2020年高考考前大冲刺卷 文科数学(九)解析
2020年高考文科数学模拟试卷(九)Word版含答案及解析
2020年高考文科数学模拟试卷（九）时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数1z ii=+（i 为虚数单位），则z z ⋅=（ ） A. 12iB. 14-C. 14D.122.已知集合{1,0,1,2}M =-，2{|30}N x x x =-<．则M N =I （ ）A. {0,1}B. {1,0}-C. {1,2}D. {1,2}-3.设x ∈R ，则“12x <<”是“21x -<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳5.在等差数列{}n a 中，若81126a a =+，则46a a +=（ ） A. 6B. 9C. 12D. 186.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 3πB. 4πC. 24π+D. 34π+7.如图的程序框图，当输出15y =后，程序结束，则判断框内应该填（ ）A. 1x ≤B. 2x ≤C. 3x ≤D. 4x ≤8.长方体1111ABCD A B C D -中12AB AA ==，1AD =，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为( )9.已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）A. 2xx y =B. 22xy =- C. e xy x =-D. |2|2x y x =﹣10.将函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位后得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =为偶函数，则函数()y f x =在[0,]2π的值域为（ ）A. [1,2]-B. [1,1]-C. 2]D. [11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为点1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >，抛物线24y cx =与双曲线在第一象限内相交于点P ，若212PF F F =，则双曲线的离心率为（ ）A. 1+B. 1+12.若函数21()ln 22f x a x x bx =++在区间[1,2]上单调递增，则4a b +的最小值是（ ） A. -3B. -4C. -5D. 154-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.56⎛⎝x 展开式的常数项为__________.14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是___________.15.如图，设ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos sin a C c A b B +=，且.6CAB π∠=若点D 是ABC V 外一点，2DC =，3DA =，则当四边形ABCD 面积最大值时，sin D =____．16.对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[,]x a b ∈时的值域为[,](0)ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()ln x f x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________.三、解答题：共70分。
卷09-2020年高考数学(文)冲刺逆袭必备卷(解析版)
2020年高考数学（文）冲刺逆袭必备卷09（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，则集合{}2,7,8是（ ）A ．AB U B ．A B IC ．()U C A B ID ．()U C A B ⋃【答案】D 【解析】 【分析】根据{}{},2,7,82,7,8A B ⊄⊄，再根据全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，求得U A ð，U B ð，再求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，所以{}1,2,6,7,8U A =ð，{}2,3,4,5,7,8U B =ð，所以(){}2,7,8U UU A B A B ⋂=⋃=痧?.故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．已知复数z 的实部不为0，且1z =，设1z zω=+，则ω在复平面上对应的点在（ ） A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】设z x yi =+，由1z =，得221x y +=，然后化简ω，得到ω对应的点坐标，再判断.【详解】 设z x yi =+， 因为1z =，所以221x y +=，所以22121x yi x yi x yi x yi x yi x x yi z y z x ω-++=++=++-=+=+=+， 所以ω在复平面上对应的点坐标为()2,0x ， 又因为复数z 的实部不为0， 所以ω在复平面上对应的点在实轴上 故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．直线l 是圆224x y +=在(-处的切线，点P 是圆22430x x y -++=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ）A ．1 BCD ．2【答案】D【解析】圆224x y +=在点(-处的切线为:4l x -+=，即:40l x --=，点P 是圆22(2)1x y -+=上的动点，圆心(2,0)到直线:40l x +=的距离3d ==，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于1312d -=-=．故选D ．4．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =，且47522a a +=，则5S = A ．32 B ．31 C ．30D ．29【答案】B【解析】∵174a a =，∴2444,0,2n a a a =>∴=Q .∵47522a a +=，∴714a =. 则3111,,1682q q a =∴==，故55116[1()]2=31112S -=-. 故选B.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A．16B．40C．824D．48【答案】A【解析】【分析】判断几何体的形状，上下是正四棱锥中间是正方体，然后求解几何体的表面积．【详解】由题意可知几何体的中间是正方体，上下是两个相同的正四棱锥，如图：正方体的棱长为2，棱锥的高为3，所以该几何体的表面积为：142282162S =⨯⨯+⨯⨯=+ 故选：A.【点睛】本题考查三视图求解几何体是表面积，判断几何体的形状是解题的关键，属于基础题．6．在等腰直角ABC ∆中，,AC BC D =在AB 边上且满足：()1CD tCA t CB =+-u u u r u u u r u u u r，若60ACD ︒∠=，则t 的值为（ ）AB1CD【答案】A 【解析】根据题意，D 在线段AB 上，过D 作DE AC ⊥，垂足为E ，作DF BC ⊥ ，垂足为F ，若设AC BC a ==，由于(1)CD tCA t CB =+-u u u r u u u r u u u r，得,(1)CE ta CF t a ==- ，根据题意0060,30ACD DCF ∠=∠= ；00cos60cos30CE CF =，即12ta =，t =， 故选A.7．设函数()f x 定义如下表：执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值是（ ）A ．4B ．5C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据流程图执行循环，确定周期，即得结果 【详解】 执行循环得：(5)3,1;(3)2,2;(2)4,3;(4)5,4;x f t x f t x f t x f t ============L所以周期为4，因此5,2020,x t ==结束循环，输出5x =，选B. 【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.8．把边长为4的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当直线BD 和平面ABC 所成的角为60o 时，三棱锥D ABC -的体积为( )A ．3B C D ．3【答案】C 【解析】 【分析】取AC 的中点O ，作DM BO ⊥，结合等腰三角形三线合一、线面垂直判定定理可证得AC ⊥平面BOD ，由线面垂直性质证得BM AC ⊥；根据线面垂直判定定理和线面角的定义可知60DBO ∠=o ，由此可确定DM 的长，即所求三棱锥的高；由棱锥体积公式计算可得结果.【详解】取AC 的中点O ，连接,BO DO ，作DM BO ⊥AD DC =Q ，AB BC = AC DO ∴⊥，AC BO ⊥,BO DO ⊂Q 平面BOD ，BO DO O =I AC ∴⊥平面BODDM ⊂Q 平面BOD DM AC ∴⊥又DM BO ⊥，,BO AC ⊂平面ABC ，BO AC O ⋂= DM ∴⊥平面ABCBD ∴与平面ABC 所成角即为DBO ∠，则60DBO ∠=oDO BO =Q DBO ∴∆为等边三角形12BO DO ===Q DM ∴=11144332D ABC ABC V S DM -∆∴=⋅=⨯⨯⨯=故选：C【点睛】本题考查三棱锥体积的求解问题，涉及到直线与平面所成角的求解、线面垂直的判定与性质定理的应用；关键是能够确定直线与平面所成角的位置，进而求得三棱锥的高.9．函数()()e 11ex xf x x +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】∵f （−x ）()()()e 11e e 11e e 11e x x x x x xx x x --+++====-----f （x ），∴f （x ）是偶函数，故f （x ）的图象关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0，∴排除B ， 故选A ．10．已知函数21()sin cos 2f x x x x =+，则下列结论正确的是 A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()y f x =的图象关于直线π3x =对称 D ．()y f x =的图象关于点7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C【解析】函数21()sin cos 2f x x x x =+=1cos 21222x x -+=sin （2x π6-）+1. 对于A ：根据f （x ）＝sin （2x π6-）+1可知最大值为2，则A 不对； 对于B ：f （x ）＝sin （2x π6-）+1的最小正周期为T ＝π，则B 不对； 对于C ：令2x π6-=ππππ,223k k x k ，Z +\=+?，故图象关于直线π3x =对称，则C 正确；对于D ：令2x π6-=πππ,212k k x k ，Z \=+?，故()y f x =的图象关于点7π,112⎛⎫⎪⎝⎭对称，则D 不对． 故选C ．11．已知命题p ：2()ln f x x x ax =-+在区间[)1,+∞上存在单调递减区间；命题q ：函数22g()x x x x ae -=-+，且5()()02g x g x '+-=有三个实根.若p q ⌝∧为真命题，则实数a 的取值范围是：（ ） A ．650,2e -⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2312e ⎛⎤-⎥⎝⎦，- C ．651,2e -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+-∞【答案】C 【解析】 【分析】根据命题p ：2()ln f x x x ax =-+在区间[)1,+∞上存在单调递减区间，转化为命题P ⌝：2()ln f x x x ax =-+在区间[)1,+∞上不存在单调递减区间，即1()20f x x a x'=-+≥在区间[)1,+∞上恒成立求解.根据5()()02g x g x '+-=有三个实根，转化为227()2x a e x x =+-有三个实根求解，p q ⌝∧为真命题，则两者取交集.【详解】因为命题p ：2()ln f x x x ax =-+在区间[)1,+∞上存在单调递减区间， 所以命题P ⌝：2()ln f x x x ax =-+在区间[)1,+∞上不存在单调递减区间， 所以1()20f x x a x'=-+≥在区间[)1,+∞上恒成立， 即12a x x≥-+在区间[)1,+∞上恒成立， 因为12y x x=-+在区间[)1,+∞上是减函数， 所以1y ≤-， 所以1a ≥-.所以命题P ⌝：1a ≥-. 因为22g()x x x x ae -=-+，所以2g ()212xx x ae-'=--，又因为5()()02g x g x '+-=有三个实根， 所以22702x x x ae -+--=有三个实根， 即227()2x a e x x =+-有三个实根，令227()2x t e x x =+-， 2222(23)2(1(3)x x t e x x e x x '=+-=-+），当1x >或3x <-时，0t '>，t 是增函数，当31x -<<时，0t '<，t 是减函数，所以当3x =-时，t 取得最大值652e -， 当1x =时，t 取得最小值232e -， 所以263522e a e --<<. 若p q ⌝∧为真命题，则实数a 的取值范围是：651a<2e --≤. 故选：C【点睛】本题主要考查复合命题，导数与函数的单调性，导数与函数的极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作斜率为43的直线l 与C 及其准线分别相交于A ，B ，D 三点，则||||AD BD u u u r u u u r 的值为（ ） A ．2或12 B ．3或13 C ．1 D ．4或14【答案】D【解析】【分析】根据题意，设直线方程432p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与抛物线方程联立24322p y x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩消去x 得22302y py p --=，设AF FB λ=uu u r uu r ，有12y y λ-=，再由韦达定理()212121221924y y y y y y y y +=++=，解得4λ=或14λ=，再根据抛物线的定义，利用三角形相似性分类讨论求解. 【详解】抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设直线方程为432p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ， 与抛物线方程联立24322p y x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x 得22302y py p --=， 所以212123,2y y p y y p +==-， 设AF FB λ=uu u r uu r ， 所以1122,,22p p x y x y λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以12y y λ-=，而()212121221924y y y y y y y y +=++=-， 所以1924λλ--+=-，即241740λλ-+=，解得4λ=或14λ=， 当4λ=时，如图所示：4AF FB =u u u r u u u r ， 所以5AB FB =u u u r u u u r ， 由抛物线得定义得1FB BB =u u u r u u u r ， 又因为直线的作斜率为43， 所以113sin 5BB BDB BD ∠==u u u r u u u r ， 所以15533BD BB BF ==u u u r u u u r u u u r ， 所以203AD AB BD BF =+=u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以||4||AD BD =u u u r u u u r . 当14λ=时，如图所示：4AF FB =u u u r u u u r ， 所以5AB FA =u u u r u u u r ， 又因为1FA AA =u u u r u u u r ，直线的斜率为43， 所以113sin 5AA ADA AD ∠==u u u r u u u r ， 所以15533AD AA AF ==u u u r u u u r u u u r ，203BD AB AD AF =+=u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以||14||AD BD =u u u r u u u r . 故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量()cos ,sin AB αα=u u u r ，()cos ,sin BC ββ=u u u r ，()cos ,sin CA γγ=u u u r ，其中02αβγπ<<<<，则AB BC ⋅u u u r u u u r 的值是__________.【答案】12- 【解析】已知向量()cos ,sin AB αα=u u u r ，()cos ,sin BC ββ=u u u r ，()cos ,sin CA γγ=u u u r ，所以0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，即AB BC CA +=-u u u r u u u r u u u r ，所以()()22AB BC CA +=-u u u r u u u r u u u r 所以()2222AB AB BC BC CA +⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以12AB BC ⋅=-u u u r u u u r . 