2018届北京市昌平区高三二模数学试题及答案(理科)
2018年北京市昌平区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣1或x＞1}，则∁U A＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]2．（5分）若复数z＝cosθ+i sinθ，当时，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知等比数列{a n}中，a1＝27，a4＝a3a5，则a7＝（）A．B．C．D．34．（5分）设，b＝log23，c＝2﹣0.3，则（）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b 5．（5分）若满足条件的整点（x，y）恰有12个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．06．（5分）设x，y∈R，则“x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（）A．4B．C．2D．8．（5分）2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于（）A．5000～6000元B．6000～8000元C．8000～9000元D．9000～16000元二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在二项式的展开式中，第四项的系数是．（用数字作答）10．（5分）在△ABC中，，，AC＝1，则BC＝．11．（5分）已知双曲线C：的渐近线方程为，则双曲线C的离心率是．12．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x值满足﹣2＜x≤4，则输出y值的取值范围是．13．（5分）向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，所成角的余弦值是；向量，所张成的平行四边形的面积是．14．（5分）已知函数f（x）＝①当x＜1时，若函数f（x）有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是；②若函数f（x）的最大值为1，则a＝．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．16．（13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数（AQI）如图所示：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（Ⅰ）试估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C：“A地区空气质量等级优于B地区空气质量等级”．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A，B两地区哪个地区．（只需写出结论）17．（14分）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2．（I）求证：A1E⊥平面BCDE；（II）求二面角E﹣A1D﹣B的余弦值；（III）在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP平面A1BP？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的经过点（0，1），且离心率为．（I）求椭圆E的标准方程；（II）过右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆交于A，B两点，线段AB 的垂直平分线交y轴于点M（0，m），求实数m的取值范围．19．（13分）已知函数f（x）＝ax2+ax﹣xe x，a＞1．（I）若曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x，求a的值；（II）证明：当x＜0时，函数f（x）存在唯一的极小值点为x0，且．20．（13分）已知正项数列{a n}中，若存在正实数p，使得对数列{a n}中的任意一项a k，也是数列{a n}中的一项，称数列{a n}为“倒置数列”，p是它的“倒置系数”．（I）若数列：1，4，9，x（x＞9）是“倒置系数”为p的“倒置数列”，求x 和p的值；（II）若等比数列{a n}的项数是m，数列{a n}所有项之积是T，求证：数列{a n}是“倒置数列”，并用m和T表示它的“倒置系数”p；（III）是否存在各项均为整数的递增数列{a n}，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”，如果存在，请写出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．2018年北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣1或x＞1}，则∁U A＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[﹣1，1]【解答】解：∁U A＝[﹣1，1]．故选：D．2．（5分）若复数z＝cosθ+i sinθ，当时，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：当时，复数z＝cos+i sin＝﹣﹣i，则复数z在复平面内对应的点位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知等比数列{a n}中，a1＝27，a4＝a3a5，则a7＝（）A．B．C．D．3【解答】解：∵等比数列{a n}中，a1＝27，a4＝a3a5，∴27q3＝27q2•27q4，解得q＝，∴a7＝27q6＝＝．故选：A．4．（5分）设，b＝log23，c＝2﹣0.3，则（）A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．a＞c＞b【解答】解：∵，且2﹣0.2＜20＝1，而b＝log23＞log22＝1．∴b＞a＞c．故选：C．5．（5分）若满足条件的整点（x，y）恰有12个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0【解答】解：作出满足条件的平面区域，如图：要使整点（x，y）恰有12个，即为（0，0）、（1，0）、（﹣1，﹣1）、（0，﹣1），（1，﹣1）、（2，﹣1）、（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣2）、（0，﹣2），（1，﹣2）、（2，﹣2）、（3，﹣2）．故整数a的值为﹣2．故选：B．6．（5分）设x，y∈R，则“x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x|≤1且|y|≤1⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如x＝0，y＝．∴x2+y2≤2“是“|x|≤1且|y|≤1“的必要不充分条件．故选：B．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（）A．4B．C．2D．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是长方形，AB＝2，AD＝1，侧面P AB⊥底面ABCD，且∠P AB＝90°，P A＝2，＝2×1＝2，，，则S四边形ABCD，．∴该四棱锥的所有面中最大面的面积是．故选：B．8．（5分）2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于（）A．5000～6000元B．6000～8000元C．8000～9000元D．9000～16000元【解答】解：设该人当月工资、薪金所得为x元，由题意得：1500×3%+3000×10%+（x﹣8000）×20%﹣（x﹣7000）×3%＝332，整理，得：0.17x＝1377，解得x＝8100．故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在二项式的展开式中，第四项的系数是20．（用数字作答）【解答】解：的展开式的第四项为，∴第四项的系数是C63＝20．故答案为：20．10．（5分）在△ABC中，，，AC＝1，则BC＝1或．【解答】解：由题意可得：sin A＝，化为sin A＝，解得A＝或．∴BC2＝﹣2cos A，可得BC2＝1或7，解得BC＝1或．故答案为：1或．11．（5分）已知双曲线C：的渐近线方程为，则双曲线C的离心率是．【解答】解：根据题意，双曲线C：的渐近线方程为，则有＝，即a＝2，则双曲线的方程为﹣y2＝1，其中a＝2，b＝1，则c＝＝，则双曲线的离心率e＝＝；故答案为：．12．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x值满足﹣2＜x≤4，则输出y值的取值范围是[﹣3，2]．【解答】解：根据输入x值满足﹣2＜x≤4，故：利用函数的定义域，分成两部分：即：﹣2＜x＜2和2≤x≤4，当﹣2＜x＜2时，执行y＝x2﹣3的关系式，故：﹣3≤y＜1，当2≤x≤4时，执行y＝log2x的关系式，故：1≤y≤2．综上所述：y∈[﹣3，2]，故答案为：[﹣3，2]13．（5分）向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，所成角的余弦值是；向量，所张成的平行四边形的面积是3．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，不妨取＝（2，1），＝（1，2），则＝＝＝．向量，所张成的平行四边形的面积S＝••sin＝×＝5×＝3．故答案分别为：，3．14．（5分）已知函数f（x）＝①当x＜1时，若函数f（x）有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是a＜1；②若函数f（x）的最大值为1，则a＝±1．【解答】解：①x＜1时，f（x）＝﹣x2+2ax，f′（x）＝﹣2x+2a＝﹣2（x﹣a），由f′（x）＝0，解得x＝a．∵函数f（x）有且只有一个极值点，∴a＜1．则实数a的取值范围是（﹣∞，1）．②a＝0时，f（x）＝，此时f（x）max＝0≠1，舍去．a＜0时，x≥1时，f（x）＝≤0．x＜1时，f（x）＝﹣（x﹣a）2+a2，x＝a 时，函数f（x）取得最大值，f（a）＝a2，令a2＝1，a＜0，解得a＝﹣1．a＞0时，x≥1时，f（x）＝，f′（x）＝，可得函数f（x）在[1，e）内单调递增，在（e，+∞）内单调递减．f（x）max＝f（e）＝．x＜1时，f（x）＝﹣（x﹣a）2+a2，x＝a时，函数f（x）取得最大值，f（x）max ＝f（a）＝a2，当，即a时，令a2＝1，解得a＝1．当a2，即0＜a＜时，令＝1，解得a＝e．舍去．综上可得：a＝±1．故答案为：±1．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间上的最值及相应的x值．【解答】解：（Ⅰ）＝＝，∴f（x）的最小正周期是π；（Ⅱ）∵，∴0≤2x≤π，∴，当时，f（x）max＝2．当时，f（x）min＝﹣1．16．（13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区一年的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数（AQI）如图所示：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（Ⅰ）试估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C：“A地区空气质量等级优于B地区空气质量等级”．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A，B两地区哪个地区．（只需写出结论）【解答】（共13分）解：（Ⅰ）从A地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为1﹣＝0.75，估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为365×0.75≈274天．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）记A1表示事件：“A地区空气质量等级为优良”，A2表示事件：“A地区空气质量等级为轻中度污染”，B1表示事件：“B地区空气质量等级为轻中度污染”，B2表示事件：“B地区空气质量等级为重度污染”，则A1与B1独立，A2与B2独立，B1与B2互斥，C＝A1B1∪A1B2∪A2B2．所以P（C）＝P（A1B1∪A1B2∪A2B2）＝P（A1B1）+P（A1B2）+P（A2B2）＝P （A1）P（B1）+P（A1）P（B2）+P（A2）P（B2）．由所给数据得A1，A2，B1，B2发生的频率分别为，，，．故，，，，所以事件C的概率P（C）＝＝0.2925．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）从空气质量角度，建议选择A地区居住．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）17．（14分）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2．（I）求证：A1E⊥平面BCDE；（II）求二面角E﹣A1D﹣B的余弦值；（III）在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP平面A1BP？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（共14分）证明：（I）因为DE⊥AB，所以BE⊥DE．又因为BE⊥A1D，DE∩A1D＝D，所以BE⊥平面A1DE．因为A1E⊂平面A1DE，所以A1E⊥BE．又因为A1E⊥DE，BE∩DE＝E，所以A1E⊥平面BCDE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解：（II）因为A1E⊥平面BCDE，BE⊥DE，所以以E为原点，分别以EB，ED，EA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，，0），A1（0，0，1）．所以＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，，0）．设平面A1BD的法向量＝（x，y，z），由，令y＝1，得＝（）．因为BE⊥平面A 1DE，所以平面A1DE的法向量，所以cos＜，＞＝＝＝．因为所求二面角为锐角，所以二面角E﹣A1D﹣B的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（III）假设在线段BD上存在一点P，使得平面A1EP⊥平面A1BD．设P（x，y，z），＝（0≤λ≤1），则（x﹣1，y，z）＝λ（﹣1，，0）．所以P（1﹣λ，，0）．所以＝（0，0，1），＝（1﹣λ，，0）．设平面A1EP的法向量＝（x，y，z），由，得，令x＝，得＝（）．因为平面A1EP⊥平面A1BD，所以＝3λ+λ﹣1＝0，解得∈[0，1]，所以在线段BD上存在点P，使得平面A1EP⊥平面A1BD，且＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）18．（14分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的经过点（0，1），且离心率为．（I）求椭圆E的标准方程；（II）过右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆交于A，B两点，线段AB 的垂直平分线交y轴于点M（0，m），求实数m的取值范围．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由题意，得b＝1，椭圆的离心率e＝＝＝，解得．所以椭圆E的标准方程：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）（1）当直线AB⊥x轴时，m＝0符合题意．（2）当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），由，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）＝0，由△＝（﹣4k2）2﹣8（1+2k2）（k2﹣1）＞0，得k∈R．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．所以，所以线段AB中点C的坐标为（，﹣）．由题意可知，k≠0，故直线MC的方程为y+＝﹣（x﹣），令x＝0，，即当k＞0时，得，当且仅当时“＝”成立．同理，当k＜0时，，当且仅当时“＝”成立．综上所述，实数m的取值范围为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（13分）已知函数f（x）＝ax2+ax﹣xe x，a＞1．（I）若曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x，求a的值；（II）证明：当x＜0时，函数f（x）存在唯一的极小值点为x0，且．【解答】解：（I）因为f（x）＝ax2+ax﹣xe x，得f′（x）＝2ax+a﹣e x﹣xe x，所以f′（0）＝a﹣1．因为曲线在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x，所以f′（0）＝a﹣1＝1，即a＝2；（II）证明：设h（x）＝2ax+a﹣e x﹣xe x，则h′（x）＝2a﹣2e x﹣xe x＝2a﹣（x+2）e x．因为x＜0，所以x+2＜2，e x＜1．又因为a＞1，所以h′（x）＞0，故h（x）＝a（2x+1）﹣e x（1+x）在（﹣∞，0）上为增函数．又因h（0）＝a﹣1＞0，h（﹣）＝﹣e＜0，由零点存在性定理，存在唯一的，有h（x0）＝0．当x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＝f′（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，x0）上为减函数，当x∈（x0，0）时，h（x）＝f′（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，x0）上为增函数，所以x0为函数f（x）的极小值点．20．（13分）已知正项数列{a n}中，若存在正实数p，使得对数列{a n}中的任意一项a k，也是数列{a n}中的一项，称数列{a n}为“倒置数列”，p是它的“倒置系数”．（I）若数列：1，4，9，x（x＞9）是“倒置系数”为p的“倒置数列”，求x 和p的值；（II）若等比数列{a n}的项数是m，数列{a n}所有项之积是T，求证：数列{a n}是“倒置数列”，并用m和T表示它的“倒置系数”p；（III）是否存在各项均为整数的递增数列{a n}，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”，如果存在，请写出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（I）因为数列：1，4，9，x（x＞9）是“倒置系数”为p的“倒置数列”．所以也是该数列的项，且．故，即x＝p＝36．（II）因为数列{a n}是项数为m项的有穷正项等比数列，取p＝a1•a m＞0，对数列{a n}中的任意一项a i（1≤i≤m），也是数列{a n}中的一项，由“倒置数列”的定义可知，数列{a n}是“倒置数列”；又因为数列{a n}所有项之积是T，所以即．（III）假设存在这样的等差数列{a n}为“倒置数列”，设它的公差为d（d＞0），“倒置系数”为p．因为数列{a n}为递增数列，所以a1＜a2＜a3＜…＜a n＜…则又因为数列{a n}为“倒置数列”，则正整数也是数列{a n}中的一项（i＝1，2，…），故数列{a n}必为有穷数列，不妨设项数为n项，则p＝a i•a n+1（1≤i≤n﹣1）﹣i则a1a n＝a2a n﹣1，得a1a n＝（a1+d）（a n﹣d），即（n﹣2）d2＝0由n≥3，故d＝0，与d＞0矛盾．所以，不存在满足条件的数列{a n}，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”．。
