第22课时(平面向量基本定理)
第6章 6.2 6.2.3 平面向量的坐标及其运算-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册
(1)A [以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系， 因为 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以 2a＝(2,1)，b＝(1,3)， 所以 2a＋b＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即 2a＋b 在平面直角坐标系中 的坐标为(3,4)，故选 A.
]
(2)[解] ①作 AM⊥x 轴于点 M(图略)，
3，即
b＝－32，3
2
3.
②由①知B→A＝－A→B＝－b＝32，－3
2
3.
③O→B＝O→A＋A→B＝(2
2，2
2)＋－32，3
2
3
＝2
2－32，2
2＋3
2
3，
所以点 B 的坐标为2
2－32，2
2＋3
2
3.
求向量坐标的三个步骤
[跟进训练] 1．在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方 向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算 出它们的坐标． [解] 设 a＝(x1，y1)， 则 x1＝2·cos 45°＝ 2，y1＝2·sin 45°＝ 2， ∴a＝( 2， 2)．
[解] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)21a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
向量坐标运算的综合应用 [探究问题] 1．已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及O→P＝O→A＋tA→B.当 t 为何值 时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ [提示] ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，
《平面向量的运算》平面向量及其应用 PPT教学课件 (向量的数量积)
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向量 a 在向量 b 上的投影向量的求法 将已知量代入 a 在 b 方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e 是与 b 方向相同的单位向量， 且 e＝|bb|)中计算即可．
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2．已知|a|＝4，|b|＝6，a 与 b 的夹角为 60°，则向量 a 在向量 b 上的投影向量是________． 解析：向量 a 在向量 b 上的投影向量是|a|cos 60°|bb|＝4×12×16b＝13b. 答案：13b
我们称上述变换为向量 a 向向量 b 投影 ，A→1B1叫做向量 a 在向量 b 上的 投影向量 ．
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(2)如图，在平面内任取一点 O，作O→M＝a，O→N＝b，设 与 b 方向相同的单位向量为 e，a 与 b 的夹角为 θ，过点 M 作直线 ON 的垂线，垂足为 M1，则O→M1＝ |a|ecos θ . 特别地，当 θ＝0 时，O→M1＝ |a|e . 当 θ＝π 时，O→M1＝ －|a|e . 当 θ＝π2时，O→M1＝0.
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⑥cos θ＝|aa|·|bb|.
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知识点五 平面向量数量积的性质
预习教材，思考问题
根据实数乘法的运算律，类比得出向量数量积的运算律，如下表，这些结果正确吗？
运算律 实数乘法
平面向量数量积
交换律
ab＝ba
a·b＝b·a
结合律
(ab)c＝a(bc)
(a·b)·c＝a·(b·c) (λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)
解析：(2a＋3b)·(3a－2b) ＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2 ＝6|a|2＋5a·b－6|b|2 ＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72 ＝－268.
空间向量基本定理
a
空间中
c C1
B1 C
B
任意向量c是不是都可以用这两个不共线向量a, b(基底)进行线性表示？
比如在正方体中 BD1是不是都可以用这两个不共线向量a, b(基底)进行线性表示？ 为什么？怎么解决呢？ 基底增加一个向量 {a,b, AA1}
BD1 = BA+ AA1 + A1D1 BD1 = AB+ AA1 + AD BD1 = xa +1AA1 + yb
例2.已知空间四边形OABC，点M、N分别是边OA、BC的
中点，且OA = a ，OB = b ，OC = c ，用 a , b , c 表示向量MN
解: MN = MA + AB + BN = 1 OA+ OB OA+ 1 BC
2
2
= OB 1 OA + 1 (OC OB) = 1 OB 1 OA + 1 OC.
－3x＋y＝1，
∴e1，e2，e3 不共面，∴ x＋y＝2，
此方程组无解，
2x－y＝－1，
―→ ―→ ―→ 即不存在实数 x，y，使 OA ＝x OB ＋y OC 成立．
―→ ―→ ―→ ∴ OA ，OB ， OC 不共面．
―→ ―→ ―→ 故{ OA ，OB ， OC }能作为空间的一个基底．
数学应用
(2)因为―DM→＝16(－2a－2b＋c)，―AO→＝16(b＋c－5a)，
所以|―DM→＝12，|―A→O |＝
2， 2
―DM→·―A→O ＝1(－2a－2b＋c)·1(b＋c－5a)＝1，
6
6
4
1
所以 cos〈―DM→，―AO→〉＝ 4 ＝ 2，所以〈―DM→，―AO→〉＝π.
