钻井布局

钻井布局问题单位：自动化学院学号：B09060407、B09060401、B09060405 姓名：潘逸娴、向楠、曾莎莎摘要：本文对勘探部门在钻井找矿时，如何进行最优钻井布局的问题，如何通过网格的移动使得可利用的旧井数尽可能的多，进行了深入的分析和讨论。

本文采用移动网格而井不动的思想，对平移和旋转的情况采用全程搜索算法。

对模型求解时通过离散化的思想，通过遍历将移动的距离和旋转的角度化成离散的点，计算每个步长下，每个旧井与离其最近的网格结点的距离，并判断是否在给定误差范围内，由此统计可利用的旧井个数。

通过比较所有可利用的旧井个数，取出最大值，此时对应的结果即为最优解。

利用C语言的多重循环以及多维的搜索原理，得到不同的条件下，最多可利用旧井数的算法。

最后的结果是：问题一：利用C语言，进行二维搜索，得'P（'X，'Y），'X∈（0.416,0.419），Y∈（0.521,0.549）时，可以利用的旧井数最多，为2,4,5,10四个井，如下表'所示：问题二：利用三维搜索法求解，当网格的结点在'P（'X，'Y），'X∈（0.45,0.52），'Y∈（0.56,0.61）时，横向与x轴成45︒时，可利用的旧井数最多，分别为1，6，7，8，9，11六个井，如下表所示：编号1678911横坐标0.50000 4.72000 4.72000 5.43000 7.57000 8.98000纵坐标 2.00000 2.00000 6.24000 4.10000 2.01000 3.41000问题三：按前述方法移动后，n口旧井在网格平动、旋转后，都能够落在以网格结点为圆心，以ε为半径的圆内。

则这n 口旧井都可被利用。

关键字：搜索法，最优解，C语言，坐标系变换一、问题重述勘探部门在某地区找矿。

初步勘探时期已零散地在若干位置上钻井，取得了地质资料。

进入系统勘探时期后，要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位，进行“撒网式”全面钻探。

由于钻一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合（或相当接近），便可利用旧井的地质资料，不必打这口新井。

因此，应该尽量利用旧井，少打新井，以节约钻探费用。

比如钻一口新井的费用为500万元，利用旧井资料的费用为10万元，则利用一口旧井就节约费用490万元。

设平面上有n个点Pi，其坐标为(ai,bi),i=1,2,…,n，表示已有的n个井位。

新布置的井位是一个正方形网格N的所有结点（所谓“正方形网格”是指每个格子都是正方形的网格；结点是指纵线和横线的交叉点）。

假定每个格子的边长（井位的纵横间距）都是1单位（比如100米）。

整个网格是可以在平面上任意移动的。

若一个已知点Pi与某个网格结点Xi的距离不超过给定误差ε（=0.05单位），则认为Pi处的旧井资料可以利用，不必在结点Xi处打新井。

为进行辅助决策，勘探部门要求我们研究如下问题：1)假定网格的横向和纵向是固定的（比如东西向和南北向），并规定两点间的距离为其横向距离（横坐标之差绝对值）及纵向距离（纵坐标之差绝对值）的最大值。

在平面上平行移动网格N，使可利用的旧井数尽可能大。

试提供数值计算方法，并对下面的数值例子用计算机进行计算。

2)在欧氏距离的误差意义下，考虑网格的横向和纵向不固定（可以旋转）的情形，给出算法及计算结果。

3)如果有n口旧井，给出判定这些井均可利用的条件和算法（你可以任意选定一种距离）。

数值例子n=12个点的坐标如下表所示：i123456789101112 ai0.50 1.41 3.00 3.37 3.4 4.72 4.72 5.43 7.57 8.38 8.98 9.50 bi 2.00 3.50 1.50 3.51 5.50 2.00 6.24 4.10 2.01 4.50 3.41 0.80二、模型假设2.1把每个井看成一个点，不考虑井的面积及形状2.2 不考虑地形因素，仅把地面看成是平坦的2.3 新布置的井位是一个正方形网格N的所有结点，且格子的边长（井位的纵横间距）都是1单位（比如100米）。

2.4 假设利用旧井的费用远远小于钻一口新井的费用2.5 假设平移的方向为东西向和南北向2.6 旋转时旋转角度, 以逆时针方向为正, 顺时针方向为负2.7 网格的初始位置中有一条横线与X轴重合, 有一条纵线与Y轴重合三、符号说明（小写字母为常量，大写字母为变量）ε表示给定误差（=0.05单位）n 表示旧井的总个数。

m 表示网格结点。

i 表示旧井的编号。

i=1,2,…,np表示编号为i的旧井。

ia表示旧井的横坐标。

ib表示旧井的纵坐标。

i'i a表示新坐标系中井的横坐标。

'i b表示新坐标系中井的纵坐标。

'x表示新坐标系'''X P Y的原点横坐标。

X P Y的原点纵坐标。

'y表示新坐标系'''θ表示无限网格逆时针转过的角度。

< > 表示对某个数四舍五入取整数。

λ表示搜索的步长。

'i a表示对新坐标系中井的横坐标的四舍五入取整数。

b i'表示对新坐标系中井的纵坐标的四舍五入取整数。

四、模型分析与建立4.1 模型一4.1.1模型假设①网格的横向和纵向是固定的（比如东西向和南北向），并规定两点间的距离为其横向距离（横坐标之差绝对值）及纵向距离（纵坐标之差绝对值）的最大值。

