高考总复习：指数与指数函数知识梳理
指数与指数函数
【考纲要求】
1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质
2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；
3.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；
4.掌握指数函数图象：
5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】
【考点梳理】
考点一、整数指数幂的概念及运算性质 (1)整数指数幂的概念
()
())
,0(1
010*
Z*n a a
a a a Z n a a a a n n a
n n ∈≠=≠=∈???=-
个 (2)运算法则 ①n
m n
m
a a a +=?；
②()
mn n
m
a a =；
③()0≠>=-a n m a a
a n
m n m ，； ④()m m m
b a ab =.
指数与指数函数
图象与性质
指数运算性质
指数函数的图像与
指数的概念
考点二、根式的概念和运算法则 (1)n 次方根的定义：
若x n =y(n ∈N *
，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根. 要点诠释：
n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为
n
y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；
n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为
0=.
(2)根式的意义与运算法则
y y n n =)(
??
?=)
(||)
(,为偶数为奇数n a n a a n
n
考点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *
，且
m
n
为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1
n
a =
m m n
a ==-1m n m n
a a =
考点四、有理数指数幂的运算性质
()Q b a ∈>>βα,00，，
(1);a a a
αβαβ
+?=
(2)();a a αβ
αβ
= (3)();ab a b ααα
=
当a>0，p 为无理数时，a p
是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如
244
2)4()4(-≠-；
(3)幂指数不能随便约分.如2
14
2)4()4(-≠-. 考点五、指数函数 (1)定义：
函数y=a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.
(2)
【典型例题】
类型一、指数运算、化简、求值
例1.已知c
b
a=
=5
3，且2
1
1
=
+
b
a
，求c的值。
【解析】
2
1
3log31log31log3
111
log52log3log52
log152150
a a
c c c
c c c
c
c a
a
b a b
c c c
==∴=∴=
=+=∴+=
∴=∴=>∴=
由得
同理可得
【总结升华】运算顺序(能否应用公式)；
举一反三：
【变式】计算下列各式：
(1)
1
00.256
3
7
1.5()8
6
-
?-+；
(2)6
3
4
25
.0
3
1
)3
2
(
2
8
)
6
7
(
)
8
1
(?
+
?
+
-
?
-
；
(3)3
3
3
2
3
3
2
3
1
3
4
)
2
1(
4
2
8
a
a
b
b
ab
a
b
a
a
?
-
÷
+
+
-
.
【解析】(1)原式
11
31
231
33
44
22
()2223()2427110
33
=+?+?-=+?=；
(2)原式=6
2
1
6
3
1
4
1
4
1
3
)
3
1
)(
1
(
)
3(
)
2(
2
)
2(
1
8?
+
?
+
?
-
-
112
3
2
2
23
2
4
1
4
3
=
?
+
+
=+；
(3)原式3
13
13
13
12
313
13
12
313
12)
2(2)()8(a b a a
b b a a b a a ?-?
++-=
a b a b a a
=--=
++3
313
31313131)
2()()
8(.
类型二、函数的定义域、值域 例2．求下列函数的定义域、值域.
(1)212
x x
y =+；(2)y=4x -2x
+1；(3)||3()2x y -=；
(4)y =为大于1的常数)
【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，2x
≠-1).
