物理003

保守力的功等于势能增量的负值。
E a q0 E dl Wab Epa pb ΔEp b E pa E pb q0 E dl a E p 0 令：E pb 0 则：E pa q0 E dl
b
a
电场中某点的电势能，等于把实验电荷q0从该点移 至势能零点处时，电场力所做的功。
a a a a
a
ra
rb
结论: 静电力做功与路径无关。
保守力
二、静电场的环路定理
1
B
2
E dl 0
l
A
E
静电场中电场强度E 沿任意闭合环路的线积分(E 的 环流)等于零 ——静电场的环路定理。 试用静电场环路定理证明：静电场电场线永不闭合。
E E
9-5 电
势
一、电势能
40 r x
2
2
x
例题2：求均匀带电球体(R、q已知，ρ均匀)的电 势分布。 qr q r E内 解： E外 4 0 R 3 4 0 r 2 B U 外 E外 dl A r o q q dr 2 r 4 0 r 4 0 r R U内 E内 dl E外 dl
0 E j 8 0 R
9-4 静电场力的功
真空中静电场的环路定理
一、 静电场力做功的特点 dW F dl q0 E cos dl dr
q0 q 1 1 q0 q ( ) W dr 2 a 40 ra rb 4 0 r
b
E
q0 dl
qx dU E Ex 4 0 ( R 2 x 2 )3/ 2 dx
2 q3 q2 9.9 109 C 4
o
E3
q3
E1
q2
q1 q2 cos45o E E1 E2 cos45 1.79 104 N/C 4 0a 2
2、
L o x dx
A
x
dE
dx
4 0 ( L x) 2
E
l 2 l 2
dx
二、电场强度与电势梯度 E Exi Ey j Ez k dl dx i dy j dz k
U U U dU dx dy dz x y z
U (U dU ) E dl
dU ( Ex i E y j Ez k ) (dx i dy j dz k ) Ex dx E y dy Ez dz
U U Ey Ex y x U U U E ( i j k) x y z
U Ez z
E U
电场强度等于电势梯度的负值。
说明 (1) 场强只与该点电势梯度有关，与电势的大小无关。 (2) 场强为零，电势梯度为零，电势不一定为零。 (如带电球面内) (3) 场强不为零，电势梯度不为零，电势可以为零。
电势能的大小是相对的，电势能的差是绝对的。 电荷分布为有限时，一般选∞处 为势能零点。
二、电势和电势差
E pa q0
Ua E pa q0
E p 0
a
E dl — 电势能与场点处的电荷q0有关
U p 0 a

E dl
当电荷分布在有限区域时，一般选∞处为电势零点。 静电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷在该 点处的电势能，也等于将单位正电荷从该点沿任意路 径移到无限远处（或电势能为零处）电场力所做的功。
1 r
q 0, U 0
q 0, U 0
O
r
注意：沿电场线方向电势 逐渐减低！
2、点电荷系电场中的电势 U P ( E1 E2 E3 ) dl P E1 dl E2 dl
r1 r2
q2
(1) 分析对称性：E沿径向。 (2) 取高斯面：球面。 (3) 计算通量、场强 1 2 Φe E dS E 4 r q 0 S q E外 r R : q q 4 0 r 2
4 3 q r3 r R : q r 3 4 3 R 3 R3 q
E E dS 2 E dS E dS 0
底 侧 S
(3) 计算通量、场强
S
E
ΔS 2 E S q 0 0
1
E
E

