高考数学总复习第三单元 第二节 指数与指数函数精品课件
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高考理科数学总复习课件指数与指数函数
指数函数定义
指数函数性质
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数称 为指数函数。
指数函数在其定义域内是单调的，当 a>1时单调递增，当0<a<1时单调递 减。
指数函数图像
指数函数的图像是一条过定点（0,1） 的曲线，当a>1时，图像在x轴上方且 向右上方延伸；当0<a<1时，图像在 x轴上方且向右下方延伸。
A. $c > b > a$ B. $b > c > a$ C. $a > c > b$ D. $a > b > c$
2. 函数$y = 4^{x} - 2^{x + 1} + 3$的值域为( )
模拟试题训练
A. $(2, +infty)$ B. $[2, +infty)$ C. $(3, +infty)$ D. $[3, +infty)$
口增长率。
细菌繁殖模型
在适宜的条件下，细菌的数量会 呈指数增长。指数函数可以描述 细菌数量随时间的变化情况，有 助于预测细菌繁殖的速度和数量
。
化学反应速率
某些化学反应的速率与反应物的 浓度成正比，符合指数函数的规 律。通过测量反应速率和反应物 浓度的关系，可以研究化学反应
的动力学特性。
05
高考真题回顾与模拟训练
。
02
指数函数性质与图像分析
指数函数单调性
当底数a>1时，指数 函数y=a^x在全体实 数范围内单调递增；
指数函数的单调性与 其底数大小密切相关 ，底数决定了函数的 增减性。
当底数0<a<1时，指 数函数y=a^x在全体 实数范围内单调递减 ；
幂函数、指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习
标轴没有公共点，则 f ( 2 )＝(
A.
1
2
B. 2
A )
C. 2
D. 2 2
[解析] 因为 f ( x )为幂函数，所以 m 2＋ m －1＝1，解得 m ＝－2或 m ＝1，又 f ( x )的
图象与坐标轴无公共点，故 m ＜0，所以 m ＝－2，故 f ( x )＝ x －2，所以 f ( 2 )＝
＝
3
－
2
.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
幂函数的图象与性质
例1 (1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限
1
2
内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为
(
A )
1
2
1
2
A. 2， ，－ ，－2
图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(
A. 第第四象限
D )
[解析] ∵ a 0＝1，∴ f ( x )＝ ax －1－2的图象恒过定点(1，－1)，∴ m ＝1， n ＝－1，
1
∴ g ( x )＝1＋ ，其图象不经过第四象限，故选D.
5−1
5−1
≤ m ＜2，所以实数 m 的取值范围为[
，2).
2
2
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
2
−
3
3
(1)(－3 )
8
1
−2
＋(0.002 )
−
[解析] 原式＝(－1 )
4
9
2
3
A.
1
2
B. 2
A )
C. 2
D. 2 2
[解析] 因为 f ( x )为幂函数，所以 m 2＋ m －1＝1，解得 m ＝－2或 m ＝1，又 f ( x )的
图象与坐标轴无公共点，故 m ＜0，所以 m ＝－2，故 f ( x )＝ x －2，所以 f ( 2 )＝
＝
3
－
2
.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
幂函数的图象与性质
例1 (1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限
1
2
内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为
(
A )
1
2
1
2
A. 2， ，－ ，－2
图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(
A. 第第四象限
D )
[解析] ∵ a 0＝1，∴ f ( x )＝ ax －1－2的图象恒过定点(1，－1)，∴ m ＝1， n ＝－1，
1
∴ g ( x )＝1＋ ，其图象不经过第四象限，故选D.
5−1
5−1
≤ m ＜2，所以实数 m 的取值范围为[
，2).
2
2
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
2
−
3
3
(1)(－3 )
8
1
−2
＋(0.002 )
−
[解析] 原式＝(－1 )
4
9
2
3
高中数学(指数与指数函数)复习和习题课件PPT
高中
数学
§第一节
指数与指数函数
（复习+习题练习）
指数函数与
对数函数
真题在线
知识清单
考点一 指数幂的性质与运算
1.定义
（1）正整数指数幂： = ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∈ ∗ .