2018年北京市昌平区高考数学二模试卷(文科)
2018年北京市昌平区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x<−1或x>1}，则∁U A＝（）A.(−∞, −1)∪(1, +∞)B.(−∞, −1]∪[1, +∞)C.(−1, 1)D.[−1, 1]【答案】D【考点】补集及其运算【解析】进行补集的运算即可．【解答】∁U A＝[−1, 1]．2. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A.y=1xB.y=x3C.y=sinxD.y=lgx【答案】B【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，y=1x为反比例函数，在其定义域上为奇函数，但不是增函数，不符合题意；对于B，y=x3为幂函数，在其定义域上为奇函数，且是增函数，符合题意；对于C，y=sinx为正弦函数，在其定义域上为奇函数，但不是增函数，不符合题意；对于D，y=lgx为对数函数，其定义域为(0, +∞)，不是奇函数，不符合题意；3. 在平面直角坐标系中，不等式组{x−y≥0x+y−1≤0y≥0，表示的平面区域的面积是（）A.1B.12C.14D.18【答案】C【考点】简单线性规划【解析】先作出不等式组对应的平面区域，然后根据区域确定面积即可．【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：由{x =y x +y =1 得A(12, 12)，则三角形的面积S =12×1×12=14，4. 设a =(12)0.2，b ＝log 23，c ＝2−0.3，则（ ）A.b >c >aB.a >b >cC.b >a >cD.a >c >b 【答案】C【考点】 对数值大小的比较【解析】把a ，c 化为同底数，再由指数函数与对数函数的单调性比较大小．【解答】∵ a =(12)0.2=2−0.2>2−0.3=c ，且2−0.2<20＝1，而b ＝log 23>log 22＝1．∴ b >a >c ．5. 执行如图所示的程序框图，若输入x 值满足−2<x ≤4，则输出y 值的取值范围是（ ）A.[−3, 2]B.[1, 2]C.[−4, 0)D.[−4, 0)∪[1, 2]【答案】A【考点】程序框图【解析】直接利用程序框图和分段函数求出结果．【解答】解：当−2<x <2时，−3≤y <1,当2≤x ≤4时，1≤y ≤2，得：−3≤y ≤2，即：y ∈[−3, 2].故选A ．6. 设x ，y ∈R ，则“|x|≤1且|y|≤1“是“x 2+y 2≤2“的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】“|x|≤1且|y|≤1“⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如取x=0，y=√2．即可判断出结论．【解答】“|x|≤1且|y|≤1“⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如取x=0，y=√2．∴ “|x|≤1且|y|≤1“是“x2+y2≤2“的充分不必要条件．7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（）A.4B.√5C.2D.√2【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积及底面面积，则答案可求．【解答】由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是长方形，AB=2，AD=1，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=90∘，PA=2，则S四边形ABCD=2×1=2，S△PAD=12×2×1=1，S△PAB=12×2×2=2，S△PBC=12×2√2×1=√2，S PDC=12×2×√5=√5．∴该四棱锥的所有面中最大面的面积是√5．8. 2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，希望将个税免征额从元上调至元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月工资、薪金所得8500元，则此人当月少缴纳此项税款（）A.45元B.350元C.400元D.445元【答案】C【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】根据列表即可分别求出个税免征额为3500元和7000元时，此人当月所缴纳的税款，进而即可得出此人当月少缴纳此项税款的值．【解答】根据表格，个税免征额为3500元时，此人当月所缴纳的税款为：1500×3100+3000×10100+500×20100=445（元）；当个税免征额为7000元时，此人当月的所缴纳的税款为：1500×3100=45(元)；∴此人当月少缴纳此项税款为445−45=400（元）．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．在复平面内，复数1+ii对应的点的坐标为________．【答案】(1, −1)【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，∴复数1+ii对应的点的坐标为(1, −1)．若抛物线x2＝12y，则焦点F的坐标是________．【答案】(0, 3)【考点】抛物线的性质【解析】根据题意，由抛物线的标准方程分析可得其焦点位置以及p的值，由焦点坐标公式计算可得答案．【解答】根据题意，抛物线x2＝12y，其焦点在y轴的正半轴上，且p＝6，则其焦点坐标为(0, 3)；在△ABC 中，a =2，b =2√63，A =π3，则C =________． 【答案】5π12【考点】正弦定理【解析】根据正弦定理与三角形内角和定理求出B 的值，再求C 的大小．【解答】△ABC 中，a =2，b =2√63，A =π3， ∴a sinA =b sinB ， 2sin π3=2√63sinB ，∴ sinB =√22， 又a >b ，∴ 0<B <π2，解得B =π4，∴ C =π−A −B =π−π3−π4=5π12．能够说明命题“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则2a +b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．【答案】−1，−2，−3【考点】命题的真假判断与应用【解析】令整数a ，b ，c 的值依次为−1，−2，−3，可得命题“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则2a +b >c ”是假命题．【解答】令整数a ，b ，c 的值依次为−1，−2，−3，此时a >b >c ，且2a +b <c ，即命题“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则2a +b >c ”是假命题，向量a →，b →在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量a →，b →所成角的余弦值是________；向量a →，b →所张成的平行四边形的面积是________．【答案】45,3【考点】向量的三角形法则【解析】如图所示，建立直角坐标系，不妨取a →=(2, 1)，b →=(1, 2)，利用向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式即可得出．【解答】如图所示，建立直角坐标系，不妨取a →=(2, 1)，b →=(1, 2)，则cos <a →,b →>=a →⋅b →|a →|⋅|b →|=√5⋅√5=45． 向量a →，b →所张成的平行四边形的面积S =|a →|⋅|b →|⋅sin <a →,b →>=√5×√5×√1−(45)2=5×35=(3)已知函数f(x)={−x 2+2ax,x <1alnxx ,x ≥1①当a =1时，函数f(x)极大值是________；②当x <1时，若函数f(x)有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．【答案】1e ,a <1【考点】利用导数研究函数的极值【解析】①当a =1时，函数f(x)={−x 2+2x,x <1lnx x,x ≥1 ，f′(x)={−2x +2,x <11−lnx x 2,x ≥1 ，分析各个区间上导函数的符号，进而可得函数f(x)极大值；②当x <1时，若函数f(x)有且只有一个极值点，则函数的对称轴在x =1的左侧，进而得到答案．【解答】①当a =1时，函数f(x)={−x 2+2x,x <1lnx x,x ≥1 ， f′(x)={−2x +2,x <11−lnx x 2,x ≥1 ， 当x <1时，f′(x)>0，函数为增函数，当1≤x <e 时，f′(x)>0，函数为增函数，当x >e 时，f′(x)<0，函数为减函数，故当x =e 时，函数f(x)极大值是1e ；②当x <1时，若函数f(x)有且只有一个极值点，则函数的对称轴在x =1的左侧，即x =a <1，三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.已知函数f(x)=2sin(π4−x)cos(π4−x)+√3sin2x ．(I)求函数f(x)的最小正周期；(II)求函数f(x)在区间[0,π2brack 上的最值及相应的x 值．【答案】(Ⅰ)f(x)=sin(π2−2x)+√3sin2x =cos2x +√3sin2x =2sin(2x +π6)，∴ f(x)的最小正周期是π；(Ⅱ)∵ 0≤x ≤π2，∴ 0≤2x ≤π，∴ π6≤2x +π6≤7π6， 当x =π6时，f(x)max =(2)当x =π2时，f(x)min =−(1)【考点】正弦函数的周期性诱导公式三角函数的最值【解析】（I ）直接利用二倍角公式变形，再由辅助角公式化积即可求函数f(x)的最小正周期；(II)结合已知条件求出π6≤2x +π6≤7π6，进而可求出函数f(x)在区间[0,π2brack 上的最值及相应的x 值．【解答】(Ⅰ)f(x)=sin(π2−2x)+√3sin2x =cos2x +√3sin2x =2sin(2x +π6)，∴ f(x)的最小正周期是π；(Ⅱ)∵ 0≤x ≤π2，∴ 0≤2x ≤π，∴ π6≤2x +π6≤7π6， 当x =π6时，f(x)max =(2)当x =π2时，f(x)min =−(1)已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=12，数列{b n }是公差为2的等差数列，且b n a n+1+a n+1=na n ．(I)求数列{b n }的通项公式；(II)求数列{a n }前n 项的和S n ．【答案】(Ⅰ)因为 b n a n+1+a n+1=na n ，所以 b 1a 2+a 2=a 1．又因为a 1=1,a 2=12，所以b 1=(1)所以数列{b n }的通项公式是b n =2n −(1)(Ⅱ) 由(Ⅰ)知b n =2n −1，且b n a n+1+a n+1=na n ．所以(2n −1)a n+1+a n+1=na n ，得到 a n+1a n =12（常数）．所以数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列．那么数列{a n }前n 项和：S n =1−(12)n 1−12=2−21−n ．【考点】数列的求和数列递推式【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论，进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的前n 项和．【解答】(Ⅰ)因为 b n a n+1+a n+1=na n ，所以 b 1a 2+a 2=a 1．又因为a 1=1,a 2=12，所以b 1=(1)所以数列{b n }的通项公式是b n =2n −(1)(Ⅱ) 由(Ⅰ)知b n =2n −1，且b n a n+1+a n+1=na n ．所以(2n −1)a n+1+a n+1=na n ，得到 a n+1a n =12（常数）．所以数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列．那么数列{a n }前n 项和：S n =1−(12)n 1−12=2−21−n ．为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数(AQI)，绘制如下频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：( II)若分别在A 、B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率．【答案】(Ⅰ)从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.008+0.007)×50=0.75，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为365×0.75≈274天．——————–(Ⅱ)A 地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.003×50=3个，设为a 1，a 2，a 3，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.001×50=1个，设为a 4，B 地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.002×50=2个，设为b 1，b 2，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.003×50=3个，设为b 3，b 4，b 5，设“A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C ，则基本事件空间：Ω={a 1b 1, a 1b 2, a 1b 3, a 1b 4, a 1b 5, a 2b 1, a 2b 2, a 2b 3, a 2b 4, a 2b 5, a 3b 1, a 3b 2, a 3b 3, a 3b 4, a 3b 5, a 1b 1,a 4b 2,a 4b 3,a 4b ，基本事件个数为n =20，C ={a 4b 3, a 4b 4, a 4b 5}，包含基本事件个数为m =3，所以A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为P(C)=320．——————–【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】(Ⅰ)从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为0.75，由估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，从而能求出A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数．(Ⅱ)A地20天中空气质量指数在[150, 200)内为3个，设为a1，a2，a3，空气质量指数在[200, 250)内为1个，设为a4，B地20天中空气质量指数在[150, 200)内为2个，设为b1，b2，空气质量指数在[200, 250)内为3个，设为b3，b4，b5，设“A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C，利用列举法能求出A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率．