②建立直角坐标系，使旧井所对应的每一个点都在第一象限内，且坐标原点O 也为一网络结点。

且网格只朝坐标轴的正向作平行移动。

③由于无限大的网格是个完全对称图形，故其上（下）移一个单位就与原网格重合，相当于没移，左右移也一样。

也就是说网格的移动范围为上移或右移一个单位。

4.1.2 模型设计这是一个优化问题，其目标是使得旧井的利用率最大，要做的决策是规划新井的位置。

数值例子的旧井分布如图一所示：图一因此在单位方格ABCD 内按步长平移坐标系XOY 得新坐标系'''X P Y ;然后再计算n 口旧井在新坐标系中的坐标系中的坐标；在新坐标系中判断这n 口旧井中哪些旧井可用。

通过以上步骤即可得到原坐标系平移到P 时，可用的旧井数。

反复执行以上步骤，可得到一系列旧井数，从中取出最大值即为本问题的解。

4.1.2 模型建立设n 口旧井在原坐标系中的坐标为ip（i a ，i b ），新坐标系'''X P Y 的坐标原点的坐标为p （'x ，'y ），ip在新坐标系中的坐标为ip （'ia ，'ib ），则'i a =i a -'x ，'i b =i b -'y在新坐标系'''X P Y 中，判断某旧井ip（i a ，i b ）是否可用的方法是：令m='ia ,n=b i',< >表示四舍五入取整数，如<1.41>=1,<4.72>=5,则点ip（'i a ，'i b ）与网格结点N （m,n ）的距离一定是它与所有结点距离的最小值。

因此判断ip （'ia ，'ib ）是否可用转化成判断ip （'ia ，'ib ）与N(m,n)的距离d 是否满足下列不等式： D=max('ima -,'i mb -)≤ε(=0.05)若满足则表示旧井ip （'ia ，'ib ）可用，否则表示不可用。

例如设某旧井在新坐标系'''X P Y 的坐标为p1（1.31,1.82），则m=1，n=2,从图二中可以看出，p 1与网格结点N 2（1,2）的距离最近，所以此时只需判断p1与网格结点N 2（1,2）的距离是否满足上述不等式即可知该井是否可用。

事实上，在这里D=max('ima -,'i mb -)=max(0.31,0.18)=0.31>ε=0.05,所以该井在该坐标系中不可用。

图二用该方法可判断其他旧井在该坐标系中是否可用。

当n 口旧井全部判断完毕，统计并保存在新坐标系'''X P Y 中可用的旧井数n 1以及这些旧井的坐标，新坐标的原点P 在老坐标系中的坐标。

然后把坐标系'''X P Y 平移到另外一点，重复上述工作，得到新的可利用的旧井数n 2和他们的坐标、点P 的坐标,直到坐标系在ABCO 内均匀移动足够多次后结束上述工作。

4.1.3 算法设计1，把旧井的坐标存入二维数组a[12][0]中,确定搜索的步长 =0.1；2，在边长为1的正方形OABC 内找一点P ，把它作为原点确定一坐标系，求出所有旧井在新坐标系下的坐标（'i a ，'i b ），i=1,2,…,n+1； 3，然后分别对每一口旧井ip（'i a ，'i b ）（采用新坐标）进行判断，记下合乎条件的井数；4，判断循环条件是否满足，若满足则转2，否则输出结果。

4.2 模型二4.2.1模型假设1.网格在0-π/2内转动；2.采用欧式距离；4.2.2模型设计本模型与模型一的区别在于：1，网格可以旋转；2，距离是欧氏距离。

我们为本模型设计的算法为：先旋转后平移，即采用三重循环，X 从0开始依次递增作为外部循环，Y 作为中间循环，从0开始依次递增，作为内部循环，依次计算各井与最靠近的格子的欧氏距离，求出可利用旧井数目n 1及相应的旋转角度θ，横纵坐标的平移长度，然后再旋转再重复模型一得到n 2。

依次执行若干次后，得到可利用的旧井数目序列：n 1、n 2、……n m ,从中找到最大数n max 后，问题就解决了。

4.2.3模型建立为了建立模型与解决问题，分两步走。

①求出可利用旧井的最大数设有原坐标（i a ，i b ），当网格旋转到θ时，在新坐标系中坐标为（'i a ，'ib ），如图三，则有： 'i a =i a cos θ+i b sin θ 'i b =i b cos θ-i a sin θ利用上述公式将n 口旧井在原坐标系中的坐标为ip（i a ，i b ）分别转化成新坐标系'''X P Y 的坐标为ip（'i a ，'i b ）。

在新坐标系'''X P Y 中重复模型一，得到三种数据：可利用的旧井数N,取得数字N 的坐标系的原点在'''X P Y 的坐标p （'x ，'y ），旋转角度θ。