2019版高考数学一轮复习 第6章 不等式 6.3 基本不等式课后作业 文
2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第六章 第三节 基本不等式
课时规范练A 组 基础对点练1．若对任意x >0，≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )xx 2＋3x ＋1A ．a ≥ B ．a >1515C ．a <D ．a ≤1515解析：因为对任意x >0，≤a 恒成立，xx 2＋3x ＋1所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥max ，(xx 2＋3x ＋1)而对x ∈(0，＋∞)，＝≤＝，xx 2＋3x ＋11x ＋1x ＋312x ·1x ＋315当且仅当x ＝时等号成立，∴a ≥.1x 15答案：A2．(2018·厦门一中检测)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b << B ．a <<<bab a ＋b2ab a ＋b2C ．a <<b <D.<a <<bab a ＋b2ab a ＋b2解析：因为0<a <b ，所以a －＝(－)<0，故a <；b －＝>0，故b >ab a a b ab a ＋b2b －a2；由基本不等式知>，综上所述，a <<<b ，故选B.a ＋b2a ＋b2ab ab a ＋b2答案：B3．(2018·山东名校调研)若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( )A ．2 B ．3C ．4D ．5解析：由3x ＋y ＝5xy ，得＝＋＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·(＋)＝(4＋9＋＋3x ＋yxy 3y 1x 153y 1x 153yx )≥(4＋9＋2)＝5，当且仅当＝，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小12xy 15363yx 12xy 值为5.答案：D4．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2 B.＋>ab 1a 1b 1abC.＋≥2D ．a 2＋b 2>2abb a ab 解析：因为ab >0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当a ＝b 时取等号．ba ab b a ab b a ·a b 答案：C5．下列不等式一定成立的是( )A ． lg>lg x (x >0)(x 2＋14)B ．sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z)1sin x C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R)D.>1(x ∈R)1x 2＋1解析：对选项A ，当x >0时，x 2＋－x ＝2≥0，∴lg ≥lg x ，故不成立；对选项14(x －12)(x 2＋14)B ，当sinx <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<≤1，故不成立．1x 2＋1答案：C6．若实数a ，b 满足＋＝，则ab 的最小值为( )1a 2b ab A. B ．22C ．2D ．42解析：法一：由已知得＋＝＝，且a >0，b >0，1a 2b b ＋2aab ab ∴ab ＝b ＋2a ≥2，∴ab ≥2.ab 2ab 2法二：由题设易知a >0，b >0，∴＝＋≥2，即ab ≥2，选C.ab 1a 2b 2ab 2答案：C7．(2018·天津模拟)若log 4(3a ＋4b )＝log 2，则a ＋b 的最小值是( )abA ．6＋2B ．7＋233C ．6＋4D ．7＋433解析：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且Error!ab 即a >0，b >0，所以＋＝1(a >0，b >0)，a ＋b ＝(a ＋b )·(＋)＝7＋＋≥7＋2 4a 3b 4a 3b 4ba 3ab ＝7＋4，当且仅当＝时取等号，故选D.4b a ·3a b 34b a 3a b 答案：D8．(2018·宁夏银川一中检测)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2) B ．[－2，＋∞)C ．[－2,2]D ．[0，＋∞)解析：当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，此时a ∈R ，当x ≠0时，则有a ≥＝－(|x |＋)，设f (x )＝－(|x |＋)，则a ≥f (x )max ，由基本不等式得|x |＋≥2(当且－1－|x |2|x |1|x |1|x |1|x |仅当|x |＝1时取等号)，则f (x )max ＝－2，故a ≥－2.故选B.答案：B9．当x >0时，函数f (x )＝有( )2xx 2＋1A ．最小值1 B ．最大值1C ．最小值2D ．最大值2解析：f (x )＝≤＝1.当且仅当x ＝，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.2x ＋1x 22x ·1x 1x 答案：B10．(2018·南昌调研)已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2 B ．a 2＋b 2>2abab C.＋≥2D ．|＋|≥2a b b a a b ba 解析：对于A ，当a ，b 为负数时，a ＋b ≥2不成立；ab 对于B ，当a ＝b 时，a 2＋b 2>2ab 不成立；对于C ，当a ，b 异号时，＋≥2不成立；ba ab 对于D ，因为，同号，所以|＋|＝||＋||≥2＝2(当且仅当|a |＝|b |时取等号)，即b a ab b a ab ba ab |b a |·|a b ||＋|≥2恒成立．b a ab 答案：D11．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f ()，q ＝f ()，r ＝(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确ab a ＋b212的是( )A ．q ＝r <p B ．p ＝r <q C ．q ＝r >pD ．