【解答】(Ⅰ)从A地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.008+0.007)×50=0.75，估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为365×0.75≈274天．——————–(Ⅱ)A地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.003×50=3个，设为a1，a2，a3，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.001×50=1个，设为a4，B地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.002×50=2个，设为b1，b2，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.003×50=3个，设为b3，b4，b5，设“A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C，则基本事件空间：Ω={a1b1, a1b2, a1b3, a1b4, a1b5, a2b1, a2b2, a2b3, a2b4, a2b5, a3b1, a3b2, a3b3, a3b4, a3b5, a1b1,a4b2,a4b3,a4b ，基本事件个数为n=20，C={a4b3, a4b4, a4b5}，包含基本事件个数为m=3，．——————–所以A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为P(C)=320如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面ABE，AF // BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．(Ⅰ)求证：AC⊥平面BDE；(Ⅱ)求证：AC // 平面DEF；(III)求三棱锥D−FEB的体积．【答案】(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AB⊥BE，BE⊂平面ABEF，∴BE⊥平面ABCD．又∵AC⊂平面ABCD．∴BE⊥AC，又BE∩BD=B，∴AC⊥平面BDE；(Ⅱ)证明：取DE的中点G，连结OG，FG，∵四边形ABCD为正方形，∴O为BD的中点．则OG // BE，且OG=12BE．由已知AF // BE，且AF=12BE，则AF // OG且AF=OG，∴四边形AOGF为平行四边形，则AO // FG，即AC // FG．∵AC平面DEF，FG⊂平面DEF，∴AC // 平面DEF；(Ⅲ)∵平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴AD // BC，AD⊥AB．由(Ⅰ)知，BE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴BE⊥AD∴AD⊥平面BEF．∴V D−BEF=13×S△BEF×AD=13×12×BE×AB×AD=43．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】(Ⅰ)由四边形ABCD是正方形，可得AC⊥BD．再由已知结合面面垂直的性质可得BE⊥平面ABCD，则BE⊥AC，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BDE；(Ⅱ)取DE的中点G，连结OG，FG，可证明四边形AOGF为平行四边形，则AO // FG，再由线面平行的判定可得AC // 平面DEF；(Ⅲ)由平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，可得AD // BC，AD⊥AB．由(Ⅰ)知，BE⊥平面ABCD，则BE⊥AD，即有AD⊥平面BEF，然后利用棱锥体积公式求解．【解答】(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AB⊥BE，BE⊂平面ABEF，∴BE⊥平面ABCD．又∵AC⊂平面ABCD．∴BE⊥AC，又BE∩BD=B，∴ AC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)证明：取DE 的中点G ，连结OG ，FG ，∵ 四边形ABCD 为正方形，∴ O 为BD 的中点． 则OG // BE ，且OG =12BE ．由已知AF // BE ，且AF =12BE ，则AF // OG 且AF =OG ， ∴ 四边形AOGF 为平行四边形，则AO // FG ， 即AC // FG ．∵ AC 平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， ∴ AC // 平面DEF ；(Ⅲ)∵ 平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形， 平面ABEF ∩平面ABCD =AB ， ∴ AD // BC ，AD ⊥AB ．由(Ⅰ)知，BE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴ BE ⊥AD∴ AD ⊥平面BEF ．∴ V D−BEF =13×S △BEF ×AD =13×12×BE ×AB ×AD =43．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的经过点(0, 1)，且离心率为√22．( I)求椭圆E 的标准方程；( II)过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点M(0, m)，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）由题意，得b =1，椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a 2=√22，解得 {a =√2b =1．所以椭圆E 的标准方程：x 22+y 2=1．——————-（2）（1）当直线AB ⊥x 轴时，m =0符合题意．（2）当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =k(x −1)， 由{y =k(x −1)x 2+2y 2−2=0 ，得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2(k 2−1)=0， 由△=(−4k 2)2−8(1+2k 2)(k 2−1)>0，得k ∈R ． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1⋅x 2=2(k 2−1)1+2k 2．所以y 1+y 2=k(x 1+x 2−2)=−2k1+2k 2，所以线段AB 中点C 的坐标为(2k 21+2k 2, −k1+2k 2)．由题意可知，k ≠0，故直线MC 的方程为y +k 1+2k 2=−1k(x −2k 21+2k 2)，令x =0，y =k 1+2k 2，即m =k1+2k 2 当k >0时，得0<m =k 1+2k 2=11k+2k ≤√24，当且仅当k =√22时“=”成立． 同理，当 k <0时，0>m =k1+2k 2=11k+2k ≥−√24，当且仅当k=−√22时“=”成立． 综上所述，实数m 的取值范围为[−√24,√24]．——————–【考点】 椭圆的离心率 【解析】(Ⅰ)由题意可知：b =1，根据椭圆的离心率公式，即可求得a 的值，即可求得椭圆方程；(II)分类讨论，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标求得AB 中点C 坐标，求得MC 的方程，分类讨论，根据基本不等式的性质，即可求得实数m 的取值范围． 【解答】（1）由题意，得b =1，椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a 2=√22，解得 {a =√2b =1．所以椭圆E 的标准方程：x 22+y 2=1．——————-（2）（1）当直线AB ⊥x 轴时，m =0符合题意．（2）当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =k(x −1)， 由{y =k(x −1)x 2+2y 2−2=0 ，得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2(k 2−1)=0， 由△=(−4k 2)2−8(1+2k 2)(k 2−1)>0，得k ∈R ． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1⋅x 2=2(k 2−1)1+2k 2．所以y 1+y 2=k(x 1+x 2−2)=−2k1+2k 2， 所以线段AB 中点C 的坐标为(2k 21+2k2, −k 1+2k 2)．由题意可知，k ≠0，故直线MC 的方程为y +k1+2k 2=−1k (x −2k 21+2k 2)， 令x =0，y =k 1+2k 2，即m =k1+2k 2 当k >0时，得0<m =k 1+2k 2=11k+2k ≤√24，当且仅当k =√22时“=”成立． 同理，当 k <0时，0>m =k1+2k 2=11k+2k ≥−√24，当且仅当k=−√22时“=”成立． 综上所述，实数m 的取值范围为[−√24,√24]．——————–设函数f(x)=x 3+c ，g(x)=8x 2−20x ，方程f(x)=g(x)有三个不同实根x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)．(I)求曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程； (II)求c 的取值范围；(III)求证：x 1+x 2>4． 【答案】（1）f ′(x)=3x 2，f′(1)=3，又f(1)=c +1，则曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为：y =3x +c −2； （2）设ℎ(x)=x 3−8x 2+20x +c ，ℎ′(x)=3x 2−16x +20， 令f′(x)=0，则x =2，或x =103，当x 变化时，ℎ′(x)与ℎ(x)的变化情况如下表：所以，当c +16>0，且c +40027<0时，因为ℎ(0)=c <0，ℎ(4)=16+c >0， 故存在x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，x 3∈(103,4)， 使得ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=ℎ(x 3)=0， 由ℎ(x)的单调性知，当且仅当c ∈(−16,−40027)时，函数ℎ(x)有三个不同的零点，即当且仅当c ∈(−16,−40027)时，方程f(x)=g(x)有三个不同实根．（3）证明：由(Ⅱ)知x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，4−x 2∈(23,2)⊆(0,2)， ℎ(x)在(0, 2)上单调递增，则x 1+x 2>4⇔4−x 2<x 1⇔ℎ(4−x 2)<ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=0 ⇔u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)>0，x 2∈(2,103)，由ℎ(4−x 2)=(4−x 2)3−8(4−x 2)2+20(4−x 2)+c =−x 23+4x 22−4x 2+c +16，u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)=(x 23−8x 22+20x 2+c)−(−x 23+4x 22−4x 2+c +16) =2(x 23−6x 22+12x 2−8)，设u(x)=2x 3−12x 2+24x −16，则u ′(x)=6(x −2)2所以当x ∈(2,103)时，u ′(x)>0，即u(x)在(2,103)上单调递增，而u(2)=0 所以当x ∈(2,103)时，u(x)>u(2)=0，所以u(x 2)>0，x 2∈(2,103)， 所以x 1+x 2>(4) 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线 的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；(Ⅱ)设ℎ(x)=x 3−8x 2+20x +c ，求得导数和单调区间、极值，即可得到所求范围； (III)由ℎ(x)的单调性，x 1+x 2>4⇔4−x 2<x 1⇔ℎ(4−x 2)<ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=0，设u(x)=2x 3−12x 2+24x −16，求得导数和单调性，即可得证． 【解答】（1）f ′(x)=3x 2，f′(1)=3，又f(1)=c +1，则曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为：y =3x +c −2； （2）设ℎ(x)=x 3−8x 2+20x +c ，ℎ′(x)=3x 2−16x +20， 令f′(x)=0，则x =2，或x =103，当x 变化时，ℎ′(x)与ℎ(x)的变化情况如下表：所以，当c +16>0，且c +40027<0时，因为ℎ(0)=c <0，ℎ(4)=16+c >0， 故存在x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，x 3∈(103,4)， 使得ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=ℎ(x 3)=0， 由ℎ(x)的单调性知，当且仅当c ∈(−16,−40027)时，函数ℎ(x)有三个不同的零点，即当且仅当c ∈(−16,−40027)时，方程f(x)=g(x)有三个不同实根．（3）证明：由(Ⅱ)知x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，4−x 2∈(23,2)⊆(0,2)， ℎ(x)在(0, 2)上单调递增，则x 1+x 2>4⇔4−x 2<x 1⇔ℎ(4−x 2)<ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=0 ⇔u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)>0，x 2∈(2,103)，由ℎ(4−x 2)=(4−x 2)3−8(4−x 2)2+20(4−x 2)+c =−x 23+4x 22−4x 2+c +16，u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)=(x 23−8x 22+20x 2+c)−(−x 23+4x 22−4x 2+c +16) =2(x 23−6x 22+12x 2−8)，设u(x)=2x 3−12x 2+24x −16，则u ′(x)=6(x −2)2所以当x ∈(2,103)时，u ′(x)>0，即u(x)在(2,103)上单调递增，而u(2)=0 所以当x ∈(2,103)时，u(x)>u(2)=0，所以u(x 2)>0，x 2∈(2,103)， 所以x 1+x 2>(4)。
昌平高三二模理科数学
则输出y值的取值范围是．
?
13．向量a，b在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，
则向量a，b所成角的余弦值是_________;向量a，b所张成的平行四边形的面积是__________.
14．已知函数
①当 时，若函数 有且只有一个极值点，则实数 的取值范围是；
昌平高三二模理科数学精选文档
昌平区2018年高三年级第二次统一练习
数学试卷(理科)
本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案作答在答题卡上，在试卷上作答无效．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集 R，集合A={x∣x< 或x> 1}，则
（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A，B两地区哪个地区.（只需写出结论）
17．（本小题14分）
如图1，在边长为2的菱形 中， ， 于点 ，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图2．
（I）求证： 平面 ；
（II）求二面角 的余弦值；
（III）在线段 上是否存在点 ，使平面 平面 若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
A． B． C． D．
2．若复数 ，当 时，则复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知等比数列 中， ，则 =
A． B． C． D．
4．设 ， ， ，则
A． B． C． D．
5．若满足条件 的整点 恰有12个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数 的值为
20．(本小题13分)
已知正项数列 中，若存在正实数 ，使得对数列 中的任意一项 ， 也是数列 中的一项，称数列 为“倒置数列”， 是它的“倒置系数”．
北京市昌平区2018届高三数学12月月考试题理
又 BH 平面 PAB ， CF 平面 PAB , （一个都没写的，则这 1 分不给） 所以 CF 平面 PAD . ……………………4 分 （Ⅱ）因为梯形 ABCD 中， AD BC ， AD AB , 所以 BC AB .
因为 PB 平面 ABCD ，所以 PB AB，PB BC ,
如图，以 B 为原点， BC, BA, BP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, …………….5 分
所以 C(1,0,0), D(3,3,0), A(0,3,0), P(0,0,3) .
