的直线为(2)22axa y +−=，。
高中数学概念公式大全
高中数学概念公式大全1.代数与函数：- 一次函数的方程：y = kx + b- 二次函数的方程：y = ax² + bx + c- 三次函数的方程：y = ax³ + bx² + cx + d-指数函数的方程：y=a^x- 对数函数的方程：y = logₐ(x)-幂函数的方程：y=x^a-绝对值函数的方程：y=，x- 正弦函数的方程：y = A sin(Bx + C) + D- 余弦函数的方程：y = A cos(Bx + C) + D-反比例函数的方程：y=k/x2.平面解析几何：-直线的一般式方程：Ax+By+C=0- 直线的斜截式方程：y = kx + b-直线的点斜式方程：y-y₁=k(x-x₁)-直线的两点式方程：(y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁) -圆的标准方程：(x-h)²+(y-k)²=r²-椭圆的标准方程：(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1-双曲线的标准方程：(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1- 抛物线的标准方程：y = ax² + bx + c-平行线的判定：两直线的斜率相等-垂直线的判定：两直线的斜率的乘积为-13.空间解析几何：- 空间直线的参数方程：x = x₁ + at, y = y₁ + bt, z = z₁ + ct -空间直线的对称式方程：(x-x₁)/a=(y-y₁)/b=(z-z₁)/c-空间平面的一般式方程：Ax+By+Cz+D=0-空间平面的点法式方程：(x-x₀)/A=(y-y₀)/B=(z-z₀)/C-两直线的位置关系：平行、异面、交于一点-直线与平面的位置关系：相交、平行、共面、垂直-两平面的位置关系：平行、重合、相交4.三角函数与解三角形：- 任意角的辅助角公式：sin(π - θ) = sinθ, cos(π - θ) = -cosθ, tan(π - θ) = -tanθ-任意角的和差公式：sin(θ₁ ± θ₂) = sinθ₁cosθ₂ ± cosθ₁sinθ₂cos(θ₁ ± θ₂) = cosθ₁cosθ₂∓ sinθ₁sinθ₂tan(θ₁ ± θ₂) = (tanθ₁ ± tanθ₂)/(1 ∓ tanθ₁tanθ₂)-二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)-三角函数的诱导公式：sin(π ± θ) = ±sinθ, cos(π ± θ) = -cosθ, tan(π ± θ) = ±tanθ-等腰三角形的性质：两底角相等，底边平分顶角，底边上的高相等- 直角三角形的性质：勾股定理(a² + b² = c²)，正弦定理(sinθ = a/c)，余弦定理(cosθ = b/c)，正切定理(tanθ = a/b)。
人教版高中数学解析几何中的平面方程
人教版高中数学解析几何中的平面方程解析几何是高中数学中的一门重要课程，其中平面方程是解析几何的核心内容之一。
平面方程的求解与应用能够帮助我们理解和解决与平面相关的各种问题。
本文将结合人教版高中数学教材的理念和教学要求，详细讲解解析几何中的平面方程。
一、平面方程的基本概念在解析几何中，平面是由无数条直线组成的。
要描述一个平面，我们需要找到平面上的一个点和平面的法向量。
利用这两个要素，我们可以得到平面的方程。
二、平面方程的形式人教版高中数学教材中，我们主要学习了平面的三种常见方程形式：点法向式、一般式和截距式。
1. 点法向式方程点法向式方程是通过平面上给定的一个点和平面的法向量来表示平面方程的。
设平面上一点为P（x0,y0,z0），平面的法向量为n(a,b,c)，则点法向式方程为ax+by+cz+d=0，其中d=-(ax0+by0+cz0)。