故答案为：12- 【点睛】本题主要考查向量的基本运算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 14．双曲线M 的焦点是12,F F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F △是有一个内角为2π3的等腰三角形，则M 的离心率是__________．【解析】根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ，不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，且点P 在第一象限，故2||2PF c =，等腰12PF F △有一内角为2π3，即212π3PF F ∠=，由余弦定理可得，1||PF ==，由双曲线的定义可得，12||22||PF PF c a -=-=，即1)c a =，解得：e = 15．如图平面四边形ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部，1AB =，BC =，AC CD =，AC CD ⊥，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为__________．【答案】1+【解析】设∠ABC ＝α，∠ACB ＝β，则由余弦定理得，AC 2＝1+3﹣2×1cosα＝4﹣； 由正弦定理得AC AB sin sin αβ=， 则sinβ=；所以BD 2＝3+（4﹣）﹣2cos （90°+β）＝7﹣sinα＝sin （α﹣45°），所以α＝135°时，BD=1．故答案为1．【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.16．若数列{}n a 满足：23123222a a a ++()*22n n a n n ++=∈L N ，则数列{}n a 的前n 项和n S 为___________. 【答案】1122n -- 【解析】由()23*12322222n n a a a a n n ++++=∈L N， 得：()2311231222221n n a a a a n --++++=-L (2n ≥且)*n ∈N ，两式作差可得：22n n a =，即：112n n a -=(2n ≥且)*n ∈N ， 由已知等式可得，122a =，解得：11a =，适合上式，()*112n n a n -∴=∈N ， 又11112122n n n n a a +-==， ∴数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列， 则11111221212n n n S -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==--． 故答案为1122n --. 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设}{n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S . （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.（2）设11a =，*2()n a n b n N =∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有20n T ≤，求d 的取值范围.【答案】（1）2020（2）29-,log 10⎛⎤∞ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）运用等差数列的通项公式可得公差d ，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；（2）由题意可得数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列，讨论d ＝0，d ＞0，d ＜0，判断数列{b n }的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围．【详解】（1）a 1＝40，a 6＝38，可得d 61255a a -==-， 可得S n ＝40n 12-n （n ﹣1）2155=-（n 2012-）2220120+， 由n 为正整数，可得n ＝100或101时，S n 取得最大值2020；（2）设()*112n a n a b n N ==∈，，数列{b n }的前n 项和为T n， 可得a n ＝1+（n ﹣1）d ，数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列，若d ＝0，可得b n ＝2；d ＞0，可得{b n }为递增数列，无最大值；当d ＜0时，T n ()21221212dnd d-=--＜，对任意的n ∈N *，都有T n ≤20，可得20212d ≥-，且d ＜0， 解得d ≤29log 10． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．18．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PDC ⊥底面,ABCD PDC △是等边三角形，底面ABCD 为梯形，且60,,22DAB AB CD DC AD AB ∠====P °（1）证明：BD PC ⊥；（2）求A 到平面PBD 的距离.【解析】（1）由余弦定理得BD =222,90,,,BD AB AD ABD BD AB AB DC BD DC ∴+=∴∠=⊥∴⊥Q P °又平面PDC ⊥底面ABCD ，平面PDC U 底面ABCD DC =，BD ⊂底面ABCD ，BD ∴⊥平面PDC ，又PC ⊂平面PDC ，∴BD PC ⊥.（2）设A 到平面PBD 的距离为h取DC 中点Q ，连结QP ,∵PDC △是等边三角形，∴PQ DC ⊥.又平面PDC ⊥底面ABCD ，平面PDC U 底面ABCD DC =，PQ ⊂平面PDC ，∴PQ ⊥底面ABCD ，且PQ =由（1）知BD ⊥平面PDC ，又PD ⊂平面PDC ，BD PD ∴⊥.A PBD P ABD V V --∴=，即1111213332h ⨯⨯=⨯⨯解得h . 19．某省确定从2021年开始，高考采用“3十l +2”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目，“1”表示从物理、历史中任选一门；“2”则是从，生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目．某高中从高一年级2000名学生（其中女生900人）中，采用分层抽样的方法抽取n 名学进行讲行调查．（1）已知抽取的n 名学生中含男生110人，求n 的值及抽取到的女生人数；（2）学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的以名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）．下表是根据调查结果得到的2×2列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在（2）的条件下，从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人，再从这6名学生中抽取2人，对“物理’’的选课意向作深入了解，求2人中至少有1名女生的概率，附：2K ()()()()2() n ad bc a b c d a c b d -=++++，其中n ＝a +b +c +d ． 【解析】（1）因为11020001100n =，所以200n =，女生人数为20011090-=.（2）列联表为：2k 的观测值()2200606050308.9997.8791109090110k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关.（3）从90个选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽6名，这6名学生中有4名男生，记为a 、b 、c 、d ；2名女生记为A 、B ，抽取2人所有的情况为(a,?b)、(a,?c)、(a,?d)、(a,?A)、(a,?B)、(b,?c)、(b,?d)、(b,?A)、(b,?B)、(c,?d)、(c,?A)、(c,)B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共15种，选取的2人中至少有1名女生情况的有(),a A 、(),a B 、(),b A 、(),b B 、(),c A 、(),c B 、(),d A 、(),d B 、(),A B ，共9种， 故所求概率为93155P ==． 20．已知函数()ln (0)b f x a x x a =+≠．（1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a b +=，0b >时，对任意121,,x x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(0,1].【解析】【分析】(1)通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)原问题等价于()()max min f x f x -，)2e ≤-成立，可得()()11min f x f ==，可得()()f x max f e b eb ==-+，即10b e b e --+≤，设()1bb e b e ϕ=--+，(0)b >，可得()b ϕ在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，即可得不等式10b e b e --+≤的解集即可．【详解】(1)函数()f x 的定义域为()0,+∞．当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()22'x a f x x +=． ①当0a >时，()'0f x >，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增．②当0a <时，令()'0f x =，解得：x =，当0x <<()'0f x <，所以函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >时，()'0f x >，所以函数()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增． 综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增． (2)Q 对任意1x ，21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()122f x f x e -≤-成立，()()12()()max min f x f x f x f x -≤-，()()max min f x f x ∴-，)2e ≤-成立，0a b Q +=，0b >时，()()()1ln .'b b b x f x b x x f x x -=-+=．当01x <<时，()'0f x <，当1x >时，()'0f x >，()f x ∴在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在[]1,e 单调递增， ()()11min f x f ==，1f b e b e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()b f e b e =-+，设()()12b b g b f e f e e b e -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，(0)b >，()'220b b g b e e -=+->=．()g b ∴在()0,+∞递增，()()00g b g ∴>=，()1.f e f e ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭可得()()b max f x f e b e ==-+， 12b b e e ∴-+-≤-，即10b e b e --+≤，设()1b b e b e ϕ=--+，(0)b >，()'10bb e ϕ=->在()0,b ∈+∞恒成立． ()b ϕ∴在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，∴不等式10b e b e --+≤的解集为(]0,1．∴实数b 的取值范围为(]0,1．【点睛】本题考查了导数的应用，利用导数研究函数的单调区间，恒成立问题，考查了转化思想、运算能力，属于压轴题．21．如图，椭圆E ：22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)的离心率是2，过点P (0，1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为.（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得||||QA QB ＝||||PA PB 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=（2）()0,2Q 【解析】（1）因为过点P (0，1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为，所以椭圆过点.()，所以222112a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2,a b ==，所以椭圆得方程为：22142x y +=. （2）当l 平行于x 轴，设直线与椭圆相交于C ，D ，两点，如果存在Q 点满足条件， 则有||||QC QD ＝||1||PC PD =，即||||QC QD =，所以Q 点在y 轴上，可设Q 的坐标为()00,y ， 当 l 垂直于x 轴时，设直线与椭圆相交于M ，N ，两点，如果存在Q 点满足条件，则有||||QM QN ＝||||PM PN=，解得01y =或02y = 所以若存在不同于点P 的顶点Q 满足条件，则Q 点的坐标为()0,2当l 不平行于x 轴，当 l 不垂直于x 轴时，设直线方程为()()12211,,,,y kx A x y B x y =+， 与椭圆方程联立221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2212420k x kx ++-=， ()()221212224248120,1212k k k x x x x k k --∆=++>+==++， 又因为点B 关于y 轴的对称点B '的坐标为()22,x y -， 又1122111222212111,,QA QB y kx y kx k k k k x x x x x x '----===-===-+--， 且121220QA QB x x k k k x x '+-=-=，所以QA QB k k '=，则,,Q A B '三点共线， 所以12||||||||x QA QA QB QB x =='＝||||PA PB .故存在存在与点P 不同的定点Q ，使得||||QA QB ＝||||PA PB 恒成立. 【点睛】本题主要考查椭圆方程得求法和直线与椭圆得位置关系以及定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 3sin 48ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上． （1）若直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求FA FB +的值；（2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值．【解析】（1）将,x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48， 得x 2＋3y 2＝48，即2214816x y +=， 因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-0），又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48， 化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8， 所以12FA FB t t +=-===． （2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（θ，4sin θ）（02πθ<<），所以内接矩形的面积82S sin θθθ=⋅=，当4πθ=时，面积S取得最大值【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生2ρ，cos ρθ,sin ρθ以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数θ来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲选修4-5：不等式选讲已知函数() 1.f x x =+（Ⅰ）解不等式()32f x x >-+；（Ⅱ）已知0,0a b >>，且2a b +=()f x x -≤【解析】（Ⅰ）()32f x x >-+，即123x x +++>，由绝对值的几何意义得：(,3)(0,)x ∈-∞-⋃+∞；（Ⅱ）()[]11,1f x x x x -=+-∈-Q ，要证()f x x -≤1≤22a b a b +==+≥Q 1,4ab ≤1.==≥【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，还考查了转化思想及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题。
2020届河北省衡水密卷新高考冲刺模拟考试(九)文科数学
