1.2极坐标系 课件(人教A版选修4-4)1

(，(2k+1)+)或(-，(2k+)(k∈Z)．
π (2)由P、Q关于直线+ 对称，得它们的极径|OP|= |OQ|， 2 点P的极角′满足
′=-+2k(k∈Z)，
所以点P的坐标为：
(，(2k+1)-)或(-，2k-)(k∈Z)．
1. .四者缺一不可. 2.由极径的意义，知ρ≥0.当极角θ的取值范围是［0,2π）时， 平面上的点（除去极点）与极坐标（ρ,θ）（ρ≠0）建立一一对 应的关系.约定：极点的极坐标是极径ρ=0时,极角可以取任意角. 3.极坐标与直角坐标的重要区别是多值性.在直角坐标系中， 点与直角坐标是“一对一”的关系；在极坐标系中，由于终边 相同的角有无数个，即点的极角不唯一，因此点与极点是“一 对多”的关系.但不同的极坐标可以写出统一的表达式.如果 （ρ,θ）是点M的极坐标，那么（ρ,θ+2kπ）或（-ρ,θ+（2k+1） π）（k∈Z）都可以作为点M的极坐标，但这样建立的极坐标 系，平面上的点与它的极坐标之间就不是一一对应关系.
中,能表示点 M 的坐标是( D )
A. 5， 3 2 C. 5， 3
4 B. 5， 3 5 D. 5， 3
练习
2π 把点M的极坐标 8， 化成直角坐标． 3
答案：(－4,4 3 )
2．极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ 表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角， 有序数对(ρ，θ)就叫做M的极坐标．
特别强调：由极径的意义可知，ρ≥0；当极角θ的取值范围 是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)建立一一对 应的关系． 3．负极径的规定 在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意的 正角或负角． 当ρ<0时，点M(ρ，θ)位于极角终边的反向延长线上，且 OM＝|ρ|.
2 2
＝
1 3 ＝ . 3 3
7π 因为点 M 在第三象限，故 θ＝ .因此，点 M 的极坐标 6
7π 为2， . 6
点评：把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表 示法(极角相差 2π 的整数倍)，一般只要取 θ∈[0,2π)就 可以了．
间的距离以及过它们的直线的极坐标方程． 间的距离以及过它们的直线的极坐标方程．
将点 M
2π 的极坐标5， 化成直角坐标． 3
2π 5 2π 5 3 解析：因为 x＝5cos ＝－ ，y＝5sin ＝ . 3 2 3 2 所以，点 M
5 3 5 的直角坐标为－ ， . 2 2
将点 M 的直角坐标(－ 3，－1)化成极坐标． －1 解析：ρ＝ － 3 ＋－1 ＝ 3＋1＝2，tan θ＝ － 3
2π 2， 为________( ρ＞0,0≤θ＜2π)． 3
6．已知圆C：(x＋1)2＋(y－ 3 )2＝1，则圆心C的极坐标
π 7．极坐标系中，点A的极坐标是 3, ，则： 6 (1)点A关于极轴对称的点的极坐标是________.
(2)点A关于极点对称的点的极坐标是________. π (3)点A关于直线θ＝ 的对称点的极坐标是_____． (限 2 定ρ>0，θ∈[0,2π).)
2 4．已知 A，B 两点的极坐标为 A 4， ，B 6， ，则 3 3
线段 AB 中点的极坐标为( C )
A. 5， 6 2 C. 1 ， 3
2 B. 1 ， 3 2 D. 1 ， 3
π 12．在极轴上求与点A 4 2, 的距离为5的点M的坐标． 4
解析：设 M(r,0)， π 因为 A 4 2, ， 4
π 所以 4 2 r 8 2r cos =5， 4 即 r2-8r+7=0.解得 r=1 或 r=7. 所以 M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．
一般地，极坐标（ρ,θ）与（ρ,θ+2kπ）（k∈Z）表示同一 个点，和直角坐标系不同，平面内一个点的极坐标有无数种表 示.
约定：极点的极坐标是ρ＝0，θ可以取任意角．
4．直角坐标与极坐标的互化
以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐
标系中取相同的单位长度，平面内的任一点P的直角坐标和极
11 答案：(1) 3, 6
7 (2) 3, 6
5 (3) 3, 6
π π 8．直线l过点A 3, ，B 3, ，则直线l与极轴的夹 6 3 角等于________ ． 4
9．把点M的直角坐标(1，-1)化为极坐标形式(限定≥0， -<≤)．
写出图中各点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
分析：根据极坐标定义：若M是平面上任一点，ρ表示 OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的
角．
3 解析：A(5,0)，B 2， ，C 4， ，D 5， ，E(2，)， 6 2 4 5 4 F 5， ，G 3.5， . 3 3
坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则

