《函数的表示法》PPT课件
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函数表示法 ppt课件
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2
函数的表示法
1、列 表 法，就是列出表格来表 示两个变量间的对应关系。
2、解 析 法 ，就是用数学表达式 表示两个变量间的对应关系。
3、图 像 法，就是用图像表示两个
变量的对应关系。
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3
探究
大型港口的水位通常随着潮汐的变化升高或降低，下表给出了 某个港口某天整点时的水位数据。
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10
练习：P60 练习1，2 作业：P64 习题1，2
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11
把一根长9.14m的铁丝弯成下 部为矩形、上部为半圆形的框 架，设矩形的底边长为x(m)， 此框架围成的图形的面积为 y(m2).
(1)请将y表示成x的函数。
(2)当矩形的底边长为2m时， 该框架的面积为多少(精确到 0.01m2)？
时间/ 时
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
水位/m 14.6 15.5 17.2 18.5 19.5 21.2 19.4 19.6 16.9 15.4 14.3 14.0
时间/ 时
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
水位/m 14.4 15.4 18.1 18.5 19.4 20.0 19.6 19.3 17.0 15.6 14.7 14.2
解析法，就是用数学表达式表示两个变量 间的对应关系。
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7
解析法有两个优点：
（1）函数关系清楚; （2）容易从自变量的值求出其对应的函数值； （3）便于研究函数的性质。
函数的表示法(公开课)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
y
y
2
A
2
B
0
2
y
x
2
C
0
2x
0y 2
x
2
D
0
x
2
思索交流
x+2, (x≤－1)
5. 已知函数f (x)= x2, (－1＜x＜2)
2x, ( x≥2 )
若f(x)=3, 则x旳值是( D )
A. 1
B.
1或
3 2
C. 1,
3,
3 2
D. 3
怎样求函数解析式
一、【配凑法（整体代换法）】
若已知 f (g(x)) 旳体现式，欲求 f (x) 旳体现式， 可把 g(x)看成一种整体，把右边变为由 g(x) 构成 旳式子，再换元求出 f (x) 旳式子。
x
例3 、国内跨省市之间邮寄信函,每封信函旳质量和相应旳邮资如表.
信函质量 (m)/g
0<m≤20
邮资(M)/元 1.20
20<m≤40 2.40
40<m≤60 3.60
60<m≤80 4.80
80<m≤100 6.00
画出图像,并写出函数旳解析式.
解：邮资是信函质量旳函数，函数图像如图。
函数旳解析式为
7.0
9.4
10.0
11.0
y 9 x 32 5
解析法
(6)某气象站测得本地某一天旳气温变化情况如图所示：
温度
8
T （℃）
6
4
２
0
２
时间
２ ４ ６ ８1
1
1
1
1
2
2
t2
( 时
1【课件(人教版)】第1课时 函数的表示法
法二：(换元法) 令 x＋1＝t(t≥1)，则 x＝(t－1)2(t≥1)， 所以 f(t)＝(t－1)2＋2 （t－1）2＝t2－1(t≥1)． 所以 f(x)＝x2－1(x≥1)． (3)f(x)＋2f1x＝x，令 x＝1x， 得 f1x＋2f(x)＝1x.
于是得到关于 f(x)与 f1x的方程组
(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数， 而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的 关于这两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变 量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做消元法(或解方程组法)．
1．(2020·辽源检测)设函数 f11－ ＋xx＝x，则 f(x)的表达式为
解析：选 A.法一：令 2x＋1＝t，则 x＝t－2 1.
所以 f(t)＝6×t－2 1＋5＝3t＋2，
所以 f(x)＝3x＋2.
法二：因为 f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，
所以 f(x)＝3x＋2.
()
3．已知函数 f(x)＝x－mx ，且此函数的图象过点(5，4)，则实数 m 的值为 ________． 解析：因为函数 f(x)＝x－mx 的图象过点(5，4)， 所以 4＝5－m5 ，解得 m＝5. 答案：5
5．已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求 f(x)． 解：因为 f(x)是二次函数，设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝1，得 c＝1. 由 f(x＋1)－f(x)＝2x， 得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x.