2020届河北省衡水密卷新高考冲刺模拟考试（九)数学（文科）试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.设集合{}2|20M x x =-≤，则下列关系式正确的是（ ） A. 0M ⊆ B. 0M ∉C. 0M ∈D. 2M ∈【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可先化简集合M ，再研究四个选项，由元素与集合的关系的判断出正确选项． 【详解】解：由220x -Q …解得x所以{|M M x x ==，考察四个选项，C 中0M ∈是正确的，B 错误，A 中⊆符号是集合之间关系符号，格式不对，D 选项2M ∈ 显然不成立 故选：C ．【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，解题的关键是化简集合及理解元素与集合关系的判断方法，要注意元素与集合关系的表示符号∈，∉．2.已知a 为实数，若复数()29(3)z a a i =-++为纯虚数，则复数z 的虚部为（ ）A. 3B. 6iC. 3±D. 6【答案】D 【解析】 【分析】根据复数z 为纯虚数，列方程求出a 的值，进而可得复数z 的虚部.【详解】解：由已知29030a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得3a =，故6z i =，其虚部为6，故选D.【点睛】本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题.3.已知平面α与两条不重合的直线,a b ，则“a α⊥，且b α⊥”是“//a b ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若,a b αα⊥⊥，则必有//a b ，但//a b 时，直线,a b 与平面α可以平行，可以相交，可以在平面内，不一定垂直，因此“,a b αα⊥⊥”是“//a b ”的充分不必要条件，故选A ． 4.数列{}n a 是等差数列，11a =，48a =，则5a =（ ） A. 16 B. -16C. 32D.313【答案】D 【解析】 【分析】依据条件求出公差，由通项公式即可求出． 【详解】因为48a =，所以138a d +=，又因为11a =，所以73d =， 可得5a =14a d +=313，故选D. 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用．5.如图，在边长为1的正方形内有不规则图形Ω，由电脑随机从正方形中抽取10000个点，若落在图形Ω内和图形Ω外的点分别为3335,6665，则图形Ω面积的估计值为（ ）A.13B.12C.14D.16【答案】A 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式进行估计即可得到结论． 【详解】解：设图形Ω 的面积为S ，∵由电脑随机从正方形中抽取10000个点，落在图形Ω内和图形Ω外的点分别为3335,6665 ,∴333511,.11000033S S =≈∴≈ 故选A.【点睛】本题主要考查几何概型的应用，利用面积比之间的关系是解决本题的关键，比较基础． 6.函数()2sin 2xf x x =-的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】判断()f x 的奇偶性，以及()f x 在(2上的函数值的符号，结合选项得出答案． 【详解】解：∵()f x 的定义域为{|2}x x ≠，关于原点对称， 又∵()()2sin 2xf x f x x --==--，即函数()f x 是奇函数，∴()f x 的图象关于原点对称，排除A 、D ， 当02x <sin 0x >，220x -<，∴()2sin 02xf x x =<-，排除B ， 故选C ．【点睛】本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊点等方面判断，属于中档题．7.已知双曲线2221x y a-=（a ＞05则a =6 B. 4C. 2D.12【答案】D 【解析】 【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a 的方程求解. 【详解】 ∵双曲线的离心率5ce a==，21c a +， 215a +=，解得12a = ， 故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长(包括底面边长)都是2，E ，F 分别是AB ，11A C 的中点，则EF 与侧棱1C C 所成的角的余弦值是( )A.5 B.25C.12D. 2【答案】B 【解析】 【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点F ，取AC 的中点G ，连接FG ，EG ，∠EFG 为EF 与侧棱C 1C 所成的角，在直角三角形EFG 中求出此角即可． 【详解】解：取AC 的中点G ，连接FG ，EG 根据题意可知FG ∥C 1C ，FG ＝C 1C ； 而EG ∥BC ，EG 12=BC ； ∴∠EFG 为EF 与侧棱C 1C 所成的角， 在Rt △EFG ，cos ∠EFG 255= 故选B ．【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．9.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）A.32B.92C. 1D. 3【答案】D 【解析】 【分析】由三视图还原出原几何体是四棱锥，由棱锥体积公式计算．【详解】由三视图知原四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱PC 与底面垂直，尺寸见三视图，11(12)2332V x =⨯+⨯⨯=，解得3x =．故选：D.【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积，解题关键是由三视图还原出原几何体． 10.已知1213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln3b =，13c e =，则（ ） A .a b c >> B. c a b >> C. b a c >> D. b c a >>【答案】B【分析】本题采用中间值比较法，对三个数进行比较大小，利用指数函数和对数函数的单调性，指数式和1进行比较，对数式和零进行比较，最后得出答案. 【详解】1201()13103a ⎛⎫<= ⎪<⎭=⎝，1ln ln103b =<=，0131c e e >==，所以本题选B. 【点睛】本题综合考查了对数式、指数式的比较大小.解决本题的关键是掌握指数函数、对数函数的单调性以及一些特殊点的特征.本题采用了中间值的比较方法.11.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A. (0,2B. 3(0,]4C. 2D. 3[,1)4【答案】A 【解析】试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，则45b d =，所以4455b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所以0c <≤0c a <≤．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义． 【此处有视频，请去附件查看】12.圆心在曲线1(1)1y x x =>-+上，与直线x+y+1=0相切，且面积最小的圆的方程为（ ） A. x 2+（y-1）2=2B. x 2+（y+1）2=2C. （x-1）2+y 2=2D. （x+1）2+y 2=2【解析】 【分析】设与直线x +y +1＝0平行与曲线1(1)1y x x =>-+相切的直线方程为x +y +m ＝0，切点为P （x 0，y 0），x 0＞﹣1，解得x 0,可得切点P 即圆心，利用点到直线的距离公式可得半径r ,求解即可． 【详解】设与直线x +y +1＝0平行与曲线1(1)1y x x =>-+相切的直线方程为x +y +m ＝0， 切点为P （x 0，y 0）．x 0＞0． y ′＝﹣()211x +，∴﹣()2011x +＝﹣1，x 0＞﹣1，解得x 0＝0．可得切点P （0，1）,两条平行线之间的距离为面积最小的圆的半径；∴半径r．∴圆心在曲线1(1)1y x x =>-+上，且与直线x +y +1＝0相切的面积最小的圆的方程为：x 2+（y ﹣1）2＝2． 故选A ．【点睛】本题考查导数的几何意义、切线方程的求法，考查圆的方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13.已知向量()2,2a =r，()8,6b =-r ，则cos ,a b <>=r r ___________________.【答案】10- 【解析】 【分析】由向量数量积的坐标运算计算．【详解】由题意cos ,10a b <>==-r r．故答案为：10-． 【点睛】本题考查向量夹角的坐标运算，由坐标运算的公式计算即可．14.已知x，y满足约束条件33040x yx yx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y=+的最小值是_____．【答案】94【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【详解】解：作出x，y满足约束条件33040x yx yx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩的对应的平面区域如图：由2z x y=+得2y x z=-+，平移直线2y x z=-+，由图象可知当直线2y x z=-+经过点A时，直线的纵截距最小，此时z最小，由330x yx y+-=⎧⎨-=⎩解得33,44A⎛⎫⎪⎝⎭，此时3392444z=⨯+=，故答案为94．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．15. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b ＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b﹣a），这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得（c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于 ． 【答案】【解析】试题分析：根据题设条件，由（c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项，知[x （b ﹣a ）]2=（b ﹣a ）2﹣x （b ﹣a ）2，由此能求出最佳乐观系数x 的值． 解：∵c ﹣a=x （b ﹣a ），b ﹣c=（b ﹣a ）﹣x （b ﹣a ）， （c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项， ∴[x （b ﹣a ）]2=（b ﹣a ）2﹣x （b ﹣a ）2， ∴x 2+x ﹣1=0， 解得， ∵0＜x ＜1， ∴．故答案为． 点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比中项的计算． 【此处有视频，请去附件查看】16.已知函数()sin23cos2f x x x =，给出下列四个结论：①函数()f x 的最小正周期是π；②函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数；③函数()f x 的图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；④函数()f x 的图像可由函数2sin2y x =的图像向左平移3π个单位得到；其中正确结论是_________________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质判断． 【详解】由题意()2sin(2)3f x x π=+．22T ππ==，①正确； 当[,]63x ππ∈-时，2[0,]6x ππ+∈，()f x 在此区间上不单调，②错误；()2sin(2)0333f πππ=⨯+=，(,0)3π是对称中心，③正确； 函数2sin2y x =的图像向左平移3π个单位得到图象解析式是22sin 2()2sin(2)33y x x ππ=+=+，④错， 所以正确的有①③． 故答案为：①③．【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题时一般是把函数化为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x ωϕ=+形式，然后结合正弦函数性质求解．三、解答题17.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论； (2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可. 【详解】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1 平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.18.本市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼.摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[25,85]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x 和中位数m （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中评出20个最佳作品，并邀请作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会. ①在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数；②若从较年轻的前三组作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在[35,45)的概率.【答案】（1）平均数60，中位数4557（2）①详见解析；②35. 【解析】 【分析】（1）利用每组中点值作为代表，分别乘以频率然后相加，求得样本的平均数.根据面积之和为0.5列方程，解方程求得m 的值.（2）根据比例求得分层抽样每组应抽取的人数.利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】解：（1）在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数300.05400.1500.15x =⨯+⨯+⨯600.35700.2800.1560+⨯+⨯+⨯=.设中位数为m ，由0.050.10.15(55)0.0350.5m +++-⨯=，解得4557m =（或答55.57）. （2）每组应各抽取人数如下表：根据分层抽样的原理，年龄在前三组内分别有1人、2人、3人，设在第一组的是a ，在第二组的是1b ，2b ，在第三组的是1c ，2c ，3c ，列举选出2人的所有可能如下：1(,)a b ，2(,)a b ，1(,)a c ，2(,)a c ，3(,)a c ，12()b b ,，11(,)b c ，12(,)b c ，13(,)b c ，21(,)b c ，22(,)b c ，23(,)b c ，12(,)c c ，13(,)c c ，23(,)c c .共15种情况.设“这2人至少有一人的年龄在区间[35,45]”为事件A ，所有可能如下：1(,)a b ，2(,)a b ， 12()b b ,，11(,)b c ，12(,)b c ，13(,)b c ，21(,)b c ，22(,)b c ，23(,)b c 共9种情况.则93()155P A ==. 【点睛】本小题主要考查频率分布直方图估计平均数和中位数，考查分层抽样，考查列举法求古典概型，属于基础题.19.在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.【答案】(1) 7cos 7DAC ∠=，877AC =；(2) 3 【解析】 【分析】（1）用余弦定理求AC ，再求cos DAC ∠；（2）先求出sin BAC ∠和sin B ，再用正弦定理可求得BC ． 【详解】（1）ACD ∆中，由余弦定理可得：222164222277AC ⎛⎫=⨯-⨯⨯-=⎪⎝⎭，解得AC =，11272cos 2ACDAC AD ∴∠=== （2）设DAC DCA α∠==∠， 由（1）可得：cos sin 7αα==， ()sin sin 120BAC α︒∴∠=-1272714=+⨯=，()sin sin()sin 1802B BAC BCA α︒=∠+∠=-sin 22777α==⨯=在BAC V 中，由正弦定理可得：sin sin BC ACBAC B=∠，3BC ∴==. 【点睛】本题考查余弦定理，正弦定理，考查两角和与差的正弦公式，诱导公式，二倍角公式等．本题属于中档题．解三角形注意公式运用：①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．20.已知函数()x f x e ax b =++的图像在点(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=. （1）求()f x 的表达式；（2）当0x >时，2()1f x x mx ≥++恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）()xf x e x =+；（2）(,e 1]m ∈-∞-.【解析】 【分析】(1)根据题干和导数的几何意义得到()012f a ='+=，解得1a =，()011f b =+=，解得0b =，从而得到解析式；（2）原式等价于e 11x m x x x ≤--+，令()e 11x h x x x x=--+，对函数求导得到函数的单调性，进而得到最值.【详解】（1）()e xf x a '=+，()012f a ='+=，解得1a =，()011f b =+=，解得0b =，所以()xf x e x =+.（2）当0x >时，21x e x x mx +≥++，即e 11x m x x x≤--+.令()e 11(0)x h x x x x x=--+>，则()()22e 11x x x h x x '--+=()()21e 1x x x x ---=.令()e 1(0)xx x x ϕ=-->，()e 10xx ϕ='->， 当()0,x ∈+∞时，()x ϕ单调递增，()()00x ϕϕ>=， 则当()0,1x ∈时，即()0h x '<，所以()h x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，即()0h x '>，所以()h x 单调递增， 综上，()()min 11h x h e ==-，所以(],e 1m ∈-∞-.【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．