E
E 2 0
o
( 0)
E
E
作业(1)
答 案
E2 q1
2a
q2 q3 o sin 45 1、 2 4 0 2a 4 0a 2
电势差 电场中a、b两点间电势的差值定义为 a、b两点间 的电势差，用Uab表示。
U ab U a U b Wab q0

b
a
E dl
静电场中任意两点间的电势差，等于把单位正电荷 从a点经过任意路径移到b点时电场力做的功。 注意
电势差是绝对的，与电势零点的选择无关；
电势大小是相对的，与电势零点的选择有关。
r
dq
四、电势的计算
方法一：用电势叠加法计算 点电荷系
U
i
4 0 ri
qi
连续分布带电体
电荷线分布：dq dl 电荷面分布：dq dS 电荷体分布：dq dV
dq U 4 0 r
方法二：用电势定义法计算 U P E dl
P
1
已知场强分布的前提下用方法二简单。
(如偶极子中垂线上) 求场强的三种方法：
Ⅰ：场强叠加原理 Ⅱ：高斯定理
Ⅲ：电势梯度
例题 均匀带电圆环，带电量为q,半径为R，求轴线 上任意一点的P电势和电场强度。 q dq dl 解： dq dl r 2 R R q dl P dq X 2 dU x O 4 0 r 8 0 Rr q dl 8 2 0 R R 2 x 2 q q U L dl 4 R2 x2 8 2 0 R R 2 x 2 0
4 0 ( L x) 2
2.41103 N/C
3、
y
dl
R
Rd dl dE 2 4 0 R 2 4 0 R
x
dEx dE cos

dE x dE
o
dE y
dEy dE sin
0 Ex 0 sin cos d 0 4 0 R 0 0 2 Ey 0 sin d 8 0 R 4 0 R
r R
q( R 2 r 2 ) q 3 8 0 R 4 0 R q (3R 2 r 2 ) 3 8 0 R
9-6 电场强度和电势的关系 一、等势面 在电场中电势相同的各点连成的曲面称为等势面。 ( P25 图9-20 ) 点电荷的等势面 等势面与电场线有的关系： (1) 等势面与电场线处处 正交，沿等势面移动电荷， 电场力不作功。 (2) 电场线总是由电势值 高的等势面指向电势值低的 等势面。 (3) 若规定电场中任意两个相邻等势面之间的电势 差都相等，则等势面密集处，场强数值大。
底 侧 S
h
r
O
E
(3) 计算通量、场强
0
E 2 rh
0
1
（内） 0 E内
(4) 讨论：
h （外） E外 0 2 0 r
①无限长带电柱体仍可用用高斯定理求场强。
②有限长带电柱体不能用高斯定理求场强。
③非均匀带电柱面不能用高斯定理求场强。
Hale Waihona Puke 3. 求无限大带电平面(均匀带电+ )的场强。 (1) 分析对称性：E垂直带电平面。 (2) 取高斯面：柱面。
Φe E dS
S
q
i
i内
0
电荷的分布具有某种 对称性的情况下利用高 斯定理求解 较为方便 E
(均匀带电)
常见的电量分布的对称性 球对称
球体
球面 球壳
柱对称 （无限 长）
柱体
柱面 带电线
面对称 （无限 大）
平板
平面
点电荷
1. 求电量为q、半径为R的均匀带电球体的场强分布。
三、点电荷的电势 电势的叠加原理 1、点电荷电场中的电势 q 0 E r 令 U 0 2 4 0 r q 沿径向积分 U p E dl
p
E
r r
q
P
Up
U
r
1 q q dr 2 4 0 r 4 0 r
1
P E
1 q U (r) 40 r
q1
r2
P
q3
r1
r3
U1 U 2 Ui
i
i
4 0 ri
qi
电势叠加原理：点电荷系产生的电场中任一点的 电势等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电势 的代数和。 P
场源为连续分布带电体时 1 dq 1 dq dU U 4 0 r 4 0 r
r dr r
dr
b
在点电荷的非均匀电场中， q 静电场力做功与路径无关。 对于一般的带电体，可视为点电荷组q1 ，q2 ，…… qn。 b b b b W q0 E dl q0 E1 dl q0 E2 dl q0 En dl
r P
E
4 0 R 3 讨论：均匀带电球面 E内= 0
E内
qr
r
o R

q E外 2 4πε0 r
2. 求无限长均匀带电圆柱面的电场(单位长度带电量 为 )。 (1) 分析对称性：柱对称