∵ x
x x y 2
111211)21(+-=+-+=，又∵ 2x >0， 1+2x
>1， ∴ 12110<+<
x ， ∴ 02
11
1<+-<-x
， ∴ 12
11
10<+- ， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，4 3)212(12)2(22+-=+-=x x x y ， ∵ 2x >0， ∴ 212=x 即 x=-1时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于4 3的实数， ∴ 值域为[+∞,4 3 ). (3)定义域为R ，∵|x|≥0， ∴ -|x|≤0， ∴ 1)2 3(0| |≤=<-x y ，∴ 值域为(0，1]. (4)∵ 01 1 112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵ 11 1 011≠+-≥+-x x x x 且，∴ a a y a y x x x x ≠=≥=-+-+11 211 21且， ∴值域为[1，a)∪(a ，+∞). 【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中 11 2 111≠+-=+-x x x 不能遗漏. 举一反三： 【变式】求下列函数的定义域： (1)y = y = 0,1)y a a >≠ 【解析】(1)(]-3∞， 需满足3-x ≥0，即3x ≤ (3)[)0,+∞ 为使得函数有意义，需满足2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0 (4)a>1时，(]-0∞，；0 例3．判断下列各数的大小关系： (1)2 4 -231(),3,()33 1 (2)22.5，(2.5)0， 2.51()2 (3)1.080.3与0.983.1 (4)0,1)a a >≠ 【解析】 (1)2-24311()<()<333 (2) 2.50 2.5 1()<(2.5)<22 (3)1.080.3 >1>0.983.1 (4)a>1 时，<0 时，> 【总结升华】(1)注意利用单调性解题的规范书写； (2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)； (3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是0和1). 举一反三： 【变式1】比较1.5-0.2 ， 1.30.7 ， 1 32 ()3 的大小. 【解析】先比较31 512.02 .0)3 2 ()32()23(5.1与==--的大小. 由于底数 32∈(0，1)， ∴ x y )3 2 (=在R 上是减函数， ∵ 05131>>， ∴ 1)3 2()32()32(00 51 31 =<<<， 再考虑指数函数y=1.3x ， 由于1.3>1， 所以y=1.3x 在R 上为增函数1.30.7>1.30 =1， ∴ 7.02 .031 3.15.1)3 2(<<-. 【变式2】求函数2 323x x y -+-=的值域及单调区间. 【解析】设u=-x 2+3x-2， y=3u ， 其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2 +3x-2在3(,]2 x ∈-∞上单增， u=-x 2 +3x-2在3[,)2 x ∈+∞上单减， 则2 32 3x x y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2 x ∈+∞上单减. 又u=-x 2 +3x-22311 ()244 x =--+≥， 2323x x y -+-=的值域为1 4(0,3]. 例4. 2 1 21333 3 12 33-,1 --,01 a a a a a a a a ?>?===??< 类型四、判断函数的奇偶性 例5．判断下列函数的奇偶性：)()2 1 121( )(x x f x ?+-= (()x ?为奇函数) 【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵()x ?定义域关于原点对称， 且f(x)的定义域是()x ?定义域除掉0这个元素)， 令21121)(+-=x x g ，则2 1 1222121221121)(+--=+-=+-=--x x x x x x g )()2 1 121(21121121121)12(x g x x x x -=+--=+---=+----= ∴ g(x)为奇函数， 又 ∵()x ?为奇函数，∴ f(x)为偶函数. 举一反三： 【变式】判断函数的奇偶性：()2 21x x x f x =+-. 【解析】定义域{x|x ∈R 且x ≠0}， 又112121 ()()()()222211221x x x x x f x x x x --=-+=-+=---- 21111111 ()(1)()()222 212121x x x x x x x f x -+=-=+-=+=---， ∴ f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数. 类型五、指数函数的图象问题 例6．为了得到函数935x y =?+的图象，可以把函数3x y =的图象( ) A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 【解析】∵29353 5x x y +=?+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5 个单位长度，可得到函数935x y =?+的图象，故选C ． 【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 第二章 指数函数与对数函数及函数的应用 一、知识网络 二、课标要求和最新考纲要求 1、指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14 C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； （2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。 4、函数与方程 （1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。 （2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. 5、函数模型及其应用 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 （3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考查是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。 指数函数 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???