21.已知A 是抛物线24y x =上的一点，以点A 和点()2,0B 为直径两端点的圆C 交直线1x =于,M N 两点，直线l 与AB 平行，且直线l 交抛物线于,P Q 两点.（1）求线段MN 的长；（2）若3OP OQ ⋅=-uu u r uuu r，且直线PQ 与圆C 相交所得弦长与MN 相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2；（2）直线l 的方程为1x =或3x =. 【解析】试题分析：（1）写出圆的方程，代入x=1，建立关于M,N 点纵坐标的韦达定理，M N MN y y =-，可求解．（2）设()11P x ,y ，()22Q x ,y 由OP OQ 3⋅=-u u u r u u u r ，得1212x x y y 3+=-，则()21212y y y y 316+=-，设直线消x ，可解．试题解析：（Ⅰ）设200,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆C 方程为()()200204y x x y y y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，令1x =，得2200104y y y y -+-=，∴0M N y y y +=，2014M N y y y =-，()2220044124M N M N M N y MN y y y y y y y ⎛⎫=-=+-=--= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）设直线l 的方程为x my n =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，则 由2,{4,x my n y x =+=消去x ，得2440y my n --=，124y y m +=，124y y n =-，∵3OP OQ ⋅=-u u u r u u u r ，∴12123x x y y +=-，则()21212316y y y y +=-，∴2430n n -+=，解得1n =或3n =，当1n =或3n =时，当()2,0B 到直线l的距离d =，∵圆心C 到直线l 的距离等于直线1x =的距离，∴208y = 又20024y m y -=，消去m 得4200646416y y +⋅=，求得208y =， 此时，200240y m y -==，直线l 的方程为3x =，综上，直线l 的方程为1x =或3x =．22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l 的cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为 2 acos ρθ=，a 0> （l ）设t为参数，若1y =-，求直线l 的参数方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q 设M(0,1)-，且2|PQ |4|MP ||MQ |=⋅，求实数a 的值.【答案】（1）212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）；（2）1【解析】 【分析】（1）由直线l的极坐标方程为cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求得1x y -=，进而由1y =-+，代入上式得x =，得到直线的参数方程； （2）根据极坐标与直角坐标的互化，求得222x y ax +=，将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，利用根据与系数的关系，列出方程，即可求解.【详解】（1）直线lcos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即1x y -=， 因为t为参数，若12y =-+，代入上式得2x t =， 所以直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）（2）由2(0)acos a ρθ=>，得22cos (0)a a ρρθ=>，由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得222x y ax += (0)a >将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得)2110t a t ++=.（*）则)2140a ⎤∆=+->⎦且)121t t a +=+，121t t =，设点P ，Q 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的根. 则1MP t =，2MQ t =，12PQ t t =-， 由题设得212124t t t t -=.则有()212128t t t t +=，得1a =或3a =-. 因为0a >，所以1a =【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及普通方程与参数方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 23.（1）解不等式：136x x -++>；（2）若0a >，0b >，2a b +=，证明：2244119a b ⎛⎫⎛⎫--≥⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）()(),42,-∞-+∞U ；（2）见解析 【解析】【分析】(1) 利用绝对值的几何意义，分段解不等式，将所得的结果并起来，得到绝对值不等式的解集； (2)利用反证法结合均值不等式即可证明. 【详解】（1）不等式：136x x -++>3226x x ≤-⎧⇔⎨-->⎩或3146x -<≤⎧⎨>⎩或1226x x >⎧⎨+>⎩4x <-或x ∈∅或2x >解集为()(),42,-∞-⋃+∞.（2）假设：2244119a b ⎛⎫⎛⎫--<⎪⎪⎝⎭⎝⎭则 ()()22222244119922a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫----<⇔< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()4291ab a b ab ab +++⇔，0,0,2a b a b >>+=Q ，212a b ab +⎛⎫∴≤= ⎪⎝⎭故假设与已知矛盾！故假设不成立，原结论成立. 法1 证明：22442222111111a b a a b b Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又2a b +=Q ，22221111a a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222222b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22559a b b a =++≥+=，“=”号成立当且仅当“1a b ==”法2 证明：()22222222221644416441111a b a b a b a b a b -+⎛⎫⎛⎫--=--+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q()22216481a b ab a b -++=+，2a b +=Q ，()2221648811a b aba b ab-++∴+=+，0,0,2a b a b >>=+≥Q 1ab ∴≤，819ab +≥，“=”号成立当且仅当“1a b ==”【点睛】本题考查不等式的解法，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2020届浙江省高三新高考考前冲刺模考试数学试卷(九)及解析
2020届浙江省高三新高考考前冲刺模考试数学试卷（九）★祝考试顺利★(解析版)本试题卷分选择题和非选择题两部分满分150分,考试时间120分钟．参考公式：若事件A ,B 互斥,则()()()P A B P A P B +=+,若事件A ,B 相互独立,则()()()P AB P A P B =,若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p k n -=-=,台体的体积公式()1213V S S h =++, 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =,其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =,其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高, 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=,其中R 表示球的半径 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知集合12A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭,则A =R （） A. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. [0,2]【答案】C【解析】先化简集合,A 再利用补集的定义求解.【详解】由12x <, 得0x <或12x >, 所以集合1(,0),2A ⎛⎫=-∞+∞ ⎪⎝⎭, 所以10,2R A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 故选：C ．2.若(12)5i z -=（其中i 为虚数单位）,则z 的共轭复数z 的虚部是（ ）A. -2B. -2iC. 2iD. 2【答案】A【解析】由复数除法运算求出z ,写出其共轭复数后可得虚部．【详解】由题意得,55(12)1212(12)(12)i z i i i i +===+--+, 所以12z i =-,z 的虚部是-2, 故选：A ．3.已知函数()f x 的导函数'()f x 的图象如图所示,则函数()f x 的图象可能( ）A. B.。
高考模拟试卷文科数学试题及详细答案解析09
高考模拟卷高三文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N C M =I （ ） A ．{}1,3 B ．{}1,5 C ．{}3,5D ．{}4,52．复数()()3i 2i 5--的实部是（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-3．已知点()tan ,cos P αα在第三象限，则角α的终边在第几象限（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．11cos 3π=（ ）A ．32B ．32-C ．12-D ．125．已知α是第一象限角，3tan 4α=，则sin α等于（ ） A ．45 B ．35 C ．45- D ．35-6．已知直线经过点()2,5P -，且斜率为34-，则直线l 的方程为（ ）A ．34140x y +-=B ．34140x y -+=C ．43140x y +-=D ．43140x y -+=7．函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则（ ）A ．2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．在ABC △中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC △是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形9．函数2sin cos y x x =++的最大值是（ ） A ．22-B ．22+C ．22-D ．22--10．已知函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C①图象C 关于直线1112x π=对称； ②函数在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；③把3sin2y x =的图象向右平移3π个单位可得到图象C ．以上三个论断中，正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．311．已知圆1C ：22(1)(1)1x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ） A ．()()22221x y ++-= B ．()()22221x y -++= C ．()()22221x y +++=D ．()()22221x y -+-=12．已知()()()21001x x f x x x ⎧--⎪=⎨<⎪⎩，≤≤，≤，则下列函数的图象错误的是（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．()1y f x =-的图象B ．()y f x =-的图象C ．()y f x =的图象D ．()y f x =的图象 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．点()1,1P -到直线10x y -+=的距离是__________．14．函数()()sin f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）的部分图象如图所示，则()0f = ．15．若()22A ，，()0B a ，，()0C b ，（0ab ≠）三点共线，则11a b+=__________．16．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图象分别交于,M N 两点，则MN 的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知α为第二象限的角，3sin 5α=，β为第三象限的角，4tan 3β=．（1）求()tan +αβ的值； （2）求3sin 4cos 2sin cos ββββ-+的值．18．（12分）已知直线1:230l x y -+=与直线2:2380l x y +-=，Q 为它们的交点，点()04P ，为平面内一点．求：（1）过点P 且与1l 平行的直线方程；（2）过Q 点的直线，且P 到它的距离为2的直线方程．19．（12分）设函数()233cos sin cos 2f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间．20．（12分）在ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a b c ，，，若()cos 2cos b C a c B =-， （1）求B ∠的大小；（2）若7b =，4a c +=，求,a c 的值．21．（12分）在ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a b c ，，，且()223a c b ac +=+．（1）求角B 的大小；（2）若2b =，且()sin sin 2sin2B C A A +-=，求ABC △的面积．22．（12分）已知函数()()22211ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程； （2）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．答 案一、选择题 1．【答案】C【解析】{}2,3,5U C M =，(){}3,5U N C M =I ． 2．【答案】C 【解析】()()3i 2i 5--=265i i 55i1i 55-+-==-实部为1，故选C ． 3．【答案】B【解析】由点()tan ,cos P αα在第三象限可知tan 0cos 0αα<⎧⎨<⎩，所以角α的终边位置在第二象限．4．【答案】D 【解析】11cos3π=π1cos 32⎛⎫-= ⎪⎝⎭，选D ． 5．【答案】B 【解析】3tan 4α=222sin 39,sin cos 1sin cos 425ααααα⇒=+=∴=Q αQ 是第一象限角，3sin 5α∴=，选B ．6．【答案】A【解析】直线l 经过点()2,5P -，且斜率为34-，则()3524y x -=-+即34140x y +-=，故选A ． 7．【答案】A【解析】由图得2π2,π,22362T A T T ωπππ⎛⎫==--=⇒=== ⎪⎝⎭，由πsin 213ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭得()()2πππ2π2π326k k k k ϕϕ+=+∈∴=-+∈Z Z ，因此2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，选A ．8．【答案】B【解析】由正弦定理得::2:3:4a b c =，设2,3,4a m b m c m ===，则由余弦定理得22249161cos 022234a b c C ab +-+-===-<⨯⨯，C ∴为钝角，即ABC △是钝角三角形，选B ．9．【答案】B【解析】2sin cos y x x =++=22sin 4x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，最大值为22+，故选B10．【答案】C【解析】因为①图象C 关于直线1112x =π对称；代入可知函数达到最值，成立．②函数()f x 在区间51212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数；符合题意．由3sin2y x =的图象向右平移6π个单位长度可以得到图象C ，∴③不成立，舍去． 11．【答案】B【解析】圆1C ：()()22111x y ++-=，圆心1,1-（）为半径为1，因为圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则先找1,1-（）关于直线10x y --=的对称点，为（2，-2），所以圆2C 的圆心为（2，-2），半径为1，所以圆2C 为()()22221x y -++=，故选B ．12．【答案】D【解析】()()()21001x x f x x x ⎧--⎪=⎨<⎪⎩，≤≤，≤的图象为，()1f x -的图象是()f x 的图象向右平移1个单位得到的，A 对；()f x -与()f x 关于y 轴对称，B 对；()f x 即为()f x 的图象，C 对；0x Q ≥，()0001x f x x x =⎧⎪∴=⎨<⎪⎩，，≤图象为，D 错；故选D ．