学一轮复习第二章第10课指数式与指数函数自主学习(pdf)
高二数学高效课堂资料一轮复习10指数与指数函数
高二数学高效课堂资料山东省昌乐一中2017级高二数学翻转课堂课时学案课题指数与指数函数编制贾可涛修改郑宪英审核李志刚审批常乐平目标导学掌握指数运算法则,会求解指数问题学会指数运算，会解指对方程重点难点重点：指数与指数函数难点：指数运算、指数函数的图像与性质自学质疑学案阅读记录学案内容班级小组姓名________ 使用时间______年______月______日编号一轮复习10第 1页学案内容阅读记录知识梳理：知识点1：指数运算知识点2：指数函数的图像与性质基础自测：1.32434(1)(7)_____(2)(9)____(3)(3)____p -=-=-=2．函数01xyaa a 且在上的最大值比最小值大2a ，则a 为（）A．12B.32C.12或32D. 143.51(0,1)x yaa a 恒过定点；考点突破：考点1：指数的运算问题1：（1）计算352531036aaaa （2）解方程1423xx考点2：单调性的应用问题2：比较下列各组大小11-351188（）和（）0.50.320.20.2（）和（3）221333111252，，考点3：定义域和值域问题3.1、已知函数2231()2x x y(1)求其定义域和值域；(2)求其单调区间；2、求函数1()13xy的定义域，值域【微课助学】观看微课一轮复习10，加深对上述问题的理解，提出不理解的问题。
【合作互学】讨论以上你不理解的问题。
【微课助学】指数函数性质的综合应用自我评价：内容是否解决问题1 问题2 问题3 问题4 问题5应用1 应用2【在线测学】完成在线自测一轮复习10，把本节中不明白的问题交给课代表。
教师评价：第 2 页训练展示学案知识点识记理解应用指数的概念和意义134 2 指数运算与指数函数567 学生笔记（教师点拨）学案内容第 3 页学案内容学生笔记（教师点拨）要求：先自己做，再讨论，小组展示。
A 组1.已知6.06.0a ，5.16.0b ，6.05.1c ，则c b a ,,的大小关系为（）Ac b a Ba cb C b ac D b c a2. 函数2()=2x f x 的值域为（）A.[2,) B.[1,) C. 2,)（ D. 0,1]（1(01)xyab a a3.函数且图像经过第二、三、四象限，则有（）A.01a 且0b B.1a 且0b C.01a 且0b D.1a 且0b4.当0a时，函数y ax b 和axy b 的图象只可能是图中的（）AB C DB 组5．若曲线21xy与直线yb 没有公共点，则b 的取值范围是6.已知xx aa21，试求x 的取值范围C 组7.已知函数2431()3ax x f x (1)若a ＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a 的值．自我评价：内容是否解决问题1 问题2 问题3 问题4 问题5 应用1 应用2教师评价：自我反思：※自我评价：你完成本节导学案的情况为（） A.很好 B.较好 C.一般 D.较差※学习小结：本节课你从知识，方法方面学到了什么？第4页。
高考数学大一轮复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第1
第10课指数式与指数函数(本课时对应学生用书第页) 自主学习回归教材1.(必修1P60例1改编)计算：2(π-4)+π= .【答案】42(π-4)+π=|π-4|+π=4-π+π=4.2.(必修1P61例2改编)计算：1294⎛⎫⎪⎝⎭+(-9.6)0-2-3278⎛⎫⎪⎝⎭×232⎛⎫⎪⎝⎭= .【答案】3 2【解析】原式=32+1-49×94=32.3.(必修1P67练习1改编)若函数y=(a2-3a+3)·a x是指数函数，则实数a= .【答案】2【解析】由题意得a2-3a+3=1且a>0，a≠1，所以a=2.4.(必修1P52习题1改编)当x>0时，指数函数f(x)=(a-1)x，且(a-1)x<1恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】(1，2)【解析】因为x>0时，(a-1)x<1恒成立，所以0<a-1<1，所以1<a<2.5.(必修1P52习题1改编)已知函数f(x)=a x+b(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a+b= .(第5题)【答案】-2【解析】由图可知，此函数过点(2，0)和(0，-3)，则有a2+b=0，且1+b=-3，解得a=2，b=-4，所以a+b=-2.1.指数中的相关概念(1)n次方根正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.(2)方根的性质①当nna=a；②当nna=|a|=-0a aa a≥⎧⎨<⎩，，，.(3)分数指数幂的意义①mna n m a a>0，m，n都是正整数，n>1)；②-mna=1mna n m a(a>0，m，n都是正整数，n>1).2.指数函数的定义一般地，形如y=a x(a>0且a≠1)的函数叫作指数函数.3.指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R R值域(0，+∞) (0，+∞)过定点过点(0，1)，即x=0时，y=1 过点(0，1)，即x=0时，y=1单调性在R上是增函数在R上是减函数(1)在解决指数函数有关问题时，如果底数a大小不确定，则必须分“a>1”和“0<a<1”两种情况讨论.(2)画指数函数y=a x的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，1-1a⎛⎫⎪⎝⎭，.(3)由于指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图象均在x轴上方，故y>0，图象无限接近x轴，但不会相交，因此，x轴是指数函数的“渐近线”.【要点导学】要点导学各个击破指数幂的运算例1求下列各式的值.(1)(0.02723)+1-327125⎛⎫⎪⎝⎭-0.5729⎛⎫⎪⎝⎭+10-2；(2)214⎛⎫⎪⎝⎭+1-366323-2(1.03)0·36⎛⎝⎭.【思维引导】按照幂指数运算法则运算，分母含根式的进行分母有理化.【解答】(1)原式=9100+53-53+1100=110. (2)原式=116+(13--326)+222(32)(3)-(2)+-66-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=116+6+5+26+36=81606+.【精要点评】指数幂化简与求值的原则及要求：(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序.(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂.变式 化简下列各式(a>0，b>0).(1)(2132a b )(-31132a b )÷156613a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 34332323-8?24a a ba ab b ++÷31-2b a ⎛ ⎝3a 【思维引导】按照分数指数幂的运算性质求解，含根式的化成分数指数幂后再计算或化简.【解答】(1)原式=-9211115--326236ab++=-9a.(2)原式=413322333-842ab a a bb a +÷113313a -2b a×13a=1321123333a (a-8b)4b 2a b a ++÷113313a -2b a×13a=13a (13a -213b )131133aa -2b ×13a =a.【精要点评】若式子中既有分数指数幂、又有根式，则可先把根式化成分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算.在指数式运算中，注重运算顺序和灵活运用乘法公式.指数函数图象的应用例2已知函数f(x)=|2x-1|.(1)求f(x)的单调区间；(2)比较f(x+1)与f(x)的大小.【思维引导】(1)对于y=|2x-1|的图象，我们通过y=2x的图象翻折得到，在翻折指数函数图象时一定要注意渐近线也要随之翻折，作出f(x)的图象，数形结合求解.(2)在同一坐标系中分别作出f(x)，f(x+1)的图象，数形结合求解.【解答】(1)由f(x)=|2x-1|=2-101-20.xxxx⎧≥⎨<⎩，，，作出函数的图象如图(1)所示.因此函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增.(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)，f(x+1)的图象，如图(2)所示.由图象知，当|012x+-1|=|02x-1|时，x0=log223，根据图象可知，当x<log223时，f(x)>f(x+1)；当x=log223时，f(x)=f(x+1)；当x>log223时，f(x)<f(x+1).图(1)图(2)(例2)【精要点评】(1)指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解.(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.(3)函数y=a x，y=a|x|的关系：函数y=a x与y=|a x|是同一个函数的不同表现形式，函数y=a|x|与y=a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同.变式画出函数y=2|x|的图象，其图象有什么特征?