p ＝r >q解析：∵0<a <b ，∴>，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f ()<f ()，即a ＋b2ab ab a ＋b2q >p ，∴r ＝(f (a )＋f (b ))＝(ln a ＋ln b )＝ln ＝f ()＝p ，∴p ＝r <q .故选B.1212ab ab 答案：B12．(2018·河南百校联盟模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则＋的最小值为1a ＋11b ＋3__________．解析：∵a ＋b ＝4，∴a ＋1＋b ＋3＝8，∴＋1a ＋11b ＋3＝[(a ＋1)＋(b ＋3)]18(1a ＋1＋1b ＋3)＝18(2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3)≥(2＋2)＝，1812当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，∴＋的最小值为.1a ＋11b ＋312答案：1213．已知函数f (x )＝4x ＋(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝__________.ax 解析：f (x )＝4x ＋≥2＝4，当且仅当4x ＝，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知ax 4x ·ax a ax a ＝4×32＝36.答案：3614．(2018·邯郸质检)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝()y ，则＋的最小值为________．121x 4y 解析：2x －3＝()y ＝2－y ，∴x －3＝－y ，∴x ＋y ＝3.又x ，y ∈(0，＋∞)，所以＋＝(＋)121x 4y 131x 4y (x ＋y )＝(5＋＋)≥(5＋2 )＝3(当且仅当＝，即y ＝2x 时取等号)．13y x 4xy 13y x ·4x y y x 4x y 答案：3B 组 能力提升练1．若正数a ，b 满足：＋＝1，则＋的最小值为( )1a 1b 1a －19b －1A ．16 B ．9C ．6D ．1解析：∵正数a ，b 满足＋＝1，1a 1b ∴a ＋b ＝ab ，＝1－>0，＝1－>0，1a 1b 1b 1a ∴b >1，a >1，则＋≥21a －19b －19(a －1)(b －1)＝2＝69ab －(a ＋b )＋1，(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)∴＋的最小值为6，故选C.1a －19b －1答案：C2．若存在x 0>1，使不等式(x 0＋1)ln x 0<a (x 0－1)成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：存在x 0>1，使不等式(x 0＋1)ln x 0<a (x 0－1)成立，即存在x 0>1，使不等式lnx 0－<0成立．a (x 0－1)x 0＋1令g (x )＝ln x －(x >1)，则g (1)＝0，a (x －1)x ＋1g ′(x )＝－＝.1x 2a(x ＋1)2x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2当a ≤2时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥0(x >1)，从而g ′(x )≥0，得g (x )在(1，＋∞)上为增函数，故g (x )>g (1)＝0，不合题意；当a >2时，令g ′(x )＝0，得x 1＝a －1－，(a －1)2－1x 2＝a －1＋，(a －1)2－1由x 2>1和x 1x 2＝1得0<x 1<1，易知当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)上单调递减，此时g (x )<g (1)＝0，即ln x －<0，满足存在x 0>1，使不等式(x 0＋1)ln x <a (x 0－2)成立．a (x －1)x ＋1综上，a 的取值范围是(2，＋∞)．答案：B3．(2018·保定调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝，a ＋b ＝λ，若△ABC 面积的最大值为9，则λ的值为( )π33A ．8 B ．12C ．16D ．21解析：S △ABC ＝ab sin C ＝ab ≤·()2＝λ2＝9，当且仅当a ＝b 时取“＝”，解得123434a ＋b23163λ＝12.答案：B4．已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则＋的最小值为( )4x ＋21y ＋1A. B ．21315C.D ．394解析：由题意知，x ＋2>0，y ＋1>0，(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则＋＝4x ＋21y ＋114≥＝，当且仅当x ＝，(5＋4(y ＋1)x ＋2＋x ＋2y ＋1)14[5＋24(y ＋1)x ＋2·x ＋2y ＋1]9423y ＝时，＋取最小值.134x ＋21y ＋194答案：C5.(－6≤a ≤3)的最大值为( )(3－a )(a ＋6)A ．9 B.92C ．3D.322解析：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，≤(3－a )(a ＋6)＝，当且仅当a ＝－时等号成立．(3－a )＋(a ＋6)29232答案：B6．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2] B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：∵2x ＋2y ≥2＝2(当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴≤，∴2x ＋y ≤2x ·2y 2x ＋y 2x ＋y 12，x ＋y ≤－2，故选D.14答案：D7．若两个正实数x ，y 满足＋＝1，且不等式x ＋<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围1x 4y y4是( )A ．