个
1
（2）负整数指数幂：− = ≠ 0, ∈ ∗ .
（3）分数指数幂： =
2.幂函数的性质
(1)图像分布：幂函数的图像分布在第一、二、三象限，第四象限内无图像.幂函
数是偶函数时，图像分布在第一、二象限(图像关于y轴对称)；幂函数是奇函数时，图
像分布在第一、三象限(图像关于原点对称)；幂函数是非奇非偶函数时，图像只分布
在第一象限.
知识清单
考点二 幂函数
(2)过定点：所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图像都经过点(1，1).
典例精析
例
例
题
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
同学们！再见！
课后一定要多练习哦！
> 0, , ∈
0, , ∈ ∗ , > 1ሻ.
（4）零指数幂：0 = 1 ≠ 0 .
∗,
> 1 ;Biblioteka −=
1
ሺ >
知识清单
考点一 指数幂的性质与运算
2.有理数指数幂的性质
数学
§第一节
指数与指数函数
（复习+习题练习）
指数函数与
对数函数
真题在线
知识清单
考点一 指数幂的性质与运算
1.定义
（1）正整数指数幂： = ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∈ ∗ .
个
1
（2）负整数指数幂：− = ≠ 0, ∈ ∗ .
（3）分数指数幂： =
2.幂函数的性质
(1)图像分布：幂函数的图像分布在第一、二、三象限，第四象限内无图像.幂函
数是偶函数时，图像分布在第一、二象限(图像关于y轴对称)；幂函数是奇函数时，图
像分布在第一、三象限(图像关于原点对称)；幂函数是非奇非偶函数时，图像只分布
在第一象限.
知识清单
考点二 幂函数
(2)过定点：所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图像都经过点(1，1).
典例精析
例
例
题
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
巩固练习
过关练习
巩固练习
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过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
同学们！再见！
课后一定要多练习哦！
> 0, , ∈
0, , ∈ ∗ , > 1ሻ.
（4）零指数幂：0 = 1 ≠ 0 .
∗,
> 1 ;Biblioteka −=
1
ሺ >
知识清单
考点一 指数幂的性质与运算
2.有理数指数幂的性质
高考北师大版数学总复习课件：2.6指数与指数函数
第 六 节
指数与指数函数
考纲解读 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌 握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指 数函数图像通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
考向预测 1．指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重 点考查的对象，热点是指数函数的图像与性质的综合应用．同 时考查分类整合思想和数形结合思想． 2．幂的运算是解决与指数有关问题的基础，常与指数函数 交汇命题．
(2)根式的性质 ①当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n n 次方根是一个负数，这时， a 的 n 次方根用符号 a 表示． ②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反 n 数，这时，正数的正的 n 次方根用符号 a 表示，负的 n 次方 n n 根用符号 － a 表示．正负两个 n 次方根可以合写为 ± a (a>0)．
7．若函数 f(x)＝ (a2－ 1)x 在 (－∞，＋∞ )上是减函数，求 a 的取值范围．
[解析] ∵0<a2－ 1<1，∴1<a2<2， ∴－ 2< a<－ 1 或 1<a< 2. 即 a 的取值范围是(－ 2，－1)∪(1， 2)．
幂式的化简与求值
[分析] 将根式化为分数指数幂，按分数指数幂的运算 性质进行运算．
1 C. － 1， 2
的单调递增区间是
B． [2，＋∞)
1 D. ， 2 2
[答案] D
[解析] 令 t＝－ x2＋ x＋ 2≥ 0，得函数定义域为 [－1,2]，所 以 t＝－ x
2
1 1 ＋ x＋ 2 在－ 1， 上递增， 在 ， 2上递减． 根据“同 2 2 1 的单调递增区间是 ， 2. 2
指数与指数函数
考纲解读 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌 握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指 数函数图像通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