根据图象指出其值域和单调区间.(变式)【解答】当x≥0时，y=2|x|=2x；当x<0时，y=2|x|=2-x=12x ⎛⎫⎪⎝⎭，所以函数y=2|x|的图象如图所示.由图象可知，y=2|x|的图象关于y轴对称，且值域是[1，+∞)，单调减区间是(-∞，0]，单调增区间是[0，+∞).指数函数的性质例3已知函数f(x)=2-4313ax x+⎛⎫⎪⎝⎭.(1)若a=-1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有最大值3，求实数a的值；(3)若函数f(x)的值域为(0，+∞)，求实数a的值.【思维引导】(1)形如y=a g(x)的复合函数，由于底数为13，所以函数y=a g(x)的单调性和y=g(x)的单调性相反.(2)要借助“同增异减”这一性质分析，将问题归结为内层函数h(x)=ax2-4x+3有最小值-1，然后利用二次函数的知识加以解决.(3)由指数函数的值域知，h(x)=ax2-4x+3的值域为R.【解答】(1)当a=-1时，f(x)=2--4313x x+⎛⎫⎪⎝⎭，令g(x)=-x2-4x+3，由于g(x)在(-∞，-2)上单调递增，在(-2，+∞)上单调递减，而y=13t⎛⎫⎪⎝⎭在R上单调递减，所以f (x)在(-∞，-2)上单调递减，在(-2，+∞)上单调递增，即函数f(x)的单调增区间是(-2，+∞)，单调减区间是(-∞，-2).(2)令h(x)=ax2-4x+3，f(x)=()13h x⎛⎫⎪⎝⎭，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值-1，因此必有3-4-1aaa>⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得a=1，即当f(x)有最大值3时，实数a的值为1.(3)由指数函数的性质知，要使y=()13h x⎛⎫⎪⎝⎭的值域为(0，+∞).应使h(x)=ax2-4x+3的值域为R，因此只能a=0(若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R)，故a的值为0.【精要点评】求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决.对于形如y=a g(x)的复合函数，关于单调区间有以下结论：当a>1时，函数y=a g(x)的单调性和y=g(x)的单调性相同；当0<a<1时，函数y=a g(x)的单调性和y=g(x)的单调性相反.变式若不等式2-23ax ax>13对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.【思维引导】将不等式2-23ax ax>2-2133ax ax转化为>3-1，然后利用指数函数的单调性，最后利用一元二次不等式恒成立的知识求解.【解答】原不等式即为2-23ax ax>3-1，则有ax2-2ax>-1，即ax2-2ax+1>0对一切实数恒成立.当a=0时，满足题意；当a>0时，Δ=(-2a)2-4a<0，即a2-a<0，解得0<a<1.综上，实数a的取值范围是[0，1).【精要点评】本题将13转化为3-1，从而将问题转化为同底数幂的大小问题.解决指数不等式的关键是根据指数函数的单调性进行转化，转化为代数不等式.指数函数的综合应用例4已知函数f(x)=11-12xa⎛⎫+⎪⎝⎭·x3(a>0且a≠1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求实数a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立.【思维引导】对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形，恒成立问题可通过求最值解决.【解答】(1)由a x-1≠0，得a x≠1，所以x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.(2)对于定义域内任意x，有f(-x)=-11-12xa⎛⎫+⎪⎝⎭(-x)3=11-2xxaa⎛⎫+⎪⎝⎭(-x)3=111-12xa⎛⎫--+⎪⎝⎭(-x)3=11-12xa⎛⎫+⎪⎝⎭x3=f(x)，所以f(x)是偶函数.(3)当a>1时，若x>0，由指数函数的性质知a x>1，所以a x-1>0，1-1xa+12>0.又x>0时，x3>0，所以x311-12xa⎛⎫+⎪⎝⎭>0，即当x>0时，f (x )>0.又由(2)知f (x )为偶函数，即f (-x )=f (x )， 则当x<0时，-x>0， 有f (-x )=f (x )>0成立.综上可知，当a>1时，f (x )>0在定义域上恒成立.当0<a<1时，f (x )=3(1)2(-1)x x a x a +. 当x>0时，1>a x>0，a x+1>0，a x -1<0，x 3>0，此时f (x )<0，不满足题意；当x<0时，-x>0，f (-x )=f (x )<0，也不满足题意. 综上，实数a 的取值范围是(1，+∞).【精要点评】(1)判断此类函数的奇偶性，常常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f (-x )±f (x )，()(-)f x f x 来判断奇偶性.(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域的问题，是解决恒成立问题的常用方法.变式 已知定义域为R 的函数f (x )=1-22x x b a +++是奇函数.(1)求实数a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立，求实数k 的取值范围. 【解答】(1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)=0，即-12ba ++=0，解得b=1，从而有f (x )=1-212x x a +++. 又由f (1)=-f (-1)，知-214a ++=-1-121a ++，解得a=2.经检验a=2符合题意，故a=2，b=1.(2)由(1)知f (x )=1-2122x x +++=-12+121x+.由上式易知f (x )在(-∞，+∞)上为减函数.又f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0，等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因为f(x)是减函数，所以t2-2t>-2t2+k，即对一切t∈R有3t2-2t-k>0，从而Δ=4+12k<0，解得k<-1 3.因此所求k的取值范围为1,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.【精要点评】(1)解决恒成立问题时常转化为求最值来解决.(2)指数不等式的解法：对于不等式a f(x)>a g(x)(a>0且a≠1)，可利用指数函数的单调性求解.当0<a<1时，a f(x)>a g(x)⇔f(x)<g(x)；当a>1时，a f(x)>a g(x)⇔f(x)>g(x).1.(2015·海门中学模考改编)设函数f1(x)=12x，f2(x)=x-1，f3(x)=x2，则f1(f2(f3(2017)))= .【答案】1 2017【解析】f1(f2(f3(2 017)))=f1(f2(2 0172))=f1((2 0172)-1)=((2 0172)-112)=2 017-1.2.(2015·东北师大附中)设函数f(x)=|3x-1|，c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)，在关系式①3c>3b；②3b>3a；③3c+3a>2；④3c+3a<2中，一定成立的是.(填序号)(第2题)【答案】④【解析】如图，作出y=|3x-1|的图象如图中实线部分所示，由c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)，知3c<3b<3a且|3c-1|>|3a-1|>|3b-1|，转化为1-3c>3a-1>0，3c+3a<2，故填④.3.(2015·山东卷)已知函数f(x)=a x+b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[-1，0]，则a+b= .【答案】-3 2【解析】当a>1时，-1-1a ba b⎧+=⎨+=⎩，，无解；当0<a<1时，-1-1a ba b⎧+=⎨+=⎩，，解得b=-2，a=12，则a+b=12-2=-32.4.已知奇函数f(x)=-()1()m g xg x+的定义域为R，其中y=g(x)为指数函数且图象过点(2，9).(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)若对任意的t∈[0，5]，不等式f(t2+2t+k)+f(-2t2+2t-5)>0恒成立，求实数k的取值范围. 【解答】(1)设g(x)=a x(a>0且a≠1)，则a2=9，所以a=3或a=-3(舍去)，所以g(x)=3x，f(x)=-313xxm+.又因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，即-111m+=0，所以m=1，所以f(x)=1-313xx +.(2)因为f(x)=1-313xx+=-31-231xx++=-1+231x+，所以f(x)为减函数.要使对任意的t∈[0，5]，f(t2+2t+k)+f(-2t2+2t-5)>0恒成立，即对任意的t∈[0，5]，f(t2+2t+k)>-f(-2t2+2t-5)恒成立.