设平面 BPD 的一个法向量为 n ( x, y, z) ，平面 APD 的一个法向量为 m (a,b, c) ,
的是
A. m 1,n 1 B. m 4,n 1 C. m 3,n 4 D. m 4,n 4
二、填空题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知命题 p： x∈R 有 sinx 1，则﹁p 为 ___ .
-2-
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A.15 个
B. 25 个 C. 30 个 D. 35 个
6．已知函数
f
(x)
x 1, x 2, 2 loga x, x
2
(a
0且a
1) 的最大值为1,则 a 的取值范围是
A．[1 ,1) 2
B． (0,1)
C． (0, 1] 2
D． (1, )
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三、解答题（17--21 题每题 12 分、22 题 10 分，共 70 分。解答应写出文字说明、演算步骤
昌平区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案
昌平区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知双曲线：（，），以双曲线的一个顶点为圆心，为半径的圆C 22221x y a b-=0a >0b >C 被双曲线截得劣弧长为，则双曲线的离心率为（ ）C 23a πCA ．BCD 652． 如图，四面体D ﹣ABC 的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+=2，则四面体D ﹣ABC 中最长棱的长度为（）A ．B ．2C ．D ．33． 与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）A ．（，1，1）B ．（﹣1，﹣3，2）C ．（﹣，，﹣1）D ．（，﹣3，﹣2）4． 设向量，满足：||=3，||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65． 已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有⎩⎨⎧≤>=)0(||)0(log )(2x x x x x f )(x g R R x ∈；③当时，则函数在区间上零1()(2)2g x g x =+]1,1[-∈x ()g x )()(x g x f y -=]4,4[-点的个数为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【命题意图】本题考查利用函数图象来解决零点问题，突出了对分段函数的转化及数形结合思想的考查，本题综合性强，难度大.6． 设、是两个非零向量，则“（+）2=||2+||2”是“⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7． 已知d 为常数，p ：对于任意n ∈N *，a n+2﹣a n+1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p 是￢q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8． 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D ． 9．已知，若圆：，圆：2->a 1O 01582222=---++a ay x y x 2O 恒有公共点，则的取值范围为（ ）.04422222=--+-++a a ay ax y x a A ． B ． C ． D ．),3[]1,2(+∞-- ),3()1,35(+∞-- ),3[]1,35[+∞-- ),3()1,2(+∞-- 10．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 4•a 8=2a 52，a 2=1，则a 1=（ ）A ．B ．2C ．D ．11．一个算法的程序框图如图所示，若运行该程序后输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）A ．i ≤5？B ．i ≤4？C ．i ≥4？D ．i ≥5？12．连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量=（m ，n ），向量=（1，﹣2），则⊥的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为 ．14．设，在区间上任取一个实数，曲线在点处的切线斜率为，则随机()x xf x e=[0,3]0x ()f x ()00,()x f x k 事件“”的概率为_________.0k <15．设f （x ）是（x 2+）6展开式的中间项，若f （x ）≤mx 在区间[，]上恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 16．命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是 ．17．无论m 为何值时，直线（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过定点 ．18．已知实数x ，y 满足，则目标函数z=x ﹣3y 的最大值为 三、解答题19．已知矩阵M 所对应的线性变换把点A （x ，y ）变成点A ′（13，5），试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．20．已知p：﹣x2+2x﹣m＜0对x∈R恒成立；q：x2+mx+1=0有两个正根．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．21．如图，已知AC，BD为圆O的任意两条直径，直线AE，CF是圆O所在平面的两条垂线，且线段AE=CF=，AC=2．（Ⅰ）证明AD⊥BE；（Ⅱ）求多面体EF﹣ABCD体积的最大值．22．（本题满分15分）正项数列满足，．}{n a 121223+++=+n n n n a a a a 11=a （1）证明：对任意的，；*N n ∈12+≤n n a a （2）记数列的前项和为，证明：对任意的，．}{n a n n S *N n ∈32121<≤--n n S 【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.23．已知集合A={x|x ＜﹣1，或x ＞2}，B={x|2p ﹣1≤x ≤p+3}．（1）若p=，求A ∩B ；（2）若A ∩B=B ，求实数p 的取值范围．24．已知函数，且．（Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若对于任意，都有，求的最小值；（Ⅲ）证明：函数的图象在直线的下方．昌平区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】B考点：双曲线的性质．2．【答案】B【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥V D﹣ABC=，BC=1，即AD•≥1，因为2=AD+≥2=2，当且仅当AD==1时，等号成立，这时AC=，AD=1，且AD⊥面ABC，所以CD=2，AB=，得BD=，故最长棱的长为2．故选B．【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．3．【答案】C【解析】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．故选：C．【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．4．【答案】B【解析】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．故选B【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．5．【答案】D第Ⅱ卷（共100分）[．Com]6．【答案】C【解析】解：设a、b是两个非零向量，“（a+b）2=|a|2+|b|2”⇒（a+b）2=|a|2+|b|2+2ab=|a|2+|b|2⇒a•b=0，即a⊥b；a⊥b⇒a•b=0即（a+b）2=|a|2+|b|2所以“（a+b）2=|a|2+|b|2”是“a⊥b”的充要条件．故选C．7． 【答案】A【解析】解：p ：对于任意n ∈N *，a n+2﹣a n+1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p ：∃n ∈N *，a n+2﹣a n+1≠d ；￢q ：数列 {a n }不是公差为d 的等差数列，由￢p ⇒￢q ，即a n+2﹣a n+1不是常数，则数列 {a n }就不是等差数列，若数列 {a n }不是公差为d 的等差数列，则不存在n ∈N *，使得a n+2﹣a n+1≠d ，即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件，即后者可以推不出前者，故选：A ．【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立． 8． 【答案】A【解析】解：因为底面半径为R 的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R ，长半轴为： =，∵a 2=b 2+c 2，∴c=，∴椭圆的离心率为：e==．故选：A ．【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力． 9． 【答案】C【解析】由已知，圆的标准方程为，圆的标准方程为1O 222(1)()(4)x y a a ++-=+2O ，∵ ，要使两圆恒有公共点，则，即222()()(2)x a y a a ++-=+2->a 122||26O O a ≤≤+，解得或，故答案选C62|1|2+≤-≤a a 3≥a 135-≤≤-a 10．【答案】D【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＞0，∵a 4•a 8=2a 52，∴a 62=2a 52，∴q 2=2，∴q=，∵a 2=1，∴a 1==．故选：D11．【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得i=1，sum=0，s=0满足条件，i=2，sum=1，s=满足条件，i=3，sum=2，s=+满足条件，i=4，sum=3，s=++满足条件，i=5，sum=4，s=+++=1﹣+﹣+﹣+﹣=．由题意，此时不满足条件，退出循环，输出s的，则判断框中应填入的条件是i≤4．故选：B．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．12．【答案】A【解析】解：因为抛掷一枚骰子有6种结果，设所有连续抛掷两次骰子得到的点数为（m，n），有36种可能，而使⊥的m，n满足m=2n，这样的点数有（2，1），（4，2），（6，3）共有3种可能；由古典概型公式可得⊥的概率是：；故选：A．【点评】本题考查古典概型，考查用列举法得到满足条件的事件数，是一个基础题．二、填空题13．【答案】 9 ．【解析】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22，所以总城市数为11÷0.22=50，平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18，所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9．故答案为：914．【答案】35【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．，由得，，∴随机事件“”的概率为．0001()x x k f x e -'==0()0f x '<01x >0k <2315．【答案】 [5，+∞） ．【解析】二项式定理．【专题】概率与统计；二项式定理．【分析】由题意可得 f （x ）=x 3，再由条件可得m ≥x 2 在区间[，]上恒成立，求得x 2在区间[，]上的最大值，可得m 的范围．【解答】解：由题意可得 f （x ）=x 6=x 3．由f （x ）≤mx 在区间[，]上恒成立，可得m ≥x 2 在区间[，]上恒成立，由于x 2在区间[，]上的最大值为 5，故m ≥5，即m 的范围为[5，+∞），故答案为：[5，+∞）．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，函数的恒成立问题，属于中档题．16．【答案】 ．【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题所以，命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是：．故答案为：．17．【答案】 （3，1） ．【解析】解：由（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0，得即（2x+y ﹣7）m+（x+y ﹣4）=0，∴2x+y ﹣7=0，①且x+y ﹣4=0，②∴一次函数（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0的图象就和m 无关，恒过一定点．由①②，解得解之得：x=3 y=1 所以过定点（3，1）；故答案为：（3，1）18．【答案】 5 【解析】解：由z=x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，解得，即C（2，﹣1）．代入目标函数z=x﹣3y，得z=2﹣3×（﹣1）=2+3=5，故答案为：5．三、解答题19．【答案】【解析】解：依题意，由M=得|M|=1，故M﹣1=从而由=得═=故A（2，﹣3）为所求．【点评】此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，考查学生的计算能力，比较基础． 20．【答案】【解析】解：若p为真，则△=4﹣4m＜0，即m＞1 …若q为真，则，即m≤﹣2 …∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，则p，q一真一假若p真q假，则，解得：m＞1 …若p假q真，则，解得：m≤﹣2 …综上所述：m≤﹣2，或m＞1 …21．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：∵BD为圆O的直径，∴AB⊥AD，∵直线AE是圆O所在平面的垂线，∴AD⊥AE，∵AB∩AE=A，∴AD⊥平面ABE，∴AD⊥BE；（Ⅱ）解：多面体EF﹣ABCD体积V=V B﹣AEFC+V D﹣AEFC=2V B﹣AEFC．∵直线AE，CF是圆O所在平面的两条垂线，∴AE∥CF，∥AE⊥AC，AF⊥AC．∵AE=CF=，∴AEFC为矩形，∵AC=2，∴S AEFC=2，作BM⊥AC交AC于点M，则BM⊥平面AEFC，∴V=2V B﹣AEFC=2×≤=．∴多面体EF﹣ABCD体积的最大值为．【点评】本题考查线面垂直，线线垂直，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等． 22．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.23．【答案】【解析】解：（1）当p=时，B={x|0≤x≤}，∴A∩B={x|2＜x≤}；（2）当A∩B=B时，B⊆A；令2p﹣1＞p+3，解得p＞4，此时B=∅，满足题意；当p≤4时，应满足，解得p不存在；综上，实数p的取值范围p＞4．24．【答案】【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性【试题解析】（Ⅰ）对求导，得，所以，解得，所以．（Ⅱ）由，得，因为，所以对于任意，都有．设，则．令，解得．当x变化时，与的变化情况如下表：所以当时，．因为对于任意，都有成立，所以．所以的最小值为．（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”等价于“”，即要证，所以只要证．由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）．所以只要证明当时，即可．设，所以，令，解得．由，得，所以在上为增函数．所以，即．所以．故函数的图象在直线的下方．。
2018年北京市昌平区高考数学二模试卷(文科)(J)