(－1,4) B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：∵不等式x ＋<m 2－3m 有解，∴min <m2－3m ，∵x >0，y >0，且y4(x ＋y4)＋＝1，∴x ＋＝＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即1x 4y y4(x ＋y 4)(1x ＋4y )4x y y4x 4x y ·y 4x 4x y y 4x x ＝2，y ＝8时取等号，∴min ＝4，∴m2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，故实数m 的取值(x ＋y4)范围是 (－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案：B8．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当取得最大值时，＋－的最大值为( )xyz 2x 1y 2z A ．0 B ．1C.D ．394解析：＝＝≤＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时xyz xyx 2－3xy ＋4y 21xy ＋4y x －314－3z ＝2y 2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大2x 1y 2z 1y 22y (1y －1)值为1.答案：B9．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则的最小值是( )Sn ＋8an A.B.9272C ．2＋D ．2－212212解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝，n (1＋n )2∴＝Sn ＋8an n (1＋n )2＋8n ＝12(n ＋16n＋1)≥12(2n ·16n＋1)＝，92当且仅当n ＝4时取等号．∴的最小值是，故选A.Sn ＋8an 92答案：A10．(2018·河北五校联考)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则＋的最小值为( )2m 1n A ．2 B ．42C.D.5292解析：由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的解析式知，当x ＝－2时，y ＝－1，所以点A 的坐标为(－2，－1)，又点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，所以＋＝＋＝2＋＋＋≥＋2＝，当且仅当m ＝n ＝时等2m 1n 2m ＋nm 2m ＋n 2n n m m n 12529223号成立．所以＋的最小值为，故选D.2m 1n 92答案：D11．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．解析：设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝(k 2≠0)，k 2x ∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为万元，(5x ＋20x )∵5x ＋≥2＝20，当且仅当5x ＝，20x 5x ×20x 20x 即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．答案：2 2012．(2018·青岛模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为__________．解析：因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 22－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即(x ＋2y2)x ＝2，y ＝1时等号成立，所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1.答案：113．设a >0，b >0.若是3a 与32b 的等比中项，则＋的最小值为__________．32a 1b 解析：因是3a 与32b 的等比中项，3则有3a ×32b ＝()2，即3a ＋2b ＝3，3得a ＋2b ＝1，则＋＝(a ＋2b )2a 1b (2a ＋1b )＝4＋≥4＋2(4ba＋ab )4＝8，(当且仅当a ＝2b ＝12时取等)即＋的最小值为8.2a 1b 答案：814．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．BE → BC → DF → 19λDC → AE→ AF → 解析：以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (2,0)，C (，)，D (，)．又＝λ，＝，则E (2－λ， λ)，F (＋，)，λ>0，32321232BE → BC → DF → 19λDC→ 12321219λ32所以·＝(2－λ)·(＋)＋λ＝＋＋λ≥＋2＝，λ>0，当且仅当AE → AF → 121219λ34171829λ12171829λ·12λ2918＝λ，即λ＝时取等号，故·的最小值为.29λ1223AE → AF → 2918答案：2918。
2019版高考数学一轮复习训练：基础与考点过关第六章不等式
2 ③ 当 a＜ 0 时，原不等式化为 x－ a (x ＋1) ≤０.
2
2
当 a＞－ 1，即 a＜－ 2 时，解得－ 1≤x≤ a；
2 当 a＝－ 1，即 a＝－ 2 时，解得 x＝－ 1；
2
2
当 a＜－ 1，即 a＞－ 2 时，解得 a≤ x≤－ 1.
综上所述，当 a＝ 0 时，不等式的解集为 {x|x ≤－ 1} ；当 a＞ 0 时，不等式的解集为
1 答案： x|x< － 2或x>1
解析：∵
2x
2－ x － 1>0，∴
(2x
＋ 1)(x
－1)>0 ，∴ x>1
1 或 x<－ .
2
2
3. ( 必修 5P77 练习 3(1) 改编 ) 不等式－ x － 2x＋ 3>0 的解集为 __________ ．
答案： {x| － 3<x<1}
2
解析：原不等式可化为 x ＋ 2x－3<0，得－ 3<x<1. 4. ( 必修 5P80 习题 8(2) 改编 ) 已知不等式 x2－ 2x＋ k 2－ 3>0 对一切实数 x 恒成立，则实数
ax2＋ bx ＋ c ＝
0(a ≠0) ．若将等号“＝”改为不等号“＞”或“＜” ，便得到一元二次不等式 ax2＋ bx＋ c＞
0( 或＜ 0) ．因此，可以通过 y ＝ax2＋ bx＋c(a ≠0) 图象与 x 轴的交点求得一元二次不等式的
解，具体如表所示：
2. 用一个流程图来描述求解一元二次不等式
k 的取值范围是 ________．
答案： k>2 或 k<－ 2
2
解析：由 Δ ＝ 4－ 4(k － 3)<0 ，解得 k>2 或 k<－ 2.