因为f(x)为奇函数，只需f(t2+2t+k)>f(2t2-2t+5)恒成立.又因为y=f(x)在R上单调递减，所以t2+2t+k<2t2-2t+5在t∈[0，5]时恒成立，所以k<t2-4t+5=(t-2)2+1在t∈[0，5]时恒成立.而当t∈[0，5]时，1≤(t-2)2+1≤10，所以k<1，即实数k的取值范围为(-∞，1).趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第19~20页.【检测与评估】第10课指数式与指数函数一、填空题1.(2015·海安中学期中)化简：()3232443·a··a b bba ba a>0，b>0)= .2.函数y=22-12x x⎛⎫⎪⎝⎭的值域是.3.若23-2x<0.53x-4，则x的取值范围是.4.若把y=f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度，得函数y=2x的图象，则f(x)= .5.若102x=25，则10-x= .6.函数f(x)=1-e|x|的大致图象是.(填序号)①②③④(第6题)7.(2014·佛山模拟)已知不论a为何值，函数y=(a-1)2x-2a的图象恒过定点，则这个定点的坐标是.8.(2014·广州联考)已知函数f(x)=xα+1(α∈Q)的定义域为[-b，-a]∪[a，b]，其中0<a<b，且f(x)在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f(x)在区间[-b，-a]上的最大值与最小值的和是.二、解答题9.(2014·合肥联考)已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1)，且当x∈(0，1)时，f(x)=2-121xx .(1)求f(x)在区间[-1，1]上的解析式；(2)若存在x∈(0，1)，满足f(x)>m，求实数m的取值范围.10.若方程2a =|a x-1|(a >0，a ≠1)有两个实数解，求实数a 的取值范围.11.(2014·洛阳一模)已知函数f (x )=2-1a a (a x -a -x)(a >0且a ≠1).(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[-1，1]时，f (x )≥b 恒成立，求实数b 的取值范围.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知函数f (x )=3x，且f (a +2)=18，g (x )=3ax-4x的定义域为[0，1]. (1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )的单调区间，并判定函数的单调性； (3)求g (x )的值域.【检测与评估答案】第10课 指数式与指数函数1.ab 【解析】原式=1312322132·[()]·a b ab b ab a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1136322733·a b a ba b=a b .2. 12∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， 【解析】g (x )=2x-x 2=-(x-1)2+1≤1，所以函数y=22-12x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值域为12∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，.3. (-∞，1) 【解析】原不等式等价于23-2x<24-3x ，所以3-2x<4-3x ，解得x<1.4.2x-2+2【解析】把y=f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度，得函数y=2x的图象，即把y=2x的图象向右、向上分别平移2个单位长度，得函数y=f(x)的图象，即y=f(x)=2x-2+2.5.15【解析】由102x=25⇒(10x)2=25⇒10x=5⇒10-x=15.6.①【解析】函数f(x)=1-e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(0)=0，故填①.7.1-1-2⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】y=a12-2x⎛⎫⎪⎝⎭-2x，令2x-12=0，则y+2x=0，得x=-1，y=-12，所以这个定点的坐标为1-1-2⎛⎫ ⎪⎝⎭，.8.-5或9【解析】设h(x)=f(x)-1=xα，则由题意可知h(x)为奇函数或偶函数.当h(x)为奇函数时，由f(x)在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，得h(x)在区间[-b，-a]上的最大值与最小值分别是-2，-5，从而f(x)在区间[-b，-a]上的最大值与最小值分别是-1，-4，其和为-5.当h(x)为偶函数时，由f(x)在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，得h(x)在区间[-b，-a]上的最大值与最小值分别是5，2，从而f(x)在区间[-b，-a]上的最大值与最小值分别是6和3，其和为9.9.(1)当x∈(-1，0)时，-x∈(0，1).由f(x)为R上的奇函数，得f(-x)=--2-121xx+=1-221xx+=-f(x)，所以f(x)=2-121xx+，x∈(-1，0).又由f(x)为奇函数，得f(0)=0，f(-1)=-f(1)，在f(x+1)=f(x-1)中，令x=0，则f(-1)=f(1)，所以f(-1)=f(1)=0.故f (x )=2-1(-11)2101.x x x x ∈⎧⎪+⎨⎪=±⎩，，，，(2)因为x ∈(0，1)，所以f (x )=2-121x x +=21-221x x ++=1-221x+.又因为2x∈(1，2)，所以1-210213x⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，. 若存在x ∈(0，1)，满足f (x )>m ，则m<13.故实数m 的取值范围为1-3∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，.10.当a>1时，函数y=|a x-1|的图象如图(1)所示，显然直线y=2a 与该图象只有一个交点，故a>1不合适；当0<a<1时，函数y=|a x -1|的图象如图(2)所示，要使直线y=2a 与该图象有两个交点，则0<2a<1，即0<a<12.图(1)图(2) (第10题)综上所述，实数a 的取值范围为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，.11.(1)函数的定义域为R ，关于原点对称.又因为f (-x )=2-1a a (a -x -a x)=-f (x )，所以f (x )为奇函数.(2)当a>1时，2-1a a >0，y=a x 为增函数，y=a -x为减函数，从而y=a x-a -x为增函数， 所以f (x )为增函数.当0<a<1时，2-1a a <0，y=a x 为减函数，y=a -x为增函数，从而y=a x-a -x为减函数， 所以f (x )为增函数.故当a>0且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增. (3)由(2)知f (x )在区间[-1，1]上为增函数， 所以f (-1)≤f (x )≤f (1)，所以f (x )min =f (-1)=2-1a a (a -1-a )=-1，所以要使f (x )≥b 在[-1，1]上恒成立，只需b ≤-1. 故实数b 的取值范围是(-∞，-1].12.(1) 因为f (x )=3x，f (a+2)=18， 所以3a+2=18，得3a=2， 所以g (x )=2x-4x，x ∈[0，1]. (2) g (x )=2x-4x=2x-(2x )2， 设t=2x，因为x ∈[0，1]，所以t ∈[1，2]，所以g (t )=t-t 2=-21-2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭+14，所以g (t )在[1，2]上单调递减. 因为t=2x为[0，1]上的增函数， 所以g (x )在[0，1]上为减函数.(3) 因为g(x)在[0，1]上为减函数，所以g(1)≤g(x)≤g(0)，即g(x)∈[-2，0]. 故g(x)的值域为[-2，0].。
2020届高考数学一轮复习第二章函数2.4指数函数与对数函数教师用书(PDF,含解析)
<２ꎬ∴ ０.６－１ >０.６２ ꎬＢ 正确ꎻＣ 中ꎬ∵ ( ０.８) －１ ＝ １.２５ꎬ∴ 问题转化为
比较 １.２５０.１ 与１.２５０.２ 的大小ꎬ∵ 函数 ｙ ＝ １.２５ｘ 在 Ｒ 上是增函数ꎬ
０.１<０.２ꎬ∴ １.２５０.１ <１.２５０.２ ꎬ即 ０.８－０.１ <１.２５０.２ ꎬＣ 错误ꎻＤ 中ꎬ
２.对数函数的图象与性质
ａ>１
０<ａ<１
图 象
定义域:(０ꎬ＋∞ )
值域:Ｒ
性
过点(１ꎬ０) ꎬ即 ｘ ＝ １ 时ꎬｙ ＝ ０
质 当 ｘ>１ 时ꎬｙ>０ꎻ
当 ｘ>１ 时ꎬｙ<０ꎻ
当 ０<ｘ<１ 时ꎬｙ<０
当 ０<ｘ<１ 时ꎬｙ>０
在(０ꎬ＋∞ )上是增函数
在(０ꎬ＋∞ )上是减函数
３.反函数 指数函数 ｙ ＝ ａｘ( ａ>０ 且 ａ≠１) 与对数函数 ｙ ＝ ｌｏｇａ ｘ( ａ>０ 且 ａ
②ｌｏｇａ
Ｍ Ｎ
＝ ｌｏｇａ Ｍ－ｌｏ Ｍ( ｎ∈Ｒ) .