2018年北京市昌平区高考数学二模试卷（文科）(J)副标题一、选择题（本大题共8小题，共8.0分）1.已知全集，集合或，则A. B.C. D.【答案】D【解析】解：．故选：D．进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的概念，以及补集的运算．2.下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，为反比例函数，在其定义域上为奇函数，但不是增函数，不符合题意；对于B，为幂函数，在其定义域上为奇函数，且是增函数，符合题意；对于C，为正弦函数，在其定义域上为奇函数，但不是增函数，不符合题意；对于D，为对数函数，其定义域为，不是奇函数，不符合题意；故选：B．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性．3.在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是A. 1B.C.D.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，则三角形的面积，故选：C．先作出不等式组对应的平面区域，然后根据区域确定面积即可．本题主要考查不等式组表示的平面区域，利用二元一次不等式组表示平面区域，作出不等式组对应的区域是解决本题的关键，然后根据相应的面积公式进行求解．4.设，，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，且，而．．故选：C．把a，c化为同底数，再由指数函数与对数函数的单调性比较大小．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，是基础题．5.执行如图所示的程序框图，若输入x值满足，则输出y值的取值范围是A. B. C. D. ，【答案】A【解析】解：当时，，当时，，由得：，即：，故选：A．直接利用程序框图和分段函数求出结果．本题考查的知识要点：程序框图的应用，分段函数的应用．6.设x，，则“且“是““的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：“且“，反之不成立，例如取，．“且“是““的充分不必要条件．故选：A．“且“，反之不成立，例如取，即可判断出结论．本题考查了绝对值不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是A. 4B.C. 2D.【答案】B【解析】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是长方形，，，侧面底面ABCD，且，，则四边形，，，，．该四棱锥的所有面中最大面的面积是．故选：B．几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积及底面面积，则答案可求．本题考查了棱锥的三视图和结构特征，棱锥的面积计算，关键是由三视图还原原几何体，属于中档题．8.2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额此项税某调研机构数据显示，希望将个税免征额从元上调至元若个税免征额上调至7000元其它不变，某人当月工资、薪金所得8500元，则此人当月少缴纳此项税款A. 45元B. 350元C. 400元D. 445元【答案】C【解析】解：根据表格，个税免征额为3500元时，此人当月所缴纳的税款为：元；当个税免征额为7000元时，此人当月的所缴纳的税款为：元；此人当月少缴纳此项税款为元．故选：C．根据列表即可分别求出个税免征额为3500元和7000元时，此人当月所缴纳的税款，进而即可得出此人当月少缴纳此项税款的值．考查对应用题的读题能力，本题要弄清什么是全月应纳税所得额，看懂表格是本题的解题关键．二、填空题（本大题共6小题，共6.0分）9.在复平面内，复数对应的点的坐标为______．【答案】【解析】解：，复数对应的点的坐标为．故答案为：．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10.若抛物线，则焦点F的坐标是______．【答案】【解析】解：根据题意，抛物线，其焦点在y轴的正半轴上，且，则其焦点坐标为；故答案为：．根据题意，由抛物线的标准方程分析可得其焦点位置以及p的值，由焦点坐标公式计算可得答案．本题考查抛物线的标准方程，注意分析抛物线的焦点位置．11.在中，，，，则______．【答案】【解析】解：中，，，，，，，又，，解得，．故答案为：．根据正弦定理与三角形内角和定理求出B的值，再求C的大小．本题考查了三角形内角和定理与正弦定理的应用问题，是基础题．12.能够说明命题“设a，b，c是任意实数，若，则”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______．【答案】，，【解析】解：令整数a，b，c的值依次为，，，此时，且，即命题“设a，b，c是任意实数，若，则”是假命题，故答案为：，，答案不唯一令整数a，b，c的值依次为，，，可得命题“设a，b，c是任意实数，若，则”是假命题．本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，举出一组不满足的数字即可，难度不大，属于基础题．13.向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，所成角的余弦值是______；向量，所张成的平行四边形的面积是______．【答案】；3【解析】解：如图所示，建立直角坐标系，不妨取，，则．向量，所张成的平行四边形的面积．故答案分别为：，3．如图所示，建立直角坐标系，不妨取，，利用向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式即可得出．本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.已知函数当时，函数极大值是______；当时，若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是______．【答案】；【解析】解：当时，函数，，当时，，函数为增函数，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，故当时，函数极大值是；当时，若函数有且只有一个极值点，则函数的对称轴在的左侧，即，故答案为：，．当时，函数，，分析各个区间上导函数的符号，进而可得函数极大值；当时，若函数有且只有一个极值点，则函数的对称轴在的左侧，进而得到答案．本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，二次函数的图象和性质，难度中档．三、解答题（本大题共6小题，共6.0分）15.已知函数．求函数的最小正周期；求函数在区间上的最值及相应的x值．【答案】解：Ⅰ，的最小正周期是；Ⅱ，，，当时，．当时，．【解析】直接利用二倍角公式变形，再由辅助角公式化积即可求函数的最小正周期；结合已知条件求出，进而可求出函数在区间上的最值及相应的x值．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查型函数的图象和性质，是基础题．16.已知数列满足，数列是公差为2的等差数列，且．求数列的通项公式；求数列前n项的和．【答案】解：Ⅰ因为，所以．又因为，所以．所以数列的通项公式是．Ⅱ由Ⅰ知，且．所以，得到常数．所以数列是以1为首项，为公比的等比数列．那么数列前n项和：．【解析】Ⅰ直接利用递推关系式求出数列的通项公式．Ⅱ根据Ⅰ的结论，进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的前n项和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用数列的前n项和的应用．17.为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数，绘制如下频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：若分别在A、B两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率．【答案】共13分解：Ⅰ从A地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为，估计A地区当年天的空气质量状况“优良”的频率为，A地区当年天的空气质量状况“优良”的天数约为天--------------------分Ⅱ地20天中空气质量指数在内，为个，设为，，，空气质量指数在内，为个，设为，B地20天中空气质量指数在内，为个，设为，，空气质量指数在内，为个，设为，，，设“A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C，则基本事件空间：，基本事件个数为，，包含基本事件个数为，所以A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为--------------------分【解析】Ⅰ从A地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为，由估计A地区当年天的空气质量状况“优良”的频率为，从而能求出A地区当年天的空气质量状况“优良”的天数．Ⅱ地20天中空气质量指数在内为3个，设为，，，空气质量指数在内为1个，设为，B地20天中空气质量指数在内为2个，设为，，空气质量指数在内为3个，设为，，，设“A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C，利用列举法能求出A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率．本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查列举法、频率分布表等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.如图，四边形ABCD是正方形，平面平面ABE，，，，．Ⅰ求证：平面BDE；Ⅱ求证：平面DEF；求三棱锥的体积．【答案】Ⅰ证明：四边形ABCD是正方形，．又平面平面ABCD，平面平面，，平面ABEF，平面ABCD．又平面ABCD．，又，平面BDE；Ⅱ证明：取DE的中点G，连结OG，FG，四边形ABCD为正方形，为BD的中点．则，且．由已知，且，则且，四边形AOGF为平行四边形，则，即．平面DEF，平面DEF，平面DEF；Ⅲ解：平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，平面平面，，．由Ⅰ知，平面ABCD，平面ABCD，平面BEF．．【解析】Ⅰ由四边形ABCD是正方形，可得再由已知结合面面垂直的性质可得平面ABCD，则，由线面垂直的判定可得平面BDE；Ⅱ取DE的中点G，连结OG，FG，可证明四边形AOGF为平行四边形，则，再由线面平行的判定可得平面DEF；Ⅲ由平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，可得，由Ⅰ知，平面ABCD，则，即有平面BEF，然后利用棱锥体积公式求解．本题考查直线与平面垂直、直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.已知椭圆E：的经过点，且离心率为．求椭圆E的标准方程；过右焦点F的直线与x轴不重合与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点，求实数m的取值范围．【答案】共14分解：Ⅰ由题意，得，椭圆的离心率，解得．所以椭圆E的标准方程：-------------------分当直线轴时，符合题意．当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，由，得，由，得．设，，则．所以，所以线段AB中点C的坐标为由题意可知，，故直线MC的方程为，令，，即当时，得，当且仅当时“”成立．同理，当时，，当且仅当时“”成立．综上所述，实数m的取值范围为--------------------分【解析】Ⅰ由题意可知：，根据椭圆的离心率公式，即可求得a的值，即可求得椭圆方程；分类讨论，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标求得AB中点C坐标，求得MC的方程，分类讨论，根据基本不等式的性质，即可求得实数m的取值范围．本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，考查基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．20.设函数，，方程有三个不同实根，，求曲线在点处的切线方程；求c的取值范围；求证：．【答案】解：Ⅰ，，又，则曲线在点处的切线方程为：；Ⅱ设，，令，则，或，当x变化时，与的变化情况如下表：所以，当，且时，因为，，故存在，，，使得，由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同的零点，即当且仅当时，方程有三个不同实根．证明：由Ⅱ知，，，在上单调递增，则，，由，，设，则所以当时，0'/>，即在上单调递增，而所以当时，，所以，，所以．【解析】Ⅰ求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；Ⅱ设，求得导数和单调区间、极值，即可得到所求范围；由的单调性，，设，求得导数和单调性，即可得证．本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，考查函数和方程转化思想，以及分类讨论思想方法，考查运算和推理能力，属于难题．第11页，共11页。
最新-北京市昌平区2018届高三上学期期末质量抽测理科
昌平区2018－2018学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2018.1考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分.2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写.3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔.请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分.4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液.保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损.不得在答题卡上做任何标记.5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）若集合{}2,1,0,1,2Α=--，{}2|1Βx x =>，则=ΑΒA ．{|11}x x x <->或B ．{}2,2-C ．{}2D ．{0}【考点】集合的运算【试题解析】所以【答案】B(2) 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A ．y = B. 1y x =C. 1()2xy = D. 12log y x = 【考点】函数的单调性与最值【试题解析】结合函数的图像与单调性易知：只有在区间上为增函数。
【答案】A(3) 已知两点(0,0),(2,0)O A -，以线段OA 为直径的圆的方程是俯视图侧（左）视图正（主）视图 A ．22(1)4x y -+= B ．22(1)4x y ++= C ．22(1)1x y -+= D ．22(1)1x y ++= 【考点】圆的标准方程与一般方程 【试题解析】 以线段为直径的圆的圆心为OA 的中点（-1，0），半径为故所求圆的方程为：。
北京市昌平区2018届高三上学期期末考试试卷(数学理)word版
昌平区2018－2018学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷<理科） 2018 .1考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2.答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题>必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题>必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔．b5E2RGbCAP3.修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．p1EanqFDPw4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分． 第Ⅰ卷<选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．>DXDiTa9E3d 1．已知集合，等于A ．B ．C ．D ．2. 已知两条直线，且，则=A. B ． C ． -3 D ．33．设，则 A. B ．C ．D ．4. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．12 B ．8C ．6D ．45．从甲、乙等6名同学中挑选3人参加某公益活动，要求甲、乙至少有1人参加，不同的挑选方法共有A ．16种B ．20 种C ． 24 种D ．120种RTCrpUDGiT 6.已知、是两个不同平面，、是两条不同直线，下列命题中假命题是 A．若∥,,则B．若∥,,则∥ C ．若,, 则∥ D ．若,,则7. 某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次，每件利润增加2元. 用同样工时，可以生产最低主视左视图俯视档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是5PCzVD7HxAA．第7档次 B．第8档次 C．第9档次D．第10档次jLBHrnAILg8.已知定义在上的函数满足= 1，为的导函数.已知的图象如图所示,若两个正数满足，则的取值范围是xHAQX74J0XA．( B ．C ．D ．第Ⅱ卷<非选择题共110分）填空题<本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9.已知函数y= 的最小正周期是，那么正数.LD AYtRyKfE10. 已知向量，，若向量，那么.11.已知过点的直线与圆C ：相交的弦长为，则圆C 的圆心坐标是___________ , 直线的斜率为.Zzz6ZB2Ltk 12. 某程序框图如图所示，则输出的.13.已知的展开式中，则；.14. 设函数的定义域为，若存在与无关的正常数，使对一切实数均成立，则称为有界泛函.在函数①，②，③，④，⑤中，属于有界泛函的有__________(填上所有正确的序号> .dvzfvkwMI1三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．> 15．<本小题满分13分） 在中，．<I ）求角的大小；<II ）若，，求．16．(每小题满分13分>某人进行射击训练，击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响.<Ⅰ）假设该人射击5次，求恰有2次击中目标的概率；<Ⅱ）假设该人每射击5发子弹为一组，一旦命中就停止，并进入下一组练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，求：rqyn14ZNXI①在完成连续两组练习后，恰好共使用了4发子弹的概率；②一组练习中所使用子弹数的分布列，并求的期望.17.<本小题满分14分）如图在四棱锥中，底面是正方形，，垂足为点，,点，分别是，的中点．<I）求证:；<II）求证:平面；<III）若 ,求平面与平面所成二面角的余弦值.18．<本小题满分13分）已知数列是等差数列,，数列的前n项和是，且.<I）求数列的通项公式；<II）求证：数列是等比数列；<III）记，求证：.19．<本小题满分13分）已知函数<）.