4．下表表示函数 y＝f(x)，则 f(x)>x 的整数解的集合是________．
函数的表示法课件ppt
王伟
张城
赵磊
班平均分
1 2 3 4 5 6 x
y
0
一、函数的三种表示法
0
赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成 绩曲线呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高．
二、分段函数
设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。
三、映射的概念
你认为映射定义中的关键词是什么？ 如何理解这些关键词？ (2) 映射定义与函数定义的区别是什么？
5
4
3
2
1
y
y=
0<x ≤ 5
5 < x ≤ 10
10 < x ≤ 15
15 < x≤20
2,
3,
4,
5,
0 5 10 15 20 x
5
4
3
2
1
y
解：设票价为y，里程为x，则根据题意， 自变量x的取值范围是（0，20]
由“招手即停”公共汽车的票价的规定规则， 可得到以下函数解析式：
三、映射的概念
思考：对于例７中的(3),(4)作如下改编. (3) 对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆； (4) 对应关系f：每一个班级都对应班里的学生；
每一个圆都对应它的内接三角形;
集合B＝｛x|x是圆｝，
集合A＝｛x|x是三角形｝，
每一个学生都对应他的班级；
解析法: 图象法: 列表法:
就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
就是用图象表示两个两个变量之间的对应关系.
就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
函数的表示方法ppt
例如，在物理学中，通过绘制物体的运动轨迹图，可以直观地了解物体的运动规律；在工程中，通过绘 制电路图，可以直观地了解电路的工作原理和连接方式。
03 表格法
定义
01
表格法是一种通过表格的形式来表示函数的方法。
02
它通过列出自变量和因变量的对应关系来描述函数。
03
表格中的每一行表示自变量的一种取值，每一列表 示因变量对应的取值。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
举例
例如，函数 (f(x) = x^2 + 2x + 1) 可以 表示为如下表格
| --- | --- |
| x | f(x) |
举例
| -2 | 1 |
| -1 | 0 |
|0|1|
举例
|1|4|
|2|9|
VS
应用场景
01
表格法适用于表示简单函数或离散函数的值。
02
在实际应用中，表格法常用于描述一些具有离散性质
举例
例如，对于函数 (f(x) = x^2)，其图象是一个开口向上的抛物线， 位于x轴上方。
当x的值从负无穷增大到正无穷时，y的值也随之增大，表示 函数随着x的增大而增大。
应用场景
图象法在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。
在解决实际问题时，图象法可以帮助我们直观地理解函数的性质和变化规律，从而更好地解决相关问题。
应用场景
• 解析法适用于需要精确描述函数关系的情况，如科 学计算、工程设计和数学研究等领域。由于解析法 具有精确性和可操作性，因此在实际应用中得到了 广泛的应用。
02 图象法
定义
函数图象法是一种通过绘制函数的图 形来表示函数的方法。
03 表格法
定义
01
表格法是一种通过表格的形式来表示函数的方法。
02
它通过列出自变量和因变量的对应关系来描述函数。
03
表格中的每一行表示自变量的一种取值，每一列表 示因变量对应的取值。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
举例
例如，函数 (f(x) = x^2 + 2x + 1) 可以 表示为如下表格
| --- | --- |
| x | f(x) |
举例
| -2 | 1 |
| -1 | 0 |
|0|1|
举例
|1|4|
|2|9|
VS
应用场景
01
表格法适用于表示简单函数或离散函数的值。
02
在实际应用中，表格法常用于描述一些具有离散性质
举例
例如，对于函数 (f(x) = x^2)，其图象是一个开口向上的抛物线， 位于x轴上方。
当x的值从负无穷增大到正无穷时，y的值也随之增大，表示 函数随着x的增大而增大。
应用场景
图象法在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。
在解决实际问题时，图象法可以帮助我们直观地理解函数的性质和变化规律，从而更好地解决相关问题。
应用场景
• 解析法适用于需要精确描述函数关系的情况，如科 学计算、工程设计和数学研究等领域。由于解析法 具有精确性和可操作性，因此在实际应用中得到了 广泛的应用。
02 图象法
定义
函数图象法是一种通过绘制函数的图 形来表示函数的方法。
函数的概念及表示法ppt课件
(1)对于x的每一个值，y都满足有唯一的值与之对应吗？
不满足
(2)y是x的函数吗？为什么？
不是，因为y的值不是唯一的.
26
26
随堂练习
演练
1. 下面四个关系式：① y ＝ ；② ＝ x ；
③2 x2－ y ＝0；④ y ＝ ( x ＞0).
