工程力学20-j8b(例题)

方法一
C
B
v P
v v 拆除弹簧AB， 拆除弹簧 ，用 F 、F ′ 表示弹簧对刚体系统的作用 弹簧伸长量 λ = 2l sin θ − 2l sin θ 0 故弹簧力的大小为 F = F ' = kλ = 2l (sinθ − sinθ0 )k
例题
例 题 5
§8 虚位移原理
O
δ ′WF = Fδx A δ ′WF ′ = − F ′δxB
例题
例 题 5
§8 虚位移原理
系统的虚功方程为 δ ′W = ∑ δ ′Wi = PδxB + Fδx A − F ′δxB = 0 即 由于
( Fl cosθ − 3F ' l cosθ + 3Pl cosθ )δθ = 0
Fl cosθ − 3F ' l cosθ + 3Pl cosθ = 0 δθ ≠ 0 2 4 ∴ P = F = l (sinθ − sinθ0 )k
v QE 1
v T
v Q2
B
v T' H v
Q3
C
r r 且 T = −T ' , T = T ′
G
D v
δ ′W = ∑ δ ′Wi
2.列虚功方程 几何法） 列虚功方程(几何法 列虚功方程 几何法） n
T'
= r ir 1 r r r r r r r r = Q ⋅1 δrE + Q2 ⋅ δrG + Q3 ⋅ δrH + T ⋅ δrE + T '⋅δrH = 0
x A = l sin θ
建立坐标系Oxy,各 各 建立坐标系 力的虚功表示为： 力的虚功表示为： δ ′WP = PδxB
C
x l
B
θ
l l
A
l l
v v F F′
D
l
v P
E
y
利用解析法建立虚位移的关系： 利用解析法建立虚位移的关系：
xB = 3l sinθ
求变分
δxA = l cosθδθ
δxB = 3l cosθδθ
v T
例题
例 题 6
§8 虚位移原理
=0
r r r r r r r r r r Q ⋅1 δrE + Q2 ⋅ δrG + Q3 ⋅ δrH + T ⋅ δrE + T '⋅δrH
此机构中， 为定轴转动， 为平动， 此机构中，杆AB，DC为定轴转动，杆BC为平动，可 ， 为定轴转动 为平动 v 判断E， ， 各点的虚位移方向 各点的虚位移方向。 判断 ，G，H各点的虚位移方向。 Q E 1 A 且 δ rG = δ rE B v
工程力学（C 工程力学（C）
(20)
北京理工大学理学院力学系
韩斌
§8.4 虚位移原理
1. 虚位移原理 具有双面理想约束的质点系， 具有双面理想约束的质点系，在某一位置能继续 保持静止平衡的充要条件是： 保持静止平衡的充要条件是： 作用于质点系的主动力在该位置任何一组虚位 移上做的虚功之和等于零。 移上做的虚功之和等于零。即： n r r 虚功方程 δ ′W = ∑ Fi ⋅ δ ri = 0 （8.32） ）
A
l l
v v F F′
D
l
v P
E
y
例题
例 题 6
§8 虚位移原理
A E B
AB、BC、CD为三根等 、 、 为三根等 等重的均质杆， 长、等重的均质杆，与铅 垂墙壁连成正方形ABCD， 垂墙壁连成正方形 ， 并用柔绳EH拉住 拉住， 、 并用柔绳 拉住，E、H 分别为AB、 的中点 的中点， 分别为 、BC的中点，各 杆重Q，求柔绳的拉力。 杆重 ，求柔绳的拉力。
对于有弹簧连接的刚体系统或变形体： 对于有弹簧连接的刚体系统或变形体：
δ ′W = ∑ δ ′Wi ( 外) + ∑ δ ′Wi (内) = 0
i =1 i =1
n
m
对于非理想约束，可将其约束力视为主动力。 对于非理想约束，可将其约束力视为主动力。 若系统全部为有势力作功时， 若系统全部为有势力作功时，虚功方程为
B
r Q
杆AB、CD由光滑铰 、 由光滑铰 相连， 杆的B 链C相连，在AB杆的 相连 杆的 r 端作用一铅垂力 Q ，在 CD杆上作用一力偶，其 杆上作用一力偶， 杆上作用一力偶 力偶矩为M，不计杆重， 力偶矩为 ，不计杆重， 端的约束反力。 求A端的约束反力。 端的约束反力
A
b
D
M
例题
例 题 7
r ∂ri ∑ Fi ⋅ ∂q = 0 i =1 j
n
k个独立方程 r 个独立方程
j=1,…k
已知平衡位置，求此时各主动 已知平衡位置， 力之间关系 已知各主动力， 已知各主动力，求平衡时的位置