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：4.2平面向量基本定理及坐标表示
题型三
共线向量的坐标表示 已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求： (1)|a＋3b|； (2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还 是反向？
【解】 (1)因为 a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以 a＋3b＝(7,3)， 故|a＋3b|＝ 72＋32＝ 58. (2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)， 因为 ka－b 与 a＋3b 平行， 1 所以 3(k－2)＋7＝0，即 k＝－3. 此时
第2课时
平面向量基本定理及坐标表示
• (一)考纲点击 •1．了解平面向量基本定理及其意义． •2．掌握平面向量的正交分解及坐标表示． •3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． •4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
• •
•
(二)命题趋势 1．从考查内容看，本节重点考查平面向量的基本定理、向量的 坐标运算及平面向量共线的坐标表示．另外，平面向量坐标运算 的实质是把几何问题转化成代数问题，它是“数”和“形”结合 的桥梁． 2．从考查形式看，本节内容多以选择题、填空题的形式出现， 属低、中档题．
x＋1＝－2， ∴ y＝－5， x＝－3， 解得 y＝－5.
∴D1(－3，－5)． → → (2)若四边形 ACD2B 为平行四边形，则AB＝CD2， → → 而AB＝(4,0)，CD2＝(x－1，y＋5)，
x－1＝4， ∴ y＋5＝0， x＝5， 解得 y＝－5.
题型一 平面向量基本定理的应用 (2014· 苏北四市联考)如图，在四 边形 ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O， → → → → → 设 AD＝a，AB＝b，若AB＝2DC，则AO＝________(用向量 a 和 b 表示)．
2020版人教A数学必修3 课件：2.3.1 平面向量基本定理
2.(2018·黄石市高一检测)已知平行四边形ABCD,则下列各组向量中,是 该平面内所有向量基底的是( D ) (A) AB , DC (B) AD , BC (C) BC , CB (D) AB , DA
解析:由于 AB , DA 不共线,所以是一组基底.
3.如图,M,N 是△ABC 的一边 BC 上的两个三等分点,若 AB =a, AC =b,则
正解:由已知得 BA = OA - OB =2a-2b, BC = OC - OB =(-a+3b)-2b=-a+b, 显然 BA =-2 BC ,可见 BA 与 BC 共线,且是反向共线,故 BA 与 BC 的夹角 为 180°.
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(1)对基底的理解 ①基底的特征 基底具备两个主要特征:a.基底是两个不共线向量; b.基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作 为这个平面内所有向量的一组基底的条件. ②零向量与任意向量共线,故不能作为基底. (2)准确理解平面向量基本定理 ①平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以 沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的. ②平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何 问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归, 使问题得以解决.
题型三 任意一向量基底表示的唯一性应用 [例 3] 如图所示,在△ABC 中,点 M 是 AB 的中点,且 AN = 1 NC ,BN 与 CM 相
2 交于 E,设 AB =a, AC =b,试用基底 a,b 表示向量 AE .
解:易得 AN = 1 AC = 1 b, AM = 1 AB = 1 a,
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第章向量基本定理【新教材】人教B版高中数学必修第二册课件
思考 2：设 e1，e2 是平面向量的一组基底，则 e1，e2 中可能有零 向量吗？平面向量的基底唯一吗？
[提示] 平面向量基本定理的前提条件是 e1，e2 不共线，若 e1， e2 中有零向量，而零向量和任意向量共线，这与定理的前提矛盾， 故 e1，e2 中不可能有零向量；同一平面的基底可以不同，只要它们 不共线．
条件一 平面内任一向量 a 和同一平面内两个不共线向量 e1，e2
条件二
a＝λ1e1＋μ1e2 且 a＝λ2e1＋μ2e2
结论
λμ11＝＝λμ22，
2．任意一向量基底表示的唯一性的应用 平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平 面内两个不共线向量 e1，e2 的线性组合 λ1e1＋λ2e2.在具体求 λ1，λ2 时 有两种方法： (1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理． (2)利用待定系数法，即利用定理中 λ1，λ2 的唯一性列方程组求 解．
2．平面向量基本定理 如果平面内两个向量 a 与 b 不共线，则对该平面内任意一个向 量 c，存在唯一的实数对(x，y)，使得 c＝__xa＋yb______. 3．基底 平面内不共线的两个向量 a 与 b 组成的集合{a，b}，常称为该 平面上向量的一组基底，如果 c＝xa＋yb，则称___xa＋yb ______为 c 在基 底{a，b}下的分解式．
2．平面向量基本定理的实质是什么？ [提示] 平面向量基本定理的实质是把任一向量两个方向进行 分解．
【例 3】 平面内有一个△ABC 和一点 O(如图)， 线段 OA，OB，OC 的中点分别为 E，F，G，BC， CA，AB 的中点分别为 L，M，N，设O→A＝a，O→B＝ b，O→C＝c.
