输油管的布置
输油管的布置方案
１ 模 型建 立
以铁路 线为 ｚ轴 ， 炼油 厂 Ａ 到铁 路线 的垂 直
线 为 Ｙ轴 建立 直角坐 标系 ， 图 １ 如 ．
根 据炼 油厂 Ａ， Ｂ到 铁路 线距 离 ｎ与两 炼 油
厂间 距离 ｄ的大 小不 同 ， 分下 列两种情 形考 虑 ：
（） １ 当 ＞口时 ，由三 角形 中两 边之 和大 于第
摘
要 ： 于 建 设 费 用最 省 的 目标 ． 用 多 变 量最 优 化 的方 法 ， 对 不 同 的 情 形 建 立 了完 整 的 多元 函 数 优 化 模 基 运 针
型 ， 且 给 出了 具 体 的管 线 布 置方 案． 并
关 键 词 ： 元 函 数 优 化 ； 线 布 置 ； ｉｇ 多 管 Ｌｎ ｏ算 法 中 图 分 类 号 ： ４ ． ０１１ ４ 文献标识码 ： Ａ
第２ ６卷
厂 ）＝ （
＋
对 函 数 ，（ 一 （ ） 、 昭
导， 得
＋、
） 求 ｓ
ｄ（） 兰＝ ＋ ｆｘ ： 下
妇 Ｆ
得
兰
一０ ，
ｚ＝ ｄ Ｚ ／．
即 建 铁路 距离点０的 千 车站 在 线 要 米处即 ． 可
（ ）当 ｄ ≤ ａ 时 ，ａ＋ ｄ ＜ ２
考虑 ， 把建设 费用 降到最低 ． 据不 同需求 给 出了 根
相 应 的合理 化方案．
同和两 炼油 厂间距 离 ｄ的大小 关 系不 同 ，考 虑下
列 三种 情形 ： 情 形 １ 当 ＡＢ和 ＡＦ 的夹角 为 ０ 。 ， ＝Ｏ时 炼 油 厂 Ａ， Ｂ到 铁路线 距离 相等 ， ａ ． 即 ＝ｂ
ｆ ｘ３ （ ，， ）一 （ ＋ ｎ ｓ． ｄ ）１
关于输油管的布置问题
关于输油管的布置问题王亚荣司芳刘丽菲摘要本题目首先要对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的不同情形着重探讨、研究。
我们做出不同情形的图示进行分析说明。
在模型一中，我们通过对炼油厂的建造位置，A、B两厂炼出油的相同与不同以及共用管线与非共用管线等情形提出不同的设计方案；在模型二中，需要在模型一的前提下对城区所需拆迁、补偿等附加费的考虑，由于三个工程咨询公司具有不同的资质，我们需对不同的情况进行多方面的分析，利用坐标图示将问题诠释的更透彻，清晰；在模型三中，我们同样要在模型一的前提下结合模型二中三个工程咨询所估算出的结果以及炼油厂A和B 的输油管线铺设费用的不同来准确的计算出管线最佳布置的方案。
然后我们针对不同模型制作了不同的图示。
通过优化模型对输油管线的费用做出了详细的计算。
关键词：建造位置优化模型公用与非公用炼油的相同于不同一问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
输油管的布置至关重要。
在设计不同的方案时，要着重对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的不同情形进行探讨、研究。
当前设计院对两炼油厂的具体位置对郊区、城区进行附图具体设计。
在更为实际的问题中，又根据炼油厂的生产能力选用相适应的油管将进一步节省费用，为了解决好‘如何布置输油管’的问题，达到理想的效果，我们将作如下模型参考。
1．通过对输油管线分析并建立一个关系管线的数学模型，对管线合理安排进行定量分析。
2．根据分析的结果，可知管线的合理位置。
3．通过对模型的了解和求解，进一步让管线费用更节省。
4．输油管线对费用有所影响，并进行定量分析。
二模型假设引起输油管线的因素有很多，两炼油厂的距离、两炼油厂到铁路线距离、.共用管线与非共用管线、两个炼油厂所炼油的相同于不同、两炼油厂的具体位置、城区管线的拆迁工程补偿等附加费用、炼油厂的生产能力等众多因素，我们从中提取重要因素对次要因素做出如下假设。
1．忽略消费成本如工人费用、工程咨询等附加费用。
输油管的布置
中图分类号 ：Ｅ ７ ． Ｔ ９３ １ 文献标 志码 ： Ａ
１ 问题 描 述
某 油 田计 划 在 铁 路 线 一 侧 建 造 两 家 炼 油 厂 ，
输 油 管 的布 置
魏 杰 ，董 琚
（ 兰州工业高等专科学校 基 础学科部 ， 甘肃 兰州 ７０ ５ ） ３ ００
摘 要 ： 照 某油田在铁路 线一侧 建造 两 家炼 油 厂 ， 时在铁 路 线上 增 建 一 个车 站 ， 来运 送成 品 按 同 用
油的要 求． 用数 学方 法对不 同情形设 计 出 了管线 建设 费用 最省 的 一般 数 学模 型 ． 通过 对 模 型 的讨
两炼 油 厂 的具 体 位 置 如 图 １所 示 ， 中 厂 其 位于郊 区 （ 图中的 Ｉ 区域 ） Ｂ厂位 于 城 区 （ 中 的 ， 图
附 加 费 用／ 元／ ｍ 万 ｋ
２ｌ ２ ４
公 司 三