第六章 第三节 基本不等式
⑤不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab有相同的成立条件．
A．0
B．1
C．2
D．3
8
必备知识·自主梳理
题型突破·重点探究
课时作业·巩固提升
一轮 ·数学（理）
解析：①当 x＜0 时，y≤－2，故①错误；②cos x 不可能为 2，所以等号 不可能成立，故②错误；③当 x＜0 且 y＜0 时，不等式xy＋yx≥2 也成立， 故③错误；④2 a不是定值，故④错误；⑤a2＋b2≥2ab 对于 a，b∈R 都 成立，而a＋2 b≥ ab只有当 a≥0，b≥0 才成立，故⑤错误．
3
必备知识·自主梳理
题型突破·重点探究
课时作业·巩固提升
一轮 ·数学（理）
2．利用基本不等式求最值 已知 x＞0，y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当___x_＝__y___时，x＋y 有最____小_____ 值是___2__p____(简记：积定和最小)． (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当__x_＝__y____时，xy 有最____大_____ 值是s42(简记：和定积最大)．
14
必备知识·自主梳理
题型突破·重点探究
课时作业·巩固提升
(2)y＝xx2－＋12＝（x2－2x＋1）x－＋1（2x－2）＋3
＝（x－1）2＋x－2（1 x－1）＋3
必备知识·自主梳理
题型突破·重点探究
课时作业·巩固提升
一轮 ·数学（理）
3．(2021·济宁调研)若正数 x，y 满足1y＋3x＝1，则 x＋3y 的最小值为( C )
A．24
B．18
C．12
D．6
解析：由1y＋3x＝1 得 x＋3y＝(x＋3y)1y＋3x＝xy＋9xy＋6≥2 xy·9xy＋6＝12，
近年高考数学一轮复习第6章不等式6.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课后作业理(2021
2019版高考数学一轮复习第6章不等式6.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课后作业理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第6章不等式6.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课后作业理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019版高考数学一轮复习第6章不等式6.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课后作业理的全部内容。
6。
2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题[基础送分提速狂刷练］一、选择题1．（2018·唐山模拟）已知点(－3，－1）和点（4，－6)在直线3x－2y －a＝0的两侧，则a的取值范围为（）A．（－24,7)B．（－7,24）C．（－∞，－7)∪(24，＋∞)D．（－∞,－24)∪（7，＋∞）答案B解析根据题意知（－9＋2－a)·（12＋12－a)〈0.即(a＋7）(a－24)〈0，解得－7<a<24。
故选B.2．设关于x，y的不等式组错误!表示的平面区域内存在点P(x0，y0），满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是( )A.错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!答案C解析图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y＝错误!x－1上的点，只需要可行域的边界点(－m，m）在y＝错误!x－1下方，也就是m<－错误!m－1，即m<－错误!.故选C.3．（2017·山东日照一模）已知变量x，y满足错误!则z＝(错误!)2x＋y的最大值为（）A。
2 B．2错误!C．2 D．4答案D解析作出满足不等式组的平面区域，如图所示,令m＝2x＋y，则当m取得最大值时，z＝（2)2x＋y取得最大值．由图知直线m＝2x＋y经过点A（1,2)时，m取得最大值，所以z max＝（错误!)2×1＋2＝4,故选D。
高考数学一轮复习课件6.3基本不等式
•1．“1”的代换是解决问题的关键，代换变 形后能使用基本不等式是代换的前提，不能 盲目变形．
•2．利用基本不等式证明不等式，关键是所 证不等式必须是有“和”式或“积”式，通 过将“和”式转化为“积”式或将“积”式 转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时， 也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应 注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
当且仅当
3y x
＝
4x y
且x＋y＝1，即x＝－3＋2
3 ，y＝4－
2 3时等号成立，
∴3x＋4y的最小值是7＋4 3. (2)由x2＋y2＋xy＝1，得1＝(x＋y)2－xy， ∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋（x＋4 y）2，
解得－2 3 3≤x＋y≤2 3 3，
∴x＋y的最大值为23
3 .
【答案】
b a
的最小值为( )
A．16 2
B．8 2
C．83 4
D．43 4
【解析】 由m＝|log2x|，得xA＝(12)m，xB＝2m. 同理，xC＝(12)2m8＋1，xD＝22m8＋1.
∴a＝|xA－xC|＝（12）m－（12）2m8＋1， 8
b＝|xB－xD|＝|2m－22m＋1|.
∴ba＝2－2mm－－22－2m28＋m8＋1 1＝
当且仅当5x＝2－5x，即x＝15时等号成立．
∴y＝2x－5x2的最大值ymax＝15.
(2)由x＞0，y＞0，且x＋3y＝5xy，得53x＋51y＝1. ∴3x＋4y＝(3x＋4y)(53x＋51y) ＝153＋35xy＋152xy≥153＋2 35xy·152xy＝5， 当且仅当x＝2y＝1时，等号成立． ∴3x＋4y的最小值为5.
元的函数；
(2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的
2019版高考数学一轮复习第6章不等式第4讲基本不等式课件【优质ppt版本】
触类旁通 利用基本不等式求最值问题的解题策略
(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提： “一正”“二定”“三相等”．
(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特 征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本 (均值)不等式．
【变式训练 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大
值时 x 的值为( )
1132 A.3 B.2 C.4 D.3
解析
∵
0<x<1
，
∴
x·(3
－
3x)
＝
1 3
·3x·(3
－
3x)≤
1 3
3x＋23－3x2＝34，当 3x＝3－3x，即 x＝12时，x(3－3x)取得 最大值34.选 C.