=)(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根，()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量，a是常数（我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言,它们都具有下列性质: a y x =有下列性质： （1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1); ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． （2）0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． （3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； （4）任何幂函数图象都不经过第四象限； (5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点:零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠)，那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 指数与指数函数 一?填空题 1. 已知f(x)=(a2-1)x是减函数,则a的取值范围是________. 2. (-1.8)0+(1.5)-2× 2 3 3 3 8 ?? ? ?? -(0.01)-0.5+ 3 2 9=________. 3. 指数函数y=? ? ?? ?b a x的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx的顶点横坐 标的取值范围是________. 4. 已知0≤x≤2,则y= 1 2 4325 x x - -?+的最大值为________. 5. 已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则g(x)=a x+b的图象是________. 6. (2011·新沂一中模拟)已知f(x)= ()1 1,0 2 ,0 x a x a x a x ? -++< ? ? ?≥ ? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么实数a的取值范围是________. 7. 若函数f(x)?g(x)分别是R上的奇函数?偶函数,且满足f(x)-g(x)=e x,则有________. ①f(2) 二?解答题 10. 计算 ÷ 3a －73a 13; (2)2 3338-??- ??? +120.002--10(5-2)-1+(2-3)0; (3)已知1 1224m m -+=,求33221122m m m m -- -+的值. 11. 函数f (x )= 2－x x －1 的定义域为集合A ,关于x 的不等式22ax <2a +x (a ∈R )的解集为B , 求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围. 12. (2011·丹阳中学期中)设函数f (x )=ka x -a -x (a >0且a ≠1)是奇函数. (1)求k 的值; (2)若f (1)>0,试求不等式f (x 2+2x )+f (x -4)>0的解集; (3)若f (1)=32 ,且g (x )=a 2x +a -2x -2mf (x )在[1,+∞)上的最小值为-2,求m 的值 指数函数知识总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念： 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ①负数没有偶次方根；②0的任何次方根都是0，记作00=n 。 ③当n 是奇数时，a a n n =， 当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0()1(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1)2(*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 题型一、计算 1.44 等于（ ） A 、16a B 、8a C 、4a D 、2 a 2.⑴ 33 )2(-= ⑵ 44 )2(-= ⑶ 66)3(π-= ⑷ 2 22y xy x ++= 3.① 625625++- ② 335252-++ 4.计算（1 + 2048 21）（1 + 1024 21）…（1 + 421）（1 + 2 21）（1 + 21 ）. 5. 计算（0.0081）4 1-- [3×(87)0]1-·[8125 .0-+(38 3)31-]21 -. 题型二、化简 1. 3 2 13 2b a b a ?- ÷3 2 11- --??? ? ? ?a b b a 2. 322a a a ?（a ＞0）. 3.化简： 3 32 b a a b b a （a ＞0，b ＞0）. 题型三、带附加条件的求值问题 1. 已知a 2 1+ a 2 1-= 3，求下列各式的值： ⑴ a + a 1 - ⑵ a 2+ a 2 - ⑶ 2 12 1232 3- - --a a a a 2. 已知2a x x =+-2（常数），求8x x -+8的值。 3. 已知x + y = 12, xy = 9，且x ＜y ，求 2 12 1 212 1y x y x +-的值。 4.已知a 、b 是方程x 2 - 6x + 4 = 0的两根，且a ＞b ＞0，求b a b a +-的值。 考点七 指数与指数函数 知识梳理 1．根式 如果a ＝x n ，那么x 叫做a 的n 次实数方根(n >1且n ∈N *)，当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数，记为：n a ；当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数，记为：±n a .式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (1)两个重要公式 ① n a ＝?????a （n 为奇数），|a |＝?????a （a ≥0），－a （a <0）（n 为偶数）； ② (n a )n ＝a (注意a 必须使n a 有意义)． (2)0的任何次方根都是0． (3)负数没有偶次方根． 2．分数指数幂 (1)分数指数幂的概念： ①正分数指数幂：a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a m n -＝ 1 a m n ＝ 1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋ s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a r s (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂a r (a >0，r 是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 4．指数函数的图象与性质 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过点(0,1)，即x ＝0时y ＝1 当x >0时，y >1； 当x <0时，0 指数函数与对数函数总结与练习 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 课时作业8 指数与指数函数 一、选择题 1．化简4a 23 ·b － 1 3 ÷? ?????－2 3a － 13 b 23 的结果为( C ) A ．－2a 3b B ．－8a b C ．－6a b D ．－6ab 2．