二、填空题 13．【答案】322【解析】点()1,1P -到直线10x y -+=1113222++=． 14．【答案】6【解析】由图知A))x ϕ=+，15．【解析】因为()0B a ，，()0C b ，（0ab ≠）所以直线BC过()22A ，，所以16．【答案】MN．三、解答题 17．【答案】（12）0 【解析】（1）∵α在第二象限，（2）因为β为第三象限的角，18．【答案】（1）280x y -+=（2）2y =或∴280y x -=-∴280x y -+=（2）2302380x y x y -+=+-=⎧⎨⎩∴12x y =⎧⎨=⎩，()12Q ，当斜率不存在，则方程为1x =，不合题意，舍去 当斜率存在，设方程()21y k x -=-， 而20kx y k -+-=，∴224444k k k ++=+，234k k =，∴0k =或 ∴方程为2y =或 19．【答案】（1）T =π，()max 1f x =（2【解析】（1∴T =π，()max 1f x =．20．【答案】（1）3B π=（2）1a =，3c =或3a =，1c = 【解析】解：（1）由已知得sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =⋅-⋅ ∴()sin 2sin cos B C A B +=⋅∵B C A +=π- ∴sin 2sin cos A A B =⋅ ∵(),0,A B ∈π ∴1cos 2B =，3B π= （2）∵2222cos b a c ac B =+- 即()273a c ac =+- ∴31679ac =-= ∴3ac = ∵4a c +=∴1a =，3c =或3a =，1c = 21．【答案】（1）3B π=；【解析】（1）把()223a c b ac +=+整理得，222a c b ac +-=，由余弦定理有2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，∴3B π=． (2)ABC △中，A B C ++=π，即()B A C =π-+，故()sin sin B A C =+， 由已知()sin sin 2sin2B C A A +-=可得()()sin sin 2sin2A C C A A ++-=， ∴sin cos cos sin sin cos cos sin 4sin cos A C A C C A C A A A ++-=， 整理得cos sin 2sin cos A C A A =． 若cos 0A =，则2A π=， 于是由2b =，可得2tan c B == 此时ABC △的面积为12S bc ==若cos 0A ≠，则sin 2sin C A =， 由正弦定理可知，2c a =，代入222a c b ac +-=整理可得234a =，解得3a =，进而3c =， 此时ABC △的面积为1sin 23S ac B ==． ∴综上所述，ABC △的面积为3． 22．【答案】（1）625320x y +-=（2）见解析【解析】（1）当1a =时，()221xf x x =+，此时()()222221x f x x '-=+， 所以()6225k f ==-'，又因为切点为42,5⎛⎫⎪⎝⎭， 所以切线方程()462525y x -=--， 曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为625320x y +-=．（2）由于0a ≠，所以()()()()()()222222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭+'==+ 令()0f x '=，得121,x x a a=-=，当0a >时，则12x x <，易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =，当0a <时，则12x x >，易得()f x 在区间(),a -∞，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为增函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数，故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =．。
2020年高考考前大冲刺卷 文科数学(九)
2020年高考大冲刺卷 文 科 数 学（九） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足i 2i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．集合2{|20}A x x x =--≤，{|10}B x x =-<，则A B =U （ ）A ．{|1}x x <B ．{|11}x x -≤<C ．{|2}x x ≤D ．{|21}x x -≤<3．命题“[0,)x ∀∈+∞，1sin x e x ≥+”的否定是（ ）A ．[0,)x ∀∈+∞，1sin x e x <+B ．[0,)x ∀∉+∞，1sin x e x ≥+C ．[0,)x ∃∈+∞，1sin x e x <+ D ．[0,)x ∃∉+∞，1sin x e x <+4．函数1ln(1)y x x =-+的图象大致为（ ）A． B ． C ． D ．5．已知ππsin()3cos()36αα-=--，则tan 2α=（ ）A ．43-B ．32-C ．43D ．32 6．在等比数列{}n a 中，131a a +=，5791120a a a a +++=，则1a =（ ） A ．16 B ．13 C ．2 D ．4 7．已知圆22220x y x y a +-++=截直线40x y +-=所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(217,217)-+ B ．(217,2)- C ．(15,)-+∞ D ．(15,2)- 8．如图，圆M ，圆N ，圆P 彼此相外切，且内切于正三角形ABC 中，在正三角形ABC 内随机取一点，则此点取自三角形MNP （阴影部分）的概率是（ ） A ．312- B ．313- C ．232- D ．233- 9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 作圆22x y b 2+=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12 B ．22 C ．23 D ．6 10．ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，4c =．且cos 3cos a B b A =，则ABC △的面积为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．32 11．已知函数ln ,0(),0x x f x ax x >⎧=⎨≤⎩，若方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．1(0,)e C ．(,0)-∞ D ．(0,1)此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号12．在一个圆锥内有一个半径为R的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切，若该圆锥体积的最大值为9π2，则R =（）A．1B．3C．2D．23第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,1)=a，(2,)m=-b，若(2)-∥a b b，则实数m=．14．甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”，乙说：“丙申请了”，丙说：“甲和丁都没有申请”，丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是．15．已知将函数()sin()f x xωϕ=+（06ω<<，ππ22ϕ-<<）的图象向右平移π3个单位长度得到()g x的图象，若()f x和()g x的图象都关于π4x=对称，则ωϕ⋅=．16．如图，在直角梯形ABCD中，AB BC^，AD BC∥，112AB BC AD===，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF AD^于点F，将DEF△沿EF折起到PEF△的位置，并使PF AF^，则五棱锥P ABCEF-的体积的取值范围为________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{}n a中，33a=，其中22a+，4a，62a-顺次成等比数列．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）记211(1)nnnn naba a++-=，{}nb的前n项和nS，求2nS．18．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C-中，平面11ACC A⊥平面ABC，1AA AC=，90ACB∠=︒．（1）求证：平面11AB C⊥平面11A B C；（2）若160A AC∠=︒，2AC=，1BC=，求四棱锥11A BCC B-的体积．19．（12分）某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查．已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如图所示．规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”．（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人恰有一人为“安全意识优良”的概率．附表及公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．20．（12分）已知椭圆222:12x yCa+=过点(2,1)P．（1）求椭圆C的方程，并求其离心率；（2）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A P'与C交于另一点B，设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．21．（12分）已知函数()(ln )f x x x a b =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为210x y --=． （1）求a ，b 的值；（2）若对任意的(1,)x ∈+∞，()(1)f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系xOy 中，过点(2,0)P 的直线l的参数方程为2x y t ìï=-ïíï=ïî（t 为参数)，圆C 的方程为229x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求||||PA PB ×的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】函数()||f x x a =-，0a <．（1）若2a =-求不等式()(2)2f x f x +>的解集；（2）若不等式1()(2)2f x f x +<的解集非空，求a 的取值范围．2020年高考大冲刺卷 文 科 数 学（九）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．答案：D 解：i 2i12i z +==-，该复数对应的点为(1,2)-，它在第四象限中．2．答案：C解：解得集合{|(2)(1)0}{|12}A x x x x x =-+≤=-≤≤，{|1}B x x =<， ∴{|2}A B x x =≤U ．3．答案：C解：命题为全称命题，则命题的否定为[0,)x ∃∈+∞，1sin x e x <+，故选C ．4．答案：A解：1(1)01ln 2f =>-，排除C ，D ，由10ln(1)y x x ==-+，则方程无解，即函数没有零点，排除B ，故选A ．5．答案：A解：∵已知ππsin()3cos()36αα-=--，即1331sin cos 3(cos sin )2222αααα-=-+，解得3tan 2α=，则22tan tan 2431tan ααα==--，故选A ．6．答案：B解：因为445713()a a a a q q +=+=，891113()a a a a q +=+，所以8420q q +=，所以44q =或45q =-（舍），所以22q =，21311131a a a a q a +=+==，所以113a =． 故选B ． 7．答案：D 解：圆22220x y x y a +-++=，即22(1)(1)2x y a -++=-， 故弦心距114222d --==． 再由弦长公式可得0289a <-<+，∴215a >>-，故选D ． 8．答案：C 解：如图，设一个内切圆的半径为r ，则3AH BG r ==，则2MN GH r ==， 2(31)AB AH BG GH r =++=+， 正三角形ABC 内随机取一点，则此点取自三角形MNP （阴影部分）的概率是2223()()22(31)MBP ABC S MN P S AB r -====+△△． 9．答案：D 解：如图， 2b c =，则222b c =，即2222()a c c -=， 则2223a c =，∴2232c a =，即6c e a ==．故选D ． 10．答案：A 解：ABC △中，∵cos 3cos a B b A =，∴可得22222322a c b b c a a b ac bc 2+-+-⋅=⋅，整理可得22222a b c =+，∵2b =，4c =，∴解得10a =， 可得22102165cos 252102a b c C ab 2+-+-===-⨯⨯，∴225sin 1cos 5C C =-=， ∴1125sin 1022225ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△．故选A ．11．答案：B解：设()()g x f x =--，则()y g x =的图象与()y f x =的图象关于原点对称，方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根等价于函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有5个交点，由图可知，只需y ax =与曲线ln y x =在第一象限有两个交点即可，设过原点的直线与ln y x =切于点00(,)P x y ，由1()f x x '=，则过原点的直线与ln y x =切0001ln ()y x x x x -=-，又此直线过点(0,0)，所以0ln 1x =，所以0x e =，即1()f e e '=，即过原点的直线与ln y x =相切的直线方程为1y x e =，即所求a 的取值范围为10a e <<，故选B ．12．答案：B解：如图，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，由PBO POA △△∼，得22R h R r -=，∴22r h R =-，设圆锥的体积为1V ，∴322111ππ33h V r h R h R 22=⋅=⋅-， 令322()h f h h R =-，则2224422222223()23()()()h h R h h h R f h h R h R 2---'==--． ∴当3h R =23π9π2R =，解得3R =B ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．答案：2- 解：2(4,2)m -=-a b ， ∵(2)-∥a b b ，∴42(2)0m m +-=，∴2m =-，故答案为2-． 14．答案：乙 解：（1）如果是甲，甲说：“丙或丁申请了”，则是错的；乙说“丙申请了”也是错的；丙说“甲和丁都没有申请”就是错的；丁说“乙申请了”也是错的，这样四个错的，不能满足题意，故甲没申请． （2）如果是乙，甲说：“丙或丁申请了”，是错的；乙说“丙申请了”就是错的；丙说“甲和丁都没有申请”，则说法是对的；丁说“乙申请了”也是对的，这样说法对的就是两个丙和丁，满足题意，故乙申请了． （3）如果是丙，甲说：“丙或丁申请了”，是对的；乙说：“丙申请了”，是对的；丙说：“甲和丁都没有申请”，也是对的；丁说：“乙申请了”，就是错的，与题意矛盾，故丙没申请． （4）如果是丁，甲说：“丙或丁申请了”，是对的；乙说：“丙申请了”，是错的；丙说：“甲和丁都没有申请”，是错的；丁说：“乙申请了”，也是错的，与题意矛盾，故丁没申请． 15．答案：3π4-解：把函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度， 得到函数π()sin()3g x x ωωϕ=-+的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于π4x =的图象，则ππππ432k ωωϕ'⋅-+=+，①πππ42k ωϕ⋅+=+，②(,)k k '∈Z 由①②得ππ3n ω=，n ∈Z ，∴3n ω=，又(0,6)ω∈，∴3ω=，∴()sin(3)f x x ϕ=+． 由ππ3π42k ϕ⋅+=+，解得ππ4k ϕ=-， 又ππ(,)22ϕ∈-，∴π4ϕ=-，∴3π4ωϕ⋅=-．16．答案：1(0,)3解：因为PF AF ^，PF EF ^，且AF 交EF 与点F ，所以PF ^平面ABCEF ，设(01)DF x x =<<，则EF x =，2AD x =-，22111(12)1(3)222ABCEF ABCD DEF S S S x x △=-=+?=-所以五棱锥P ABCEF -的体积为23111()(3)(3)326V x x x x x =??-，21()(1)02V x x ¢=-=，∴1x =或1x =-（舍），当01x <<，()0V x ¢>，()V x 递增，故(0)()(1)V V x V <<，(0)0V =，1(1)3V =，所以()V x 的取值范围是1(0,)3．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．答案：（1）n a n =；（2）2221n n S n -=+． 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由已知得2426(2)(2)a a a =+-，所以2(3)(5)(13)d d d +=-+， 化简得2210d d -+=，解得1d =， 所以1321a a d =-=，所以1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-⨯=． （2）由（1）得211(1)2111(1)(1)()(1)1n n n n n n n a n b a a n n n n ++-+==-=-+++， 所以212321111111(1)()()()22334221n n S b b b b n n =++++=-+++-+++++L L 1212121n n n -=-+=++． 