3．其中a＋2 b叫做正数 a，b 的 做正数 a，b 的 几何平均数 ．
算术平均数
， ab叫
考点 3 利用基本不等式求最大、最小值问题 1．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)， 那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 P.(简记：“积定 和最小”) 2．如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)， 那么当 x＝y 时，xy 有最大值S42.(简记：“和定积最大”)
触类旁通 求条件最值注意的问题
(1)要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，并能 灵活进行转化；
(2)常用的技巧有：“1”的代换，配凑法，放缩法，换元 法．
【变式训练 2】 (1)[2018·珠海模拟]已知 x>0，y>0，x ＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为( )
高考数学一轮复习 第六章 第3课时基本不等式及其应用课时作业 理 新人教版-新人教版高三全册数学试题
第3课时基本不等式及其应用1.几个重要的不等式.考纲索引2.基本不等式成立的条件.1.了解基本不等式的证明过程.课标要求2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理1.基本不等式:(1)基本不等式成立的条件:.(2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.2.几个重要的不等式3.算术平均数与几何平均数设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为.4.利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当时,x+y有最值是.(简记:积定和最小)(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当时,xy有最值是.(简记:和定积最大)基础自测1.(教材改编)函数的值域为().A.(-∞,-2]∪[2,+∞)B.(0,+∞)C.[2,+∞)D.(2,+∞]2.下列不等式:.其中正确的个数是().A.0B.1C.2D.33.若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为().A.B.1C.2D.44.(教材改编)若x>0,则的最小值为.5.(教材精选)若x>1,则的最小值为.指点迷津◆公式的两种应用◆三个注意(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.(3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.考点透析考向一利用基本不等式求最值(2)设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是.【审题视点】(1)用三点共线,寻求a,b的等式关系,用基本不等式求最值.(2)求(2x+y)2满足的取值,寻求xy与2x+y的不等关系.变式训练考向二基本不等式的实际应用例2(2013·某某潍坊高三模拟)某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162m2的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/m,中间两道隔墙建造单价为248元/m,池底建造单价为80元/m2,水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16m,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.【审题视点】设污水处理池宽为x m,则长为m,然后建立总造价与x的函数关系,再利用基本不等式或单调性求最值.【方法总结】(1)问题的背景是人们关系的社会热点问题,如“物价、销售、税收、原材料”等,题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息, 建立数学模型,转化为数学问题求解.(2)当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根据变最的X围用对应函数的单调性求解.变式训练2.(2013·某某某某二模)如图,一个铝合金窗分为上、下两栏,四周框架和中间隔档的材料为铝合金,宽均为6cm,上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2,此铝合金窗占用的墙面面积为28800cm2,设该铝合金窗的宽和高分别为a cm,b cm,铝合金窗的透光部分的面积为S cm2.(第2题)(1)试用a,b表示S;(2)若要使S最大,则铝合金窗的宽和高分别为多少?经典考题真题体验1.(2014·某某)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是().A.80元B.120元C.160元D.240元(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为辆/小时;(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/小时.参考答案与解析知识梳理基础自测1.C2.B3.A4.5.5【感悟考点透析】变式训练经典考题真题体验。
高考数学(文)一轮复习文档：第六章 不等式 第3讲基本不等式 Word版含答案
第3讲 基本不等式, )1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24．(简记：和定积最大)1．辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可； (2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致． 2．活用几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab≥2(a ，b 同号且都不为0)；ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．1.教材习题改编将正数m 分成两个正数a 与b 之和，则ab 的范围为( ) A ．(0，m 22]B ．(0，m 24]C ．[m 22，＋∞)D ．[m 24，＋∞)B a ＋b ＝m ≥2ab ， 所以ab ≤m 24，故选B.2.教材习题改编函数f (x )＝x ＋1x的值域为( )A ．B ．∪ 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2.当x <0时，－x >0. －x ＋1－x≥2（－x ）·1（－x ）＝2.所以x ＋1x≤－2.所以f (x )＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪ 设折成的矩形的两边分别为x ，y (x >0，y >0)．则x ＋y ＝a2.因为x ＋y ≥2xy ， 所以xy ≤14(x ＋y )2＝a 216，即S 矩形≤a 216. 当且仅当x ＝y ＝a 4时，(S 矩形)max ＝a 216.故选D.4．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1， 即x ＝3时等号成立． 55．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为______．因为xy ＝1，所以y ＝1x，所以x 2＋2y 2＝x 2＋2x2≥2x 2·2x2＝2 2.即x 2＋2y 2的最小值为2 2. 2 2利用基本不等式求最值(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题． 高考对利用基本不等式求最值的考查主要有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围．(1)(2017·安徽合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10(2)(2017·安徽安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16【解析】 (1)因为a ，b 都是正数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号．故选C.(2)由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a＝2b，即a ＝22，b ＝2时等号成立．故选B. 【答案】 (1)C (2)B角度一 知和求积的最值1．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4C 由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”， 所以ab 的最小值为2 2.角度二 知积求和的最值 2．已知函数y ＝ax ＋3－2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n＝－1上，且m ，n >0，则3m ＋n 的最小值为________．易知函数y ＝ax ＋3－2(a >0，a ≠1)恒过定点(－3，－1)，所以A (－3，－1)．又因为点A 在直线x m ＋y n＝－1上， 所以3m ＋1n＝1.所以3m ＋n ＝(3m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n ＝10＋3m n ＋3n m ≥10＋23m n ·3nm＝16，当且仅当m ＝n 时，等号成立， 所以3m ＋n 的最小值为16. 16角度三 求参数的值或范围3．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )·⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋a y的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 4利用基本不等式解决实际问题小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋100x－38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域． (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2., )——忽视最值取得的条件致误(1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．