２ ０
Ｉ区域 ） 两个 区域 的 分 界 线 用 图 中 的 虚 线 表 示． Ｉ ，
・
ｌ Ｏ・
兰 州 工 业 高 等 专 科 学 校 学 报
第 ｌ 卷 ８
２ 问题 分 析
由于 Ａ、 曰两个 炼 油 厂在 铁 路 的 同一侧 ， 我 故 们 根据 厂 与 厂 的左 右 位 置 、 离铁 路 的远 近 距
及 Ａ、 Ｂ两 厂之 间的距离来 分情 况 讨论并 给 出管线 最佳 布置方 案及相 应 的 费用 ． 后 ， 然 在前 面设 计 好 的方 案 中加 以 条件 ， 给定 两炼 油厂 的具 体 位 置 及
输油管的布置模型
形。
1. 问题的提出
2.设计院目前须对一更为复杂的情形进行具体的设计。两 炼油厂的具体位置由附图所示。其中A厂位于郊区（图中的I 区域），B厂位于城区（图中的II区域）。图中各字母表示的 距离（单位：㎞）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
若管线铺设的费用均为每千米7.2万元。 管线经过城 区 还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费 用进 行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司A具有甲 级资质 ，公司B和C具有乙级资质）进行了估算。估算结果 由下表 所示：
y1=0.5*(a+z-sqrt(3)/3*c);
P=[x1,y1]
Q=[c,z]
3. 问题2的分析与解决
问题二的数值模型：
设点 P x, y , Q c, z ,
目标函数为总费用 F x, y, z p PA PQ PH w p BQ
假设共用管线费用相同时
路线上。根据直线上取点到两定点
距离之和最小的反射原理，可以确 定 P 点的位置。 最小费用为：
a b
2
c2 r
2. 问题1的分析与解决
模型一
基于几何方法的模型
当费用相同时
1 ab 3c r 2
a b a c r
2 2
a b c2
l c
2t(b z) (b z)2 (l c)2
4t 2 1
时， g ( z ) 取最小值：
g(z)min a b 3 c 4t 2 1(l c)
1 3 1 c)) • 相应的，P 点坐标( c 3( z a) , (a z 2 2 3
4. 问题3的分析与解决
2021数学建模C题获奖论文2——输油管的布置
2021高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：1328303所属学校（请填写完整的全名）：武汉职业技术学院参赛队员（打印并签名）：1. XXX2. XXX3. X X指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：数模指导组编号专用页输油管的布置摘要本文对输油管线的布置主要从建设费用最省的角度进行研究。
首先，对问题一，我们按照共用管线与非共用管线铺设费用相同或不相同，进行分类讨论。
为了更好的说明，我们根据共用管线与非共用管线铺设费用相同或不同及两炼油厂连线与铁路线垂直或不垂直分成四类讨论。
其次，对问题二，由于需要考虑在城区中铺设管线，涉及到拆迁补偿费等。
通过对三个公司的估算费用加权，求得期望值021.5P （万元）。
并利用建立的规划模型②求得管道建设的最省费用为282.70万元。
其中共用管线长度为1.85千米，炼油厂B在城区铺设的管道线对城郊分界线的射影为0.63千米。
最后，对问题三，由于炼油厂A和B的输油管线铺设费用不同，所以最短管道长度和未必能保证铺设总费用最省，因而我们又建立了规划模型③，通过LINGO软件求得管道建设的最省费用为251.97万元，三种管道的结合点O到炼油厂A与铁路垂线的距离为6.13千米，结合点O到铁路的距离为0.14千米，炼油厂B在城区铺设的管道线对城郊分界线的射影为0.72千米。
关键词：管线铺设平面镜成像光的反射规划1.问题重述1.1.某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
1.2.需要解决的问题1.2.1.问题一针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出自己的设计方案。
数学建模之输油管布置
2010高教社杯全国大学生数学建模比赛承诺书我们认真阅读了中国大学生数学建模比赛的比赛规则.我们完好理解，在比赛开始后参赛队员不可以以任何方式（包含电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包含指导教师）研究、议论与赛题相关的问题。