其中 y 是 x 的函数的是(
D )
27
随堂练习
报酬按16元/时计算. 设小明的哥哥这个月工作的时间为t
小时，应得报酬为m元，填写下表：
怎样用关于t的代数式表示m？ m = 16t
对于这个函数，当t=5时，把它代入函数表达式，得
m = 16t=16×5=80（元）.
m = 80是当自变量t=5时的函数值.
代入法
19
19
探究新知
函数与函数值
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函
判断一个关系是否是函数关系，根据函数定义，主
要从以下3个方面分析：
(1) 是否在一个变化过程中；
(2) 在该过程中是否有两个变量；
(3) 对于一个变量每取一个确定的值，另一个变量
是否有唯一确定的值与其对应.
13
13
探究新知
知识点
函数的三种表示法
合作探究
m = 16t
这几个函数用等式来表示，
这种表示函数关系的等式，
16
80
160
240
320
…
t
…
16t
怎样用关于t的代数式表示m？ m = 16t
5
5
探究新知
合作探究
2.跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s
（米）与助跑的速度v（米/秒）有关. 根据经验，跳
函数的概念及其表示法ppt课件
∴2aa＋＝b1＝，－1，
即ab＝ ＝12－，32.
∴f(x)＝12x2－32x＋2.
(3)在 f(x)＝2f1x· x－1 中， 将 x 换成1x，则1x换成 x，
得 f1x＝2f(x)· 1x－1，
由fx＝2f1x· x－1， f1x＝2fx· 1x－1，
解得 f(x)＝23 x＋13.
答案
2 (1)lgx－1(x>1)
解析 (1)f56＝3×56－b＝52－b， 若52－b<1，即 b>32时， 则 ff56＝f52－b＝352－b－b＝4， 解之得 b＝78，不合题意舍去． 若52－b≥1，即 b≤32，则 ＝4，解得 b＝12.
(2)当 x<1 时，ex－1≤2，解得 x≤1＋ln 2， 所以 x<1.
当 x≥1 时， ≤2，解得 x≤8，所以 1≤x≤8.
解析 (1)令 t＝2x＋1(t>1)，则 x＝t－2 1， ∴f(t)＝lgt－2 1，即 f(x)＝lgx－2 1(x>1)． (2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝2，得 c＝2， f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1， 则 2ax＋a＋b＝x－1，
2．下列给出的四个对应中： ①A＝B＝N*，对任意的 x∈A，f：x→|x－2|； ②A＝R，B＝{y|y>0}，对任意的 x∈A，f：x→x12； ③A＝B＝R，对任意的 x∈A，f：x→3x＋2； ④A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，对任意的(x，y)∈A，f：(x，y)→x ＋y. 其中对应为函数的有________(填序号)．
第1讲 函数的概念及其表示法
考试要求 1.函数的概念，求简单函数的定义域和值域，B 级要求；2.选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表 示函数，B级要求；3.简单的分段函数及应用，A级要求．
函数的概念及表示法PPT课件
4
5
6
y（元）
巩固知识 典型例题
例４ 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅 笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示 这个函数．
解 （2）以上表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角 坐标系中依次作出点（1 ， 0.12）、（2 ， 0.24）、（3 ， 0.36）、 （4，0.48）、（5，0.6）、（6，0.72），则函数的图像法表示如图所示．
巩固知识 典型例题
例２ 设 f x 2x 1 ，求 f 0 ， f 2 ， f 5 ， f b ．
3
分析 本题是求自变量x=x0时对应的函数值，方法是将x0代入 到函数表达式中求值.
解 f 0 20 1
3
f 5 2 5 1
3
， f 2 2 2 1
3
， f b 2b 1
3
， ．
巩固知识 典型例题
动 脑思考 探索新 知
作函数图像的一般方法——描点法
.
巩固知识 典型例题
例４ 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅 笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示 这个函数．
解 （3）关系式y=0.12 x就是函数的解析式， 故函数的解析法表示为 y=0. .12 x， x ∈{1,2,3,4,5,6}
总结演示
判断下列对应能否表示y是x的函数
(1)能(2)不能(3) 能 (4)不能
应用知识 强化练习
教材练习3.1.1
1．求下列函数的定义域：
（１） f x 2 ；（２） f x x2 6x 5 ．
x4
2．已知 f x 3x 2 ，求 f 0 ， f 1 ， f a ．
(新)人教版高中数学必修一1.2.2《函数的表示法》课件(共23张PPT)
的一种“程序”或“方法”．因此要把“2x ＋ 1”及“ x ＋ 1”看成一个整体来求解．
1 1 (2)设f( ＋1)＝ 2－1，则f(x)＝________. x x (3)若对任意x∈R，都有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，则f(x)＝ ________.