【解析】 (1)因为x >0，y >0，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝3＋y x＋2xy≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，所以当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)因为x <0，所以y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2（－2x ）·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 【答案】 (1)3＋2 2 (2)1＋2 6(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件，如本例(2)易忽视条件x <0而误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．当3＜x ＜12时，函数y ＝（x －3）（12－x ）x的最大值为________．y ＝（x －3）（12－x ）x＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋36x ＋15≤－2x ·36x＋15＝3.当且仅当x ＝36x， 即x ＝6时，y max ＝3. 3, )1．(2017·海口调研)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( )A ．1B ．14C ．12D ．22B 因为a ，b ∈(0，＋∞)， 所以1＝a ＋b ≥2ab ， 所以ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．2．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4C 因为x <0，所以f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．3．(2017·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4A 因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy ≥1；又1xy≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1.4．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．8C y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5， 因为x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0. 所以由基本不等式，得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2（x ＋1）·9x ＋1－5＝1， 当且仅当x ＋1＝9x ＋1， 即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号， 所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.5．已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8C 由已知得x ＋3y ＝9－xy ，又因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时，即x ＝3，y ＝1时取等号，(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6即x ＋3y ≥6.6．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件B 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x8＝20， 当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号．7．(2017·郑州检测)已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________．由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋23b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83.当且仅当a ＝2b ＝32时取等号．838．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．f (x )＝4x ＋ax≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a＝4×32＝36.369．正实数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则3x ＋9y的最小值是______． 利用基本不等式可得3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x ＋2y.因为x ＋2y ＝2， 所以3x ＋9y ≥232＝6，当且仅当3x ＝32y，即x ＝1，y ＝12时取等号．610．不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是________．根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则x 2＋x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a min，因为a b ＋b a ≥2a b ·b a＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．(－2，1)11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． (1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy.得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1， 则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8y x＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.12．(2017·东北育才学校模拟)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( ) A ．4B ．92C ．8D ．9 D 因为AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)，若A ，B ，C 三点共线，则有AB →∥AC →，所以(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，所以2a ＋b ＝1，又a >0，b >0，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b ) ＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ·2a b＝9， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立． 13．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)1x ＋1y的最小值． (1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .因为2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2， 此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)因为x >0，y >0，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥ 120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2x y时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103. 所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 14．(2017·常州期末调研)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值． (1)由题设，得S ＝(x －8)⎝⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8，450)． (2)因为8<x <450， 所以2x ＋7 200x ≥22x ×7 200x＝240. 当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.。
2019版高考数学一轮复习 第6章 不等式 6.3 基本不等式教案 文
证明 (1)由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤13.
(2)因为ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c， 故ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c，所以ab2＋bc2＋ca2≥1.
(2)(必修 A5P100A 组 T2)一段长为 30 m 的篱笆围成一个 一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为
15 ____1_5___m，宽为____2____m 时菜园面积最大．
解析 设矩形的长为 x m，宽为 y m．则 x＋2y＝30，所 以 S＝xy＝12x·(2y)≤12x＋22y2＝2225，当且仅当 x＝2y，即 x ＝15，y＝125时取等号．
当 x＞1 时，lg x＞0， f(x)＝lg x＋lg1x≥2(当且仅当 x＝10 时等号成立)． ∴f(x)的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
角度 3 寻求定值应用(二定问题)
典例
求 f(x)＝4x－2＋4x－1 5x<54的最大值．
本题采用凑配法，先化为 4x－5，然后 调整符号变为 5－4x(因为 4x－5<0)．
解析 ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，即 m＋n＝1，又 m， n 为正实数，∴m1 ＋2n＝m1 ＋2n(m＋n)＝mn ＋2nm＋3≥2 mn ·2nm
＋3＝3＋2 2，当且仅当mn ＝2nm， m＋n＝1，
即mn＝＝2－2－21， 时，取等号.
