钻井布局的优化模型

灾培训2：参赛队员1：姓名：熊盼学号：B08021307学院：通信与信息工程学院专业：通信工程参赛队员2：姓名：杜璐学号：B08010506学院：经济管理学院学院专业：信息管理与信息系统参赛队员3：姓名：沈仪学号：B08030520学院：计算机学院专业：计算机科学与技术指导老师：孔告化钻井布局的优化模型摘要：为节约钻探费用，我们需要尽量利用旧井，少打新井。

为解决此实际问题： 问题一，网格的平移可以等效为旧井坐标的平移，运用0-1整数规划，用lingo 软件求出可使旧井利用数最高的一组可行解：网格平移量0.37x ∆=，0.50y ∆=，此时可用旧井数最多有4口，分别为2,4,5,10i =。

后用C 语言或C ++语言编程求出完备解：当0.360.42x ≤∆≤，0.460.55y ≤∆≤时，可利用旧井数最多有4口，2,4,5,10i =。

问题二，在旋转和平移这一动态过程中寻求最优解。

在确定x ∆，y ∆, θ的取值范围后确定旋转点和变换后的旧井坐标，方法与问题一类似，仍将网格的变动等效看为旧井点的变动。

仍运用0-1整数规划，用lingo 软件求出可使旧井利用数最高的一组可行解：网格平移量0.74x ∆=，0.03y ∆=,旋转角0.78rad θ=，此时可用旧井数最多有6口，分别为1,6,7,8,9,11i =。

后用C 语言或C ++语言编程求出完备解：当0044.745.7θ≤≤，0.710.78x ≤∆≤，0.000.10y ≤∆≤时，可利用旧井数最多有6口，1,6,7,8,9,11i =。

问题三，采用逆向思维方法，假设在某一坐标系下所有点均满足可利用的条件，那么每个点与某个网格节点的距离不超过给定的误差ε。

即满足22ij L d L εε-≤≤+， L 为两口旧井所属圆的圆心距。

后依次求出每对的条件，即保证()ij n n D D ⨯=的元素全为1。

在n 口旧井均可利用时，建立直角坐标系，先测出这n 口旧井的坐标，再调用类似问题二的算法，即可求解。

最后给出模型评价和改进。

关键词：网格覆盖 非线性规划 坐标变换 优化算法今年夏天某县遭受水灾。

为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。

巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。

1.若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。

2.假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。

要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。

3.在上述关于T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。

4.若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。

下图为此县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。

三、模型假设1、问题一中三组的行驶速度相同，在各乡镇或村的停留时间相同。

2、每条路的路况相同，对各组的巡视影响相同。

3、在各乡镇或村的巡视过程中不发生意外情况，不影响巡视进程。

4、各组人员均按路线安排行走，无行驶错误路线的现象。

四、符号说明x第k组通过乡镇（村）i和乡镇（村）j间的公路判定:ijky:第k组通过乡镇（村）i判定kic:乡镇（村）i和乡镇（村）j间的路程ijz第k组巡视历经的总路程:kZ:k组中历经最多路程的最小化五、模型建立求解5.1问题一（1）模型的建立该问题为典型的优化组合问题，我们采取遗传学算法建模求解。

用0表示县政府所在地，1—35表示各村，36—53表示各乡镇。

为了能表示分三组巡视，可引入2个虚拟点，分别记为54,55。

将第i(153)<≤个点和第i≤≤个点的距离定义为第i(153)i<≤个点到点0（县政府所在地）的距离，且(5354)j j虚拟点间及虚拟点到点0间的距离定义为无穷大。

本题为多目标规划问题：三组巡视总路程尽量短，各组巡视路程尽量均衡分配。

即将3组中的最大巡视路程最小化即可。

且从0点（县政府所在地）出发，所有乡镇（村）只有某一组人员严格访问一次，所以可建立模型如下： 目标① 由于给定的是均匀网络，所以网络平移()n λ+个单位[]()01n λ∈为整数，为小数，与平移λ个单位的情况完全相同，为简化模型，我们考虑网络平移横纵都不会超过一个网格的情况。

设横纵平移量分别为x ∆，y ∆，则01x ≤∆≤，01y ≤∆≤② 根据所给井位的精度看，每次网络平移的步长0.01l =为好。

③ 设i d 为旧井与最近网格点的距离，即横向距离（横坐标之差的绝对值）与纵向距离（纵坐标之差的绝对值）的最大值，i a 为第i 口旧井的横坐标，i b 为第i 口旧井的纵坐标，则[]()[]()()max,i iiiid a x a x b y b y =-∆--∆-∆--∆[]表示四舍五入取整④ 建立0-1 变量，0,1,i i i i d f i d εε>⎧=⎨≤⎩表示第口旧井不可用，即表示第口旧井可用，即⑤ 建立目标函数，使可用旧井数目121i i f =∑最大综上，建立如下的非线性规划模型：[]()[]()()[]()[]()()121Max 01..010,max ,1,max ,ii i i i i i i i i i i i f x s t y i d a x a x b y b y f i d a x a x b y b y εε=⎧⎪⎪≤∆≤⎪⎪≤∆≤⎨⎪⎧=-∆--∆-∆--∆>⎪⎪=⎨⎪=-∆--∆-∆--∆≤⎪⎪⎩⎩∑表示第口旧井不可用，即表示第口旧井可用，即运用lingo 软件求得，0,1,3,6,7,8,9,11,121,2,4,5,10i i f i =⎧=⎨=⎩，0.37x ∆=，0.50y ∆=。