考向预测 1．指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重 点考查的对象，热点是指数函数的图像与性质的综合应用．同 时考查分类整合思想和数形结合思想． 2．幂的运算是解决与指数有关问题的基础，常与指数函数 交汇命题．
(2)根式的性质 ①当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n n 次方根是一个负数，这时， a 的 n 次方根用符号 a 表示． ②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反 n 数，这时，正数的正的 n 次方根用符号 a 表示，负的 n 次方 n n 根用符号 － a 表示．正负两个 n 次方根可以合写为 ± a (a>0)．
7．若函数 f(x)＝ (a2－ 1)x 在 (－∞，＋∞ )上是减函数，求 a 的取值范围．
[解析] ∵0<a2－ 1<1，∴1<a2<2， ∴－ 2< a<－ 1 或 1<a< 2. 即 a 的取值范围是(－ 2，－1)∪(1， 2)．
幂式的化简与求值
[分析] 将根式化为分数指数幂，按分数指数幂的运算 性质进行运算．
1 C. － 1， 2
的单调递增区间是
B． [2，＋∞)
1 D. ， 2 2
[答案] D
[解析] 令 t＝－ x2＋ x＋ 2≥ 0，得函数定义域为 [－1,2]，所 以 t＝－ x
2
1 1 ＋ x＋ 2 在－ 1， 上递增， 在 ， 2上递减． 根据“同 2 2 1 的单调递增区间是 ， 2. 2
高考数学总复习指数与指数函数PPT课件
1．设 a＝40.8，b＝80.46，c＝12－1.2，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
解析：选 A ∵a＝40.8＝21.6，b＝80.46＝21.38，c
＝12－1.2＝21.2，又∵1.6＞1.38＞1.2，∴21.6＞21.38＞21.2. 即 a＞b＞c.
1．若函数 y＝ax＋b－1(a＞0 且 a≠1)的图象经过第二、三、 四象限，则 a、b 的取值范围分别是________．
解析：因为函数 y＝ax＋b－1(a＞0 且 a≠1)的图象经过第 二、三、四象限，所以0b＜－a1＜＜1－，1， 即0b＜＜a0＜. 1，
答案：a∈(0,1) b∈(－∞，0)
解析：令 t＝ax(a＞0 且 a≠1)， 则原函数化为 y＝(t＋1)2－2(t＞0)．
①当 0＜a＜1 时， x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a，此时 f(t)在a，1a上为增函数． 所以 f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14.所以1a＋12＝16， 即 a＝－15或 a＝13.
答案：(2,3)
考点一
指数幂的化简与求值
[例 1]
化简：(1)a14ba123b4a23－a13bb213(a＞0，b＞0)；
(2)－287－23＋(0.002)－12－10( 5－2)－1＋( 2－ 3)0.
[自主解答]
(1)
原
式
＝
a3b2a13b2312 ab2a－13b13
1．化简[(－2)6]12－(－1)0 的结果为(
)
A．－9
B．－10
C．9
D．7
解析：选 D [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝8
高考数学指数与指数函数ppt课件
4
1．根式
(1)根式的概念 ①若__x_n_＝__a___，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1 且 n∈N*.式子___n_a____
叫做根式，这里____n____叫做根指数，____a____叫做被开方数．
②a 的 n 次方根的表示：
xn＝a⇒xx＝＝_n_± a_，_n_当_a_n_为，奇当数n为且偶n∈数N且*n，∈nN>1*时时.，
(2)函数 y＝ax 与 y＝1ax(a>0，且 a≠1)的图象关于 y 轴对称． (3)指数函数 y＝ax 与 y＝bx 的图象特征：在第一象限内，图象越高，底数越 大；在第二象限内，图象越高，底数越小．
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第三章 函数概念与基本初等函数
11
常见误区 解决与指数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对 a>1 及 0<a<1 进行 分类讨论．
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第三章 函数概念与基本初等函数
5
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N*，且 n>1)．
a，n为奇数，
②n
an＝
____|a_|___＝a－，aa，≥a0<，0，
n为偶数.