(全国通用版)高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 课时分层作业 三十六 6.3 基本不等式
课时分层作业三十六基本不等式一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知a,b∈R,且ab≠0,则下列结论恒成立的是( )A.a+b≥2B.+≥2C.|+|≥2D.a2+b2>2ab【解析】选C.因为和同号,所以|+|=||+||≥2.2.(2018·某某模拟)下列命题中正确的是( )A.函数y=x+的最小值为2B.函数y=的最小值为2C.函数y=2-3x-(x>0)的最小值为2-4D.函数y=2-3x-(x>0)的最大值为2-4【解析】选D.y=x+的定义域为{x|x≠0},当x>0时,有最小值2,当x<0时,有最大值-2,故A项不正确; y==+≥2,因为≥,所以取不到“=”,故B项不正确;因为x>0时,3x+≥2·=4,当且仅当3x=,即x=时取“=”,所以y=2-有最大值2-4,故C项不正确,D项正确.3.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是( )A. B.4C. D.5【解析】选C.依题意,得+=·(a+b)=≥=,当且仅当即a=,b=时取等号,即+的最小值是.【变式备选】已知x>0,y>0,且+=1,则x+y的最小值是________.【解析】因为x>0,y>0,所以x+y=(x+y)=3++≥3+2(当且仅当y=x时取等号),所以当x=+1,y=2+时,(x+y)min=3+2. 答案:3+24.(2018·某某模拟)已知x,y为正实数,则+的最小值为( )A. B. C. D.3【解析】选D.由于x,y为正实数,则+=+-1≥2-1=3,当且仅当=时,等号成立,则其最小值为3.【变式备选】设x,y,z均为正数,满足x-2y+3z=0,则的最小值是________.【解析】因为x-2y+3z=0,所以y=,所以=≥=3.当且仅当x=3z时取“=”.答案:35.已知x>0,y>0,且4xy-x-2y=4,则xy的最小值为 ( )A. B.2C. D.2【解析】选D.因为x>0,y>0,x+2y≥2,所以4xy-(x+2y)≤4xy-2,所以4≤4xy-2,即(-2)(+1)≥0,所以≥2,所以xy≥2.6.(2018·某某模拟)设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0)(a>0,b>0,O为坐标原点),若A,B,C三点共线,则+的最小值是( )A.4B.C.8D.9【解析】选D.因为=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2),若A,B,C三点共线,则有∥,所以(a-1)×2-1×(-b-1)=0,所以2a+b=1,又a>0,b>0,所以+=·(2a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当即a=b=时等号成立.7.(2017·某某高考)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是 ( )A.a+<<log2B.<log2<a+C.a+<log2<D.log2<a+<【解析】选B.方法一:因为a>b>0,且ab=1,所以a>1,0<b<1,所以<1,log2(a+b)>log22=1,由函数性质可知2x>x,所以>a+>a+b,上式两边同时取以2为底的对数可得a+>log2(a+b).方法二:因为a>b>0,且ab=1,所以a>1>b>0,令a=2,b=,则a+=2+=4,==.log2(a+b)=log2(2+)=log2>1.所以a+>log2(a+b)>.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2017·某某高考)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为________.【解析】≥=4ab+≥4 ,当且仅当a2=2b2且4ab=时取等号.答案:49.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品________件.【解析】设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=+≥2=20.当且仅当=(x>0),即x=80时“=”成立.答案:8010.(2018·某某模拟)设等差数列{a n}的公差是d,其前n项和是S n,若a1=d=1,则的最小值是________.【解析】a n=a1+(n-1)d=n,S n=,所以==≥=,当且仅当n=4时取等号.所以的最小值是.答案:1.(5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=,a+b=12,则△ABC面积的最大值为( )A.8B.9C.16D.21【解析】选B.由三角形的面积公式:S=absin C=ab≤×=9,当且仅当a=b=6时等号成立.则△ABC面积的最大值为9.2.(5分)为保障春节期间的食品安全,某市质量监督局对超市进行食品检查,如图所示是某食品中微量元素含量数据的茎叶图,已知该组数据的平均数为11.5,则+的最小值为( )A.9B.C.8D.4【解析】选B.因为该组数据的平均数为11.5,所以=11.5,即a+b=2,所以+=·=+≥+=,当且仅当=,即a=2b=时等号成立,所以+的最小值为.【变式备选】已知m>1,x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为3,则+ ( )A.有最小值B.有最大值C.有最小值D.有最大值【解析】选A.直线mx-y+5-m=0过x-y+4=0上的定点A(1,5).画出表示的可行域,如图,由图知z=ax+by过A(1,5)时,最大值为a+5b=3,所以+=(a+5b)=(11++)≥.3.(5分)(2018·某某模拟)已知a,b为正实数,直线x+y+a=0与圆(x-b)2+(y-1)2=2相切,则的取值X 围是________.【解析】因为x+y+a=0与圆(x-b)2+(y-1)2=2相切,所以d==,所以a+b+1=2,即a+b=1,所以===(b+1)+-4≥2-4=0.又因为a,b为正实数,所以的取值X围是(0,+∞).答案:(0,+∞)4.(12分)已知lg(3x)+lgy=lg(x+y+1).(1)求xy的最小值.(2)求x+y的最小值.【解析】由lg(3x)+lg y=lg(x+y+1),得(1)因为x>0,y>0,所以3xy=x+y+1≥2+1.所以3xy-2-1≥0,即3()2-2-1≥0.所以(3+1)(-1)≥0.所以≥1.所以xy≥1.当且仅当x=y=1时,等号成立.所以xy的最小值为1.(2)因为x>0,y>0,所以x+y+1=3xy≤3·.所以3(x+y)2-4(x+y)-4≥0.所以[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0.所以x+y≥2.当且仅当x=y=1时取等号.所以x+y的最小值为2.5.(13分)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程.(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.【解析】(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0.由实际意义和题设条件知x>0,k>0,故x==≤=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)若炮弹可以击中目标,则存在k>0,a>0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立, 故关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根,所以有即a≤6.所以当a不超过6千米时,炮弹可以击中目标.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6．3 基本不等式[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．若x ＞0，则x ＋2x的最小值是( )A ．2B ．4 C. 2 D ．2 2 答案 D解析 由基本不等式可得x ＋2x≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2x即x ＝2时取等号，故最小值是2 2.故选D.2．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2x －1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3.故选C. 3．(2018·河南平顶山一模)若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a ＞15C ．a ＜15D ．a ≤15答案 A解析 因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max，而对x ∈(0，＋∞)，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15， 当且仅当x ＝1时等号成立，∴a ≥15.故选A.4．