2 2 2 x y ， x cos ， y y sin 或 tan . x
5.
③两种坐标系的单位长度相同.
练习 (1)写出图中各点的极坐标.
点A________；点B________；点C________.
解析：由坐标变换公式，得
= 12 12 = 2 ，
1 tan = =-1，=- (为第四象限角)． 1 4
∴点 M 的极坐标为 2, . 4
10．将下列各点的极坐标化为直角坐标形式.
π (1) 2, . (2) 4 π 6, .(3)(5，π)． 3 解析：(1)x= 2 cos =1，y= 2 sin 4 所以点 2, 的直角坐标为(1,1)． 4 (2)x=6cos =3，y=6sin =-3 3 3 所以点 6, 的直角坐标为(3，-3 3 (3)x=5cos =-5，y=5sin =0， 所以点(5，)的直角坐标为(-5,0)．


D. 3，
2．已知点 A，B 的极坐标分别是 3， 和 3， ，则点 4 12 A 和 B 之间的距离等于( C ) 18 6 18 6 A. B. 2 2 3 6 3 2 3 6 3 2 C. D. 2 2 3．在极坐标系中，与点 3， 关于极轴所在直线对称 3 的点的极坐标是( B ) 2 A. 3， B. 3， 3 3 4 5 C. 3， D. 3， 3 6
2 2
13．已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐 标． (1)点P是点Q关于极点O的对称点.
π (2)点P是点Q关于直线θ＝ 的对称点． 2
分析：通过数形结合，确定P点的极径与极角． 解析：(1)由于P、Q关于极点对称，得它们的极径
|OP|=|OQ|，极角相差(2k+1)(k∈Z)．所以，点P的极坐标为
π π 2 ， 2 ，－ 在极坐标中，求两点 P ， Q 之 π π 4 4 在极坐标中，求两点 P2， ，Q2，－ 之 4 4
解析： 两点的直角坐标为 P( 2， 2)， Q( 2， － 解析： 两点的直角坐标为 P( 2， 2)， Q( 2， － 它们之间的距离|PQ|＝2 2. 它们之间的距离|PQ|＝2 2. 由于直线 PQ 垂直于极轴，且距离极点的距离为 由于直线 PQ 垂直于极轴，且距离极点的距离为 所以直线的极坐标方程为 ρcos θ＝ 2. 所以直线的极坐标方程为 ρcos θ＝ 2.
2)， 2)， 2C 的两个顶点是 A 2， 、 4 5 B 2， ，那么顶点 C 的坐标可能是( B ) 4 3 A. 4， 4
C. 2 3，
3 B. 2 3， 4
2 5．把点M的极坐标 2， π 化为直角坐标形式． 3
分析：利用坐标变换公式． 解析：由坐标变换公式，得 2π x 2cos 3 1, 2π y 2sin 3. 3 ∴点 M 的直角坐标为(-1， 3 )． 2π 点评：说明点 2, 在第二象限内． 3
(4,0)
π 2， 4
π 3， 2
(2)回答下列问题：
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由什么引起的？ 答案：(1)不是 (2)无数种表示方法 值性引起 (3)由极角的多
(3)已知点 M 的极坐标为 5， ，下列所给出的四个坐标 3
二
极坐标系
1．理解极坐标的概念． 2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极 坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．
1．极坐标系的建立
在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确 定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正 方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中O称为极点，射线Ox 称为极轴)．
=1， 4
3.
3 )．
11．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
(1)( 3 ，3). (2)(－1，－1). (3)(－3,0)． 3 2 2 解析：(1)= 3 3 =2 3 ，tan = = 3.
又因为点在第一象限，所以= . 3 所以点( 3 ，3)的极坐标为 2 3, . 3 (2)= 12 12 = 2 ，tan =1. 5 又因为点在第三象限，所以= . 4 5 所以点(-1，-1)的极坐标为 2, . 4 (3)= 32 02 =3， 画图，可知极角为，所以点(-3,0)的极坐标为(3，)． 3