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第三章 函数概念与基本初等函数
6
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：amn＝___n_a_m___ (a>0，m，n∈N*，且 n>1)； 1
第三章 函数概念与基本初等函数
第6讲 指数与指数函数
数学
第三章 函数概念与基本初等函数
1
01
走进教材 自主回顾
2019高考数学总复习3.2 指数与指数函数 课件.ppt
2
8
2
8
2 x 1;
4
2
当 1 x 1时，不等式f x 2 1,即24x 1 2 1,
2
8
8
1 x 5. 28
总上可知：2 4
x
5 8
,原不等式的解集为x
|Байду номын сангаас
2 4
x
85 .
22
规律总结 上述问题的最终形式是解一个指数不等式，属于指
数函数的综合应用．求解该类问题的关键是，化简所给函数、方 程或不等式，使之能利用指数函数的性质，把原问题转化为熟悉 的问题加以解决．
23
变式训练４ 设集合A＝{x|1＜x≤2}，关于x的不等式
的解集为B，求使A∩B＝A的实数a的取值范
围22a．x 2ax a R
24
【解析】 y 2x是R上的增函数，
c的值． (2)由求得的c化简已知函数式，分段解不等式，最后求并
集，得不等式的解集．
21
解 1依题意，0 c 1,c2 c,
f c2 9 ,即c3 1 9 ,c 1 .
8
8
2
2由1得f x 212x4x11012xx121,.
当0 x 1 时，不等式f x 2 1，即1 x 1 2 1,
第二节 指数与指数函数
1
2
分析 四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加
减，有括号的先算括号内的．整数指数幂的运算y性质及运 算规律扩充到分数指数幂后，其运算规则仍符合整数指数 幂的四则运算法则．
3
解
1 原式
2
6
3
211 115
a3 2 6b2 3 6
4ab0 4a.
5
人教A版高考数学复习指数与指数函数ppt课件
(2)方程的解可看作函数 y＝2x 和 y＝2－x 的图象交点的横 坐标，分别作出这两个函数图象(如图所示)．
由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．
[规律方法] 指数函数图象由其底数确定，在底数不确定时 要根据其取值范围进行分类讨论．从甲函数图象通过变换 得到乙函数的图象，通过顺次的逆变换，即可把乙函数的 图象变换为甲函数的图象．
指数与指数函数
1．根式 (1)根式的概念 ①若___x_n＝__a____，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1 且
n∈N*．式子n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被 开方数． ②a 的 n 次方根的表示：
xn＝a⇒xx＝＝_n_±a_（n__a当__n__为_（奇当数n且为n偶∈数N*且时n）∈，N*时）.
方法思想——解决与指数函数型有关的值域问题(换元法)
函数 f(x)＝14x－12x＋1 在 x∈[－3，2]上的值域
是____34_，__5_7_____．
[解析] 因为 x∈[－3，2]，若t2－t＋1＝t－122＋34．
当 t＝12时，ymin＝34；当 t＝8 时，ymax＝57．
元”的范围．
2．指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键
点：(1，a)，(0，1)，－1，1a．
[做一做] 3．(2015·东北三校联考)函数 f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象
恒过点 A，下列函数中图象不经过点 A 的是( A )
A．y＝ 1－x
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N*)．
②n
a，n为奇数， an＝___|_a_| _____＝a－，aa，≥a0<，0，
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2
的图象．
.
• (2)由图象观察知，函数在(－∞，－2]上是单调增函数，在[－2，＋
∞)上是单调减函数．
•
(3)由图象观察知，x＝－2时，函数
y
1 x2
有最大值，最大
值为1，没有最小值．
2
规律总结 上述解法，通过化归与转化，把一个指数型函
数的问题转化为指数函数的图象，体现了化繁为简、化生为熟的 思想．另外，本例也可以不考虑去绝对值符号，而是直接用图象 变换作出，方法如下：
y
1
x
保留x0部分，将它沿y轴翻折得到x0部分
2
y
1 x 2
向左 平移2个单 位 y
1 2
x2
.