设函数f (x )＝????? ? ?? ??12x －7，x <0， x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( C ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－3,1) D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解析：当a <0时，不等式f (a )<1为? ????12a －7<1， 即? ????12a <8，即? ????12a 因为0<1 2<1，所以a >－3， 此时－3－2)与指数函数y ＝? ?? ??12x 的图象的交点个数是( C ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 解析：因为函数y ＝－x 2 －4x ＝－(x ＋2)2 ＋4(x >－2)，且当x ＝－2时，y ＝－x 2 －4x ＝4， y ＝? ????12x ＝4，则在同一直角坐标系中画出y ＝－x 2－4x (x >－2)与y ＝? ?? ??12 x 的图象如图所示，由图象可得，两个函数图象的交点个数是1，故选C. 5．(2019·福建厦门一模)已知a ＝? ?? ??120.3，b ＝log 12 0.3，c ＝a b ，则a ，b ，c 的大小关 系是( B ) A ．a 技能训练（十） 指数与指数函数 序号：NO.10 日期：2019.12.19 【考纲传真】 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象 通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13 的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型． 【知识通关】 1．根式 n 次方 根 概 念 如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的__________，其中n ＞1，n ∈N * 表 示 当n 是_______时，a 的n 次方根x ＝n a 当n 是_______时，正数的n 次方根x ＝±n a ；负数没有偶次方根 0的任何次方根都是__，记作n 0＝0 根式 概念 式子n a 叫做______，其中n 叫做________，a 叫做_________ 性质 (n a )n ＝__ 当n 为奇数时，n a n ＝__ 当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝___________ 2.有理数指数幂 (1)分数指数幂 ①正分数指数幂：a m n ＝_____ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a -m n ＝_______＝_______ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂____________． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r·a s＝_______ (a＞0，r，s∈Q)； ②(a r)s＝_____ (a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝______ (a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝a x a＞10＜a＜1图象 定义域R 值域_________ 性质 过定点______ 当x＞0 时， ______；x ＜0时， ________ 当x＞0时，________；x＜0时，_______ 在R上是 _______ 在R上是_______ 【题型全通】 [题型一]指数幂的化简求值 高考数学指数与指数函数 指数与指数函数 一、填空题 1. 已知f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，则a 的取值范围是________． 2. (－1.8)0 ＋(1.5)－ 2 × 23 338?? ??? －(0.01) － 0.5 ＋32 9＝ ________. 3. 指数函数y ＝? ?? ???b a x 的图象如图所 示，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的顶点横坐标的取值范围是________． 4. 已知0≤x ≤2，则y ＝12 4325x x --?+的最大值为________． 5. 已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图象如图所示，则g (x )＝a x ＋b 的图象是________． 6. (2011·新沂一中模拟)已知f (x )＝ ()11,02,0x a x a x a x ? -++?? ，则f (2 010)＝ ________. 二、解答题 10. 计算： ÷ 3 a －7 3 a 13； (2) 23 338- ??- ??? ＋12 0.002- －10(5－2)－1＋ 指数函数知识点汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ? ? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ) 1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 )1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自 变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a >1 0 §2.5 指数与指数函数 最新考纲 1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 1．分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是m n a ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．于是，在条件a >0，m ，n ∈N *，且n >1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定m n a －＝ 1m n a (a >0，m ，n ∈N *，且n >1).0的正 分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋ s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质 概念方法微思考 1.如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1之间的 大小关系为 ． 提示 c >d >1>a >b >0 2．结合指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质说明a x >1(a >0，a ≠1)的解集跟a 的取值有关． 提示 当a >1时，a x >1的解集为{x |x >0}；当01的解集为{x |x <0}． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(n a )n ＝a (n ∈N *)．( × ) (2)分数指数幂m n a 可以理解为m n 个a 相乘．