( ３) 对数的重要公式
①换底公式:ｌｏｇａ
Ｎ
＝
ｌｏｇｂ
Ｎ (
ｌｏｇｂ ａ
ａꎬｂ
均大于
０
且不等于
１ꎬＮ>０)ꎻ
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2025年高考数学一轮复习-第10讲-指数与指数函数【课件】
对于 B，y＝ 143x－1的值域是[0，＋∞)； 对于 C，y＝121－2x的值域是(0，＋∞)；
对于 D，y＝ 1－3x的值域是[0，1).
(C)
5．函数y＝ax+2 024＋2 024(a＞0，a≠1)的图象恒过定点___(_－__2_0_2_4_，__2__0_2_5_)___．
1．根式
在(－∞，＋∞)上是__增__函__数____
在(－∞，＋∞)上是__减__函__数____
举题说法
指数式的求值与化简
1 指数式的求值与化简．
(1) －287－23＋(0.002)－12－10( 5－2)-1＋π0＝_－__1_69_7___． 【解析】原式＝－32－2＋50012－( 51－0(2)5(＋52＋) 2)＋1＝49＋10 5－10 5－20＋1＝－1697.
图(2)
1．(多选)已知实数a，b满足等式2 023a＝2 024b，则下列关系式可能成立的是
( ABD )
A．0＜b＜a
B．a＜b＜0
C．0＜a＜b
D．a＝b
【解析】如图，观察易知a，b的关系为a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.
2．函数y＝2|1-x|的图象大致是
(A )
A
B
C
D
【解析】函数 y＝2|1-x|＝221x--1x，，xx≤＞11，， 所以当 x＞1 时，y＝2x-1 是增函数，当 x≤1 时，
指数函数的图象及应用
2 已知函数f(x)＝|2x－1|. (1) 求函数f(x)的单调区间；
【解答】由 f(x)＝|2x－1|＝21x－－21x， ，xx≥ ＜00， ， 作出函数 f(x)的图象如 图(1)所示，因此函数 f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单 调递增．
指数与指数函数第一轮复习_2022年学习资料
第二章函数概念与基本初等函数I-§2.5指数与指数函数内容-索引-基础知识-自主学习-题型分类-深度剖析-思想与方法系列-思想方法-感悟提高-练出高分基础知识自主学习指数与指数函数第一轮复习ppt课件知识梳理-1.分数指数幂-n-m-1规定：正数的正分数指数幂的意义是an-a>0,m,n∈N*,-且n>1;正数的负分数指数幂的意义是an-n d -a>0,m,n∈N,-且>1；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义，-2有理数指数幂的运算性质：a'as=a+s,as=as,ab”=ab,其中a>0,b>0,r,s∈Q:-答案2.指数函数的图象与性质-y=ax-a>1-0<a<1-ly=a*-0y=1-0.y=1-01-定义域-1R-答案值域-20,+∞-3过定点0.1-4当x>0时，y>1;5当x>0时，0<y<1;-当x<0时，0≤y≤1-当x<0时，y>1-性质-6在-∞，+上-7在-∞，+∞上是-是增函数-减函数-答案思考辨析-判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）-1a=a=a.×）-2分数指数幂a可以理解为个a相乘×-3-4=-102=1.×-4数y=a-'是R上的增函数.×-5函数y=a+1a心1的值域是0，+∞.×-6函数y=2-1是指数函数.×-答案2-考点自测-1.若a=2+V31,b=2-V31,则a+12+b+12的值是D-A.1-B.4-c-解析.a=2+V31=2-V3,b=2-V3 =2+V3,-.a+12+b+12=3-V32+3+V32-=12-63+12+63=3-解析答案2.函数y=-的图象可能是D-1-解析！-因为当x=1时，y=0,所以图象过点P1,0.故选D.-解析答案3.已知0.2m<0.2n,则m>n填“>”或“<”-解析设f代x=0.2x,fx为减函数，-由已知fm<fn,-..m>n.-12344①-解析案4.若函数y=a2-1在-∞，+∞上为减函数，则实数a的取值范围-是-V2,-1U1,2-解析由y=a2-1在-∞，+∞上为减函数，-得0<a2-<1,∴.1<a2<2,-即1<a<V2或-V2<a<-1.-解析答案。
第二章 第十节 函数的模型与应用 解析版-备战2022年(新高考)数学一轮复习考点讲解+习题练习
第十节函数模型及其应用知识回顾1．几类函数模型2.三种函数模型的性质1.【2019年浙江丽水高一上学期期末考试数学试卷统测】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N=2N0时，t=________ ．ln2【答案】1λ【解析】【解答】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N= 2N0时，则N=N0eλt=2N0≠0，化为：eλt=2，ln2．解得t=1λ故答案为1λln2．【分析】由题意可得：N =N 0e λt =2N 0≠0，化为：e λt =2，化为对数式即可得出． 【备注】【点评】本题考查了指数式化为对数式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________． 答案p ＋1q ＋1－1解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝1＋p1＋q －1.3．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 答案 5解析 由题意得，y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，其中x >0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号．4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为________． 答案 15,12解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．答案 3.75解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15(t 2－152t ＋22516)＋4516－2＝－15(t －154)2＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.6．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg2≈0.301，lg 3≈0.477)( ) A ．6 B ．9 C ．8 D ．7 答案 BC解析 设经过n 次过滤，产品达到市场要求， 则2100×⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120， 由n lg 23≤－lg 20，即n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，故选BC.课中讲解考点一.函数图像刻画变化过程例1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )解析：选C 小明匀速行驶时，图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.变式1．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数为( )A．1B．2C．3 D．4解析：选A将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．例2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案 D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.变式2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合()A．y＝ax＋b B．y＝a＋b xC．y＝a·b x D．y＝ax2＋bx＋c答案 B解析根据散点图可知，选择y＝a＋b x最适合．考点二.应用所给的模型解决实际问题例1.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙，研究某种候鸟的专家发现，该种候鸟的飞行速度 v （单位：m ⋅s −1）与其耗氧量 Q 之间的关系为 v =a +blog 3Q10（其中 a 、b 是常数）．据统计，该种鸟类在静止时的耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为个 90 单位时，飞行速度为 1m ⋅s −1．若这种候鸟为赶路程，飞行的速度不能低于 2m ⋅s −1，求其耗氧量至少要多少个单位． 【答案】270 个单位【解析】由题意，知 {a +blog 33010=0a +blog 39010=1，即 {a +b =0a +2b =1，解得 {a =−1b =1，所以 v =−1+log 3Q 10， 要使飞行速度不能低于 2m ⋅s −1，则有 v ⩾2，即 −1+log 3Q 10⩾2，即 log 3Q10⩾3，解得 Q10⩾27，即 Q10⩾270，所以耗氧量至少要 270 个单位．变式1.数据显示，某 IT 公司 2018 年上半年五个月的收入情况如下表所示：月份 2 3 4 5 6月收入（万元）1.42.565.311121.3根据上述数据，在建立该公司 2018 年月收入 y （万元）与月份 x 的函数模型时，给出两个函数模型 y =x 12 与 y =2x 3供选择．(1) 你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由； 【答案】函数 y =2x 3这一模型较好【解析】画出散点图由图可知点 (2,1.4)；(3,2.56)；(4,5.31)；(5,11)；(6,21.3) 基本上是落在函数 y =2x 3的图像的附近，因此用函数 y =2x 3这一模型较好．(2) 试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元？（参考数据 lg2=0.3010，lg3=0.4771） 【答案】大约从第 9 月份开始 【解析】当2x 3>100 时，2x >300，∴lg2x >lg300即 xlg2>2+lg3∴x >2+lg3lg 2=2+0.47710.3010≈8.23故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元． 当2x 3>100 时，2x >30028=256<300；29=512>300故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元．例2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 答案 ①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝⎛⎭⎫116t －0.1，t >0.1②0.6解析 ①设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)， 则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)． 由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)，得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， 解得a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．②由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．变式2.拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元． 答案 4.24解析 ∵m ＝6.5，∴[m ]＝6， 则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 考点三.