变式训练２函数 f x ax b的图象如右图，其中a、b为
常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
【解析】 ∵由图象显示函数是减函数，∴0<a<1.
又∵函数图象与y轴的交点在点(0,1)的下方，
∴图象是由 y a x 的图象向下平移所得，
∴－b<0，即b>0，故选C
【答案】 C
指数函数的性质及应用
已知函数
y
1
x2 6 x17
.
2
(1)求定义域及值域；(2)求函数的单调区间．
分析 上述函数是一个指数型函数的问题，可通过换元转化为指
数函数；利用指数函数的性质分别求定义域、值域和单调区 间．在求值域时，应先求指数的值域，再求指数式的值域；在求 单调区间时，注意利用复合函数的单调性．
变式训练1
1
已知x 2
1
x2
3,求
x2
3
x
2 3
2
的值.
x2 x 2 3
【解析】
1
x2
1
x2
1 3, x 2
1
x2
2
9,
x 2 x1 9, x x1 7,
x x1 2 49, x2 x2 47.
3
又 x2
3
x2
1
x2
1
x2
x
1
x 1
3 7 1
18,
x2 x2 2 47 2
变式训练４ 设集合A＝{x|1＜x≤2}，关于x的不等式
22ax 2ax a R 的解集为B，求使A∩B＝A的实数a的取值范围．
2
8
2
8
2 x 1;
4
2
当 1 x 1时，不等式f x 2 1,即24x 1 2 1,
2
8
8
1 x 5. 28
总上可知：2 4
x
5 8
,原不等式的解集为x
|
2 4
x
5 8
.
规律总结 上述问题的最终形式是解一个指数不等式，属于指数
函数的综合应用．求解该类问题的关键是，化简所给函数、方程或 不等式，使之能利用指数函数的性质，把原问题转化为熟悉的问题 加以解决．
f
x
1 2x 1
在
(－∞，＋∞)上单调递减，且无限趋于0，故
无最小值，故选A.
【答案】A
指数函数的综合应用
cx 10 x c,
(12分)
满足 f c2
已知函数 f 9.
x
x
1 c2
2
1c
x
1
(1)求常数c的8 值；(2)解不等式 f x 2 1 .
8
分析 (1)由题意判断c的取值范围，用 f c2 9 求常数c 8
的值．
(2)由求得的c化简已知函数式，分段解不等式，最后求并集，
得不等式的解集．
解 1依题意，0 c 1,c2 c,
f c2 9 ,即c3 1 9 ,c 1 .
8
8
2
2由1得f x 212x4x11012xx121,.
当0 x 1 时，不等式f x 2 1，即1 x 1 2 1,
解 1令ux x2 6x 17,ux x 32 8 8, x R，u 8,,
y
1 u 2
1 2
8 ,值域为 0,
1 28
.
2当x 3时, ux x2 6x 17为增函数，
又0 1 1, y 1 u 为减函数，
2
2
在3,上，函数y为减函数；
当x 3时，ux x2 6x 17为减函数,
解 1 原式
2
6
3
211 115
a3 2 6b2 3 6
4ab0 4a.
2 原式
a2
12
2 1 2
a 2 3
5
a6
6
a5 .
a2a3
规律总结 对于运算结果的形式，如果题目是以根式的形式给出的，
则结果一般用根式的形式表示；如果题目是以分数指数幂的形式给出 的，则结果一般用分数指数幂的形式表示．化简结果不要同时含有根 号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指数幂．
变式训练３ 若函数 f x 1 ，则该函数在(－∞，＋∞)
2x 1 上是( )
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
【解析】
(－令∞u，x＋∞ 2)上x 单1调，递则增f且uu(xu1)>.1因；为而u(f xu)在 1
u
在(1，＋∞)上单调递减．故
解 (1)由函数的解析式得
y 1 x2 2
1 2
x
2
x
2,
2x2 x 2.