这种方程形式简明扼要，适合于求平面与直线的交点等问题。
2. 一般式方程一般式方程是通过平面上的两个向量来表示平面方程的。
设平面上的两个向量为a1、a2，则平面的法向量n=a1×a2，其中×表示向量的叉积运算。
由此得到一般式方程为A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0，其中（A，B，C）为法向量n的坐标，（x0，y0，z0）为平面上的一点。
3.截距式方程截距式方程以平面与坐标轴的截距为基础来表示平面方程。
设平面与x、y、z轴的截距分别为a、b、c，则截距式方程为x/a+y/b+z/c=1。
这种方程形式直观形象，便于理解和计算平面的截距。
三、平面方程的应用平面方程在解析几何中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 判断点与平面的位置关系通过平面的方程，我们可以判断一个点与平面的位置关系。
将点的坐标代入平面方程，若等式成立，则点在平面上；若等式不成立，则点在平面的上方或下方。
2. 求平面的交线与交点平面方程可以帮助我们求解平面与直线或平面之间的交线与交点。
高中数学 平面方程式 范本例题
cos 45＝ n1 ．n2 1 ＝
12
｜n1｜｜n2｜
2 （4a）2＋（3a）2＋122． 1
25a2＋122＝2．122 a2＝144 a＝ 12（負不合）
故 a＝12
25
5
上一题
5
下一题
范例 9 两平面垂直，则法矢量互相垂直
设平面 E 过点（1 , 1 , 1），且垂直于 E1：3x＋y－z－1＝0 与 E2：
解■ (2) E1 与 E2 的法矢量分别为 n1 ＝（2 , －3 , 1）与 n2 ＝（3 , 1 , －3）
令 n1 与 n2 的夹角为θ
cos ＝ n1．n2 ＝ 6－3－3 ＝0
｜n1｜｜n2｜ 14． 19 故 E1，E2 两平面题
范例 6 平面的垂直与平行
(2)已知点 A（1 , 3 , －1）与点 B（－1 , 5 , 8）在平面
E：3x＋2y－z－7＝0 的两侧，若AB 交平面 E 于点 C，试求
AC：BC 。 解■ (2)设 A' 为 A 在平面 E 上的投影点
(2)
若
E1
//
E2
2 ＝ m ＝－1 10 －5 －5
∴m＝－1
∴m＝5
上一题 下一题
范例 7 平行平面
设平面 E 与 3x－2y＋4z－1＝0 平行，且过点（2 , 1 , －2），则平
面 E 的方程式为
。
解■ 3x－2y＋4z－1＝0 的法矢量为（3 , －2 , 4）
∵平面 E 与 3x－2y＋4z－1＝0 平行
将 C（0 , 0 , 4）代入平面方程式，得 4c＝d c＝d 4
∴平面方程式可写成 d x＋d y＋d z＝d 234
高中数学解析几何中的平面与直线的相交问题
高中数学解析几何中的平面与直线的相交问题解析几何是数学中重要的一部分，其中平面与直线的相交问题是解析几何中的基础知识。
本文将介绍平面与直线相交问题的相关概念、性质和求解方法。
一、平面与直线的基本概念在解析几何中，我们经常研究的对象是平面和直线。
平面可以用一个方程表示，如Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为实数且A、B不同时为0。
直线可以用参数方程表示，如x = x0 + m * t，y = y0 + n * t，z = z0 + p * t，其中x0、y0、z0、m、n、p为实数。
二、平面与直线的相对位置关系平面与直线的相对位置有三种情况：平面与直线相交、平面包含直线、平面与直线平行。
1. 平面与直线相交：平面与直线有一个公共点。
2. 平面包含直线：直线上的所有点都在平面上。
3. 平面与直线平行：平面与直线没有任何公共点。