在方程|x |＋|y |＝1表示的曲线所围成的区域内(包括边界)任取一点P (x ，y )，则z ＝xy 的最大值为 ( )A.12B.13C.14D.18 答案 C解析 根据题意如图所示，要保证z 最大，则P 应落在第一或第三象限内，不妨设P 点落在线段AB 上，故z ＝xy ＝x (1－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14，当且仅当x ＝12时，等号成立，故z 的最大值为14.故选C.5．(2018·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋ax＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12B.32 C ．1 D ．2 答案 C解析 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋a x＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1.故选C.6．(2017·浙江考试院抽测)若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B.223 C.33 D.233答案 B解析 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)．故选B. 7．已知实数a >0，b >0，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝⎛⎭⎪⎫a x ＋by>m ，对任意的正实数x ，y恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)答案 D解析 因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2≥2ab＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．故选D. 8．(2017·忻州一中联考)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12答案 A解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n n ＋2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92.故选A. 9．(2018·东北育才学校模拟)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4 B.92 C ．8 D ．9答案 D解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)， 若A ，B ，C 三点共线，则有AB →∥AC →，∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1， 又a >0，b >0，∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b≥5＋22b a·2ab＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．故选D.10．(2018·河南洛阳统考)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A.6＋2B.6－2 C ．22＋2 D ．22－2 答案 B解析 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －12⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1， 且4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a－1，则t ≥0. 当t ＞0时，b 2a 2＋2c2≤4t2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当t ＝62时等号成立，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2.故选B.二、填空题11．(2014·福建高考)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案 160解析 设底面的相邻两边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则V ＝xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160.(当且仅当x ＝y 时取等号)故该容器的最低总造价是160元．12．(2018·河南百校联盟模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________．答案 12解析 ∵a ＋b ＝4，∴a ＋1＋b ＋3＝8， ∴1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3 ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12， 当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号， ∴1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.13．(2018·泰安模拟)正实数a 、b 满足2a ＋2b ＋12a ＋b＝6，则4a ＋5b 的最小值是________． 答案 32解析 正实数a 、b 满足2a ＋2b ＋12a ＋b＝6， 令a ＋2b ＝m,2a ＋b ＝n ，则正数m ，n 满足2m ＋1n＝6，则4a ＋5b ＝2m ＋n ＝16(2m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋2n m ＋2m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22n m ·2m n ＝32， 当且仅当2n m ＝2m n 即m ＝n ＝12时取等号，此时a ＝b ＝16，故4a ＋5b 的最小值为32.14．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≥0，2x －y －2≤0，且目标函数z ＝ax ＋by (a ，b ＞0)的最大值为4，则4a ＋2b的最小值为________．答案 3＋2 2 解析 画区域如图，易知目标函数在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以2a ＋2b ＝4，即a ＋b ＝2，所以4a ＋2b＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋ab≥3＋22ba·ab＝3＋22，当且仅当2b a ＝ab ，即⎩⎨⎧a ＝4－22，b ＝22－2时，取等号．故4a ＋2b的最小值为3＋2 2.三、解答题15．(2017·太原期末)如图，围建一个面积为100 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙需维修)，其余三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/米，新墙的造价为200元/米，设利用的旧墙长度为x (单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)求当x 为何值时，y 取得最小值，并求出此最小值． 解 (1)由题意得矩形场地的另一边长为100x米，∴y ＝56x ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2·100x－2×200＝256x ＋40000x－400(x ＞0)．(2)由(1)得y ＝256x ＋40000x－400≥2256x ·40000x－400＝6000，当且仅当256x ＝40000x时，等号成立，即当x ＝252米时，y 取得最小值6000元．16．(2018·南昌模拟)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋(1＋p )x ＋p ＋2＝0的两个实根，c ＝4.(1)求角C 的大小：(2)求△ABC 面积的取值范围．解 (1)由题意得tan A ＋tan B ＝－1－p ，tan A ·tan B ＝p ＋2，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－1－p1－p ＋＝1，故△ABC 中，A ＋B ＝π4，所以C ＝3π4.(2)由C ＝3π4，c ＝4及c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，可得42＝a 2＋b 2－2ab ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22， 整理得16＝a 2＋b 2＋2ab ，即16－2ab ＝a 2＋b 2， 又a >0，b >0，所以16－2ab ＝a 2＋b 2≥2ab ， 得ab ≤162＋2，当且仅当a ＝b 时取等号，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×ab ×22≤12×162＋2×22＝422＋2＝42－4，所以△ABC 面积的取值范围为(0,42－4]．。