<I）当时，求函数的单调区间；<II）若不等式对恒成立,求a的取值范围.20. (本小题满分14分>已知函数是奇函数，函数与的图象关于直线对称，当时， (为常数>.<I）求的解读式；<II）已知当时，取得极值，求证：对任意恒成立；<III）若是上的单调函数，且当时，有，求证：.昌平区2018－2018学年第一学期高三年级期末质量抽测数学(理科>试卷参考答案及评分标准 2018.1EmxvxOtOco一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．>二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．>9．2 10. 11.<-2，0）；SixE2yXPq512. 26 13． 1 ; 1 14.①③⑤6ewMyirQFL三、解答题(本大题共6小题，共80分>15.<本小题满分13分）解：<I）由已知得：，……2分……4分，…………6分<II）由可得：………7分…………8分………10分解得：………11分. ……13分16.<本小题满分13分）解：<I）设射击5次，恰有2次击中目标的事件为.……4分<Ⅱ）①完成两组练习后，恰好共耗用4发子弹的事件为,则. ……8分kavU42VRUs②可能取值为1，2，3，4，5. …… 9分y6v3ALoS89;……11分. ……13分17<本小题满分14分）证明：<I）连接. …… 4分(II>，又…… 7分在，点，分别是，的中点．. (9)分<III），以为原点，建立空间直角坐标系由可得设平面MNF的法向量为 n平面ABCD的法向量为…… 11分xyz可得：解得：令 n …… 13分……14分18．<本小题满分13分）解：<1）由已知解得………………4分<2）由于，①令=1，得解得，当时，②－②得，又,∴数列是以为首项，为公比的等比数列 (9)分<3）由<2）可得……9分……10分，故……………………13分19．<本小题13分）解: 对函数求导得:……………2分(Ⅰ>当时,令解得或解得所以, 单调增区间为和,单调减区间为(-2 ,1> . ……………5分(Ⅱ> 令,即,解得或 6分当时,列表得：↗↗……………8分对于时，因为,所以，∴>0 ……… 10 分对于时，由表可知函数在时取得最小值所以，当时，…… 11分由题意，不等式对恒成立，所以得，解得……………13分20.<本小题满分14分）解:(Ⅰ> 当时，必有，则而若点在的图象上，则关于的对称点必在的图象上，即当时，由于是奇函数，则任取有且又当时，由必有综上，当时. ……5分<Ⅱ）若时取到极值，则必有当时，即又由知，当时，，为减函数，. ……9分<Ⅲ）若在为减函数，则对任意皆成立，这样的实数不存在若为增函数，则可令 .由于在上为增函数，可令，即当时，在上为增函数由，设，则与所设矛盾若则与所设矛盾故必有……14分申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
北京昌平区2019高三二模试卷-数学(理)
北京昌平区2019高三二模试卷-数学（理）数学试卷〔理科〕2018.4考生本卷须知1.本试卷共6页，分第一卷选择题和第二卷非选择题两部分，总分值150分，考试时间120分钟、2、答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚、答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔、3、修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液、请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损、不得在答题卡上作任何标记、4、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分、第一部分〔选择题共40分〕【一】选择题共8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.全集U=R ，集合}{42≤-=x x |x A ，}2{<=x |x B ，那么B A =A.{0≥x |x }B.{20<≤x |x }C.{42≤<x |x }D.{40≤≤x |x } 2.在复平面内，与复数i+11对应的点位于A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3.“1=a ”是“002=-=+y a x y x 和直线直线垂直”的A.充分而不必要条件B 必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4. 直线l ：为参数）t t y tx (1⎩⎨⎧+==，圆C ：2cos ρθ=，那么圆心C 到直线l 的距离是A.2B.3C.2D.15.空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有A.0个B.1个C.2个D.3个6.某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，那么在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有A.60种B.120种C.144种D.300种左视图7、如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D A 的中点，Q 为11B A 上任意一点，F E 、为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，那么下面的四个值中不为定值的是A.点P 到平面QEF 的距离B.直线PQ 与平面PEF 所成的角C.三棱锥QEF P -的体积D.二面角Q EF P --的大小 8.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，()37712012(1)1a a -+-=，()32006200612012(1)1a a -+-=-，那么以下结论正确的选项是 A 、20122012S =，20127a a <B 、20122012S =，20127a a > C 、20122012S=-，20127a a <D 、20122012S =-，20127a a >第二部分〔非选择题共110分〕【二】填空题共6小题，每题5分，共30分.9、在∆ABC 中，4,2,2π===A b a 那么角C =_________.10.双曲线的方程为1422=-y x ，那么其渐近线的方程为____________,假设抛物线px y 22=的焦点与双曲线的右焦点重合，那么_______p =. 11.如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值,假设要使输入的x 值与输出的y 值相等，那么这样的x 值有___________个.12.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于点D ，CA 切⊙O 于点A ，CD 交AB 的延长线于点E .假设3AC =，2ED =，那么C 1A 1CBE =________;AO =________.13.假设变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤400x y y x 表示平面区域M ，那么当-42≤≤a 时，动直线a y x =+所经过的平面区域M 的面积为_____________.14.假设对于定义在R 上的函数f (x ),其图象是连续不断的，且存在常数λ(∈λR )使得f (x +λ)+λf (x )=0对任意实数x 都成立，那么称f (x )是一个“λ—伴随函数”.有以下关于“λ—伴随函数”的结论：①f (x )=0是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”；②f (x )=x 不是“λ—伴随函数”；③f (x )=x 2是一个“λ—伴随函数”；④“21—伴随函数”至少有一个零点.其中不正确．．．的序号是________________〔填上所有不．正确．．的结论序号〕、 【三】解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15、〔本小题总分值13分〕 向量a (cos ,sin ),θθ=b =(13-,),22π≤θ≤π-. 〔Ⅰ〕当b a ⊥时，求θ的值; 〔Ⅱ〕求||b a +的取值范围.16、(本小题总分值13分)某游乐场将要举行狙击移动靶比赛.比赛规那么是：每位选手可以选择在A 区射击3 次或选择在B 区射击2次，在A 区每射中一次得3分，射不中得0分;在B 区每射中一次得2分，射不中得0分.参赛选手甲在A 区和B 区每次射中移动靶的概率分别是41和)10(<<p p .(Ⅰ)假设选手甲在A 区射击，求选手甲至少得3分的概率； (Ⅱ)我们把在A 、B 两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B 区射击，求p 的取值范围. 17.〔本小题总分值14分〕在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,122AA AB ==,E 为AD 中点,F 为1CC 中点.〔Ⅰ〕求证:1AD D F ⊥；〔Ⅱ〕求证://CE 平面1AD F ；(Ⅲ)求平面1AD F 与底面ABCD 所成二面角的余弦值.18、〔本小题总分值13分〕 函数∈+--=a x a xax x f ,ln )1()(R. 〔Ⅰ〕当1>a 时，求)(x f 的单调区间;〔Ⅱ〕假设)(x f 在]1[e ,上的最小值为2-，求a 的值. 19、〔本小题总分值14分〕如图，椭圆M :)0(12222>>=+b a b y a x ,离心率36=e ,椭圆与x 正半轴交于点A ，直线l 过椭圆中心O ，且与椭圆交于B 、C 两点，B (1,1).(Ⅰ)求椭圆M 的方程；〔Ⅱ〕如果椭圆上有两点Q P 、,使PBQ ∠的角平分线垂直于AO ，问是否存在实数)0(≠λλ使得λ=成立？20.(本小题总分值13分)实数列 3210a ,a ,a ,a ，由下述等式定义123,0,1,2,3,.n n n a a n +=-=〔Ⅰ〕假设0a 为常数，求123,,a a a 的值；〔Ⅱ〕求依赖于0a 和n 的na 表达式；〔Ⅲ〕求0a 的值，使得对任何正整数n 总有1n n aa +>成立.昌平区2017－2018学年度第二学期高三年级第二次统一练习数学(理科)试卷参考答案及评分标准2018.4【一】选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分、)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A C C BBA【二】填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分、) 9、127π10.xy 21±=,5211.312.1，2313、714.①③注：10,12题第一空2分【三】解答题(本大题共6小题，共80分) 15、〔本小题总分值13分〕 解：〔Ⅰ〕 a ⊥b ∴b a ⋅0sin cos 3=-=θθ………2分得3tan =θ又∵22π≤θ≤π-………4分 即：θ=3π………6分〔Ⅱ〕||b a +=4)sin cos 3(21||2||22+-+=+⋅+θθb b a a)3sin(45π--=θ………9分22π≤≤π-θ 6365π≤π-≤π-∴θ………11分 21)3sin(1≤π-≤-∴θ4)3sin(42≤π--≤-∴θ ∴33≤+≤||b a ………13分16、〔本小题总分值13分)解：〔Ⅰ〕设“选手甲在A 区射击得0分”为事件M,“选手甲在A 区射击至少得3分”为事件N,那么事件M 与事件N 为对立事件,6427)411(41)(3003=-⋅⋅=)(C M P ………2分6437642711=-=-=)M (P )N (P ………4分(Ⅱ)设选手甲在A 区射击的得分为ξ,那么ξ的可能取值为0，3，6,9.6427)41-(10)(3===ξP ;6427)411(41C 3)(213=-⋅⋅==ξP ; 649)411()41(6)(223=-==ξC P ;641)41(9)(3===ξP所以ξ的分布列为49641964966427364270=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E设选手甲在B 区射击的得分为η，那么η的可能取值为0，2，4.2)-(10)(p P ==η；)1(2)1(C 2)(12p p p p P -=-⋅⋅==η;24)(p P ==η 所以η的分布列为p p )p (p )p (E 441221022=⋅+-⋅+-⨯=η∴根据题意，有ξηE E >∴1169494<<∴>p ,p ………13分 17.〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕证明：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中四边形ABCD 是正方形,AD CD ∴⊥1DD ABCD AD ABCD ⊥⊂平面，平面1AD DD ∴⊥ 1DD CD D =11AD CDD C ∴⊥平面111D F CDD C ⊂平面1AD D F ∴⊥………4分〔Ⅱ〕证明：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,连结1A D ,交1AD 于点M ,连结,ME MF .M ∴为1AD 中点.E 为AD 中点，F 为1CC 中点.111//2ME DD ME DD ∴=且………6分 又1121DD CF DD //CF =且 ∴四边形CEMF 是平行四边形.MF //CE ∴………8分CE ⊄平面1AD F ,MF ⊂平面1AD F .//CE ∴平面1AD F .………9分(Ⅲ)解：以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图.那么1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2),(0,1,1)D A B C D F ………10分∴平面ABCD 的法向量为1(0,0,2)DD =………11分设平面1AD F 的法向量为(,,)x y z =n .1(1,1,1),(1,0,2)AF AD =-=-，分那么有10,0.AF AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以0,20.x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩取1z =，得(2,1,1)=n .1116cos ,6DD DD DD ⋅〈〉==n n n .………13分平面F AD 1与平面所成二面角为锐角.所以平面1AD F 与底面ABCD ………14分18、〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕f (x )的定义域为｛x |0>x ｝……………1分.2222))(1()1(11)(x a x x x x a a x x a x a x f --=+-+=+-+='…………3分1>a令0)(>'x f ，即ax x x a x x ><>--或得1,0))(1(2，∴)(x f 的增区间为〔0，1〕，),(+∞a ……………4分 令0)(<'x f ，即ax xa x x <<<--1,0))(1(2得，∴)(x f 的减区间为),1(a ………………5分 〔Ⅱ〕①当1≤a 时，0)(≥'x f 在]1[e ,上恒成立，∴)(x f 在]1[e ,恒为增函数.………6分21)1()]([min -=-==∴a f x f ，得.(3舍去）=a ………7分 ②当e a <<1时，令0)(='x f ，得1或a x =. 当a x <<1时，0)(<'x f ∴)(x f 在),1(a 上为减函数； 当e x a <<时，0)(>'x f ∴)(x f 在),(e a 上为增函数；2)ln()1(1)()]([min -=+--==∴a a a a f x f ，得〔舍〕………10分③当e a >时，0)(≤'x f 在],1[e 上恒成立，此时)(x f 在],1[e 恒为减函数.2)1()()]([min-=+--==∴a eae ef x f ，得.e a =………12分 综上可知.e a =………13分 19、〔本小题总分值14分〕 解：(Ⅰ)由题意可知2)(136ab e -==,得223b a =………2分 )11(,B 点 在椭圆上11122=+b a 解得：34422==b ,a ………4分 故椭圆M 的方程为：143422=+y x ………4分 〔Ⅱ〕由于PBQ ∠的平分线垂直于OA 即垂直于x 轴，故直线PB 的斜率存在设为k ，那么QB 斜率为-k ，因此PB 、QB 的直线方程分别为y =k (x -1)+1，y =-k (x -1)+1………6分 由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=14341)1(22y x x k y 得01631631222=--+--+k k x )k (k x )k (①由0>∆，得31-≠k ………8分 点B 在椭圆上，x =1是方程①的一个根，设),(),,(QQ p p y x Q y x P13163122+--=⋅∴k k k x P 即1316322+--=∴k k k x P ，同理1316322+-+=k k k x Q ………10分∴=PQk311312213)13(22)(222=+--+-⋅=--+=--k k k k k k x x k x x k x x y y Q P Q P Q P Q P)1,1(),0,2(--C A 31=∴ACk 即：AC PQ k k = ∴向量AC //PQ ，那么总存在实数λ使AC PQ λ=成立.………13分20.〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕0131a a -=,0291a a +-=,03277a a -=………2分〔Ⅱ〕由123,n n n a a +=-得1112(3)(3)(3)nn n n n n a a +++-=---………3分 令(3)n n n a b =-，所以112(3)nn n n b b ++-=- 所以121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-23112342222(3)(3)(3)(3)n nb -=+++++----2111222()[()()()]3333n b -=+--+-++-1122()(1())133()231()3n b ----=+--- 1122(1()),153n b -=+--………6分所以1122(1())(3)3153n nn a a -=+----………7分所以1112(3)[(3)32]15n n n n a a --=⋅-+-+⋅ 1102(13)(3)[(3)32]15n n n a --=--+-+⋅ 101[2(1)3](1)35n n n n na -=+-⋅+-⋅⋅………8分 〔Ⅲ〕1111101[2(1)3](1)35n n n n n n n a a a +++++-=+-⋅+-⋅⋅ 101[2(1)3](1)35n n n n na --+-⋅--⋅⋅ 0112(1)43()55n n n a =⋅+-⋅⋅- 所以101121()()(1)4()3535n nn n n a a a +-=+-⋅⋅-………10分 如果015a ->，利用n 无限增大时，2()3n的值接近于零，对于非常大的奇数n ，有10n n a a +-<；如果0105a -<，对于非常大的偶数n ，10n na a +-<，不满足题目要求.当015a =时，112,5n n n a a +-=⋅于是对于任何正整数n ，1n n a a +>，因此015a =即为所求.………13分【以上答案仅供参考，假设有其它解法，请酌情给分】。