我们知道，剽窃他人的成就是违犯比赛规则的,假如引用他人的成就或其余公然的资料（包含网上查到的资料），一定依据规定的参照文件的表述方式在正文引用途和参照文件中明确列出。
我们郑重承诺，严格恪守比赛规则，以保证比赛的公正、公正性。
若有违犯比赛规则的行为，我们将遇到严肃办理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（假如赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完好的全名）：参赛队员(打印并署名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并署名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅行进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模比赛优选文库编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅行进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国一致编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅行进行编号）：—2优选文库输油管的部署纲要“输油管的部署”数学建模的目的是成立起数学模型追求使铺设管道花费最低的设计方案。
可是不同于广泛的最短路径问题，他受各样实质状况影响，比如，城区和郊区花费的不同，采纳共用管线和非公用管线价钱的不同样都会对设计产生影响。
我们鉴于最短路径模型，对于题目实质状况进行研究和剖析，对三个问题都设计了适合的数学模型做出了相应的解答和办理。
问题一：此问只需考虑两个炼油厂和铁路之间的地点关系，依据地点的不同设计相应的模型，我们依据光的流传原理和两大间线段最短的原则设计了最短路径模型，在不考虑共用管线价钱差别时，只需考虑怎样设计最短路线即可获得最低花费的设计方案；在考虑共用管线差价的状况下，只需成立两个未知变量，当代入已知常量，就能够解出变量的值。
基于线性加权的综合评价法在输油管布置问题上的应用
基于线性加权的综合评价法在输油管布置问题上的应用引言输油管布置问题是指在石油、化工等领域中，针对输油管道的布置位置进行合理的规划和评价，以达到最佳的输油效果和安全性。
在输油管布置问题中，通常需要考虑诸多因素，如土地利用、管道长度、施工难度、环境影响等。
为了有效地进行输油管布置方案的评价和比较，需要建立一种综合评价方法，以辅助决策者进行合理的决策。
本文将介绍基于线性加权的综合评价法在输油管布置问题上的应用。
首先将简要介绍线性加权法的基本原理和步骤，然后以输油管布置问题为例进行具体的应用探讨，最后对该方法的优缺点进行分析和总结。
一、线性加权法的基本原理和步骤线性加权法是一种常用的综合评价方法，它通过将各个因素的影响程度进行加权求和，得到最终的综合评价结果。
其基本原理是根据不同因素的重要性和对目标的影响程度，对各个因素进行加权求和，得到综合评价结果。
其基本步骤如下：1. 确定评价因素和指标：首先需要确定与问题相关的评价因素和指标，例如在输油管布置问题中可包括土地利用、管道长度、施工难度、环境影响等因素。
2. 确定权重：根据问题的实际情况和决策者的意见，确定各个评价因素的权重，即各因素在综合评价中的重要程度。
3. 对各因素进行评分：对每个评价因素进行评分，通常采用定量化或定性化的方法，得到每个因素的评价值。
4. 计算综合评价值：根据各个评价因素的权重和评分，计算各个方案的综合评价值，最终进行比较和排序。
我们需要确定评价因素和指标。
在输油管布置问题中，我们可以选择土地利用、管道长度、施工难度、环境影响等因素作为评价因素，并对每个因素确定相应的评价指标。
接下来，我们需要确定权重。
权重的确定通常需要考虑多方面因素，包括专家意见、统计数据、决策者的偏好等。
在输油管布置问题中，可以邀请专业人士和决策者进行讨论，确定各个评价因素的权重。
然后，对各因素进行评分。
评分可以采用定量化或定性化的方法，根据具体情况和数据进行评价，得到每个因素的评分值。
数学建模在工程中的应用案例——输油管的布置
数学建模在工程中的应用案例——输油管的布置输油管的布置是石油工业中至关重要的问题，它涉及到输油系统的安全、可靠和经济性。
在实际应用中，输油管的布置受到多种因素的影响，如地形、管道材料、输油量、管道长度、压力损失、维修等。
数学建模可以帮助工程师优化输油管的布置方案，以满足工程要求和经济效益。
下面介绍一种数学建模方法来解决输油管布置问题。