(1)试用 a，b，c 表示向量E→L，F→M，G→N； (2)求证：线段 EL，FM，GN 交于一点且互相平分．
(完整版)高中平面向量公式及知识点默写
平面向量知识点及公式默写一，基本概念1，向量的概念： 。
2，向量的表示：。
3，向量的大小：（或称模）4，零向量：，记为 ，零向量方向是 。
5，单位向量：长度为 的向量称为单位向量，一般用e 、i 1=1=6，平行向量（也称共线向量）：方向 向量称为平行向量，规定零向量与任意向量 。
若a 平行于b ，则表示为a ∥b 。
7，相等向量： 称为相等向量。
若a 与b 相等，记为a =b8，相反向量： 称为相反向量。
若a 与b 是相反向量，则表示为a =b -；向量BA AB -=二，几何运算1，向量加法：（1）平行四边形法则（起点相同），可理解为力的合成，如图所示：（2）三角形法则（首尾相接），可理解为：位移的合成，如图所示， =+BC AB（3）两个向量和仍是一个向量；（4）向量加法满足交换律、结合律：a b b a +=+，)()(c b a c b a ++=++ （5）加法几种情况（加法不等式）：= << = 2，减法：（1）两向量起点相同，方向是从减数指向被减数，如图=-AC AB（2）两向量差依旧是一个向量；（3）减法本质是加法的逆运算：CB CA AB CB AC AB =+⇔=- 3，加法、减法联系：（1）加法和减法分别是平行四边行两条对角线，AC AD AB =+，DB AD AB =- （2=，则四边形ABCD 为矩形 4，实数与向量的积：（1）实数λ与向量a 的积依然是个向量，记作a λ，它的长度与方向判断如下： BAaCB A•aba babba +当0>λ时，a λ与a 方向 ；当0<λ时，a λ与a 方向 ；当0=λ时，=a λ当0=a 时，0=a λ；=（2）实数与向量相乘满足：=)(a μλ =+a )(μλ=+)(b a λ5，向量共线：（1）向量b 与非零向量a 共线的条件是：有且只有一个实数λ（2）如图，平面内C BA ,,使得0=++OC n OB m OA q ，且0=++q n m ，反之也成立。
高中数学平面向量基本定理
解得λ =±1.
1 N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C三点共线。 3
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
D
C
N A M B
1.如果两个向量的基线互相垂直，则称这两
个向量互相垂直 ; 2. 如果两个基向量e1、e2互相垂直，则称
{e1，e2} 为正交基底 3. 若向量e1、e2为单位正交基底,且a xe1 ye2 则称(x，y)为向量a的坐标.N来自Ae2 O e1
M
我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内 所有向量的一组基底，记为{e1，e2}， a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的
分解式。
例1
ABCD中，E、F分别是DC和AB
的中点，试判断AE,CF是否平行？
D E C
A
F
B
例2、 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB 的中点. 请大家动手, D 在图中确定一组 基底，将其他向 量用这组基底表 A 示出来。
问题：（1）向量a是否可以用含有e1、e2的式
子来表示呢？怎样表示？ （2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示
是否唯一？请说明理由.
平面向量基本定理
如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那 么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一 对实数a1、a2，使 a a1e1 a2e2 说明：① e1、e2是两个不共线的向量； ② a是平面内的任一向量； ③ a1，a2实数，唯一确定.