[答案]
(1)D (2)x2－2x(x≠1)
6．(2012· 全国高考数学文科试题江西卷)设函数f(x)＝ x2＋1 x≤1 2 ，则f(f(3))＝( x>1 x 1 A.5 2 C. 3 B．3 13 D. 9 )
[答案] D
7．已知函数f(x)＝
2 x －4，0≤x≤2， 2x，x>2，
，则f(2)＝
2．作图时忘记去掉不在函数定义域内的点 [例5] 数的值域． [错解]
x，－1≤x≤1， 由题意，得y＝ －x，x<－1或x>1.
x|1－x2| 画出函数y＝ 2 的图象，并根据图象指出函 1－x
[例 5]
(1)已知 f(x)＝x2，求 f(2x＋1)；
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)． 1 (3)设函数 f(x)满足 f(x)＋2f(x )＝x (x≠0)，求 f(x)． [分析] 我们前面指出，对应法则“f”实际上是对“x”计算
5．(山东冠县武的高2012～2013月考试题)已知函数f(x)
x＋1x≥0 ＝ fx＋2x＜0
则f(－3)的值为( B．－1 D．2
)
A．5 C．－7
[答案] D
如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折 线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为 x，△APB的面积为y. (1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)； (2)画出y＝f(x)的图象； (3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围．
高中数学必修一第一章函数的表示法课件PPT
解析答案
(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
解 设x＋1＝t，则x＝t－1， f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1， 即f(t)＝t2＋2t－2. ∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.
解析答案
(3)2f(1x)＋f(x)＝x(x≠0). 解 ∵f(x)＋2f(1x)＝x，将原式中的 x 与1x互换， 得 f(1x)＋2f(x)＝1x. 于是得关于 f(x)的方程组ff1xx＋＋22ff1xx＝＝x1x，， 解得 f(x)＝32x－3x(x≠0).
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图象，并求出y的最大值， 最小值. 解 y＝2x2－4x－3(0<x≤3)的图象如右： 由图易知，当x＝3时，ymax＝2×32－4×3－3＝3. 由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5， ∴当x＝1时，y有最小值－5.
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出
水；③4点到6点不进水不出水.则正确论断的个数是( )
A.0
B.1
C.2 D.3
解析答案
类型三 函数表示法的选择 例3 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩
及班级平均分表.
测试序号
姓名
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次
答案
1 23 45
3.已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式 为( A )
A.y＝
2 2x
B.y＝
2 4x
C.y＝
2 8x
D.y＝
2 16x
答案
1 23 45
4.某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路， 设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该 同学的行程的是( C )
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解：这个函数的定义域是数集
{1,2,3,4,5}. 用解析法可将函数y=f(x)表示为
y 5x, x {1,2,3,4,5}
用列表法可将函数y=f(x)表示为
笔记 本数x
1
2
3
45
钱数y 5 10 15 20 25
用图象法可将y=f(x)表示为下图： y 25
20
15 10 5
0
1234 5
班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情 况做一个分析。
y
100
王伟
90 班
80
的 平
均
70 分
60 赵磊
张城
12 3 4 5 6x
例3、画出函数y x的图像。
解： y
x
x , x 0 x ,x 0
y
函数的表示法
1、解 析 法 ，就是用数学表达式 表示两个变量间的对应关系
2、图 像 法，就是用图像表示两个 变量的对应关系
3、列 表 法，就是列出表格来表 示两个变量间
x(x {1,2,3,4,5})个笔记本需要y元。
试用函数的三种表示法表示函数y=f(x) .
邮资(M)/元 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00
请画出图像,并写出函数的解析式.