1.问题描述某石油公司需要在一座山地地区建设一条长距离输油管道来输送原油。
由于地形崎岖，管道必须蜿蜒穿过山区，长度为1000公里。
为了降低管道的成本，工程师需要确定最佳的输油管布置方案，以在保证输油安全和可靠的前提下尽可能地降低成本。
2.数学模型（1）建立成本模型沿着输油管道，安装每一段管道的成本由以下因素决定：（a）管道长度（b）管道材料（c）安装费用我们可以将输油管道的总成本表示为：C=\sum_{i=1}^{N}c_il_i+m_i+k_i其中，N是管道的段数，c_i是每一段管道的单位长度成本，l_i是每一段管道的长度，m_i是每一段管道的材料成本，k_i是每一段管道的安装费用。
（2）建立规划模型工程师需要确定每一段管道的长度，以满足下列约束条件：（a）安全约束：管道必须能够承受设计条件下的最大压力和温度，以确保输油系统的安全运行。
（b）可靠性约束：管道必须经过密集的检查和维护，以保证管道的可靠性和安全性。
（c）经济性约束：在满足安全和可靠性的前提下，工程师需要尽可能地降低管道的总成本。
我们可以将这个问题表示为一个数学规划模型：Minimize C=\sum_{i=1}^{N}(c_il_i+m_i+k_i)Subject to:a_{i,j}l_j\geq b_i,i=1,2,\cdots,ml_j\geq 0,j=1,2,\cdots,N其中，a_{i,j}表示第j段管道能够承受的最大压力和温度，b_i 表示设计条件下的压力和温度，m是检查和维护的次数。
这个模型可以通过数学规划算法进行求解，例如线性规划、整数规划等。
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输油管的布置摘要摘要中要把文章中模型的方法、思想、技巧、结论体现出来。
关键词：研究对象建立模型求解算法等专业术语一问题重述1.1.背景资料与条件某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路在线增建一个车站，用来运送成品油.现在针对这一计划,建立一个能够使管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
1.2.需要解决的问题1．针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，设计合理、科学的方案，同时对共享管线费用与非共享管线费用相同或不同的情形进行讨论。
２。
假设两炼油厂的具体位置由附图所示,其中A厂位于郊区(图中的I区域），B厂位于城区(图中的IＩ区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。
图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a=5，b=8，c=15，l=２0。
若所有管线的铺设费用均为每千米7。
2万元。
铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用,为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司(其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质)进行了估算。
估算结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万元/千米)2124２0请针对以上所述的复杂情形设计出管线布置方案及相应的费用。
3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。
这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5。
6万元，输送B厂成品油的每千米6。
0万元，共享管线费用为每千米7。
２万元，拆迁等附加费用同上。
请给出管线最佳布置方案及相应的费用。
二问题分析问题的重要性分析(社会背景）输油管一般为200—750毫米的无缝钢管，外涂沥青，并包绝热材料等，埋于地下，以防冻结和损坏,用输油管运输成品油，可节省运输设备和费用。
设计一个最优化的可以尽量节省管线建设费用的方案，可以有效提高炼油厂的工作效率,节省油价成本，对炼油厂的长期经营和持续发展起到一个重要的作用。
问题的思路分析铺设输油管的总费用包括管线铺设费用和拆迁等附加费，因此解决问题的关键在于设计一个能够节省铺设费用和附加费的方案.首先，因为炼油厂建造在铁路一侧,火车站在铁路在线，因此,可以铁路线所在直线为X轴建立直角坐标系,两间炼油厂为第一象限上的点；然后,分别对三个问题进行讨论,建立相应的模型。