三、平面与直线相交的性质1. 平面与直线相交有且仅有一个公共点。
2. 平面与直线相交的公共点可以通过联立平面方程和直线参数方程求解。
3. 平面与直线相交时，它们的交线是直线。
四、求解平面与直线相交的方法求解平面与直线相交的问题，可以通过联立平面方程和直线参数方程，并解得平面与直线的交点坐标。
具体步骤如下：1. 将直线的参数方程代入平面方程，得到关于参数t的方程。
2. 求解关于参数t的方程，得到参数t的值。
3. 将参数t的值代入直线的参数方程，求得平面与直线的交点坐标。
举例说明：设平面方程为2x - 3y + z - 5 = 0，直线参数方程为x = 1 + 2t，y = 3 - t，z = 4t。
将直线参数方程代入平面方程，得到关于参数t的方程2(1 + 2t) -3(3 - t) + (4t) - 5 = 0。
化简得到8t - 14 = 0，解得参数t = 7/4。
将参数t = 7/4代入直线参数方程，得到交点坐标x = 15/4，y = 13/4，z = 7/2。
高中数学方法总结立体几何的平面与直线解法
高中数学方法总结立体几何的平面与直线解法在高中数学中，立体几何是一个重要且复杂的内容。
其中，涉及到平面与直线的解法，在解题过程中需要掌握一定的方法和技巧。
本文将总结其中一些常用的解法，并提供相应的例题进行说明。
一、平面与直线的相交关系1. 平面与直线相交于一点当一个直线与一个平面相交于一点时，可以通过以下两种方法来确定该点的坐标。
方法一：设直线方程为L: ax + by + cz + d = 0，平面方程为P: Ax + By + Cz + D = 0。
将直线方程代入平面方程，即可求得该点的坐标。
例题：已知直线L: x - y + z - 1 = 0与平面P: 2x + y - z + 3 = 0相交于一点，求该点的坐标。
解答：将直线方程代入平面方程，得到：2(x - y + z - 1) + (y) - (z) + 3 = 02x - 2y + 2z - 2 + y - z + 3 = 02x - y + z + 1 = 0由上式可知，该点的坐标为(-1, 2, -3)。
方法二：利用平行向量的性质，将直线的方向向量与平面的法向量进行叉乘，求得交点的坐标。
例题：已知直线L过点A(2, 1, -1)，其方向向量为l(1, -1, 2)，平面P过点B(3, -1, 4)，其法向量为n(2, 3, 1)。
求直线L与平面P的交点坐标。
解答：设交点为M(x, y, z)。
由于直线L上的点M同时满足直线L的方程和平面P的方程，即l∙AM = 0 且n∙MB = 0首先，求l∙AM = 0：(1, -1, 2)∙(x - 2, y - 1, z - (-1)) = 0x - 2 - y + 1 + 2z + 2 = 0x - y + 2z + 1 = 0其次，求n∙MB = 0：(2, 3, 1)∙(x - 3, y - (-1), z - 4) = 02x - 6 + 3y + 3 + z - 4 = 02x + 3y + z - 7 = 0联立以上两式，得出方程组：x - y + 2z + 1 = 02x + 3y + z - 7 = 0解方程组可得该点的坐标为(2, -1, 0)。
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所以点 P 到平面 E2的距离为
ax0 by0 cz0 d2 d1 d2 d1 d2 。
a2 b2 c2
a2 b2 c2 a2 b2 c2
7 p.83
设平面 E 通过点 P 1 ,2 ,3，且平面 E 与平面 3x 2 y z 5 0
平行，试求平面 E 的方程式。
平面 3x 2 y z 5 0 的一个法矢量为3 ,2 ,1
因为平面 E 与平面 3x 2 y z 5 0 平行 所以它们的法矢量亦平行
平面方程式