18．答案：（1）证明见解析；（2）3． 解：（1）证明：∵平面11ACC A ⊥平面ABC ， 且平面11ACC A I 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠=︒， ∴BC ⊥平面11ACC A ， ∵1AC ⊂平面11ACC A ，∴1BC A C ⊥， ∵11B C BC ∥，即111AC B C ⊥， 又在平行四边形11ACC A 中，1AA AC =， ∴四边形11ACC A 为菱形，∴11AC AC ⊥，∴1A C ⊥平面11AB C ， 即有平面11AB C ⊥平面11A B C ． （2）由（1）知四边形11ACC A 是菱形，160A AC ∠=︒，2AC =，所以1122sin 602ACC S =⨯⨯⨯︒=△因为11B C BC ∥，11B C BC =，BC ⊥平面11ACC A ，1BC =，所以111111133133B ACC ACC V S B C-=⨯⨯=⨯⨯=△，所以1111112322A BCC B A CC B B ACC V V V ---===，即四棱锥11A BCC B -的体积为23．19．答案：（1）列联表见解析，有超过99%的把握认为；（2）35．解：（1）列联表为：22100(1555255)12251210.8284060208096K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，所以有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关．（2）由频率分布直方图可求得70分以上（含70）的人数为100(0.0200.015⨯+0.005)1040+⨯=， 所以按分层抽样的方法抽出5人时，“安全意识优良”的有2人．记“安全意识优良”的为1，2；其余的3人记为a ，b ，c ，从中随机抽取3人，基本事件有(1,2,)a ，(1,2,)b ，(1,2,)c ，(1,,)a b ，(1,,)a c ，(1,,)b c ，(2,,)a b ，(2,,)a c ，(2,,)b c ，(,,)a b c 共10个，恰有一人为“安全意识优良”的事件有6个，所以恰有一人为“安全意识优良”的概率63105P ==．20．答案：（1）22182x y +=，32e =；（2）直线AB 与直线OP 平行，详见解析． 解：（1）由椭圆方程椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P ，可得28a =， ∴222826c a =-=-=， ∴椭圆C 的方程为22182x y +=，离心率63222e ==． （2）直线AB 与直线OP 平行， 证明如下：设直线:1(2)PA y k x -=-，:1(2)PB y k x -=--， 设点A 的坐标为11(,)x y ，22)(,B x y ， 由2218212y k x y x k ⎧⎪⎨⎪=-++⎩=，得222(41)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=， ∴128(21)241k k x k -+=+，∴21288214k k x k --=+， 同理22288241k k x k +-=+，∴1221641k x x k -=-+， 由1121y kx k =-+，2221y kx k =-++，有12122)8(441k y y k x x k k -=+-=-+， ∵A 在第四象限，∴0k ≠，且A 不在直线OP 上，∴121212AB y y k x x -==-， 又12OP k =，故AB OP k k =，∴直线AB 与直线OP 平行． 21．答案：（1）1a =，0b =；（2）3． 解：（1）由()(ln )f x x x a b =++，得()ln 1f x x a '=++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为210x y --=， 所以(1)12f a '=+=，(1)1f a b =+=，解得1a =，0b =． （2）由（1）知()(ln 1)f x x x =+，则(1,)x ∈+∞时，()(1)f x m x ≥-恒成立， 等价于(1,)x ∈+∞时，(ln 1)1x x m x +≤-恒成立．令(ln 1)()1x x g x x +=-，1x >，则2ln 2()(1)x x g x x --'=-． 令()ln 2h x x x =--，则11()1x h x x x-'=-=， 所以1x >，()0h x '>，()h x 单调递增． 因为(3)1ln 30h =-<，(4)22ln 20h =->， 所以存在0(3,4)x ∈使0()0h x =．且0(1,)x x ∈时，()0g x '<；0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>， 所以00min 00(ln 1)()()1x x g x g x x +==-，因为00ln 20x x --=，所以00ln 2x x =-， 所以00min 000(21)()()(3,4)1x x g x g x x x -+===∈-，所以0(3,4)m x ≤∈，即正整数m 的最大值为3． 22．答案：（1）π:cos()13l r q -=，:3C r =；（2）||||5PA PB ?． 解：（1）直线l普通方程为20x +-=，将cos sin x y r q r qì=ïïíï=ïî，代入得cos sin 20r q q +-=，整理得直线l 的极坐标方程为πcos()13r q -=， 圆C 的极坐标方程为3r =．（2）直线l的参数方程为2x y tìï=-ïíï=ïî（t 为参数），将其代入229x y +=，得250t --=， 所以12||||||5PA PB t t ?=． 23．答案：（1）()2,2,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）(1,0)-． 解：（1）当2a =-时，()|2|f x x =+，()(2)|2||22|2f x f x x x +=+++>，不等式可化为22222x x x ì?ïïíï---->ïî或212222x x x ì-<<-ïïíï+-->ïî或12222x x x ì?ïïíï+++>ïî， 解得()2,2,3x ⎛⎫∈-∞--+∞ ⎪⎝⎭U ． （2）()(2)|||2|f x f x x a x a +=-+-，当x a £时，()223f x a x a x a x =-+-=-，则()f x a ?；当2a a x <<时，()2f x x a a x x =-+-=-，则()2af x a -<<-； 当2ax ³时，()232f x x a x a x a =-+-=-，则2ax ?， 所以函数()f x 的值域为[,)2a-+?， 因为不等式1()(2)2f x f x +<的解集非空，即为122a >-，解得1a >-，由于0a <，则a 的取值范围为(1,0)-．维权声明。
2020年高考考前大冲刺卷 文科数学(二)解析
2020年高考大冲刺卷文 科 数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}11A x x =-<<，{}220B x x x =--<，则()A B =R I ð（ ） A ．(1,0]- B ．[1,2)-C ．[1,2)D ．(1,2]【答案】C【解析】由题意知，{1A x x =≥R ð或}1x ≤-，又{}{}22012B x x x x x =--<=-<<，{}()12A B x x ∴=≤<R I ð，故选C ．2．已知i 为虚数单位，则复数13i 1iz -=+的共轭复数是（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．2i +【答案】A 【解析】13i 2(1i)1i 1i(1i)(1i)z --===-++-，z ∴的共轭复数为1i +，故选A ．3．已知平面向量(1,)x =a ，(4,2)=b ，若向量2+a b 与向量b 共线，则x =（ ）A ．13B ．12C ．25D ．27【答案】B【解析】由题意，得2(6,22)x +=+a b ，又向量2+a b 与向量b 共线，4(22)12x ∴⨯+=，解得12x =． 4．执行如图所示的程序框图，若输入的14π3x =，则输出的y 的值为（ ）A ．12B ．12-C ．32D ．32-【答案】D 【解析】2π4π3x =+Q ，223sin(ππ4π)sin π332y ∴=++=-=-，故选D ． 5．在新一轮的高考改革中，一名高二学生在确定选修地理的情况下，想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习，则所选的两科中一定有生物的概率是（ ）A ．310B ．710C ．25D ．35【答案】C【解析】学生在确定选修地理的情况下，从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科的方法有：(历史，政治)，(历史，化学)，(历史，生物)，(历史，物理)，(政治，化学)，(政治，物理)，(政治，生物)，(化学，生物)，(化学，物理)，(生物，物理)，共10种，其中含有生物的选择方法有：(历史，生物)，(政治，生物)，(化学，生物)，(生物，物理)，共4种， 则所选的两科中一定有生物的概率42105P ==，故选C ． 6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若82a =，798S =，则39a a +=（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10【答案】A【解析】由74798S a ==，解得414a =， 又82a =，394816a a a a ∴+=+=．7．已知直线l 过点(2,0)-且倾斜角为θ，若l 与圆22(3)20x y -+=相切，则3sin(π2)2θ-=（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．35B ．35-C ．45D ．45-【答案】A【解析】由题意可设直线:tan (2)l y x θ=+，因为l 与圆22(3)20x y -+=相切，25tan 201tan θθ∴=+，2tan 4θ∴=，2222223sin cos tan 1413sin(π2)cos 22cos sin 1tan 145θθθθθθθθ---∴-=-====+++，故选A ．8．已知实数x ，y 满足约束条件104400x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则22y z x +=-的取值范围是（ ）A ．3(,][1,)2-∞-+∞UB ．1(,][2,)2-∞-+∞UC ．1[,2]2-D ．(,1][2,)-∞-+∞U【答案】A【解析】作出约束条件104400x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图中阴影部分所示．22y z x +=-的几何意义是可行域内的点(,)x y 与点(2,2)P -连线所在直线的斜率， 易知(4,0)A ，(0,1)B ，1PA k =，32PB k =-，由图可知23(,][1,)22y x +∈-∞-+∞-U ，故选A ．9．已知函数π()sin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则π()6f -=（ ）A ．12-B ．1-C ．12D ．32-【答案】B【解析】由题意及()f x 的图象得，2A =，411π(π)π3126T =⨯-=，2ω∴=， 易知ππ262ϕ⨯+=，π6ϕ∴=，π()2sin(2)6f x x ∴=+，ππππ()2sin[2()]2sin()16666f ∴-=⨯-+=-=-，故选B ．10．在正三棱锥O ABC -中，7OA =，23BC =，M 为OA 上一点，过点M 且与平面ABC平行的平面截三棱锥成表面积相等的两部分，则OMOA=（ ） A ．12B ．13 C ．32D ．33【答案】C【解析】设过点M 且与平面ABC 平行的平面分别交OB ，OC 于点N ，T ， 则被截得的上下两部分的表面积各去掉TMN S △之后仍相等， 都等于正三棱锥O ABC -表面积的12． 对于正三棱锥O ABC -，易知其表面积为2113232(23)sin 609322⨯⨯⨯+⨯︒=， 侧面积为63，所以三棱锥O MNT -的侧面积为932，故293332()463OM OM OA OA ==⇒=． 11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过右顶点A 作一条渐近线的垂线交另一条渐近线于点B ，若3OB OA =，则双曲线的离心率为（ ）A 2333B 2 C 3D 332【答案】A【解析】不妨设点(,)B x y 在渐近线b y x a =-上，易知直线AB 的方程为()ay x a b=--， 联立得()b y x a a y x a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得322222a x a b a by a b ⎧=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，3OB OA =Q ，223OB OA =，即322222222()()3a a b a a b a b+-=--，化简得4222223()a a b a b +=-，得223a b =或222a b =，22222413c b e a a ∴==+=或3，233e ∴=或3，故选A ．12．定义函数348,122()1(),222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间[1,2]()n n *∈N 内所有零点的和为（ ） A ．nB ．2nC ．3(21)4n-D ．3(21)2n-【答案】D【解析】由函数()()60g x xf x =-=，得6()f x x =，故函数()g x 的零点，即函数()y f x =和函数6y x=图象交点的横坐标，由函数()f x 的解析式知，可将()f x 的定义区间分段为[1,2]，2(2,2]，23(2,2]，L ，1(2,2]n n-，并且()f x 在1(2,2](2,)n n n n -*≥∈N 上的图象是将()f x 在21(2,2]n n --上的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的12后得到的． 作出函数()y f x =在区间[1,2]上的图象，再依次作出在区间(2,4]，(4,8]，L ，1(2,2]n n -，上的图象，并作出函数6(1)y x x=≥的图象，如图，结合图象可得两图象交点的横坐标是函数()y f x =的极大值点，由此可得函数()g x 在区间1(2,2]n n-上的零点为1222322n nn --+=⨯， 则函数()g x 在区间[1,2]()n n *∈N 内所有零点的和为3(12)32(21)122n n -=--，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知曲线31433y x =+，则曲线在点(2,4)处的切线方程是 ． 【答案】440x y --= 【解析】2y x '=Q ，∴曲线31433y x =+在点(2,4)处切线的斜率为4， ∴切线的方程为44(2)y x -=⨯-，即440x y --=．14．某空间几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为1，则该几何体的所有面中最大面的面积为 ．【答案】3【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥，记为P ABCD -，其中PA ⊥平面ABCD ，22AB AD BC ===， 设PA x =，由题意可得1(12)2132x +⨯⨯⋅=，解得1x =，故PB CD PD ===PC =易得PCD PAB S S >△△，11212PADS =⨯⨯=△，112PBC S =⨯=△， 1(12)232ABCD S =⨯+⨯=四边形，122PCD S ==△， 故该几何体中最大面的面积为3．15．设数列{}n a 满足1(1)()2n n n na n a n n *+-+=∈+N ，112a =，n a = ．【答案】21n n +【解析】∵1(1)()2n n nna n a n n *+-+=∈+N ，11111(1)(2)12n n a a n n n n n n +-==-+++++， ∴11111n n a a n n n n --=--+，L ，21112123a a -=-， 累加可得：11121n a a n n -=-+，112a =Q ，1111n a nn n n ∴=-=++，21n n a n ∴=+． 16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且图象关于直线2x =对称，在区间[0,2]上，()x xf x e=，(8ln 7ln 3)a f =+-，(24ln172ln 2)b f =+-，1c e=，则a ，b ，c 的大小关系是 ．【答案】c a b >>【解析】由题意得()()f x f x -=-，(4)()f x f x -=，(4)()f x f x ∴-=--， 令t x =-，则(4)()f t f t +=-，(8)[4(4)](4)()f t f t f t f t ∴+=++=-+=， ∴()f x 是以8为周期的函数，故7(ln )3a f =，17(ln)4b f =， 易知7ln3，17ln 4均在区间[0,2]上， ∵在区间[0,2]上，()x x f x e=，()(1)xf x x e -'∴=-，令()0f x '=，解得1x =，故当[0,1)x ∈时，()0f x '>，当(1,2]x ∈时，()0f x '<，()f x ∴在1x =处取得极大值．又7ln 2(ln )(ln 2)32f f >=，17ln 4ln 2(ln )(ln 4)442f f <==，且(1)c f =为最大值， 故c a b >>．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，E 是BC 的中点，3AC =，AE =2213cos 7cos 60ABE AEB ∠-∠-=．