(1）对于问题１,可以做三种假设.Ⅰ.假设两炼油厂没有铺设共同管线。
利用“对称点”的性质和“两点之间直线最短”的定理，找出火车站的最佳点，两炼油厂各自直接铺设管线到此点，所用的总费用最少。
Ⅱ.假设两厂有铺设共同管线，且共同管线与非共同管线的费用相同。
利用由两点之间的距离最短原理和三角形中两边之和大于第三边的性质，确定连接非共同管线与共同管线的交点和火车站所在的点,并得出关系式，最后通过求导公式求出解。
Ⅲ．假设两厂有铺设共同管线，且共同管线与非共同管线的费用不同。
只要在对假设Ⅱ的求解方法的基础上，再考虑不同管线的费用这一因素,求解方法与上一假设的方法相似。
（２）对于问题二,采用与问题一相同的模型，将具体数据代入,从而求得最优解。
(3)在问题（２）的基础上，把各种管道不同价格分别代入，然后利用费马点的推广，进行计算.三基本假设3。
1模型一假设（１）忽略地形的影响，把厂A、B和铁路当作在同一平面；(2）铁路是一条笔直的水平面直线，暂不考虑铁路存在弯道、坡道等；(３)假设铺设管线时没有发生材料损耗,除了铺设管线费用和附加费之外，没有其它费用发生;(4）３．2模型二假设3.3模型三假设四 符号说明Ａ（11,y x ）:炼油厂A 的坐标； B （22,y x ）:炼油厂B 的坐标； Ｆ（3x ,0）:火车站的坐标； L ：所有管道的长度 （单位：千米)；1m ：A 非共享管道的价格 (单位：万元／千米)；2m : B 非共享管道的价格 （单位:万元/千米）； 3m : A 、B 共享管道的价格 (单位：万元/千米)； 4m ：拆迁和工程补偿等附加费用（单位：万元/千米)；S ：整个设计方案所用的总额 （单位：万元）;ｌ： C 、Ｄ两点之间的距离 （单位：千米）； a:A 点到铁路线的垂直距离 (单位：千米)； ｂ:Ｂ点到铁路线的垂直距离 (单位:千米)； λ:甲级资历的信誉度; θ：乙级资历的信誉度；五 模型的建立与求解5.1模型一的建立和求解(1）两炼油厂只用非共享管道输油时：因为Ａ、B 位于铁路的同侧，且Ａ、Ｂ和铁路位于同一平面上,A 、B 的位置可以随意的调换和移动,以铁路所在的直线为X 轴，任意做一平行于AC 的直线为Y 轴,建立平面直角坐标系，如图一所示：要使管线的铺设费用最少，其中1m =2m ,即是在X 轴上找一点Ｆ，使得Ｆ点到Ａ点的距离AF 和到B 点的距离BF 最短,则所有管道的长度：L ＝｜AF|+｜BF ｜根据对称性原理和两点之间的距离最短的性质，求出点A 的对称点A 1（x 1，—ｙ1），连接A 1B 交于Ｘ轴一点F （3x ,0），如图二所示：在X 轴上任意找点不同于点F 的点F １，根据对称性可以得到ＡF=A 1Ｆ，AF １=A 1Ｆ1，三角形两边之和大于第三边的原理,在11BF A ∆中有A 1F 1＋B Ｆ１≥A 1B=A 1Ｆ+BF.当且仅当F 和Ｆ1重合时等号成立。
所以：L min =｜AF|+|ＢF ｜＝｜A 1F ｜＋｜B Ｆ｜＝|A １B ｜根据两点间的距离公式得：Ｌmin =|A 1B ｜=221221)()(y y x x ++-min S =min 1L m ⨯=1m ⨯221221)()(y y x x ++-= 1m ⨯22)(b a l ++（2)使用共享管道输油且管线的价格相同时：当存在共享管道时价格相同时，此时321m m m ==。
布局如图三所示：所有管道的铺设总长为：L=|AE ｜+｜BE ｜+|ＥF ｜根据对称性原理,设公共管道的距离为3y ，作X 轴的并行线3y y = 作点Ａ关于直线ｙ=y 3的对称点A １(1x ,132y y -)。
然后利用（1)中原理可以得到点E （3x ，3y ）为所求的点，由两点之间的距离最短原理和三角形中两边之和大于第三边，可得总长：min L ＝|A Ｅ｜+｜B Ｅ｜+｜EF ｜=｜A 1B|+｜EF ｜所以：min L =｜A 1B ｜+｜EF ｜=32321221)2()(y y y y x x +-++- min S =min 1L m ⨯=1m ⨯))2()((32321221y y y y x x +-++-令)(3y f =min S =1m ⨯))2()((32321221y y y y x x +-++- 对)(3y f 求导可得:))2()()2(21()(232122132113y y y x x y y y m y f -++--+-⨯='令)(3y f '＝0,得:))(333(61221213x x y y y -±+=令||21x x l -=,ａ=1y ，b=2y ，则：3y =)333(61l b a ±+根据函数的单调性可得：当3y =)333(61l b a-+时,)(3y f 取得极小值, 利用B 、E 、A 1三点共线，则斜率:213212x x y y y k --+=则过Ｂ、E 、A １三点的直线为：)(22x x k y y -=-=)(2221321x x x x y y y ---+因为点E(33,y x )在直线上,所以当3y =)333(61l b a -+时，ｘ3=)33(21l b a +- 此时：min S =⨯1m （223ba l ++）（3)使用共享管道输油且管线的价格不相同时：当存在共享管道且和专用管道的价格不相同时，即是321m m m ≠=。