2.2.1平面向量基本定理
如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，
试用e1、e2表示向量
AB, CD, EF , GH
向量基本定理
二、平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，_______一对实数λ1、λ2， 使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组-__________.2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝_____________，a －b ＝_____________， λa ＝_____________，|a |＝_____________. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝_____________，|AB →|＝_____________. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a 、b 共线⇔_____________. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) (3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．()1．设e 1，e 2是平面内一组基底，那么( ) A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对 2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.3．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．4．设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________． 答案(1,5)题型一 平面向量基本定理的应用例1 (1)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于( ) A.15 B.25 C.35 D.45(2)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝m AB →＋211AC →，则实数m 的值为________．思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(1)在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________.(用e 1，e 2表示)(2)如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD→，则AD→＝___________________________________________________________.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫1，83B.⎝⎛⎭⎫－133，83C.⎝⎛⎭⎫133，43 D.⎝⎛⎭⎫－133，－43 (2)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量坐标为________．思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．(1)已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( )A ．(7,4)B ．(7,14)C ．(5,4)D ．(5,14)(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)题型三 向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标例3 (1)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.(2)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________． 命题点2 利用向量共线求参数例4 若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________． 命题点3 求交点坐标例5 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 (1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量． (3)三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB →与AC →共线．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________．11．解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (12分)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．[方法与技巧]1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．2．根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值． [失误与防范]1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1.如图，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)3．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( ) A.14 B.12C ．1D ．2 5．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为( )A ．2 B.52C ．3D ．46．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.7．已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________．8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________． 9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )． (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn 等于( )A ．－2B ．2C ．－12 D.1212．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ的值为________． 13．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.14．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．15.将等腰直角三角板ADC 与一个角为30°的直角三角板ABC 拼在一起组成如图所示的平面四边形ABCD ，其中∠DAC ＝45°，∠B ＝30°.若DB →＝xDA →＋yDC →，则xy的值是__________________．。
高中数学平面向量知识及注意事项
高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。
5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝ 二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。
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1、共线向量基本定理
一般地，对于两个向量()
,≠，
如果有一个实数λ，使___________（ ），那么与是共线向量；反之，如果与
)0(≠是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使______________。
2、（1
（2）力的分解。
（3）平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示。
如图，设21,e e 是平面内两个不共线的向量，是平面内的任一向量。
3、平面向量基本定理。
4、基底，正交分解。
思考：平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？
例题剖析
例1、如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，==,，试用
基底,表示,,和。
1e
2e a x
例3、设21,e e 是平面内的一组基底，如果,4,232121e e e e +=-=2198e e -=
求证：D B A ,,三点共线。
巩固练习
1、如图，已知向量21,e e ，求作下列向量：
（1）2132e e +- （2）215.15.2e e +
2、若21,e e 是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）
A 、2121e e e e -+和
B 、12216423e e e e --和
C 、122133e e e e ++和
D 、212e e e +和 3、已知ABC ∆中，D 是BC 的中点，用向量AC AB ,表示向量AD 。
4、设Q P ,分别是四边形的对角线AC 与BD 的中点，a BC =，b DA =并且b a ,不是共线向量，试用基底,表示向量。
课堂小结
平面向量基本定理
1e
2e
课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、已知,2,22121e e e e -=+=则向量2+与-2 （ ） A 、一定共线 B 、一定不共线 C 、仅当21e e 与共线时共线 D 、仅当21e e =时共线
2、在平行四边形ABCD 中，若,2,321e e ==则2132e e -等于（ ） A 、 B 、 C 、 D 、
3、设b a ,是不共线向量，若4-与k +共线，则实数________=k
4、ABC ∆中，若F E D ,,依次是的四等分点，则以21,e e ==为基底时，
__________
=。
5、若21213,e e e e -=+=，215e e m -=，且C B A ,,三点共线， 则实数=m _________________。
6、设()
11≠e e ，四边形ABCD
中，25,3===
=，则四边形是____________。
7、如图，ABCD 是一个梯形，CD AB //且CD AB 2=，M 、N 分别是DC 和AB 中点，已知，,,==试用,表示和。
二、提高题
8、设两个非零向量21e e 与不共线。
（1）如果,82,2121e e e e +=+=)(321e e -=，求证：D B A ,,三点共线。
（2）试确定实数k ，使2121e k e e e k ++和共线。
三、能力题
9、如图，平行四边形AOCB 中，点A 的坐标为()0,4
2=，且
60=∠AOC 。
（1）求点C B ,的坐标；
（2）若D 是BC 的中点，OD 与AC 相交于点E ，求的坐标。