由于lingo 软件本身的缺陷，只能求出一组可行的解，因而我们给出更完善的算法，可以用C 语言或C ++语言编程求出完备解。

算法如下：设121max ,i i F f ==∑即最大可利用旧井数1:Step 赋初值：每次网络平移的步长0.01l =；0x ∆=；0y ∆=；=0F ； 2:Step 1i =； 3:Step 若[]()[]()()max,i iiiid a x a x b y b y ε=-∆--∆-∆--∆≤，则=1F F +；否则[]()[]()()max,i iiiid a x a x b y b y ε=-∆--∆-∆--∆≤，继续；4:Step 1i i =+；5:Step 若13i ≤，则执行3Step ；否则，继续；6:Step x x l ∆=∆+，若 1.00x ∆<，则执行2Step ；否则，继续； 7:Step y y l ∆=∆+，若 1.00y ∆<，则执行2Step ；否则，继续； 8:Step 输出最优结果； 9:Step 算法结束；用C 语言运行得出结论：当0.360.42x ≤∆≤，0.460.55y ≤∆≤时，可利用旧井数最多，2,4,5,10i =，即2P ，4P ，5P ，10P 。

算法虽然能够求出完备解，可是需要经过2max max 1.00100000.01x y l l ∆∆⎛⎫⨯== ⎪⎝⎭次循环；而lingo 软件一旦循环到一组解就停止循环了，所用时间少；实际情况中，新网格布局不只受旧井布局的影响，也受地形等因素影响，求出完备解再加以分析其他因素将使模型更完美，此处不加赘述。

5.2 问题二在问题一的基础上加入了旋转因素，但求解思想一样，在旋转和平移这一动态过程中寻求最优解。

类比问题一中步骤： ① 确定x ∆，y ∆, θ的取值范围min max i i a x a εε-≤∆≤+，min max i i b y b εε-≤∆≤+旋转时,旋转2n πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 02πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭与旋转θ角度的情况相同，为简化模型，我们只考虑网络旋转角度不超过2π的情况。

设旋转角度为θ，则 02πθ≤≤② 确定旋转点和变换后的旧井坐标首先确定旋转点，由于最终解肯定至少使一口旧井可用，则可以在给出的12口井中或边缘处遍历求解。

其次，再确定变换后的旧井坐标(),i i a b ''，设旋转角为θ，()()()()cos sin sin cos ii i i i i a a x b y b a x b y θθθθ⎧'=-∆--∆⎪⎨'=-∆+-∆⎪⎩ ③ 确定旧井与最近网格点的距离i d '=[]表示四舍五入取整④ 建立0-1 变量，0,1,i i i i d f i d εε⎧'>⎪'=⎨'≤⎪⎩表示第口旧井不可用，即表示第口旧井可用，即⑥ 建立目标函数，使可用旧井数目121i i f ='∑最大综上，建立如下的非线性规划模型：()()()()121Max min max min max ..02cos sin sin cos 0,1,i i i ii i i i i i i i i i i f a x a b y b s t a a x b y b a x b y i d f i d εεεεπθθθθθε='-≤∆≤+-≤∆≤+≤≤⎧'=-∆--∆⎪⎨'=-∆+-∆⎪⎩'=>'='=∑表示第口旧井不可用，即表示第口旧井可用，即ε⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪≤⎪⎪⎩⎩运用lingo 软件求得，0,2,3,4,5,10,121,1,6,7,8,9,11i i f i =⎧'=⎨=⎩，0.74x ∆=，0.03y ∆=, 0.78rad θ=.为了节约lingo 软件运行的时间，问题二在问题一的条件下，又增加了可以旋转的条件，那么可以利用的旧井数肯定增多，因此我们可以认为的加上1214i i f ='≥∑这一约束条件，便于求解。

另外，由于lingo 软件本身的缺陷，只能求出一组可行的解，因而我们给出更完善的算法，可以用C 语言或C ++语言编程求出完备解。

算法如下：设121max ,i i F f ==∑即最大可利用旧井数1:Step 赋初值：每次网络平移的步长0.01l =，旋转步长ω； 0x ∆=；0y ∆=；0θ= ；=0F ；2:Step ()()cos sin i i i a a x b y θθ'=-∆--∆，()()sin cos i i i b a x b y θθ'=-∆--∆ 3:Step 1i =；4:Step 若i d ε'=≤，则=1F F +；否则i d ε'=>，继续；5:Step 1i i =+；6:Step 若13i ≤，则执行3Step ；否则，继续；7:Step x x l ∆=∆+，若 1.00x ∆<，则执行3Step ；否则，继续； 8:Step y y l ∆=∆+，若 1.00y ∆<，则执行3Step ；否则，继续； 9:Step θθω=+，若090θ<，则执行2Step ；否则，继续； 10:Step 输出最优结果；11:Step 算法结束；不妨取旋转步长00.1ω=，用C 语言运行得出结论：当0044.745.7θ≤≤，0.710.78x ≤∆≤，0.000.10y ≤∆≤时，可利用旧井数最多，1,6,7,8,9,11i =，即1P ，6P ，7P ，8P , 9P , 11P.5.3 问题三1、条件：设任意两口旧井间的距离（欧式距离）为ij d ，若存在自然数u ，v 满足22ij d εε≤≤，，则这两口旧井满足条件。