平面方程式 两平面的夹角 点到平面的距离 两平行平面的距离
平面方程式 p.72~p.78
平面的法矢量： 坐标空间中，如果一个以非零矢量 n 为方向矢量的直线 L 与平面 E 垂直， 则称 n 是平面 E 的一个法矢量。此时 也称 n 与平面 E 垂直，记为 n E。如上图所示。 平面方程式：
(2) 设平面 PQR 与平面 CDHG 的夹角为 ，
试求 cos 。
又两平面夹角 = 或 180 故 cos = cos 或 cos = cos 180 = cos
即 cos = 2 或 2
77
6 , 2 , 3 0 , 6 , 0
=2
(6)2 (2)2 (3)2 02 62 02 7
8 p.84
如右图所示，已知长方体 ABCD－EFGH 的
长、宽、高分别为 AB 2、AD 6、AE 4， 令 P、Q、R 分别为GF、GH、GC 的中点，则：
= =3
12 22 22
9
两平行平面的距离 p.82~p.85
两平行平面的距离：
设 E1，E2 为坐标空间中的两平行平面，
且其方程式为 E1：ax by cz d1 0，
E2：ax by cz d2 0。
设 P x0 , y0 , z0 是平面 E1 上一点，则
设平面 E 的方程式为 ax by cz d 如右图所示，因为平面 E 通过
A3 ,0 ,0，B0 ,2 ,0，C 0 ,0 ,4
三点，所以 3a d，2b d，4c d 代回原方程式得 d x d y d z d
324 因为 a，b，c 不全为零，故 d 0
若矢量 n = a , b , c 为平面 E 的一个法矢量，且点
A x0 , y0 , z0 为平面 E 上的一个点，则平面 E 的方 程序为 a x x0 +b y y0 +c z z0 = 0。亦可化为 ax by cz d 0，其中 d = ax0 by0 cz0 。
n1 n2
5 p. 79
试求两平面 E1：x y 2z = 6与 E2：x 2 y z = 2的夹角。
E1 与 E2的法矢量分别为 n1= 1 , 1 , 2 与 n2= 1 , 2 , 1
令 n1 与 n2 的夹角为 ，则由
cos = n1 n2 =
(2) 因为平面 E1与平面 E2：2x y 2z 3 0 平行
可设平面 E1的方程式为 2x y 2z d 0
由平面 E1与E2的距离为 2 ，可得
d3 2
22 12 22
因此 d 3或 9
故平面 E1的方程式为 2x y 2z 3 0或2x y 2z 9 0
因为已知 n = 1 , 4 , 3为平面的法矢量
所以可设平面方程式为 x 4 y 3z d 0
又因为平面通过点 A2 , 3 ,1，所以2 4 3 3 1 d 0
得 d = 7，故所求平面方程式为 x 4 y 3z 7 0
2 p.75
先求
AB
AC
=
3 2
2 2
,
2 2
1 2
,
1 2
3 2
=
2
,
2,
4
如右图所示
因为 AB AC 是 AB 和 AC 的 公垂矢量
所以是平面 E 的一个法矢量
3 p.76
设平面 E 通过 A1 , 1 ,1， B2 ,2 ,3，C 3 ,1 ,3 三点，
上式消去 d 后得平面 E 的方程式 x y z 1 3 24
两平面的夹角 p.78~p.79
两平面的夹角： 设平面 E1、 E2 的法矢量分别为 n1、n2。若 n1 与 n2 的
夹角为 ，则平面 E1 与 E2 的夹角为 与 180 ，
其中 cos = n1 n2 。
E：ax by cz d 0 的距离为 ax0+by0+cz0+d 。 a2 b2 c2
6 p.82
试求点 P 1 , 1 , 3 到平面 E：x 2 y 2z 6 0的距离。
利用点到平面的距离公式，得所求距离为
1+2 1 +2 3 6 9
1 p.74
试求通过点 A2 ,3 ,1，且以 n = 1 , 4 ,3为法矢量的平面
方程式。