（1）求AB ； （2）求C ．【答案】（12）π3． 【解析】（1）2213cos 7cos 60ABE AEB ∠-∠-=Q ，2213(1cos )7(1cos )0ABE AEB ∴-∠--∠=，即2213sin 7sin ABE AEB ∠=∠ABE AEB ∠=∠，=，又AE =AB ∴=（2）设EC a =，则2Bc a =，由余弦定理，得22979413cos 23232a a C a a+-+-==⨯⨯⨯⨯，2a ∴=，9471cos 2322C +-∴==⨯⨯，(0,π)C ∈Q ，π3C ∴=．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，22AB AD BC ===，BC AD ∥，AB AD ⊥，PBD △为正三角形，且PA = （1）证明：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）若点P 到平面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且PB ∥平面ACE ，求三棱锥A CDE -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）89． 【解析】（1）因为AB AD ⊥，2AB AD ==，22BD ∴=， 又PBD △为正三角形，22PB PD BD ===，2AB =Q ，23PA =，AB PB ∴⊥．又AB AD ⊥，BC AD ∥，AB BC ∴⊥， 又PB BC B =I ，所以AB ⊥平面PBC ， 又AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PBC ． （2）如图，设BD ，AC 交于点O ，BC AD Q ∥，且2AD BC =，2OD OB ∴=，连接OE ，又PB ∥平面ACE ，PB OE ∴∥，2DE PE ∴=， 又点P 到平面ABCD 的距离为2，∴点E 到平面ABCD 的距离24233h =⨯=，所以111482233239A CDE E ACD ACD V V S h --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故三棱锥A CDE -的体积为89．19．（12分）2019年非洲猪瘟在东北三省出现，为了防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲、乙两个养殖场提供技术服务，两种方案如下：方案一：公司每天收取养殖场技术服务费40元，对于需要用药的每头猪收取药费2元，不需要用药的不收费；方案二：公司每天收取养殖场技术服务费120元，若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药的猪超过45头，超过的部分每头猪收费标准为8元．（1）设日收费为y (单位：元)，每天需要用药的猪的数量为n (单位：头)，试写出两种方案中y 与n 的函数关系式；（2）若该生物医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务，10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和10月份的猪的发病数量(单位：头)进行了统计，得到了如下的22⨯列联表：9月份 10月份 合计未发病 4085125发病 65 20 85 合计105105210根据以上列联表判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与该生物医药公司提供技术服务有关；附：20()P k k ≥0.050 0.010 0.0010k3.8416.63510．828（3）当地的丙养殖场对过去100天的猪的发病情况进行了统计，得到如图所示的条形图．依据该统计数据，把频率视为概率，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验，从两个方案中选择一个，那么选择哪个方案更合适，请说明理由．【答案】（1）方案一：402,y n n *=+∈N ，方案二：120,45,8240,45,n n y n n n **⎧≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N ；（2）有99.9%的把握认为；（3）选择方案二，详见解析．【解析】（1）由题意得，方案一中的日收费y (单位：元)与需要用药的猪的数量n (单位：头)的函数关系式为402,y n n *=+∈N ，方案二中的日收费y (单位：元)与需要用药的猪的数量n (单位：头)的函数关系式为：120,45,8240,45,n n y n n n **⎧≤∈⎪=⎨->∈⎪⎩N N．（2）由列联表计算可得22210(85654020)40.0212585105105k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， 40.0210.828>Q ，所以有99.9%的把握认为猪未发病与该生物医药公司提供技术服务有关． （3）设方案一中的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为：()1240.21280.41320.21360.11400.1130E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；设方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为：()1200.61280.21440.11600.1128E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=， ()()E X E Y =Q ，所以从节约养殖成本的角度去考虑，丙养殖场应该选择方案二．20．（12分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点是椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点，且两条曲线相交于点2(3． （1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 右顶点的两条直线1l ，2l 分别与抛物线1C 相交于点A ，C 和点B ，D ，且12l l ⊥， 设M 是AC 的中点，N 是BD 的中点，证明：直线MN 恒过定点．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）∵2(3在抛物线1C 上，2223p ∴=⨯，解得2p =， ∴抛物线1C 的焦点坐标为(1,0)，则221a b -=① 易知22222()331a b+=②，∴由①②可得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴椭圆2C 的方程为22143x y +=． （2）设直线11:2l x k y =+，直线22:2l x k y =+，由2142y x x k y ⎧=⎨=+⎩，得21480y k y --=， 设11(,)A x y ，22(,)C x y ，则1214y y k +=，12M y k ∴=，则2122M x k =+，即211(22,2)M k k +，同理得222(22,2)N k k +，∴直线MN 的斜率21222112221(22)(22)MN k k k k k k k -==+-++，则直线MN 的方程为2111212(22)y k x k k k -=--+，即12121[2(1)]y x k k k k =--+， ∵12l l ⊥，∴12111k k ⋅=-，即121k k =-， ∴直线MN 的方程为121(4)y x k k =-+，即直线MN 恒过定点(4,0)．21．（12分）已知函数()ln ()f x x ax a =-∈R ． （1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性； （2）证明：2ln 0xe e x ->恒成立． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意得11()(0)axf x a x x x-'=-=>， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得到1x a=， 所以当1(0,)x a∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1(,)x a∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减．（2）记函数22()ln ln x x e x ex x e ϕ-=-=-，则21()x x e xϕ-'=-，。
2020年高考全国统一考试文科数学冲刺试卷及答案解析(一)
绝密★启用前2020年晋通爲等学校招生全国统一考试文科数学冲剌试卷（•）<⅛ «：120分钟满分J50分〉注•事项：1•齐总前・彭生务必将白己的址名、号生巧等填丐亦签题卡和试卷 指定位置h.2.冋答迭择国时•透出毎小题答案后•用锻笔把答題卡上对应題日 的答案标号漆黒•如盂改动•用濛皮≡T⅛>G∙再述徐其他答案採号• I 叫答作选择題时•将衿案书在答迪卡上•丐住本试左上无效.3号诫结車后•将本试住和存并交何•一、迭择題：本題共12小題，毎小題5分•共60分.在每小題饴出 的四个迭项中•只有一项是符合题目姜求的.文集合 Λ=u ∈N ∣ -3<j <l∏B={y ∣ v=r ÷1}∙则人∏<C B B) =()A∙ {2∙3} B{0}C. {0.1}D∙ {—2«— 1*0∙1}2.设复数H=冷.则"1 =()■ /H √26A2 " 2，C. √T3D. √263.如图所示.AAB 「中∙D∙E 分别是线段BC.AB 的中点•则我4•为了研究OO 后求职H 寸考虑的要素•研究人员随机抽取了一定 数量的00后求职者逬行调杳•所得情况统计如F 图所示•则下文科数学 冲剌试卷（一）第1页（共6趺尸A. -2 D⅛--∣-BΓ C.-1 I>Γ--J-TfCB∙ -2 Df ⅛ ^hCD.-3 Df--I-W②公诵風利Mlne4）聲朋体亀ΦbArtr*A.参与JHI充的求馭希总人数町旄为3000H.接受调代的()0话求职者中•选择“棒陪体条”的人数最名C. 接受凋杳的00肓求职幷中•选择-公司福利-的人数最少D. 接受崗査的00后求职旨中•选抒“薪酬休系“的人数可能比选择"培Ull机遇”的多400人5. 已知长方体ABCD-A I B I C I D l的8个顶点都生圆柱Oo r的底面関周上•若Λ(1-5√2.AA1-6.则関柱的体积为( )Λ,63κB,42π C. 21π D. 8心6. 若函象/(χ) = e,j,÷(2M-l)s in x + m<√ + l>为训诵数•则曲线^≡∕(χ)在点(1.∕(∣))处的切线方程为( ) A∙ y= <e+ I)X B. y=(e+ 1 )χ-(e+1)C∙ >∙=ex÷e D. βy=e-r-e7. F图中小正方形的边氏为1・祖实线f⅛岀的是茱圄柱的三视图・侧柱表⅛i卜的点M在的觇图卜的对应点为A •側件表面上的点N在止觇图和俯視圏丄的对应点分别为B.B∖MΨ点B为劣弧&两数Λx>= Asin(2x+y) + 4Λ<)上单调递减•A∙叶考] B∙>f-T]C.[一节・—OD. [γ.y]9.已知椭圆G斗十*≡≡i(α>Q0)的左.右焦点分别为F1.F1. U b第一象限的点M住椭圆「匕•若ZAfFJ)= vZ-WOF1 = 15*.WffJsIC的离心半为( )A 普Kf C,√3-l n.⅛l10•已知长方体ABCD-A1B1C1D1中JB = 4∙BC=3∙若険长方休的表面积为66.W直线Br l与平面ACC I A I所成角的正切值为( )文科敦学冲则试卷(一》第2页(Jt 5页)11.已知角α*的顶点为坠标贩点•始边与*轴的非负半轴∙R 介.A(IMhn).B(∕r,∕n ＞分别是角α*终边上的点•找中mn≠Q.若 LL^±J, W z 2尸 ()Sin a嗨 ＜f+ 4才二＞_少的取值范国为 A.「― 1・—卜 C.(-2∙-l)D.(-2∙-l]二、填空題：本題共4小题，毎小題3分，共20分. 13. IOgI 16+ log 23 I IOgI 144— ______ .=—2a yP6∙2^÷y>0.W z ≈2χ-y 的用大值为J -Λ≤δ∙15•已知BI 「过点<0.0)U6∙-8>∙(6∙0)>iilft 点的直线 /与BIC交TM. V 曲点•若IMNl=√Σ∙则直仪I 的方程为 ____________ 16. MH 为J 响应国凉勺出•实现全Ir 脱贫”・且委决定开发H 城旅游业•首先计 划修建一条从县城到达诫区的公路.已 知且城与槓区通路的中段有一座高山， 需婆條涌一圣陡酒A/人为ΓMy^∣α AD 的艮度，现在平面ABCD 中测鈕相应数!《•其中 A D - 5 √3 . B(-10.C 7＞- 8. «ij AI)^ ______ . 三、解答題：共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步费.第17-21題为必考题，每个试JS 考生都必须作答.第22、23雄 为选考题•考生根据更求作答. 17. (*小题满分12分〉记許序为2的数列｛α.｝的炳R 项和为S.. U 2S, = S rψl -2.tt 列他｝满足⅛≡⅛・(I )证阴，数列｛“.｝为零比数列：(Il ＞记数列的前"项和为丁.•若丁.玄20,求实数入的 取值范围.)2co^ B=戸丐YX 「若/(3x+ 1 )＞∕(x) •则实数.r 2・才＜ —2∙18. 《本小题满分12分）已知WfeBS-ABCO 中•底rti AHCI）是菱形.ZAHC=120∖ SA = SD=2・点V足:线段人D的中点・IL SD丄BN•点G亦线段SC上.（I ［求证：SB丄ADI< U）若NSAD=60°.点Vf是线段B（、上靠近「的四等分点• 平而DGM丄T tf∏ ABCD•求二棱傩D-CMG的体积.19. （本小题满分12分）为了比较传统新旳粗食〃的产Ift是杏有力別，研左人员在若ΓH±地上分别种植/传统粮食α与新型粮食$,并收坐统计了&的山产址•所得数据如卜图所示・U知传统粗生α 的产量约为760公斤/亩.< 1）求新型粮伏0的由产Ja在［785.805）的槪率，<∏〉通过计算比较传统報食α与新型粮食0的平均亩产昴间的大小关系$（IIl）现按分整抽样的方法，在种植新熨粮食3的由产貳介于［785.805）的上地中抽取6山••再庄这6应土地中随机抽収2 亩研究粮食的生产是否受到上壤的影响•求抽到的2亩上地新加粮您0的商产就都在IX间［785.795）卜的御率.广20. (本小题満分12分〉巳知抛物线C s√=2^(p>0)的焦点F到准线的/的距离为2•点M,N是抛物线C上的点•且MFN三点共线.(I〉若IMNl = I2・求直线MN的方程；(Il)直线Z l山分别是抛物线C在M・N处的切线，且直线Z I, I Z交点为A.求证:AF丄MF.21. (本小題满分12分)已知西数/(x) = γ —W -J?"----- c∣j∙.(I)若α = 2∙求函数/(工)的单凋区间；(H)若关于的不等式2/(工)+αj^ + (∙τ' +J^)1Π J∙+A≥O恒成立•求证：36—6α÷5≥0.22∙（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程平面直角坐标系χθy中•直线/的参数方程为J r=^Z为j=√6∕.参数）•以坐标原点为极点・才轴的正半轴为极轴建立极坐标系•曲线「的极坐标方程财7严=Sin 0.（I）求曲线（、的参数方程和直线/的极坐标方程：（II）若在线加的极坐标方程为O = ^（Pe R）・设曲线C与直线/的交点为o、M•曲线C与直线加的交点为O、N•求△OMN的面枳.23.（本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲已知函数/（x） = ∣mx+11 + |工一加I +fc r∙（I）若加=2・求不等式/（j-）≥8的僧集：< U）若m>0.关于工的不等A∕<∙r）≥^∙÷2在R上恒成立，求实数加的取值范围•2020佯普通盛等学校招生全国统一考试文科数学模拟试卷(•)C rM βτl（fttt G .Λ-1 .f e NI -J<./ < O-<<∣∙1.2.3hB -<v∣v-2,÷∏-{v∣ y> H •期£』一Iyl τ≤ 门•故4D （CHB）=I-SSWlIN XJ-√÷ S •扳一；G \・衬味Ih 爲⅛I ÷∖ fi ∣∈H.⅛徐ΛJ3.⅛ 2 I •本B中給易由于翼砒・J E、哺* "•府W的花》⅛-<-2.-k<l.l.?.：<! .⅛>⅞S⅛ W 人靑今力斤/令对氏念•块冷约泾耳• h 5祈5*卸— g m誥占i';二'7 JiT二宁故ld = 74'-ς-⅛p^-■Aii6 B.【知识惟摆】I=I整卡友红乂的馍龙•乂一个X⅛⅛j4iφ→ ^=u-∕d<u∙∕÷R?. tfi∣√l= √u r^Λr. «什•建叹為屮冷R1 -20 口旳竹・4方抚巧穴卜比・；・「【命St聿绍】金騎人罟务t ⅛⅛⅛⅛4∙岌我的走令・A 【解IfiI^ADtfi中点M i^r⅛∙∣∙⅛ X .ji⅛ ΓA∕.Λ∕.∖. 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2020年高考数学金榜冲刺卷(解析版)
2020年高考金榜冲刺卷数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{}1,2,3A =，集合{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合B 中元素的个数为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】{}1,2,3A Q =，{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，1,2,3x ∴=，1,2,3y =.当1x =时，0,1,2x y -=--;当2x =时，1,0,1x y -=-；当3x =时，2,1,0x y -=.即2,1,0,1,2x y -=--，即{}2,1,0,1,2B =--共有5个元素.故选B.2．已知角α的终边经过点(,2)P x ，且cos α=，则x =（ ） A ．4-B ．2-C ．2D ．4 【答案】A【解析】cos α==，∴22445x x =+，且0x <，解得4x =-，故答案A. 3．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 【答案】B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B. 4．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//mB ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥ 【答案】C【解析】对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误；对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误；对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确；对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误.故选：C.。