（2）对自由度为零的系统（静定结构）——求约 ）对自由度为零的系统（静定结构） 求约 束处的约束力 自由度为零， 自由度为零，系统无虚位移 解除一个约束， 解除一个约束，代之以 相应的待求约束力（ 相应的待求约束力（视 为未知大小的主动力） 为未知大小的主动力） 系统变为k=1的机构， 的机构， 系统变为 的机构 按(1)求解未知约束力 求解未知约束力
AB定轴转动，CD一般 定轴转动， 一般 定轴转动 平面运动，瞬心为P， 平面运动，瞬心为 ， AB的虚转角 δϕ1 的虚转角 CD的虚转角为 δϕ 2 的虚转角为
r Q
B
δϕ1
δrC
δϕ 2
D
则 δrC = AC ⋅ δϕ1 = PC ⋅ δϕ 2
∴δϕ 2 = 2δϕ1
例题
例 题 7
列虚功方程： 列虚功方程：
同理可得
O
δ ′W = δ ′W + δ ′W = 0 δ ′W 外 = δ ′W P = 3Pl cos θδθ 由 λ = 2l sin θ − 2l sin θ 0 = δ ′W 内 δ ′WT= −kλδλ
C
x l
B
2 ∴P= F 4 3 = l (sinθ − sinθ0 )k 3
θ
l l
i
∑ δ ′W
的虚位移， 的虚位移，必须表示为独立的虚位移的形式 （3）整理虚功方程，令虚功方程中各独立虚位移前 ）整理虚功方程， 面的系数为零。 面的系数为零。
i =1
例题
例 题 5
O
§8 虚位移原理
C
A
θ
B
v P
E
D
杆OD、CE、CB、DB，弹簧 ，刚度为 ，弹 ，弹簧AB，刚度为k， 簧未变形时 θ = θ 0 ，OA=AE=AD=AC=CB=DB=l,求 求 角为平衡位置时， ＝？ 当θ角为平衡位置时，P＝？ 角为平衡位置时
例题
例 题 5
§8 虚位移原理
O
解：1.分析 分析 l l l 系统自由度为1， 系统自由度为 ，可 A θ v v F F′ 为广义坐标。 选θ为广义坐标。 为广义坐标 系统中作功的力： 系统中作功的力： l l l r 弹簧力， 主动力 P ，弹簧力， E D 系统为理想约束系统， 系统为理想约束系统，各铰处的约束力不作功 。 2.列虚功方程 列虚功方程
若求多个约束力，可依次解除相应约束， 若求多个约束力，可依次解除相应约束，每次求出 一个约束力
解题指导 （1）对系统，正确写出虚功方程： ）对系统，正确写出虚功方程：
δ ′W = ∑ δ ′W i = 0
（8.32） ）
是全部作功的力的虚功之和 ——正确找出 正确找出 全部作功之力， 全部作功之力， 正确写出虚功 n r r （2）虚功方程 δ ′W = ∑ δ ′Wi = ∑ Fi ⋅ δ ri = 0 中 ）
a
A
a
P
v δrC
C
M
a
v δrB
B
r Q
FAy
AB平动，CD瞬心为 AB平动，CD瞬心为P 瞬心为P 平动 设CD的虚转角为δϕ 的虚转角为 则有 δ rC = δ rA = δ rB = a δ ϕ 列虚功方程： 列虚功方程：
nbDFra bibliotekδϕδWQ = −QδrB
∑ δW
i =1
i
=0
δWF = FAyδrA
δϕ 2
∴ M A = 3aQ + 2 M 1 （ ）
例题
例 题 7
§8 虚位移原理
a
A A
r (2)求 FAx 求 FAx 去掉A端的水平约束 端的水平约束， 去掉 端的水平约束， 用约束力F 代替。 用约束力 Ax 代替。 系统的自由度为1 系统的自由度为v v 主动力 FAx , M , Q AB、CD只能作平动 v、 只能作平动 v v
相对惯性系静止
2. 虚位移原理的应用
r r 虚功方程 δ ′W = ∑ Fi ⋅ δ ri = 0 （8.32） ）
n i =1
的系统（ （1）对自由度为 的系统（机构）——有k个独立的广 ）对自由度为k的系统 机构） 有 个独立的广 义坐标、 个独立的广义虚位移 义坐标、k个独立的广义虚位移 r n n k r r r ∂ ri δq j ) 虚功方程 δ ′W = ∑ Fi ⋅ δ ri = ∑ Fi ⋅ ( ∑ i =1 i =1 j =1 ∂ q j r k n r ∂ ri = ∑ ( ∑ Fi ⋅ )δ q j = 0 （8.34） ） ∂q j j =1 i =1
3 3
O
C
x l
B
θ
l l
A
l l
v v F F′
D
l
v P
E
y
例题
例 题 5
虚功方程为
§8 虚位移原理
内 外
方法二 不拆除弹簧（弹簧包括在系统内，有内力作功） 不拆除弹簧（弹簧包括在系统内，有内力作功）