〔解法一〕 由已知，如右图所示，得平面方程式
1 x 2 4 y 3 3 z 1 0
整理得 x 4 y 3z 7 0 〔解法二〕
(2) 设平面 PQR 与平面 CDHG 的夹角为 ，
试求 cos 。
(2) PQ PR =6 , 2 , 3为平面 PQR 的一个法矢量 而 AD =0 , 6 , 0 为平面 CDHG 的一个法矢量
因为两平面的一个夹角即两法矢量的夹角
设这两个法矢量的夹角为 ，可得
cos =
设平面 E 通过 A1 , 1 ,1， B2 ,2 ,3，C 3 ,1 ,3 三点，
试求平面 E 的方程式。
AB 2 1 , 2 1 , 3 1 1 , 3 , 2
AC 3 1 , 1 1 , 3 1 2 , 2 , 2
11 1 2 2 1
=1
n1 n2 12 12 22 12 22 12 2
所以 120
故 E1，E2两平面的夹角为 120 与 180 120 = 60
点到平面的距离 p.80~p.82
点到平面的距离公式：
坐标空间中，点 P x0 , y0 , z0 到平面
(1) 试求两平行平面 E1：x 2 y 2z 9 = 0 与 E2：x 2 y 2z 6 = 0 的距离。
(1) 利用两平行平面的距离公式
得 E1 和 E2 的距离为
9 6
=5 12 22 22
7 p.83
(2) 已知平面 E1与平面E2：2x y 2z 3 0 平行，且平面E1 与 E2的距离为 2，试求平面 E1的方程式。
长、宽、高分别为 AB 2、AD 6、AE 4， 令 P、Q、R 分别为GF、GH、GC 的中点，则： (1) 试求点 A 到平面 PQR 的距离。
(1)因为 PQ PR =6 , 2 , 3 为平面 PQR 的一个法矢量
所以平面 PQR 的方程式为
6 x 2 2 y 3 3 z 4 0
8 p.84
如右图所示，已知长方体 ABCD－EFGH 的 长、宽、高分别为 AB 2、AD 6、AE 4， 令 P、Q、R 分别为GF、GH、GC 的中点，则： (1) 试求点 A 到平面 PQR 的距离。
(2) 设平面 PQR 与平面 CDHG 的夹角为 ，试求 cos 。
如右图所示，将长方体置于坐标
因此3 ,2 ,1也是平面 E 的一个法矢量
如右图所示
因此可设平面 E 的方程式为 3x 2 y+ z d 0
又因为平面 E 通过点 P 1 ,2 ,3
所以 3 1 2 2 1 3 d 0，得 d 10 因此平面 E 的方程式为 3x 2 y z 10 0
平面方程式 p.72~p.78
如果 A，B，C 三点不共线，则通过 此三点的平面恰有一个，如右图所示。
平面 E 的方程式： 因为 AB AC 是 AB 和 AC 的公垂向 量，所以 AB AC 与平面 E 垂直，就 是平面 E 的一个法矢量，如右图所示， 因此利用外积可以“制造”法矢量。
3 p.76
空间中，则 P、Q、R 三点坐标分
别为 P 2 , 3 , 4、Q 1 , 6 , 4、 R2 , 6 , 2 所以 PQ 1 , 3 , 0，PR 0 , 3 , 2 可求得 PQ PR =6 , 2 , 3
8 p.84
如右图所示，已知长方体 ABCD－EFGH 的
整理得 6x 2 y 3z 30 0
因此，点 A0 , 0 , 0到平面 PQR 的距离为
0 0 0 30 30 62 22 32 7
8 p.84
如右图所示，已知长方体 ABCD－EFGH 的
长、宽、高分别为 AB 2、AD 6、AE 4， 令 P、Q、R 分别为GF、GH、GC 的中点，则：
试求平面 E 的方程式。
又平面通过 A1 , 1 ,1
故可求得平面 E 的方程式为
2 x 1 2 y 1 4 z 1 0
整理得 x y 2z 2 0
4 p.77
若平面 E 分别交 x、y、 z 轴于 A3 ,0 ,0、 B0 ,2 ,0、 C 0 ,0 ,4 三点，试求平面 E 的方程式。