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2020年高考大冲刺卷文 科 数 学（九）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足i 2i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D解：i2i12i z +==-，该复数对应的点为(1,2)-，它在第四象限中． 2．集合2{|20}A x x x =--≤，{|10}B x x =-<，则A B =U （ ） A ．{|1}x x < B ．{|11}x x -≤< C ．{|2}x x ≤D ．{|21}x x -≤<答案：C解：解得集合{|(2)(1)0}{|12}A x x x x x =-+≤=-≤≤，{|1}B x x =<， ∴{|2}A B x x =≤U ．3．命题“[0,)x ∀∈+∞，1sin x e x ≥+”的否定是（ ） A ．[0,)x ∀∈+∞，1sin x e x <+ B ．[0,)x ∀∉+∞，1sin x e x ≥+ C ．[0,)x ∃∈+∞，1sin x e x <+ D ．[0,)x ∃∉+∞，1sin x e x <+答案：C解：命题为全称命题，则命题的否定为[0,)x ∃∈+∞，1sin x e x <+，故选C ． 4．函数1ln(1)y x x =-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A 解：1(1)01ln 2f =>-，排除C ，D ，由10ln(1)y x x ==-+，则方程无解，即函数没有零点，排除B ，故选A ．5．已知ππsin()3cos()36αα-=--，则tan 2α=（ ）A ．43-B ．32-C ．43D ．32答案：A解：∵已知ππsin()3cos()36αα-=--，即1331sin cos 3(cos sin )2222αααα-=-+，解得3tan α=， 则22tan tan 2431tan ααα==--，故选A ．6．在等比数列{}n a 中，131a a +=，5791120a a a a +++=，则1a =（ ）A ．16B ．13C ．2D ．4答案：B解：因为445713()a a a a q q +=+=，891113()a a a a q +=+， 所以8420q q +=，所以44q =或45q =-（舍），所以22q =，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号21311131a a a a q a +=+==，所以113a =．故选B ．7．已知圆22220x y x y a +-++=截直线40x y +-=所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(217,217)-+B ．(217,2)-C ．(15,)-+∞D ．(15,2)-答案：D解：圆22220x y x y a +-++=，即22(1)(1)2x y a -++=-， 故弦心距114222d --==．再由弦长公式可得0289a <-<+，∴215a >>-，故选D ．8．如图，圆M ，圆N ，圆P 彼此相外切，且内切于正三角形ABC 中，在正三角形ABC 内随机取一点，则此点取自三角形MNP （阴影部分）的概率是（ ）A ．312- B ．313- C ．232- D ．233- 答案：C解：如图，设一个内切圆的半径为r ，则3AH BG r ==，则2MN GH r ==，2(31)AB AH BG GH r =++=+，正三角形ABC 内随机取一点，则此点取自三角形MNP （阴影部分）的概率是22223()()22(31)MBP ABC S MN r P S AB r-====+△△．9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆22x y b 2+=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．22C ．23D ．63答案：D 解：如图，2b c =，则222b c =，即2222()a c c -=，则2223a c =，∴2232c a =，即63c e a ==．故选D ．10．ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b =，4c =．且cos 3cos a B b A =，则ABC △的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32答案：A解：ABC △中，∵cos 3cos a B b A =，∴可得22222322a c b b c a a b ac bc2+-+-⋅=⋅，整理可得22222a b c =+， ∵2b =4c =，∴解得10a =，可得225cos 252102a b c C ab 2+-===-⨯⨯，∴225sin 1cos 5C C =-=， ∴1125sin 102222ABC S ab C ===△．故选A ． 11．已知函数ln ,0(),0x x f x ax x >⎧=⎨≤⎩，若方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,)+∞B ．1(0,)eC ．(,0)-∞D ．(0,1)答案：B解：设()()g x f x =--，则()y g x =的图象与()y f x =的图象关于原点对称，方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根等价于函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有5个交点，由图可知，只需y ax =与曲线ln y x =在第一象限有两个交点即可， 设过原点的直线与ln y x =切于点00(,)P x y ， 由1()f x x '=，则过原点的直线与ln y x =切0001ln ()y x x x x -=-， 又此直线过点(0,0)，所以0ln 1x =， 所以0x e =，即1()f e e '=，即过原点的直线与ln y x =相切的直线方程为1y x e=， 即所求a 的取值范围为10a e<<，故选B ．12．在一个圆锥内有一个半径为R 的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面相切，若该圆锥体积的最大值为9π2，则R =（ ）A ．1B ．3C ．2D ．23答案：B解：如图，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，由PBO POA △△∼，得22R h R r -=，∴22r h R =-，设圆锥的体积为1V ，∴322111ππ33h V r h R h R22=⋅=⋅-， 令322()h f h h R=-，则2224422222223()23()()()h h R h h h R f h h R h R 2---'==--． ∴当3h R =23π9π2R =，解得3R =B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,1)=a ，(2,)m =-b ，若(2)-∥a b b ，则实数m = ． 答案：2-解：2(4,2)m -=-a b ，∵(2)-∥a b b ，∴42(2)0m m +-=，∴2m =-，故答案为2-．14．甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”，乙说：“丙申请了”，丙说：“甲和丁都没有申请”，丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 ． 答案：乙解：（1）如果是甲，甲说：“丙或丁申请了”，则是错的；乙说“丙申请了”也是错的；丙说“甲和丁都没有申请”就是错的；丁说“乙申请了”也是错的，这样四个错的，不能满足题意，故甲没申请．（2）如果是乙，甲说：“丙或丁申请了”，是错的；乙说“丙申请了”就是错的；丙说“甲和丁都没有申请”，则说法是对的；丁说“乙申请了”也是对的，这样说法对的就是两个丙和丁，满足题意，故乙申请了．（3）如果是丙，甲说：“丙或丁申请了”，是对的；乙说：“丙申请了”，是对的；丙说：“甲和丁都没有申请”，也是对的；丁说：“乙申请了”，就是错的，与题意矛盾，故丙没申请．（4）如果是丁，甲说：“丙或丁申请了”，是对的；乙说：“丙申请了”，是错的；丙说：“甲和丁都没有申请”，是错的；丁说：“乙申请了”，也是错的，与题意矛盾，故丁没申请．15．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，ππ22ϕ-<<）的图象向右平移π3个单位长度得到()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于π4x =对称，则ωϕ⋅= ． 答案：3π4-解：把函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度， 得到函数π()sin()3g x x ωωϕ=-+的图象， 若()f x 和()g x 的图象都关于π4x =的图象，则ππππ432k ωωϕ'⋅-+=+，① πππ42k ωϕ⋅+=+，②(,)k k '∈Z由①②得ππ3n ω=，n ∈Z ，∴3n ω=，又(0,6)ω∈，∴3ω=，∴()sin(3)f x x ϕ=+．由ππ3π42k ϕ⋅+=+，解得ππ4k ϕ=-，又ππ(,)22ϕ∈-，∴π4ϕ=-，∴3π4ωϕ⋅=-． 16．如图，在直角梯形ABCD 中，AB BC ^，AD BC ∥，112AB BC AD ===，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF AD ^于点F ，将DEF △沿EF 折起到PEF △的位置，并使PF AF ^，则五棱锥P ABCEF -的体积的取值范围为________．答案：1(0,)3解：因为PF AF ^，PF EF ^，且AF 交EF 与点F ，所以PF ^平面ABCEF ， 设(01)DF x x =<<，则EF x =，2AD x =-，22111(12)1(3)222ABCEF ABCD DEF S S S x x △=-=+?=- 所以五棱锥P ABCEF -的体积为23111()(3)(3)326V x x x x x =??-， 21()(1)02V x x ¢=-=，∴1x =或1x =-（舍）， 当01x <<，()0V x ¢>，()V x 递增， 故(0)()(1)V V x V <<，(0)0V =，1(1)3V =， 所以()V x 的取值范围是1(0,)3．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a 中，33a =，其中22a +，4a ，62a -顺次成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记211(1)n n n n n a b a a ++-=，{}n b 的前n 项和n S ，求2n S ．答案：（1）n a n =；（2）2221n nS n -=+． 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得2426(2)(2)a a a =+-，所以2(3)(5)(13)d d d +=-+，化简得2210d d -+=，解得1d =，所以1321a a d =-=，所以1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-⨯=．（2）由（1）得211(1)2111(1)(1)()(1)1n n n n n n n a n b a a n n n n ++-+==-=-+++，所以212321111111(1)()()()22334221n n S b b b b n n =++++=-+++-+++++L L 1212121nn n -=-+=++．18．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，1AA AC =，90ACB ∠=︒．（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若160A AC ∠=︒，2AC =，1BC =，求四棱锥11A BCC B -的体积．答案：（1）证明见解析；（2）233． 解：（1）证明：∵平面11ACC A ⊥平面ABC ，且平面11ACC A I 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠=︒， ∴BC ⊥平面11ACC A ，∵1AC ⊂平面11ACC A ，∴1BC A C ⊥， ∵11B C BC ∥，即111AC B C ⊥， 又在平行四边形11ACC A 中，1AA AC =，∴四边形11ACC A 为菱形，∴11AC AC ⊥，∴1A C ⊥平面11AB C ， 即有平面11AB C ⊥平面11A B C ．（2）由（1）知四边形11ACC A 是菱形，160A AC ∠=︒，2AC =， 所以1122sin 6032ACC S =⨯⨯⨯︒=△，因为11B C BC ∥，11B C BC =，BC ⊥平面11ACC A ，1BC =， 所以111111133133B ACC ACC V S B C -=⨯⨯=⨯⨯=△， 所以1111112322A BCC B A CC B B ACC V V V ---===， 即四棱锥11A BCC B -的体积为23． 19．（12分）某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查．已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如图所示．规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”．（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人恰有一人为“安全意识优良”的概率．附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．答案：（1）列联表见解析，有超过99%的把握认为；（2）35． 解：（1）列联表为：22100(1555255)12251210.8284060208096K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，所以有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关．（2）由频率分布直方图可求得70分以上（含70）的人数为100(0.0200.015⨯+0.005)1040+⨯=， 所以按分层抽样的方法抽出5人时，“安全意识优良”的有2人． 记“安全意识优良”的为1，2；其余的3人记为a ，b ，c ，从中随机抽取3人，基本事件有(1,2,)a ，(1,2,)b ，(1,2,)c ，(1,,)a b ，(1,,)a c ，(1,,)b c ，(2,,)a b ，(2,,)a c ，(2,,)b c ，(,,)a b c 共10个，恰有一人为“安全意识优良”的事件有6个， 所以恰有一人为“安全意识优良”的概率63105P ==． 20．（12分）已知椭圆222:12x yC a +=过点(2,1)P ． （1）求椭圆C 的方程，并求其离心率； （2）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A '，直线A P '与C 交于另一点B ，设O 为原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由．答案：（1）22182x y +=，3e =（2）直线AB 与直线OP 平行，详见解析．解：（1）由椭圆方程椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P ，可得28a =， ∴222826c a =-=-=，∴椭圆C 的方程为22182x y +=，离心率63222e ==． （2）直线AB 与直线OP 平行，证明如下：设直线:1(2)PA y k x -=-，:1(2)PB y k x -=--， 设点A 的坐标为11(,)x y ，22)(,B x y ，由2218212y k x y x k ⎧⎪⎨⎪=-++⎩=，得222(41)8(12)161640k x k k x k k ++-+--=， ∴128(21)241k k x k -+=+，∴21288214k k x k --=+， 同理22288241k k x k +-=+，∴1221641k x x k -=-+， 由1121y kx k =-+，2221y kx k =-++，有12122)8(441ky y k x x k k -=+-=-+， ∵A 在第四象限，∴0k ≠，且A 不在直线OP 上，∴121212AB y y k x x -==-，又12OP k =，故AB OP k k =，∴直线AB 与直线OP 平行． 21．（12分）已知函数()(ln )f x x x a b =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为210x y --=． （1）求a ，b 的值；（2）若对任意的(1,)x ∈+∞，()(1)f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值． 答案：（1）1a =，0b =；（2）3．解：（1）由()(ln )f x x x a b =++，得()ln 1f x x a '=++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为210x y --=， 所以(1)12f a '=+=，(1)1f a b =+=，解得1a =，0b =．（2）由（1）知()(ln 1)f x x x =+，则(1,)x ∈+∞时，()(1)f x m x ≥-恒成立，。