其图象分成两部分：一部分是 的图象，由下列变换可得到：y
1
y
x
1 x2 x 2
2
向左 平移两个单位 y
1
x2
；
2
2
另一部分是 y 2x2 x 2的图象，由下列变换可得
到：y 2x 向左 平移两个单位 y 2x2 .如图实线部分为函数 y 1 x2
第二节 指数与指数函数
指数式的化简与求值
计算下列各式(式中字母均为正数)．
1
2a
2 3
b
1 2
6a
1 2
b
1 3
3a
1 6
b
5 6
;
2
a2 a3 a2
a
0.
分析 四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号的先算括号内的．整数指数幂的运算性质及y运算规律 扩充到分数指数幂后，其运算规则仍符合整数指数幂的四则 运算法则．
又0 1 1, y 1 u 为减函数，
2
2
在 ,3上，函数y为增函数.
综上可得，函数y
1
x2 6 x17
的单调增区间
2
为 ,3,单调减区间为3,.
规律总结 讨论指数型函数的性质，最终要利用指数函
数的性质和其他基本初等函数的性质来解决．其关键是准 确把握函数的结构，弄清复合函数中各函数的性质，然后 有机地把二者结合起来．判断单调性时，要注意复合函数 的规律．
3
3
ห้องสมุดไป่ตู้.
18 3
x2 x 2 3
指数函数的图象及应用
已知函数 y 1 x2 . 2
(1)作出函数的图象； (2)由图象指出单调区间； (3)由图象指出，当x取什么值时y有最值．
分析 由于函数解析式中含有绝对值，故要考虑去绝对值符号，
把函数解析式写成分段函数的形式，再作出图象，然后利用图 象寻求单调区间及最值．
的图象．
.
• (2)由图象观察知，函数在(－∞，－2]上是单调增函数，在[－2，＋
∞)上是单调减函数．
•
(3)由图象观察知，x＝－2时，函数
y
1 x2
有最大值，最大
值为1，没有最小值．
2
规律总结 上述解法，通过化归与转化，把一个指数型函
数的问题转化为指数函数的图象，体现了化繁为简、化生为熟的 思想．另外，本例也可以不考虑去绝对值符号，而是直接用图象 变换作出，方法如下：
y
1
x
保留x0部分，将它沿y轴翻折得到x0部分
2
y
1 x 2
向左 平移2个单 位 y
1 2
x2
.
变式训练２函数 f x ax b的图象如右图，其中a、b为
常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
【解析】 ∵由图象显示函数是减函数，∴0<a<1.
又∵函数图象与y轴的交点在点(0,1)的下方，
∴图象是由 y a x 的图象向下平移所得，
∴－b<0，即b>0，故选C
【答案】 C
指数函数的性质及应用
已知函数
y
1
x2 6 x17
.
2
(1)求定义域及值域；(2)求函数的单调区间．
分析 上述函数是一个指数型函数的问题，可通过换元转化为指
数函数；利用指数函数的性质分别求定义域、值域和单调区 间．在求值域时，应先求指数的值域，再求指数式的值域；在求 单调区间时，注意利用复合函数的单调性．
变式训练1
1
已知x 2
1
x2
3,求
x2
3
x
2 3
2
的值.
x2 x 2 3
【解析】
1
x2
1
x2
1 3, x 2
1
x2
2
9,
x 2 x1 9, x x1 7,
x x1 2 49, x2 x2 47.
3
又 x2
3
x2
1
x2
1
x2
x
1
x 1
3 7 1
18,
x2 x2 2 47 2
变式训练４ 设集合A＝{x|1＜x≤2}，关于x的不等式
22ax 2ax a R 的解集为B，求使A∩B＝A的实数a的取值范围．
2
8
2
8
2 x 1;
4
2
当 1 x 1时，不等式f x 2 1,即24x 1 2 1,
2
8
8
1 x 5. 28
总上可知：2 4
x
5 8
,原不等式的解集为x
|
2 4
x
5 8
.