构建函数模型解决实际问题1.二次函数模型例1.某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：预计m ∈[6,8]，另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 1，x 2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．[解] (1)由题意得y 1＝10x 1－(20＋mx 1)＝(10－m )x 1－20(0≤x 1≤200且x 1∈N)，y 2＝18x 2－(40＋8x 2)－0.05x 22＝－0.05x 22＋10x 2－40＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120且x 2∈N)． (2)∵6≤m ≤8，∴10－m ＞0， ∴y 1＝(10－m )x 1－20为增函数． 又0≤x 1≤200，x 1∈N ，∴当x 1＝200时，生产A 产品的最大利润为(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)． ∵y 2＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120，且x 2∈N)， ∴当x 2＝100时，生产B 产品的最大利润为460万美元． (y 1)max －(y 2)max ＝(1 980－200m )－460＝1 520－200m . 易知当6≤m ＜7.6时，(y 1)max ＞(y 2)max .即当6≤m ＜7.6时，投资生产A 产品200件可获得最大年利润；当m ＝7.6时，投资生产A 产品200件或投资生产B 产品100件，均可获得最大年利润； 当7.6＜m ≤8时，投资生产B 产品100件可获得最大年利润．变式1. 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( ) A ．[4,8] B ．[6,10] C ．[4%,8%] D ．[6%,10%]答案 A解析 根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128， 整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4,8]．2. 指对数函数模型例2.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年变式2.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时[解析] (1)设第n (n ∈N *)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元． 根据题意得130(1＋12%)n －1＞200， 则lg[130(1＋12%)n －1]＞lg 200， ∴lg 130＋(n －1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴2＋lg 1.3＋(n －1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴0.11＋(n －1)×0.05＞0.30，解得n ＞245，又∵n ∈N *，∴n ≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年．故选C. (2)由已知得192＝e b ，① 48＝e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ，②将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k ＝12，当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝e 33k ·e b ＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C. [答案] (1)C (2)C3. 对勾函数模型例3 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．答案 5解析 根据图象求得y ＝－(x －6)2＋11， ∴年平均利润yx＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， ∵x ＋25x ≥10，当且仅当x ＝5时等号成立．∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.变式3.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于 3 米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________米．答案 2 3解析 由题意可得BC ＝18x －x2(2≤x <6)，∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立．4. 分段函数模型例4.某市营业区内住宅电话通话费用为前 3 分钟 0.20 元，以后每分钟 0.10 元（前 3 分钟不足 3 分钟按 3 分钟计，以后不足 1 分钟按 1 分钟计）．(1) 在直角坐标系内，画出一次通话在 6 分钟内（包括 6 分钟）的话费 y （元）关于通话时间 t （分钟）的函数图象； 【答案】见解析 【解析】如下图所示．(2) 如果一次通话t分钟（t>0），写出话费y（元）关于通话时间t（分钟）的函数关系式（可用[t]表示不小于t的最小整数）．【答案】y={0.2,0<t⩽30.2+[t−3]×0.1,t>3【解析】由(1)知，话费y与时间t的关系是分段函数．当0<t⩽3时，话费y为0.2元；当t>3时，话费y应为(0.2+[t−3]×0.1)元．所以y={0.2,0<t⩽30.2+[t−3]×0.1,t>3．变式4.在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；①该店月销量Q（百件）与销量价格P（元）的关系如图所示；①每月需各种开支2000元．(1) 当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；【答案】当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元【解析】设该店月利润余额为L元，则由题设得L=Q(P−14)×100−3600−2000①由销量图易得Q={−2P+50,14⩽P⩽20−32P+40,20<P⩽26，代入①式得L={(−2P+50)(P−14)×100−5600,14⩽P⩽20(−32P+40)(P−14)×100−5000,20<P⩽26当14⩽P⩽20时，L max=450元，此时P=19.5元；当20<P⩽26时，L max=12503元，此时P=613元．故当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2) 企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？【答案】最早可望在20年后脱贫【解析】设可在n年后脱贫，依题意有12n×450−50000−58000⩾0，解得n⩾20．即最早可望在20年后脱贫．课后习题一．单选题1．(2018·北京石景山联考)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的()A．点M B．点NC．点P D．点Q解析：选D假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点Q符合函数图象，故D选项正确，选D.2．(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是()A．y＝(x－50)2＋500 B．y＝10x25＋500C ．y ＝11 000(x －50)3＋625D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]解析：选C 由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x ＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A 中，函数y ＝(x －50)2＋500先减后增，不符合要求；B 中，函数y ＝10x25＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D 中，函数y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C 中，函数y ＝11 000(x －50)3＋625是由函数y ＝x 3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C.3．(2019·邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为y ＝1＋3x x ＋2(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完. 若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )A ．30.5万元B ．31.5万元C ．32.5万元D ．33.5万元解析：选B 由题意，产品的生产成本为(30y ＋4)万元，销售单价为30y ＋4y ×150%＋xy ×50%，故年销售收入为z ＝⎝⎛⎭⎫30y ＋4y ×150%＋xy ×50%·y ＝45y ＋6＋12x .∴年利润W ＝z －(30y ＋4)－x ＝15y ＋2－x 2＝17＋45x x ＋2－x 2(万元)．∴当广告费为1万元时，即x ＝1，该企业甲产品的年利润为17＋451＋2－12＝31.5(万元)．故选B. 4．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( ) A ．5.2 B ．6.6 C ．7.1 D ．8.3 答案 B解析 设这种放射性元素的半衰期是x 年， 则(1－10%)x ＝12，化简得0.9x ＝12，即x ＝log 0.912＝lg12lg 0.9＝－lg 22lg 3－1≈－0.301 02×0.477 1－1≈6.6(年)．故选B. 5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13 m 3 B ．14 m 3 C ．18 m 3 D ．26 m 3答案 A解析 设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0<x ≤10，10m ＋x －10·2m ，x >10，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.6.(2020·青岛模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14答案 A解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，所以当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.检验符合题意．二．多选题7．(多选)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y (单位：千克)与时间x (单位：小时)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是( )A ．在前三小时内，每小时的产量逐步增加B ．在前三小时内，每小时的产量逐步减少C ．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D ．最后两小时内，该车间没有生产该产品 答案 BD解析 由该车间5小时来某种产品的总产量y (千克)与时间x (小时)的函数图象，得前三小时的年产量逐步减少，故A 错误，B 正确；后两小时均没有生产，故C 错误，D 正确．三．填空题 8．(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x )＋2.4x ＝14.4. 