布局如图四所示：所有管道的铺设总长为：L=｜AE ｜+｜ＢE ｜+|ＥF ｜， 利用上述原理可得出：min S =3323212211)2()(y m y y y x x m ⨯+-++-⨯令)(3y F ＝min S ＝3323212211)2()(y m y y y x x m ⨯+-++-⨯ 对)(3y F 求导可得：2321221321133)2()()2(2)(y y y x x y y y m m y F -++--+⨯-='令)(3y F '=0,||21x x l -=,1y a =，2y b =，得:)4(2123212233m m l m b a y -±+= 根据函数的单调性可得:当)4(2123212233m m l m b a y --+=时，)(3y F 取得极小值。
代入)(3y F 得:min S =2321232123232123212134421442)(21m m m m l m m m m m l m b a m --⨯⨯⨯---⨯⨯⨯++5。
2模型二的建立和求解对于具体的设计方案，a=5,b=８,c=15,l=2０,为了方便计算，建立模型以AC 所在的直线为y 轴，铁路线为x 轴建立平面直角坐标系，则A （0,5)，B(２0，8)，如图五所示:(1) 若不使用共享管线，且管道的价格21m m ==７.2万元，令r=0．73.0=θ，6.213.03.07.03.0203.0247.0214=++⨯+⨯+⨯=m 万元则可设在郊区和城区的分界线上取点G 坐标为（1５，0y ）， 设车站点F （3x ，0）所有管线铺设的总长度为：L=｜AF ｜+｜FG ｜＋｜GB|则总费用为：S=||m 41BG m L ⨯+⨯＝|||)BG |+|FG |+|AF |(41BG m m ⨯+⨯根据问题1第（１)种情况分析的结果可知：min S =|||)||G A (|m 411GB m GB ++⨯min S =2242022021)8(5))8(5)5(15(o y m y y m -+⨯+-++++⨯把1m =7。
2,4m =２１．６代入min S 利用LI ＮＧO 软件计算得出的结果为:min S =285．０4(万元）o y =7.２(千米）(2) 若使用共享管线,且管道的价格321m m m ==＝７.２万元,6.214=m 万元建立平面直角坐标系，如图六所示:设共享管线和非共享管的交点坐标为Ｅ（33,y x ）,分界线上取点Ｇ坐标为（0,15y ）则所有管线铺设的总长度为：Ｌ=｜ＡＥ｜＋｜ＥF ｜+|EG ｜+|GB|Ｓ=||m 41GB m L ⨯+⨯=||)|||(|231BF m y GB EG AE m ⨯++++⨯根据问题1的第(2）种情况分析的结果可得知，min S =||)|||G A (|m 4311GB m y BG +++⨯，代入数据得:min S =3120412031)8(25)()52(225y m y m m y y m ⨯+-+⨯++--+⨯此时:)315315(6103-+=y y 利用L ＩNG Ｏ软件计算得出的结果为：min S =２83.２０（万元))(37.70千米=y （千米）85.1y 3=，)(36.12x 3千米=5.3模型三的建立和求解若使用共享管线,且各种管道的价格都不相同, 其中6.51=m ,0.62=m ,2.73=m ，6.214=m 建立平面直角坐标系,如图七所示:设共享管线和非共享管的交点坐标为E （33,y x ）,分界线上取点G 坐标为（0,15y ）则所有管线铺设的总长度为：L=｜ＡE ｜+｜EF|+｜E Ｇ|+｜ＧB|S=GB m m EF m GE m AE m ⨯++⨯++⨯+⨯)(42321根据广义费马点的运用推广,当EF m GE m AE m ⨯+⨯+⨯321最小时,此时点Ｅ为ABF ∆的费马点，此时：︒=∠=∠=∠120GEF AEG AEF ,︒=∠=∠30FEM AEH根据三角函数可得：)(315303y y x -=-,)5(333y x -=代入数据：min S =５．6｜AE ｜+6。