( × ) (3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x ＋1 都不是指数函数．( √ ) (4)若a m 0，且a ≠1)，则m 第8讲 指数与指数函数 考试要求 1.有理指数幂的含义及运算，B 级要求；2.实数指数幂的意义，指数函数模型的实际背景，A 级要求；3.指数函数的概念、图象与性质，B 级要求． 知 识 梳 理 1．根式 (1)概念：式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝??? a ，a ≥0，－a ，a <0. 2．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正 数的负分数指数幂的意义是 ＝ 1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指 数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3．指数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数． (2)指数函数的图象与性质 a >1 0 当x >0时，y>1；当x<0时，0 指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，? ??<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ＝＝＝-+---21 3321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 练习：（1）4 1 2-=x y ； （2）|| 2()3 x y =； （3）12 41 ++=+x x y ； 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示， 高考数学专题：指数与指数函数 最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，1 3的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型. 知 识 梳 理 1.根式 (1)概念：式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝???a ，a ≥0，－a ，a <0. 2.分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指 数幂的意义是a － m n ＝1 (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指 数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3.指数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质 R 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示 (1)4 （－4）4＝－4.( ) (2)(－1)2 4＝(－1)1 2＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数.( ) (4)函数y ＝a x 2＋1 (a >1)的值域是(0，＋∞).( ) 解析 (1)由于4（－4）4＝4 44＝4，故(1)错. (2)(－1)2 4＝4 （－1）2＝1，故(2)错. (3)由于指数函数解析式为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，故y ＝2x －1不是指数函数，故(3)错. (4)由于x 2＋1≥1，又a ＞1，∴a x 2＋1 ≥a .故y ＝a x 2＋1 (a ＞1)的值域是[a ，＋∞)，(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]1 2－(－1)0的结果为( ) A.－ 9 B.7 C.－10 D.9 解析 原式＝(26)1 2－1＝8－1＝7. 答案 B 3.函数y ＝a x －a －1(a >0，且a ≠1)的图象可能是( ) 解析 函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1 a 个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当01，平移距离大于1，所以C 高一数学知识点总结：指数函数、函数奇偶性这篇高一数学知识点总结：指数函数、函数奇偶性是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助! (1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 注图：(1)为奇函数(2)为偶函数 1.定义 一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 (4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与 f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。 (分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论) ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2.奇偶函数图像的特征： 定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。 f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称 2016届高三数学一轮基础巩固 第2章 第4节 指数与指数函数 新 人教A 版 一、选择题 1．(2014·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1 (a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象 不经过点A 的是( ) A ．y ＝1－x B ．y ＝|x －2| C ．y ＝2x －1 D ．y ＝log 2(2x ) [答案] A [解析] f (x )＝a x －1 的图象过定点(1,1)，在函数y ＝1－x 中当x ＝1时，y ＝0，故选A ． 2．(文)(2013·烟台月考)若a ＝log 20.9，b ＝3－13，c ＝(13)1 2，则( ) A ．a 3－1 2 >0，所以a 高三数学复习教案：指数与指数函数教案
指数与指数函数知识点
指数函数对数函数和幂函数知识点归纳
指数函数与对数函数知识点总结
高考数学-指数与指数函数讲义.doc
指数函数知识点总结
艺术生高考数学专题讲义：考点7 指数与指数函数
指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)
高考理科数学一轮复习指数与指数函数专题复习题
10指数与指数函数(无答案)-山东省青岛志贤中学高考数学复习学案
高考数学指数与指数函数
指数函数知识点汇总
高考数学新增分大一轮新高考：第二章 2.5 指数与指数函数
高考数学第8讲指数与指数函数(苏教版)
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