化简得x －6×0.9x ＝0. 令f (x )＝x －6×0.9x ，易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.063 4＞0，所以函数f (x )在(3,4)上有一个零点． 故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元． 答案：49.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD ，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的取值范围为________．解析：根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2×x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2＞0，得2≤x ＜6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)，由y ＝18x ＋3x2≤10.5，解得3≤x ≤4.因为[3,4] ⊆[2,6)，所以腰长x 的取值范围为[3,4]． 答案：[3,4]10．(2019·皖南八校联考)某购物网站在2019年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________． 答案 3解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.11．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202 km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是______ h ．(车身长度不计) 答案 12解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了⎣⎡⎦⎤36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400 km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400v ＝36v 400＋400v≥236v 400×400v＝12， 当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝2003时取等号．故这些汽车以2003 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.四．解答题12.某城市现有人口总数为 100 万，如果年自然增长率为 1.2%，试解答下面的问题： (1) 写出 x 年后该城市的人口总数 y （万人）与年数 x （年）的函数关系式； 【答案】y =100×(1+1.2%)x ,x ∈N ∗【解析】1 年后该城市人口总数为 y =100+100×1.2%=100×(1+1.2%)；2 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2；3 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)3；…； x 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)x ,x ∈N ∗．(2) 计算 10 年以后该城市人口总数（精确到 0.1 万）； 【答案】112.7 万【解析】10 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7（万）．(3) 计算大约多少年以后该城市人口总数将达到 120 万（精确到 1 年）． 【答案】16 年【解析】令 y =120，则有 100×(1+1.2%)x =120，解方程可得 15<x <16． 故大约 16 年后该城市人口总数将达到 120 万．13.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p （千帕）是气球的体积 V （立方米）的反比例函数，其图象如图所示．（千帕是一种压强单位）(1) 写出这个函数的解析式；【答案】p=96V【解析】设p与V的函数的解析式为p=k，把点A(1.5,64)代入，解得k=96．V∴这个函数的解析式为p=96．V(2) 当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？【答案】120千帕【解析】把V=0.8代入p=96，p=120，V当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是120千帕．(3) 当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？立方米【答案】气球的体积应不小于23，【解析】由p=144时，V=23∴p⩽144时，V⩾2，3当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于2立方米314.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．设MP=x米，PN=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域．【答案】y=−12x+10，定义域为[4,8]【解析】作PQ⊥AF于Q，∴PQ=(8−y)米，EQ=(x−4)米．又△EPQ∼△EDF，∴EQPQ =EFFD，即x−48−y=42．∴y=−12x+10，定义域为[4,8]．15.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=1 2log3O100，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，(1) 当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是多少？【答案】当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是32(m/s)【解析】由题意得v=12log32700100=32(m/s)当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是32(m/s)．(2) 计算一条鱼静止时耗氧量的单位数．【答案】当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100【解析】当一条鱼静止时，即v=0，则0=12log3O100，解得O=100当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100．。
2020届高考数学一轮复习第二章函数2.4指数与指数函数教师用书(PDF,含解析)
答案 (１)Ｃ (２)Ｄ
１－１ 已知定义在 Ｒ 上的奇函数 ｆ( ｘ) 和偶函数 ｇ( ｘ) 满足 ｆ( ｘ) ＋ｇ( ｘ) ＝ ａｘ －ａ－ｘ ＋２( ａ>０ꎬ且 ａ≠１) ꎬ若 ｇ(２) ＝ ａꎬ则 ｆ(２) 等于
( )
Ａ.２
１５ Ｂ. ４
１７ Ｃ. ４
Ｄ.ａ２
１－１ 答案 Ｂ 解析 因为 ｆ( ｘ) ＋ｇ( ｘ)＝ ａｘ －ａ－ｘ ＋２ꎬ①
(２) 作出函数 ｙ ＝ ｆ( ｘ) 的图象ꎬ如图所示.
由 ｆ ２( ｘ) －ａｆ( ｘ) ＝ ０ꎬ得 ｆ( ｘ) ＝ ０ 或 ｆ( ｘ) ＝ ａ.显然 ｆ( ｘ) ＝ ０ 只
有 １ 个实数根ꎬ因此只需 ｆ( ｘ) ＝ ａ 有 ２ 个不同的实根即可. 利用
图象可得实数 ａ 的取值范围是[１ꎬ＋∞ ).
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
②ａ
－
ｍ ｎ
＝１ ｍ ａｎ
＝
ｎ
１ ａｍ
(
ａ>
０ꎬｍ、ｎ∈Ｎ∗
ꎬｎ>
１)
.
( ３) 有理数指数幂的运算性质
①ａｒ ������ａｓ ＝ ａｒ＋ｓ( ａ>０ꎬｒ、ｓ∈Ｑ) ꎻ
②( ａｒ ) ｓ ＝ ａｒｓ( ａ>０ꎬｒ、ｓ∈Ｑ) ꎻ
③( ａｂ) ｒ ＝ ａｒ ｂｒ( ａ>０ꎬｂ>０ꎬｒ∈Ｑ) .
高考数学一轮复习第10讲 指数式与指数函数
第10讲 指数式与指数函数激活思维1. 化简4a 23·b －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23a －13b 23的结果为( ) A. －2a 3bB. －8abC. －6a bD. －6ab2. 已知a ＝22.5，b ＝0.50.5，c ＝1，则下列结论正确的是( ) A. a ＞b ＞c B. b ＞a ＞c C. a ＞c ＞b D. b ＞c ＞a3. (多选)下列函数的值域不是(0，＋∞)的有( ) A. y ＝413－x B. y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫143x －1 C. y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121－2xD. y ＝1－3x4.若函数f (x )＝a x －2021＋2021(a >0且a ≠1)的图象过定点A ，则点A 的坐标为________．5. 已知函数f(x)＝12x＋1－x，则f⎝⎛⎭⎪⎪⎫12＋f⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12＝________，f(x)＋f(1－2x)≤1的解集为________．知识聚焦1. 根式(1) 概念：式子na叫做________，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(2) 性质：(na)n＝a(a使na有意义)；当n为奇数时，nan＝a，当n为偶数时，nan＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.2. 分数指数幂(1) 规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn＝________(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝________(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂________．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝________；(a r)s＝________；(ab)r＝________，其中a >0，b>0，r，s∈Q.3. 指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数．(2) 指数函数的图象与性质R 分类解析目标1 指数式的化简与计算 (1) 计算下列各式： ①⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫276423－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2540.5＋(0.008)－23×25；②⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫51160.5＋(－1)－1÷0.75－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21027－23.1,2)＋a －12＝3，则a2＋a －2＋1a ＋a －1＋1的值为________．目标2 指数函数的图象及应用(1)(2021·洛阳统考)已知f (x )＝(x －a )(x －b )(a >b )的大致图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )(例2(1))A B C D (2)(2020·天津河西一模)已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( )A. a ＜0，b ＜0，c ＜0B. a ＜0，b ＞0，c ＞0C. 2－a ＜2cD. 1＜2a ＋2c ＜2若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．