2018北京昌平高三二模【理】试题(含答案
昌平区2018年高三年级第二次统一练习 数学试卷(理科) 2018.5本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案作答在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合A ={x ∣x <1-或x > 1}，则U A =ðA ．(,1)(1,)-∞-+∞UB ．(,1][1,)-∞-+∞UC ．(1,1)-D ．[1,1]-2．若复数cos isin z θθ=+，当4=π3θ时，则复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知等比数列{}n a 中，143527,a a a a ==，则7a = A ．127B ．19 C ．13D ．34．设0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 3b =，0.32c -=，则A ．b c a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b >>5．若满足条件010x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y 恰有12个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为A ．3-B ．2-C ．1-D ．06．设,x y ∈R ，则22+2x y ≤“”是||1||1x y ≤≤“且”的俯视图左视图22 1A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是 A ．4 B ．5 C ． 2 D ．28．2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额（含税级距）税率(%) 不超过1500元3 超过1500元至4500元的部分 10 超过4500元至9000元的部分20 ……某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于A ．5000~6000元B ．6000~8000元C ．8000~9000元D ．9000~16000元第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在二项式6(1)x +的展开式中，第四项的系数是 ．（用数字作答） 10．在ABC ∆中，34ABC S ∆=，3AB =，1AC =，则BC = ． 2 主视图11．已知双曲线C ：2221(0)x y a a -=>的渐近线方程为12y x =±，则双曲线C 的离心率是 ．12．执行如图所示的程序框图，若输入 x 值满足24x -<≤， 则输出y 值的取值范围是 ．13．向量a ，b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示， 则向量a ，b 所成角的余弦值是_________;向量a ，b 所张成的平行四边形的面积是__________.14．已知函数()22,1ln 1.x ax x f x a x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩‚‚① 当1x <时，若函数()f x 有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是 ； ② 若函数()f x 的最大值为1，则a = ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）已知函数()2sin()cos()3sin244f x x x x =--+ππ． （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最值及相应的x 值．16.（本小题13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区一年的ab2log y x=2x <23y x =-是否x输入输出y 结束开始B 地区(AQI)(201,248)(158,120)(153,145)(150,222)(120,115)(90,78)(97,144)(88,216)(60,42)(54,49)(53,65)(51,77)(40,77)(45,54)(40,38)(30,48)(29,30)(27,27)(25,25)(21,22)2502001501005025020015010050A 地区(AQI)O数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数（AQI ）如下图所示：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：空气质量指数AQI (0,100)[100,200)[200,300)空气质量状况优良 轻中度污染 重度污染（Ⅰ）试估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C ：“A 地区空气质量等级优于B 地区空气质量等级”. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率.（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A ，B 两地区哪个地区.（只需写出结论）17．（本小题14分）如图1，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于点E ，将ADE∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1AD BE ⊥，如图2．（I ）求证：1A E ⊥平面BCDE ； （II ）求二面角1E A D B --的余弦值；（III ）在线段BD 上是否存在点P ，使平面1A EP ⊥平面1A BD ？若存在，求出BPBD的值；若不存在，说明理由．18．（本小题14分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点(0,1)，且离心率为22．（I ）求椭圆E 的标准方程；（II ）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0,)M m ，求实数m 的取值范围．19．（本小题13分）已知函数2()e x f x ax ax x =+-,1a >．（I ）若曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，求a 的值； (II) 证明：当0x <时，函数()f x 存在唯一的极小值点为0x ，且0102x -<<．20．(本小题13分)已知正项数列{}n a 中，若存在正实数p ，使得对数列{}n a 中的任意一项k a ，kpa 也是数列{}n a 中的一项，称数列{}n a 为“倒置数列”，p 是它的“倒置系数”．（I ）若数列：1,4,9,(9)x x >是“倒置系数”为p 的“倒置数列”，求x 和p 的值； （II ）若等比数列{}n a 的项数是m ，数列{}n a 所有项之积是T ，求证：数列{}n a 是“倒置数列”，并用m 和T 表示它的“倒置系数”p ；（III ）是否存在各项均为整数的递增数列{}n a ，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”,如果存在，请写出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．昌平区2018年高三年级第二次统一练习数学试卷(理科)参考答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DCACBBBC二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)9．20 10．1或7 11．5212．[3,2]- 13．45 ; 3 14．1a <；1-三、解答题(共6小题，共80分) 15．（共13分）解：（I ）π()sin(2)3sin 22f x x x =-+cos23sin 2x x=+π2sin(2)6x =+所以()f x 的最小正周期是π. -------------------8分 （II ）因为 π02x ≤≤, 所以 02πx ≤≤,所以 ππ7π2666x ≤≤+,当π6x =时，max ()2f x =. 当π2x =时，m ()1in -f x =. --------------------13分16．（共13分）解：（Ⅰ）从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为510.7520-=，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274⨯≈天. -----------4分（Ⅱ）记1A 表示事件：“A 地区空气质量等级为优良”；2A 表示事件：“A 地区空气质量等级为轻中度污染”；1B 表示事件：“B 地区空气质量等级为轻中度污染”； 2B 表示事件：“B 地区空气质量等级为重度污染”， 则1A 与1B 独立，2A 与2B 独立，1B 与2B 互斥，111222C A B A B A B =.所以111222()()P C P A B A B A B =111222()()()P A B P A B P A B =++111222()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++.由所给数据得1A ，2A ，1B ，2B 发生的频率分别为34，15，15，320. 故13()4P A =，21()5P A =，11()5P B =，23()20P B =， 所以31313()()0.2925.4520520P C =⨯++⨯= --------------------10分（Ⅲ）从空气质量角度，建议选择A 地区居住 . --------------------13分17．（共14分）证明：（I ）因为DE AB ⊥，所以BE DE ⊥．又因为1BE A D ⊥，1DE A D D =,所以BE ⊥平面1A DE ． 因为1A E ⊂平面1A DE ， 所以1A E BE ⊥． 又因为1A E DE ⊥,BEDE E =,所以1A E ⊥平面BCDE ．--------------------5分 （II ）因为1A E ⊥平面BCDE ，BE DE ⊥，所以以E 为原点，分别以EB ，ED ，EA 1为 x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，(0,3,0)D ，1(0,0,1)A ．所以1(1,0,1)BA =-,(1,3,0)BD =-． 设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，A 1BCDExyz由1030BA x z BD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n ，得3x z x y =⎧⎪⎨=⎪⎩令1y =，得(3,1,3)=n ．因为BE ⊥平面1A DE ，所以平面1A DE 的法向量(1,0,0)EB =u u r， 所以321cos ,77EB EB EB⋅===⋅n n n ．因为所求二面角为锐角，所以二面角1E A D B --的余弦值为217． -------------------10分 （III ）假设在线段BD 上存在一点P ，使得平面1A EP ⊥平面1A BD ．设(,,)P x y z ，(01)BP BD λλ=≤≤，则(1,,)(1,3,0)x y z λ-=-． 所以(1,3,0)P λλ-．所以1(0,0,1)EA =，(1,3,0)EP λλ=-． 设平面1A EP 的法向量(,,)x y z =m ，由10(1)30EA z EP x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩m m ，得0(1)3z x y λλ=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，令3x λ=，得(3,1,0)λλ=-m ．因为平面1A EP ⊥平面1A BD ， 所以310λλ⋅=+-=m n ，解得[]10,14λ=∈， 所以在线段BD 上存在点P ，使得平面1A EP ⊥平面1A BD ，且14BP BD =． --------------------14分18．（共14分）（Ⅰ）由题意，得222122b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩， 解得 21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．所以椭圆E 的标准方程是2212x y +=． -------------------5分（II ）（1）当直线x AB ⊥轴时，m = 0符合题意．（2）当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，由22(1)220y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，得()()2222124210k x k x k +-+-=， 由2222(4)8(12)(1)0k k k ∆=--+->，得k ∈R ．设()11,x y A ，()22,x y B ，则2212122242(1)1212k k x x x x k k-+=⋅=++，． 所以121222(2)12k y y k x x k -+=+-=+，所以线段AB 中点C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．由题意可知，0k ≠，故直线C M 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令x = 0，212k y k =+，即212k m k =+当k > 0时，，得2120=11242k m k k k<=≤++，当且仅当22k =时“=”成立． 同理，当 k < 0时，2120=11242k m k kk>=≥-++，当且仅当22k =-时“=”成立． 综上所述，实数m 的取值范围为22,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．--------------------14分19．（共13分）解：（I ）因为2()e x f x ax ax x =+-，得()2e e x x f x ax a x '=+--，所以(0)1f a '=-．因为曲线在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，所以(0)11f a '=-=，即2a =． --------------------5分(II) 设()2e e x x h x ax a x =+--，则()22e e 2(2)e x x x h x a x a x '=--=-+． 因为0x <，所以22x +<，e 1x<.又因为1,a >所以 ()0h x '>，故()(21)e (1)x h x a x x =+-+在(,0)-∞上为增函数． 又因(0)10h a =->，1211()e 022h --=-<，由零点存在性定理，存在唯一的01(,0)2x ∈-，有0()0h x =． 当0(,)x x ∈-∞时，()()0h x f x ='<，即()f x 在0(,)x -∞上为减函数，当0(,0)x x ∈时，()()0h x f x ='>，即()f x 在0(,)x -∞上为增函数，所以0x 为函数()f x 的极小值点． --------------------13分20．(共13分) 解：（I ）因为数列：1,4,9,(9)x x >是“倒置系数”为p 的“倒置数列”. 所以,,,94p p p p x 也是该数列的项，且94p p p p x <<<. 故1,49p p x ==， 即36x p ==. --------------------3分（II ）因为数列{}n a 是项数为m 项的有穷正项等比数列，取10m p a a =⋅>， 对数列{}n a 中的任意一项(1)i a i m ≤≤，111m i m i m i i i ia a a a p a a a a +-+-===也是数列{}n a 中的一项， 由“倒置数列”的定义可知，数列{}n a 是“倒置数列”； 又因为数列{}n a 所有项之积是T ，所以21231211()()()m m m m m m m T a a a a a a a a a a p --===即2m p T =. --------------------9分 （III ）假设存在这样的等差数列{}n a 为“倒置数列”，设它的公差为(0)d d >，“倒置系数”为p.因为数列{}n a 为递增数列，所以123n a a a a <<<<< 则123n p p p p a a a a >>>>>又因为数列{}n a 为“倒置数列”，则正整数ip a 也是数列{}n a 中的一项（1,2,i =），故数列{}n a 必为有穷数列，不妨设项数为n 项，则1(11)i n i p a a i n +-=⋅≤≤-则121n n a a a a -=，得11()()n n a a a d a d =+-，即2(2)0n d -=由3n ≥，故0d =，与0d >矛盾.所以，不存在满足条件的数列{}n a ，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”.--------------------13分。