规律总结 上述问题的最终形式是解一个指数不等式，属于指数
函数的综合应用．求解该类问题的关键是，化简所给函数、方程或 不等式，使之能利用指数函数的性质，把原问题转化为熟悉的问题 加以解决．
f
x
1 2x 1
在
(－∞，＋∞)上单调递减，且无限趋于0，故
无最小值，故选A.
【答案】A
指数函数的综合应用
cx 10 x c,
(12分)
满足 f c2
已知函数 f 9.
x
x
1 c2
2
1c
x
1
(1)求常数c的8 值；(2)解不等式 f x 2 1 .
8
分析 (1)由题意判断c的取值范围，用 f c2 9 求常数c 8
的值．
(2)由求得的c化简已知函数式，分段解不等式，最后求并集，
得不等式的解集．
解 1依题意，0 c 1,c2 c,
f c2 9 ,即c3 1 9 ,c 1 .
8
8
2
2由1得f x 212x4x11012xx121,.
当0 x 1 时，不等式f x 2 1，即1 x 1 2 1,
解 1令ux x2 6x 17,ux x 32 8 8, x R，u 8,,
y
1 u 2
1 2
8 ,值域为 0,
1 28
.
2当x 3时, ux x2 6x 17为增函数，
又0 1 1, y 1 u 为减函数，
2
2
在3,上，函数y为减函数；
当x 3时，ux x2 6x 17为减函数,
解 1 原式
2
6
3
211 115
a3 2 6b2 3 6
4ab0 4a.
2 原式
a2
12
2 1 2
a 2 3
5
a6
6
a5 .
a2a3
规律总结 对于运算结果的形式，如果题目是以根式的形式给出的，
则结果一般用根式的形式表示；如果题目是以分数指数幂的形式给出 的，则结果一般用分数指数幂的形式表示．化简结果不要同时含有根 号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指数幂．
变式训练３ 若函数 f x 1 ，则该函数在(－∞，＋∞)
2x 1 上是( )
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
【解析】
(－令∞u，x＋∞ 2)上x 单1调，递则增f且uu(xu1)>.1因；为而u(f xu)在 1
u
在(1，＋∞)上单调递减．故
解 (1)由函数的解析式得
y 1 x2 2
1 2
x
2
x
2,
2x2 x 2.
其图象分成两部分：一部分是 的图象，由下列变换可得到：y
1
y
x
1 x2 x 2
2
向左 平移两个单位 y
1
x2
；
2
2
另一部分是 y 2x2 x 2的图象，由下列变换可得
到：y 2x 向左 平移两个单位 y 2x2 .如图实线部分为函数 y 1 x2
第二节 指数与指数函数
指数式的化简与求值
计算下列各式(式中字母均为正数)．
1
2a
2 3
b
1 2
6a
1 2
b
1 3
3a
1 6
b
5 6
;
2
a2 a3 a2
a
0.
分析 四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号的先算括号内的．整数指数幂的运算性质及y运算规律 扩充到分数指数幂后，其运算规则仍符合整数指数幂的四则 运算法则．
又0 1 1, y 1 u 为减函数，
2
2
在 ,3上，函数y为增函数.
综上可得，函数y
1
x2 6 x17
的单调增区间
2
为 ,3,单调减区间为3,.
规律总结 讨论指数型函数的性质，最终要利用指数函
数的性质和其他基本初等函数的性质来解决．其关键是准 确把握函数的结构，弄清复合函数中各函数的性质，然后 有机地把二者结合起来．判断单调性时，要注意复合函数 的规律．
3
3
ห้องสมุดไป่ตู้.
18 3
x2 x 2 3
指数函数的图象及应用
已知函数 y 1 x2 . 2
(1)作出函数的图象； (2)由图象指出单调区间； (3)由图象指出，当x取什么值时y有最值．
分析 由于函数解析式中含有绝对值，故要考虑去绝对值符号，
把函数解析式写成分段函数的形式，再作出图象，然后利用图 象寻求单调区间及最值．