目标3 指数函数的性质及应用(1) 下列各式比较大小正确的是( ) A. 1.72.5>1.73 B. 0.6－1>0.62 C. 0.8－0.1>1.250.2 D. 1.70.3<0.93.1(2) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞1，1，x ≤1，则不等式f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 的解集是__________．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1) 若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2) 若f (x )有最大值3，求a 的值； (3) 若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．1. 已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A. a >b >c B ．a >c >b C. c >a >b D ．b >c >a2. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．3.已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________．4. 已知函数f (x )＝2x a ＋a2x －1(a >0)是R 上的偶函数．(1) 求a 的值；(2) 若关于x 的不等式mf (x )≥2－x －m 在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．课堂评价1. 已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A. a <b <c B. a <c <b C. c <a <b D. b <c <a2. 计算：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－278－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0＝________. 3.已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，g (x )，x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.(第3题)4.若f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1是R 上的奇函数，则实数a 的值为________，f (x )的值域为________．。
2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数
2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数【教材回扣】1．分数指数幂(1)a m n ＝________(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；a －mn＝________(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝________，(a r )s ＝________，(ab )r ＝________，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象与性质y ＝a x a>10<a <1图象定义域 ________ 值域________ 性质过定点________当x >0时，________；当x <0时，□10________ 当x >0时，□11________；当x <0时，□12________ 在(－∞，＋∞)上是□13________ 在(－∞，＋∞)上是□14________【题组练透】题组一 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 1.n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( ) 2．2a ·2b ＝2ab .( )3．函数y ＝3·2x 与y ＝2x ＋1都不是指数函数．( ) 4．若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( ) 题组二 教材改编1．(多选题)设a >0，则下列运算中不正确的是( )A ．a 43 a 34＝a B ．a ÷a 23 ＝a 32C ．a 23a -23＝0 D ．(a 14 )4＝a2．如图，①②③④中不属于函数y ＝2x ，y ＝6x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x的一个是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④3．已知函数f (x )＝a －22x ＋1(a ∈R )为奇函数，则a ＝________.题组三 易错自纠1．式子a －1a化简得( )A.－aB.aC ．－aD ．－－a2．若函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a 的值为( )A.12B.32C.23或2D.12或323．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b，则下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b ，不可能成立的是________．题型一 指数幂的运算[例1] (1)⎝⎛⎭⎫14 －12 ·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12(a >0，b >0)＝________.(2)若x 12 ＋x －12 ＝3，则x 32＋x －32－3x 2＋x －2－2＝________.(3)已知常数a >0，函数f (x )＝2x2x ＋ax的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫p ，65，Q ⎝⎛⎭⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________.[听课记录]类题通法(1)指数幂运算常用技巧①有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． ②负指数幂化为正指数幂的倒数．③底数是小数，一般要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后尽可能用幂的形式表示，便于指数幂的运算．(2)对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值未知或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法\”巧妙地求出代数式的值.巩固训练1：(1)计算23·612·332＝________.(2)已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，则x 12－y12x 12＋y 12 ＝________.题型二 指数函数的图象及应用角度|与指数函数有关的图象识别[例2] (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫52－|x －1|的大致图象为图中的( )(2)函数y ＝xax|x |(a >1)的大致图象是( )[听课记录]类题通法识别与指数函数图象有关的策略(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.巩固训练2：函数y ＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )角度|指数函数图象的应用[例3] 若函数y ＝|2x －1|的图象与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围为________． [听课记录]类题通法解答此类问题的关键是画出已知函数的图象，利用数形结合方法求解.巩固训练3：若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．题型三 指数函数的性质及其应用 高频考点 角度|比较大小[例4] (1)已知a ＝⎝⎛⎭⎫4313 ，b ＝223 ，c ＝⎝⎛⎭⎫3412 ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b (2)已知0<a <b <1，则( )A ．(1－a )1b >(1－a )bB ．(1－a )b >(1－a )b2C ．(1＋a )a >(1＋b )bD ．(1－a )a >(1－b )b [听课记录]类题通法利用指数函数的性质比较幂值的大小，其方法是：先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.巩固训练4：已知0<a <b <1，则在a a ，a b ，b a ，b b 中，最大的是( ) A ．a a B ．a b C ．b a D ．b b角度|解简单的指数方程或不等式[例5] (1)已知函数f (x )＝2x －x －1，则不等式f (x )>0的解集是( ) A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．[听课记录]类题通法利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，其方法是：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解.巩固训练5：若不等式(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x<1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．角度|与指数函数有关的复合函数[例6] (1)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2](2)[2020·全国卷Ⅱ]若2x －2y <3－x －3－y ，则( ) A ．ln(y －x ＋1)>0 B ．ln(y －x ＋1)<0 C ．ln|x －y |>0 D ．ln|x －y |<0 [听课记录]类题通法求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.巩固训练6：已知函数f (x )＝cos x x ＋12x ＋1＋a 是奇函数，则实数a 的值为________．[预测1] 核心素养——直观想象若函数f (x )＝2|x ＋a |(a ∈R )满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (x )在区间[m ，n ]上的最大值记为f (x )max ，最小值记为f (x )min ，若f (x )max －f (x )min ＝3，则n －m 的取值范围是________．[预测2] 新题型——多选题若实数a ，b 满足2a ＋3a ＝3b ＋2b ，则下列关系式中可能成立的是( ) A ．0<a <b <1 B ．b <a <0 C ．1<a <b D ．a ＝b2023年高考数学一轮总复习第10讲：指数与指数函数答案[教材回扣]□1 na m □2 1amn□3 a r ＋s □4 a rs □5 a r b r □6 R □7 (0，＋∞) □8 (0，1) □9 y >1 □10 0<y <1 □11 0<y <1 □12 y >1 □13 增函数 □14 减函数 [题组练透] 题组一1．× 2.× 3.√ 4.× 题组二1．解析：由已知a >0.a 43 a 34＝a 43 ＋34＝a 2512≠a ，A 错；a ÷a 23＝a 1－23 ＝a 13≠a 32，B 错；a 23·a －23 ＝a 23 ＋(－23 )＝a 0＝1≠0，C错；(a 14)4＝a 14 ×4＝a ，D正确．答案：ABC2．解析：已知三个函数都是指数函数，指数函数的图象一定过点(0，1)，图象②不过点(0，1)，故选B.