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昌平区2018年高三年级第二次统一练习 数学试卷(理科) 2018.5本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案作答在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合A ={x ∣x <1-或x > 1}，则U A =ðA ．(,1)(1,)-∞-+∞UB ．(,1][1,)-∞-+∞UC ．(1,1)-D ．[1,1]-2．若复数cos isin z θθ=+，当4=π3θ时，则复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知等比数列{}n a 中，143527,a a a a ==，则7a = A ．127B ．19 C ．13D ．34．设0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 3b =，0.32c -=，则A ．b c a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b >>5．若满足条件010x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y 恰有12个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为A ．3-B ．2-C ．1-D ．06．设,x y ∈R ，则22+2x y ≤“”是||1||1x y ≤≤“且”的俯视图左视图22 1A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是 A ．4 B ．5 C ． 2 D ．28．2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额（含税级距）税率(%) 不超过1500元3 超过1500元至4500元的部分 10 超过4500元至9000元的部分20 ……某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于A ．5000~6000元B ．6000~8000元C ．8000~9000元D ．9000~16000元第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在二项式6(1)x +的展开式中，第四项的系数是 ．（用数字作答） 10．在ABC ∆中，34ABC S ∆=，3AB =，1AC =，则BC = ． 2 主视图11．已知双曲线C ：2221(0)x y a a -=>的渐近线方程为12y x =±，则双曲线C 的离心率是 ．12．执行如图所示的程序框图，若输入 x 值满足24x -<≤， 则输出y 值的取值范围是 ．13．向量a ，b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示， 则向量a ，b 所成角的余弦值是_________;向量a ，b 所张成的平行四边形的面积是__________.14．已知函数()22,1ln 1.x ax x f x a x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩‚‚① 当1x <时，若函数()f x 有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是 ； ② 若函数()f x 的最大值为1，则a = ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）已知函数()2sin()cos()3sin244f x x x x =--+ππ． （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最值及相应的x 值．16.（本小题13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区一年的ab2log y x=2x <23y x =-是否x输入输出y 结束开始B 地区(AQI)(201,248)(158,120)(153,145)(150,222)(120,115)(90,78)(97,144)(88,216)(60,42)(54,49)(53,65)(51,77)(40,77)(45,54)(40,38)(30,48)(29,30)(27,27)(25,25)(21,22)2502001501005025020015010050A 地区(AQI)O数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数（AQI ）如下图所示：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：空气质量指数AQI (0,100)[100,200)[200,300)空气质量状况优良 轻中度污染 重度污染（Ⅰ）试估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；（Ⅱ）假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C ：“A 地区空气质量等级优于B 地区空气质量等级”. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率.（Ⅲ）若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择A ，B 两地区哪个地区.（只需写出结论）17．（本小题14分）如图1，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于点E ，将ADE∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D BE ⊥，如图2．（I ）求证：1A E ⊥平面BCDE ； （II ）求二面角1E A D B --的余弦值；（III ）在线段BD 上是否存在点P ，使平面1A EP ⊥平面1A BD ？若存在，求出BPBD的值；若不存在，说明理由．18．（本小题14分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点(0,1)，且离心率为22．（I ）求椭圆E 的标准方程；（II ）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0,)M m ，求实数m 的取值范围．19．（本小题13分）已知函数2()e x f x ax ax x =+-,1a >．（I ）若曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，求a 的值； (II) 证明：当0x <时，函数()f x 存在唯一的极小值点为0x ，且0102x -<<．20．(本小题13分)已知正项数列{}n a 中，若存在正实数p ，使得对数列{}n a 中的任意一项k a ，kpa 也是数列{}n a 中的一项，称数列{}n a 为“倒置数列”，p 是它的“倒置系数”．（I ）若数列：1,4,9,(9)x x >是“倒置系数”为p 的“倒置数列”，求x 和p 的值； （II ）若等比数列{}n a 的项数是m ，数列{}n a 所有项之积是T ，求证：数列{}n a 是“倒置数列”，并用m 和T 表示它的“倒置系数”p ；（III ）是否存在各项均为整数的递增数列{}n a ，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”,如果存在，请写出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．昌平区2018年高三年级第二次统一练习数学试卷(理科)参考答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DCACBBBC二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)9．20 10．1或7 11．5212．[3,2]- 13．45 ; 3 14．1a <；1-三、解答题(共6小题，共80分) 15．（共13分）解：（I ）π()sin(2)3sin 22f x x x =-+cos23sin 2x x=+π2sin(2)6x =+所以()f x 的最小正周期是π. -------------------8分 （II ）因为 π02x ≤≤, 所以 02πx ≤≤,所以 ππ7π2666x ≤≤+,当π6x =时，max ()2f x =. 当π2x =时，m ()1in -f x =. --------------------13分16．（共13分）解：（Ⅰ）从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为510.7520-=，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274⨯≈天. -----------4分（Ⅱ）记1A 表示事件：“A 地区空气质量等级为优良”；2A 表示事件：“A 地区空气质量等级为轻中度污染”； 1B 表示事件：“B 地区空气质量等级为轻中度污染”；2B 表示事件：“B 地区空气质量等级为重度污染”， 则1A 与1B 独立，2A 与2B 独立，1B 与2B 互斥，111222C A B A B A B =.所以111222()()P C P A B A B A B =111222()()()P A B P A B P A B =++111222()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++.由所给数据得1A ，2A ，1B ，2B 发生的频率分别为34，15，15，320. 故13()4P A =，21()5P A =，11()5P B =，23()20P B =， 所以31313()()0.2925.4520520P C =⨯++⨯= --------------------10分（Ⅲ）从空气质量角度，建议选择A 地区居住 . --------------------13分17．（共14分）证明：（I ）因为DE AB ⊥，所以BE DE ⊥．又因为1BE A D ⊥，1DE A D D =,所以BE ⊥平面1A DE ． 因为1A E ⊂平面1A DE ， 所以1A E BE ⊥． 又因为1A E DE ⊥,BEDE E =,所以1A E ⊥平面BCDE ．--------------------5分 （II ）因为1A E ⊥平面BCDE ，BE DE ⊥，所以以E 为原点，分别以EB ，ED ，EA 1为 x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，(0,3,0)D ，1(0,0,1)A ．所以1(1,0,1)BA =-,(1,3,0)BD =-． 设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，A 1BCDExyz由1030BA x z BD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n ，得3x z x y =⎧⎪⎨=⎪⎩令1y =，得(3,1,3)=n ．因为BE ⊥平面1A DE ，所以平面1A DE 的法向量(1,0,0)EB =u u r， 所以321cos ,77EB EB EB⋅===⋅n n n ．因为所求二面角为锐角，所以二面角1E A D B --的余弦值为217． -------------------10分 （III ）假设在线段BD 上存在一点P ，使得平面1A EP ⊥平面1A BD ．设(,,)P x y z ，(01)BP BD λλ=≤≤，则(1,,)(1,3,0)x y z λ-=-． 所以(1,3,0)P λλ-．所以1(0,0,1)EA =，(1,3,0)EP λλ=-． 设平面1A EP 的法向量(,,)x y z =m ，由10(1)30EA z EP x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩m m ，得0(1)3z x y λλ=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，令3x λ=，得(3,1,0)λλ=-m ．因为平面1A EP ⊥平面1A BD ， 所以310λλ⋅=+-=m n ，解得[]10,14λ=∈， 所以在线段BD 上存在点P ，使得平面1A EP ⊥平面1A BD ，且14BP BD =． --------------------14分18．（共14分）（Ⅰ）由题意，得222122b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩， 解得 21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．所以椭圆E 的标准方程是2212x y +=． -------------------5分（II ）（1）当直线x AB ⊥轴时，m = 0符合题意．（2）当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，由22(1)220y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，得()()2222124210k x k x k +-+-=， 由2222(4)8(12)(1)0k k k ∆=--+->，得k ∈R ．设()11,x y A ，()22,x y B ，则2212122242(1)1212k k x x x x k k-+=⋅=++，． 所以121222(2)12k y y k x x k -+=+-=+，所以线段AB 中点C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．由题意可知，0k ≠，故直线C M 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令x = 0，212k y k =+，即212k m k =+当k > 0时，，得2120=11242k m k k k<=≤++，当且仅当22k =时“=”成立． 同理，当 k < 0时，2120=11242k m k kk>=≥-++，当且仅当22k =-时“=”成立． 综上所述，实数m 的取值范围为22,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．--------------------14分19．（共13分）解：（I ）因为2()e x f x ax ax x =+-，得()2e e x x f x ax a x '=+--，所以(0)1f a '=-．因为曲线在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，所以(0)11f a '=-=，即2a =． --------------------5分(II) 设()2e e x x h x ax a x =+--，则()22e e 2(2)e x x x h x a x a x '=--=-+． 因为0x <，所以22x +<，e 1x<.又因为1,a >所以 ()0h x '>，故()(21)e (1)x h x a x x =+-+在(,0)-∞上为增函数． 又因(0)10h a =->，1211()e 022h --=-<，由零点存在性定理，存在唯一的01(,0)2x ∈-，有0()0h x =． 当0(,)x x ∈-∞时，()()0h x f x ='<，即()f x 在0(,)x -∞上为减函数，当0(,0)x x ∈时，()()0h x f x ='>，即()f x 在0(,)x -∞上为增函数，所以0x 为函数()f x 的极小值点． --------------------13分20．(共13分) 解：（I ）因为数列：1,4,9,(9)x x >是“倒置系数”为p 的“倒置数列”. 所以,,,94p p p p x 也是该数列的项，且94p p p p x <<<. 故1,49p p x ==， 即36x p ==. --------------------3分（II ）因为数列{}n a 是项数为m 项的有穷正项等比数列，取10m p a a =⋅>， 对数列{}n a 中的任意一项(1)i a i m ≤≤，111m i m i m i i i ia a a a p a a a a +-+-===也是数列{}n a 中的一项， 由“倒置数列”的定义可知，数列{}n a 是“倒置数列”； 又因为数列{}n a 所有项之积是T ，所以21231211()()()m m m m m m m T a a a a a a a a a a p --===即2mp T =. --------------------9分 （III ）假设存在这样的等差数列{}n a 为“倒置数列”，设它的公差为(0)d d >，“倒置系数”为p.因为数列{}n a 为递增数列，所以123n a a a a <<<<< 则123n p p p p a a a a >>>>>又因为数列{}n a 为“倒置数列”，则正整数ip a 也是数列{}n a 中的一项（1,2,i =）， 故数列{}n a 必为有穷数列，不妨设项数为n 项，则1(11)i n i p a a i n +-=⋅≤≤-则121n n a a a a -=，得11()()n n a a a d a d =+-，即2(2)0n d -=由3n ≥，故0d =，与0d >矛盾.所以，不存在满足条件的数列{}n a ，使得它既是等差数列，又是“倒置数列”.--------------------13分。