解：函数解析式为
0.8,
1.60,
M=
2.40,
3.20,
4.00,
0<m ≤ 20 20<m ≤ 40 40<m ≤ 60 60<m ≤ 80 80<m ≤ 100
这种在定义域的不同部分，有不同的对应法则 的函数称为分段函数。
x
优点
缺点
解 函数关系清楚，可以用代 函数值随自变量变化 析 入法求函数值，便于用解 的规律不直观。 法 析式研究函数的性质；
图 是可以直观形象地表示出 在读取函数值时不够精
象 函数的变化情况
确。
法
列 可以直接从表中读出函 表 数值 法
经常不可能把所有的 对应值列入数表中，而 只能达到实际上大致够
用的程度。
所有的函数都能用解析法表示 吗？
例2、下表是某校高一（1）班三名同学在高一
学年六次数学测试的成绩及班级平均分表。
成绩
测试
序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次
姓名
王伟
98 87 91 92 88 95
张成
90 76 88 75 86 80
赵磊
68 65 73 72 75 82
邮资是信函质量的函数, 其图像
如下:
M/元
4.0
。
3.2
。
2.4
。
。 1.6
。
0.8
O 20 40 60 80 100 m/g
思考交流
1. 设A=[0,2], B=[1,2], 在下列各图
中, 能表示f:A→B的函数是( D ).
y
y
2
A
2
B
0
2
y
x
2
C
0
2x
0y 2
x
2
D
0
x
2
1
01
x
注意
这种在定义域的不同部分，有不同的对应法则 的函数称为分段函数。
1. 分段函数是一个函数,不要把 它误认为是“几个函数”;
2. 分段函数的定义域是各个部分 定义域的并集，值域也是各个部分 值域的并集。
问题探究
1.国内跨省市之间邮寄信函,每封 信函的质量和对应的邮资如下表:
信函质量(m)/g 0 m 20 20 m 40 40 m 60 60 m 80 80 m 100
{1,2,3,4,5}. 用解析法可将函数y=f(x)表示为
y 5x, x {1,2,3,4,5}
用列表法可将函数y=f(x)表示为
笔记 本数x
1
2
3
45
钱数y 5 10 15 20 25
用图象法可将y=f(x)表示为下图： y 25
20
15 10 5
0
1234 5
班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情 况做一个分析。
y
100
王伟
90 班
80
的 平
均
70 分
60 赵磊
张城
12 3 4 5 6x
例3、画出函数y x的图像。
解： y
x
x , x 0 x ,x 0
y
函数的表示法
1、解 析 法 ，就是用数学表达式 表示两个变量间的对应关系
2、图 像 法，就是用图像表示两个 变量的对应关系
3、列 表 法，就是列出表格来表 示两个变量间
x(x {1,2,3,4,5})个笔记本需要y元。
试用函数的三种表示法表示函数y=f(x) .
邮资(M)/元 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00
请画出图像,并写出函数的解析式.
解：函数解析式为
0.8,
1.60,
M=
2.40,
3.20,
4.00,
0<m ≤ 20 20<m ≤ 40 40<m ≤ 60 60<m ≤ 80 80<m ≤ 100
这种在定义域的不同部分，有不同的对应法则 的函数称为分段函数。
x
优点
缺点
解 函数关系清楚，可以用代 函数值随自变量变化 析 入法求函数值，便于用解 的规律不直观。 法 析式研究函数的性质；
图 是可以直观形象地表示出 在读取函数值时不够精
象 函数的变化情况
确。
法
列 可以直接从表中读出函 表 数值 法
经常不可能把所有的 对应值列入数表中，而 只能达到实际上大致够
用的程度。
所有的函数都能用解析法表示 吗？
例2、下表是某校高一（1）班三名同学在高一
学年六次数学测试的成绩及班级平均分表。
成绩
测试
序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次
姓名
王伟
98 87 91 92 88 95
张成
90 76 88 75 86 80
赵磊
68 65 73 72 75 82
邮资是信函质量的函数, 其图像
如下:
M/元
4.0
。
3.2
。
2.4
。
。 1.6
。
0.8
O 20 40 60 80 100 m/g
思考交流
1. 设A=[0,2], B=[1,2], 在下列各图
中, 能表示f:A→B的函数是( D ).
y
y
2
A
2
B
0
2
y
x
2
C
0
2x
0y 2
x
2
D
0
x
2
1
01
x
注意
这种在定义域的不同部分，有不同的对应法则 的函数称为分段函数。
1. 分段函数是一个函数,不要把 它误认为是“几个函数”;
2. 分段函数的定义域是各个部分 定义域的并集，值域也是各个部分 值域的并集。
问题探究
1.国内跨省市之间邮寄信函,每封 信函的质量和对应的邮资如下表:
信函质量(m)/g 0 m 20 20 m 40 40 m 60 60 m 80 80 m 100