高考总复习：指数与指数函数知识梳理

指数与指数函数【考纲要求】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；4.掌握指数函数图象：5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】【考点梳理】考点一、整数指数幂的概念及运算性质 (1)整数指数幂的概念()()),0(1010*Z*n a a a a a Z n a a a a nn an n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-个(2)运算法则 ①nm nma a a +=⋅；②()mn nma a =；③()0≠>=-a n m a aa nm n m ，； ④()mm mb a ab =.指数与指数函数图象与性质指数运算性质指数函数的图像与指数的概念考点二、根式的概念和运算法则 (1)n 次方根的定义：若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根. 要点诠释：n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为ny ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为0=.(2)根式的意义与运算法则y y n n =)(⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a nn 考点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1na =m m na ==-1m nm naa=考点四、有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，，(1);a a aαβαβ+⋅=(2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα=当a>0，p 为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-. 考点五、指数函数 (1)定义：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. (2)图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质 ①定义域R ，值域 （0，+∞）②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数 a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x>1x>0时，0<a x<1⑤x<0时，0<a x<1x>0时，a x>1⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数【典型例题】类型一、指数运算、化简、求值 例1.已知c ba==53，且211=+ba ，求c 的值。

【解析】213log 31log 31log 3111log 52log 3log 52log 15215015a a c c c c c c c c a ab a bc c c ==∴=∴==+=∴+=∴=∴=>∴=由得同理可得【总结升华】运算顺序(能否应用公式)；举一反三：【变式】计算下列各式：(1)1200.2563433721.5()82(23)()63-⨯-+-；(2)63425.0031)32(28)67()81(⨯+⨯+-⨯-； (3)33323323134)21(428a ab bab a b a a ⨯-÷++-. 【解析】(1)原式1131231334422()2223()242711033=+⨯+⨯-=+⨯=；(2)原式=62163141413)31)(1()3()2(2)2(18⨯+⨯+⨯--1123222324143=⨯++=+；(3)原式313131312313131231312)2(2)()8(a b a ab b a a b a a ⨯-⨯++-=a b a b a a=--=++331331313131)2()()8(.类型二、函数的定义域、值域 例2．求下列函数的定义域、值域.(1)212x xy =+；(2)y=4x -2x+1；(3)||3()2x y -=；(4)y =为大于1的常数)【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，2x≠-1).∵ xx x y 2111211)21(+-=+-+=，又∵ 2x >0， 1+2x>1， ∴ 12110<+<x ， ∴ 02111<+-<-x， ∴ 121110<+-<x， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=xx x y ，∵ 2x >0， ∴ 212=x即 x=-1时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,43).(3)定义域为R ，∵|x|≥0， ∴ -|x|≤0， ∴ 1)23(0||≤=<-x y ，∴ 值域为(0，1].(4)∵011112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵111011≠+-≥+-x x x x 且，∴ a ay a y x xx x≠=≥=-+-+1121121且，∴值域为[1，a)∪(a ，+∞).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中112111≠+-=+-x x x 不能遗漏. 举一反三：【变式】求下列函数的定义域：(1)y =y =0,1)y a a =>≠【解析】(1)(]-3∞， 需满足3-x ≥0，即3x ≤ (3)[)0,+∞为使得函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x ≥0 (4)a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，. 类型三、指数函数的单调性例3．判断下列各数的大小关系：(1)24-231(),3,()331 (2)22.5，(2.5)0， 2.51()2(3)1.080.3与0.983.1(4)0,1)a a >≠【解析】 (1)2-24311()<()<333 (2) 2.50 2.51()<(2.5)<22(3)1.080.3>1>0.983.1(4)a>1时，<0<a<1时，>【总结升华】(1)注意利用单调性解题的规范书写；(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是0和1). 举一反三：【变式1】比较1.5-0.2， 1.30.7， 132()3的大小.【解析】先比较31512.02.0)32()32()23(5.1与==--的大小. 由于底数32∈(0，1)， ∴ x y )32(=在R 上是减函数， ∵ 05131>>， ∴ 1)32()32()32(005131=<<<，再考虑指数函数y=1.3x， 由于1.3>1，所以y=1.3x 在R 上为增函数1.30.7>1.30=1，∴ 7.02.0313.15.1)32(<<-. 【变式2】求函数2323x x y -+-=的值域及单调区间.【解析】设u=-x 2+3x-2， y=3u，其中y=3u为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增，u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减，则2323xx y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.又u=-x 2+3x-22311()244x =--+≥， 2323x x y -+-=的值域为14(0,3].例4.212133331233-,1--,01a a a a a a a a ⎧>⎪===⎨⎪<<⎩类型四、判断函数的奇偶性例5．判断下列函数的奇偶性：)()21121()(x x f xϕ+-= (()x ϕ为奇函数) 【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵()x ϕ定义域关于原点对称， 且f(x)的定义域是()x ϕ定义域除掉0这个元素)，令21121)(+-=x x g ，则211222*********)(+--=+-=+-=--x x x x xx g )()21121(21121121121)12(x g xx x x -=+--=+---=+----= ∴ g(x)为奇函数， 又 ∵()x ϕ为奇函数，∴ f(x)为偶函数. 举一反三：【变式】判断函数的奇偶性：()221xx xf x =+-. 【解析】定义域{x|x ∈R 且x ≠0}，又112121()()()()222211221x x xx x f x x x x --=-+=-+=---- 21111111()(1)()()222212121x xx x x x x f x -+=-=+-=+=---， ∴ f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数. 类型五、指数函数的图象问题例6．为了得到函数935xy =⨯+的图象，可以把函数3xy =的图象( ) A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 【解析】∵293535xx y +=⨯+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数935xy =⨯+的图象，故选C ．【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．。