答案：B3．解析：由f (－x )＝－f (x )，得：a －22－x ＋1 ＝－a ＋22x ＋1，即2a ＝22x ＋1 ＋22－x ＋1 ，∵22x ＋1 ＋22－x ＋1＝2，∴a ＝1. 答案：1 题组三1．解析：由题意知a <0， ∴a－1a＝a －aa2 ＝－－a .故选D. 答案：D2．解析：当a >1时，y ＝a x 在[1，2]上的最大值为a 2，最小值为a ， 故有a 2－a ＝a 2 ，解得a ＝32或a ＝0(舍去)当0<a <1时，y ＝a x 在[1，2]上的最大值为a ，最小值为a 2，故有a －a 2＝a2，解得a ＝12 或a ＝0(舍去).综上a ＝32 或a ＝12 .答案：D3．解析：画出指数函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12 x，g (x )＝⎝⎛⎭⎫13 x的图象：满足等式⎝⎛⎭⎫12 a＝⎝⎛⎭⎫13 b，有①0<b <a ； ②a <b <0；⑤a ＝b ＝0三个．而③0<a <b ；④b <a <0不能成立． 答案：③④课堂题型讲解题型一例1 解析：(1)原式＝412·432·a 32·b－3210·a 32·b－32＝2×45 ＝85 . (2)∵x 12＋x －12＝3，∴(x 12＋x－12 )2＝9，∴x ＋x －1＝7，∴原式＝（x 12＋x －12）（x －1＋x －1）－3（x ＋x －1）2－4 ＝3×（7－1）－372－4＝13. (3)由已知条件知f (p )＝65 ，f (q )＝－15，所以⎩⎨⎧2p 2p ＋ap ＝65①，2q 2q＋aq ＝－15②， ①＋②，得2p （2q ＋aq ）＋2q （2p ＋ap ）（2p ＋ap ）（2q＋aq ）＝1，整理得2p ＋q ＝a 2pq ，又2p ＋q ＝36pq ，所以36pq ＝a 2pq ，又pq ≠0，所以a 2＝36，所以a ＝6或a ＝－6，又a >0，得a ＝6.答案：(1)85 (2)13(3)6巩固训练1 解析：(1)原式＝2·312 ·1216·⎝⎛⎭⎫32 13＝2·312 ·(3×4)16 ·313·⎝⎛⎭⎫12 13 ＝2·312＋16 ＋13 ·213 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝2×3×1＝6.(2)∵x ＋y ＝12，xy ＝9，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 12－y 12x 12＋y 12 2 ＝x ＋y －2（xy ）12x ＋y ＋2（xy ）12 ＝12－2×91212＋2×912＝618 ＝13 . ∵x <y ，∴x 12－y 12<0，∴x 12－y12x 12＋y 12 <0，∴原式＝－33. 答案：(1)6 (2)－33题型二例2 解析：(1)y ＝⎝⎛⎭⎫52 －|x －1|＝⎝⎛⎭⎫25|x －1|，y >0，且x >1时，为减函数，x <1时为增函数，故选B.(2)当x >0时，y ＝a x 为单调递增函数；当x <0时，y ＝－a x 为单调递减函数． 答案：(1)B (2)C巩固训练2 解析：当a >1时，函数单调递增，且函数图象恒过点(0，1－1a )，因为0<1－1a <1，故A ，B 均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数图象恒过点(0，1－1a )，且1－1a<0.故选D.答案：D 例3 解析：曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图象如图所示．由图象可得，如果曲线y ＝|2x－1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0，1).答案：(0，1)巩固训练3 解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1].答案：[－1，1] 题型三例4 解析：(1)a ＝⎝⎛⎭⎫43 13>1，0<c ＝⎝⎛⎭⎫34 12 <1， a ＝⎝⎛⎭⎫43 13 <213 <223＝b ， ∴c <a <b .(2)∵y ＝(1－a )x 是减函数， ∴(1－a )a >(1－a )b ，又y ＝x b 在(0，＋∞)上是增函数，1－a >1－b ， ∴(1－a )b >(1－b )b ，∴(1－a )a >(1－b )b .D 对，其余皆错． 答案：(1)B (2)D巩固训练4 解析：∵0<a <b <1， ∴b a >a a >a b 且b a >b b ， ∴最大的是b a . 答案：C例5 解析：(1)函数f (x )＝2x －x －1，则不等式f (x )>0的解集即2x >x ＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝2x ，y ＝x ＋1的图象(图略)，结合图象易得2x >x ＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D.(2)当a <0时，⎝⎛⎭⎫12 a－7<1， ∴⎝⎛⎭⎫12 a<8， ∴－3<a <0；当a ≥0时， a <1，∴0≤a <1. 综上a 的取值范围是(－3，1). 答案：(1)D (2)(－3，1) 巩固训练5解析：(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12 x <1可变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12 x ＋[⎝⎛⎭⎫12 x]2，设t ＝⎝⎛⎭⎫12 x，则原条件等价于不等式m 2－m <t ＋t 2在t ≥2时恒成立，显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m <6，解得－2<m <3.答案：(－2，3)例6 解析：(1)由f (1)＝19 ，得a 2＝19 ，所以a ＝13 或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13 |2x －4|由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增则y ＝⎝⎛⎭⎫13 t在R 上单调递减．所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞).(2)因为2x －2y <3－x －3－y ，所以2x －3－x <2y －3－y .设f (x )＝2x －3－x ，则f ′(x )＝2x ln 2－3－x ×ln3×(－1)＝2x ln 2＋3－x ln 3，易知f ′(x )>0，所以f (x )在R 上为增函数．由2x －3－x <2y －3－y 得x <y ，所以y －x ＋1>1，所以ln (y －x ＋1)>0，故选A.答案：(1)B (2)A巩固训练6 解析：∵函数y ＝cos xx是奇函数，∴要使f (x )＝cos x x ＋12x ＋1 ＋a 是奇函数，只需g (x )＝12x ＋1 ＋a 是奇函数．由g (－1)＝－g (1)得12－1＋1 ＋a ＝－12＋1 －a ，∴a ＝－12 .(经检验符合题意)答案：－12高考命题预测预测1 解析：因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝－1，所以f (x )＝2|x－1|.作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．当m <n ≤1或1≤m <n 时，离对称轴越远，m 与n 的差越小，由y ＝2x －1与y ＝21－x 的性质知极限值为0.当m <1<n 时，函数f (x )在区间[m ，n ]上的最大值与最小值的差为f (x )max －f (x )min ＝2|±2|－20＝3，则n －m 取得最大值3－(－1)＝4，所以n －m 的取值范围是(0，4].答案：(0，4]预测2 解析：因为实数a ，b 满足2a ＋3a ＝3b ＋2b ， 设f (x )＝2x ＋3x ，g (x )＝3x ＋2x . 由图象可知：①当x <0时，f (x )<g (x )，所以2a＋3a＝3b＋2b，即b<a<0，故B正确；②当x＝0时，f(x)＝g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即a＝b＝0，故D正确；③当0<x<1时，f(x)>g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即0<a<b<1，故A正确；④当x＝1时，f(x)＝g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即a＝b＝1，故D正确；⑤当x>1时，f(x)<g(x)，所以2a＋3a＝3b＋2b，即1<b<a，故C错误．答案：ABD第11页共11页。
指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习
B.[, ]
−
)
C.(−∞, ]
−+
=
D.[, +∞)
√
,因为 = 在上单调递增，
= �� − 在 −∞, 上单调递减，在[, +∞)上单调递增，所以
−+
=
在 −∞, 上单调递减，在[, +∞)上单调递增.故选D.
C.(, ]
D.[, +∞)
√
［分析及溯源］ 本题考查指数函数与二次函数的复合函数的单调性，试
题源于教材人教A版必修第一册 习题4.2复习巩固 、 习题4.2拓广
探索 .
解析：设 = − ，易知函数 = 是增函数.因为 =
−
在 ,
2.指数函数
（1）概念：函数 =⑫____( > ，且 ≠ )叫做指数函数，其中指数
是自变量，定义域是.
（2）图象和性质
底数
图象
>
<<
续表
, +∞
定义域为⑬___，值域为⑭________
,
图象过定点⑮______
性质
当 > 时，恒有 > ；当
当 > 时，恒有 < < ；
即 + − ≤ ,
解得− ≤ ≤ ,
故原不等式的解集为{| − ≤ ≤ }.
指数方程或不等式的解法
（1）解指数方程或不等式的依据： ①
②
>
=
⇔ = .
,当 > 时，等价于 > ；当 < < 时，等价于
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.
x-y,x y, [答案] y-x,x y
[解析]注意开方后的符号.
1
2 2 -1 3. (必修1P48练习5改编)若 a - a =1,则a-a =
-
1
.
[答案] 5 [解析]结合平方关系,对条件式进行平方计算.
x 4. (必修1P48习题5改编)函数f(x)= 1-2 的值域是
n n ①当n为奇数偶数时, =|a|= -a,a 0.
n n
(3) 分数指数幂的意义
n m n ① a = a (a>0,m,n都是正整数,n>1);
m
1
②a
m n
=a
m n
1
n m = a (a>0,m,n都是正整数,n>1).
2. 指数函数的定义 一般地,函数y=ax(a>0且a≠1)叫作指数函数.
3. 指数函数的性质 ①定义域:R;②值域:(0,+∞);③过点(0,1),即x=0时,y=1;④当a>1时,在R上是 单调增函数;当0<a<1时,在R上是单调减函数.
1. (必修1P54练习3改编)函数y= 2 [答案][1,+∞)
x-1
的定义域为
.
2 2. (必修1P48习题1改编)化简: (x-y) =
.
[答案][0,1)
[解析]由题意知函数应满足
1-2 x 0, x 2 0,
因此0≤1-2 <1,解得值域为[0,1).
x
5. (必修1P52习题1改编)当x>0时,函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,则实数a的取值范 围是 .
[答案](-∞,- 2 )∪( 2 ,+∞) [解析]由指数函数的性质知a2-1>1,解得a> 2 或a<- 2 .
第10课 指数式与指数函数
(本课对应学生用书第19-21页)
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1. 指数中的相关概念 (1) n次方根 正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,0的奇次方根是0;正 数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数,0的偶次方根是0,负数没有偶次方 根. (2) 方根的性质